2023-2024学年浙江省慈溪市中考一模数学试题含解析

2023-2024学年浙江省慈溪市中考一模数学试题

注意事项：

1.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号、考场号和座位号填写在试题卷和答题卡上。用2B铅笔将试卷类型（B）

填涂在答题卡相应位置上。将条形码粘贴在答题卡右上角"条形码粘贴处”o

2.作答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑；如需改动，用橡皮擦

干净后，再选涂其他答案。答案不能答在试题卷上。

3.非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上；如需改动，先

划掉原来的答案，然后再写上新答案；不准使用铅笔和涂改液。不按以上要求作答无效。

4.考生必须保证答题卡的整洁。考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回。

一、选择题（每小题只有一个正确答案，每小题3分，满分30分）

1.在RtAABC中，NC=90。，如果sinA=L,那么sinB的值是（）

2

A.且B.-C.72D.—

22V2

2.如图，等腰三角形A5C底边5c的长为4cm,面积为12cm2,腰A3的垂直平分线EF交AB于点E,交AC于点

F,若。为边上的中点，M为线段E尸上一点，则ABOM的周长最小值为（）

A.5cmB.6cmC.8cmD.10cm

3.在以下三个图形中，根据尺规作图的痕迹，能判断射线AD平分NBAC的是（）

4.如图，在矩形ABCD中，AB=5,BC=7,点E为BC上一动点，把4ABE沿AE折叠，当点B的对应点B，落在NADC

的角平分线上时，则点B，到BC的距离为（）

D

A.1或2B.2或3C.3或4D.4或5

5.小强是一位密码编译爱好者，在他的密码手册中，有这样一条信息：a-b,x-y,x+y,a+b,x?-y2,a?-b?分别

对应下列六个字：昌、爱、我、宜、游、美，现将（x2-y2）a2-（x2-y2）b?因式分解，结果呈现的密码信息可能是

（）

A.我爱美B.宜晶游C.爱我宜昌D.美我宜昌

6.如图，直线a〃b,一块含60。角的直角三角板ABC（NA=60。）按如图所示放置.若Nl=55。，则N2的度数为（）

7.如图，在AABC中，ZAED=ZB,DE=6,AB=10,AE=8,则BC的长度为（）

8.如图，已知直线a〃b〃c,直线m,n与a,b,c分别交于点A,C,E,B,D,F,若AC=4,CE=6,BD=3,则

C.5D.5.5

9.在中国集邮总公司设计的2017年纪特邮票首日纪念截图案中，可以看作中心对称图形的是（）

千里江山图

京津冀协同发展

内蒙古自治区成立七十周年

河北雄安新区建立纪念

10.如图，已知△ADE是△ABC绕点A逆时针旋转所得，其中点D在射线AC上，设旋转角为a,直线BC与直线

DE交于点F,那么下列结论不正确的是（）

A.ZBAC=aB./DAE=aC.ZCFD=aD.NFDC=a

二、填空题（共7小题，每小题3分，满分21分）

11.如图的三角形纸片中，AB=8cm,BC=6cm,AC=5cm,沿过点3的直线折叠这个三角形，使点C落在A5边

上的点E处，折痕为BD,则AADE的周长为.

12.如图，把矩形纸片OABC放入平面直角坐标系中，使OA、OC分别落在x轴、y轴上，连接OB,将纸片OABC

沿OB折叠，使点A落在点A，的位置，若OB=6,tanZBOC=1,则点A，的坐标为.

13.如图，线段AC=n+l（其中n为正整数），点B在线段AC上，在线段AC同侧作正方形ABMN及正方形BCEF,

连接AM、ME、EA得到△AME.当AB=1时，△AME的面积记为Si；当AB=2时，△AME的面积记为S2;当AB=3

时，AAME的面积记为S3；…；当AB=n时，△AME的面积记为Sn.当*2时，Sn-S„-i=_

14.若关于x的方程29+%—a=0有两个不相等的实数根，则实数a的取值范围是.

15.如图，直线y=2x+4与x,y轴分别交于A,B两点，以OB为边在y轴右侧作等边三角形OBC,将点C向左平移,

使其对应点O恰好落在直线AB上，则点。的坐标为.

17.反比例函数y=A的图象经过点（-3,2）,则k的值是.当x大于0时，y随x的增大而.（填增大

X

或减小）

三、解答题（共7小题，满分69分）

18.（10分）九（1）班同学分成甲、乙两组，开展“四个城市建设”知识竞赛，满分得5分，得分均为整数.小马虎根

据竞赛成绩，绘制了如图所示的统计图.经确认，扇形统计图是正确的，条形统计图也只有乙组成绩统计有一处错误.

1分

（2）若成绩达到3分及以上为合格，该校九年级有800名学生，请估计成绩未达到合格的有多少名？

（3）九（1）班张明、李刚两位成绩优秀的同学被选中参加市里组织的“四个城市建设”知识竞赛.预赛分为A、B、C、

D四组进行，选手由抽签确定.张明、李刚两名同学恰好分在同一组的概率是多少？

19.（5分）如图，AB为◎。的直径，AC、DC为弦，ZACD=60°,P为AB延长线上的点，ZAPD=30°.

x

内交于点C（1,n）.求一次函数y=kx+2与反比例函数y=—的表达式；过x轴上的点D（a,0）作平行于y轴的直

线1分别与直线y=kx+2和双曲线丫=一交于P、Q两点，且PQ=2QD,求点D的坐标.

x

21.（10分）一件上衣，每件原价500元，第一次降价后，销售甚慢，于是再次进行大幅降价，第二次降价的百分率

是第一次降价的百分率的2倍，结果这批上衣以每件240元的价格迅速售出，求两次降价的百分率各是多少.

22.（10分）俄罗斯世界杯足球赛期间，某商店销售一批足球纪念册，每本进价40元，规定销售单价不低于44元，

且获利不高于30%.试销售期间发现，当销售单价定为44元时，每天可售出300本，销售单价每上涨1元，每天销

售量减少10本，现商店决定提价销售.设每天销售量为y本，销售单价为x元.请直接写出y与x之间的函数关系式

和自变量x的取值范围；当每本足球纪念册销售单价是多少元时，商店每天获利2400元？将足球纪念册销售单价定为

多少元时，商店每天销售纪念册获得的利润w元最大？最大利润是多少元？

23.（12分）我市某中学艺术节期间，向全校学生征集书画作品.九年级美术王老师从全年级14个班中随机抽取了4

个班，对征集到的作品的数量进行了分析统计，制作了如下两幅不完整的统计图.王老师采取的调查方式是

（填“普查”或“抽样调查”），王老师所调查的4个班征集到作品共件，其中b班征集到作品件，

请把图2补充完整；王老师所调查的四个班平均每个班征集作品多少件？请估计全年级共征集到作品多少件？如果全

年级参展作品中有5件获得一等奖，其中有3名作者是男生，2名作者是女生.现在要在其中抽两人去参加学校总结

表彰座谈会，请直接写出恰好抽中一男一女的概率.

作品（件）

24.（14分）如图，在△ABC中，AB=AC,以AB为直径作半圆。O,交BC于点D,连接AD.过点D作DEJ_AC,

垂足为点E.求证：DE是。。的切线；当。O半径为3,CE=2时，求BD长.

参考答案

一、选择题（每小题只有一个正确答案，每小题3分，满分30分）

1、A

【解析】

.\ZA+ZB=90°,

..n人班

..sinB=cosA=.

2

故选A.

2、C

【解析】

连接A。，由于△A5C是等腰三角形，点。是5c边的中点，故再根据三角形的面积公式求出AO的长，

再根据E尸是线段A5的垂直平分线可知，点3关于直线EF的对称点为点A,故AO的长为5M+M。的最小值，由

此即可得出结论.

【详解】

如图，连接AO.

••,△A3C是等腰三角形，点。是边的中点，.,.AOLBC,.•.SAABC=L3C.AO=LX4XAO=12,解得：AD=6(cm).

22

是线段A5的垂直平分线，.•.点3关于直线E尸的对称点为点A,的长为的最小值，

的周长最短=(BM+MD)+BD=AD+-BC=6+-x4=6+2=8(czn).

22

故选C.

本题考查的是轴对称-最短路线问题，熟知等腰三角形三线合一的性质是解答此题的关键.

3、C

【解析】

【分析】根据角平分线的作图方法可判断图1,根据图2的作图痕迹可知D为BC中点，不是角平分线，图3中根据

作图痕迹可通过判断三角形全等推导得出AD是角平分线.

【详解】图1中，根据作图痕迹可知AD是角平分线；

图2中，根据作图痕迹可知作的是BC的垂直平分线，则D为BC边的中点，因此AD不是角平分线;

图3：由作图方法可知AM=AE,AN=AF,NBAC为公共角，/.AAMN^AAEF,

:.Z3=Z4,

；AM=AE,AN=AF,/.MF=EN,又；NMDF=NEDN,/.△FDM^ANDE,

/.DM=DE,

又；AD是公共边，/.AADM^AADE,

/.Z1=Z2,即AD平分NBAC,

故选C.

【点睛】本题考查了尺规作图，三角形全等的判定与性质等，熟知角平分的尺规作图方法、全等三角形的判定与性质

是解题的关键.

4、A

【解析】

连接B，D,过点B，作B'MLAD于M.设DM=B，M=x,则AM=7-x,根据等腰直角三角形的性质和折叠的性质得到：

(7-x)2=25-X2,通过解方程求得x的值，易得点B，到BC的距离.

【详解】

解：如图，连接B，D,过点B，作B，M，AD于M,

•••点B的对应点B，落在NADC的角平分线上，

设DM=B，M=x,贝!]AM=7-x,

又由折叠的性质知AB=AB,=5,

，在直角△AMB，中，由勾股定理得到：AM2=AB'2-B'M2>

即(7—x)2=25—V,

解得x=3或x=4,

则点B，到BC的距离为2或1.

故选A.

BEC

【点睛】

本题考查的是翻折变换的性质，掌握翻折变换是一种对称变换，它属于轴对称，折叠前后图形的形状和大小不变，位

置变化，对应边和对应角相等是解题的关键.

5、C

【解析】

试题分析：(X?-y?)a2-(x2-y2)b2=(x2-y2)(a2-b2)=(x-y)(x+y)(a-b)(a+b),因为x-y,x+y,a+b,

a-b四个代数式分别对应爱、我，宜，昌，所以结果呈现的密码信息可能是“爱我宜昌”，故答案选C.

考点：因式分解.

6、C

【解析】

如图，首先证明NAMO=N2,然后运用对顶角的性质求出NANM=55。；借助三角形外角的性质求出NAMO即可解决

问题.

【详解】

如图，对图形进行点标注.

1,直线a〃b,

/.ZAMO=Z2；

VZANM=Zl,而Nl=55°,

.,.ZANM=55°,

.*.Z2=ZAMO=ZA+ZANM=60o+55°=115°,

故选C.

【点睛】

本题考查了平行线的性质，三角形外角的性质，熟练掌握和灵活运用相关知识是解题的关键.

7、A

【解析】

VZAED=ZB,ZA=ZA

/.△ADE^AACB

.AEDE

••二,

ABBC

VDE=6,AB=10,AE=8,

._I__L

••一，

10BC

15

解得BC=—.

2

故选A.

8、B

【解析】

试题分析：根据平行线分线段成比例可得4G=处，然后根据AC=1,CE=6,BD=3,可代入求解DF=1.2.

CEDF

故选B

考点：平行线分线段成比例

9、C

【解析】

根据中心对称图形的概念求解.

【详解】

解：A选项是轴对称图形，不是中心对称图形，故本选项错误；

B选项不是中心对称图形，故本选项错误；

C选项为中心对称图形，故本选项正确；

D选项不是中心对称图形，故本选项错误.

故选C.

【点睛】

本题主要考查了中心对称图形的概念：关键是找到相关图形的对称中心，旋转180度后与原图重合.

10、D

【解析】

利用旋转不变性即可解决问题.

【详解】

VADAE是由ABAC旋转得到,

/.ZBAC=ZDAE=a,ZB=ZD,

■:ZACB=ZDCF,

/.ZCFD=ZBAC=a,

故A,B,C正确，

故选D.

【点睛】

本题考查旋转的性质，解题的关键是熟练掌握旋转不变性解决问题，属于中考常考题型.

二、填空题（共7小题，每小题3分，满分21分）

11、7cm

【解析】

由折叠的性质，可知：BE=BC,DE=DC,通过等量代换，即可得到答案.

【详解】

•.•沿过点5的直线折叠这个三角形，使点。落在边上的点E处，折痕为BD,

/.BE=BC,DE=DC,

:.AADE的周长=AD+DE+AE=AD+DC+AE=AC+AE=AB+BC+ACBC-BE=8+6+5-6-6=7cm,

故答案是：1cm

【点睛】

本题主要考查折叠的性质，根据三角形的周长定义，进行等量代换是解题的关键.

【解析】

如图，作辅助线；根据题意首先求出AB、BC的长度；借助面积公式求出A，D、OD的长度，即可解决问题.

【详解】

解：•.•四边形OABC是矩形，

1BC0A

OA=BC,AB=OC,tanNBOC=—=-----=------,

2OCAB

.*.AB=2OA,

VOB-=AB2+OA2，OB=75,

.\OA=2,AB=2.,；OA，由OA翻折得到,

，OA，=OA=2.

如图，过点A，作A'DLx轴与点D；

设A'D=a,OD=b；

•••四边形ABCO为矩形,

：.ZOAB=ZOCB=90°；四边形ABAD为梯形;

设AB=OC=a,BC=AO=b；

'：OB=J5,tanZBOC=-,

2

b_]_

2

a=2

解得：

b=l

由题意得：AfO=AO=2；AABO名△ABO；

由勾股定理得：x?+y2=2①，

由面积公式得：—xy+2x—x2x2=—(x+2)x(y+2)②;

该题以平面直角坐标系为载体，以翻折变换为方法构造而成；综合考查了矩形的性质、三角函数的定义、勾股定理等

几何知识点；对分析问题解决问题的能力提出了较高的要求.

2n-1

13、-----

2

【解析】

连接BE,

E

,在线段AC同侧作正方形ABMN及正方形BCEF,

/.BE/7AM.AAAME与4AMB同底等高.

/.△AME的面积=△AMB的面积.

1I2

.,.当AB=n时，△AME的面积为S0=-n2,当AB=n-l时，△AME的面积为S0=—(n—1).

n22

22

.•.当nN2时，Sn-Sn_1=1n-1-(n-l)=^(n+n-l)(n-n+l)=^-^-

1

4a>

、-

8-

试题分析：已知关于x的方程2X2+X-a=0有两个不相等的实数根，所以△=M-4x2x(-a)=l+8a>0,解得a>-.

s

考点：根的判别式.

15、(-2,2)

【解析】

试题分析:,:直线y=2x+4与y轴交于B点，

x=0时，

得y=4,

AB(0,4).

V以OB为边在y轴右侧作等边三角形OBC,

.••C在线段OB的垂直平分线上，

；.C点纵坐标为2.

将y=2代入y=2x+4,得2=2x+4,

解得x=-2.

所以C，的坐标为(-2,2).

考点：2.一次函数图象上点的坐标特征；2.等边三角形的性质；3.坐标与图形变化-平移.

16、3x(x+3)(x-3).

【解析】

首先提取公因式3x,再进一步运用平方差公式进行因式分解.

【详解】

3X3-27x

=3x（x2-9）

=3x（x+3）（x-3）.

【点睛】

本题考查用提公因式法和公式法进行因式分解的能力.

一个多项式有公因式首先提取公因式，然后再用其他方法进行因式分解，同时因式分解要彻底，直到不能分解为止.

17、-6增大

【解析】

•.•反比例函数y=&的图象经过点（-3,2）,

X

k

2=—,即A=2x（-3）=-6,

—3

.,.*<0,则y随x的增大而增大.

故答案为-6；增大.

【点睛】

本题考查用待定系数法求反函数解析式与反比例函数的性质：

（1）当发>0时，函数图象在一，三象限，在每个象限内，y随x的增大而减小；

（2）当上V0时，函数图象在二，四象限，在每个象限内，y随x的增大而增大.

三、解答题（共7小题，满分69分）

18、（1）见解析；（2）140人；（1）

4

【解析】

（1）分别利用条形统计图和扇形统计图得出总人数，进而得出错误的哪组；

（2）求出1分以下所占的百分比即可估计成绩未达到合格的有多少名学生；

（1）根据题意可以画出相应的树状图，从而可以求得张明、李刚两名同恰好分在同一组的概率.

【详解】

（1）由统计图可得：

（1分）（2分）（4分）（5分）

甲（人）01764

乙（人）22584

全体(％)512.5101517.5

乙组得分的人数统计有误，

理由：由条形统计图和扇形统计图的对应可得，

24-5%=40,(1+2)+12.5%=40,

(7+5)+10%=40,(6+8)+15%=40,(4+4)-17.5%#40,

故乙组得5分的人数统计有误，

正确人数应为：40x17.5%-4=1.

(2)800x(5%+12.5%)=140(人)

(1)如图得：

开始

//V

ABCDCDABCDABCD

•••共有16种等可能的结果，所选两人正好分在一组的有4种情况，

41

.••所选两人正好分在一组的概率是：—

164

【点睛】

本题考查列表法与树状图法、用样本估计总体、条形统计图、扇形统计图，解答本题的关键是明确题意，找出所求问

题需要的条件.

9l3

19、(1)证明见解析；(2)-V3-3P(cm2).

【解析】

(1)连接OD,求出NAOD,求出NDOB,求出NODP,根据切线判定推出即可.

(2)求出OP、DP长，分别求出扇形DOB和△ODP面积，即可求出答案.

【详解】

解：(1)证明：连接OD,

■:NACD=60°,

,由圆周角定理得：ZAOD=2ZACD=120°.

NDOP=180°-120°=60°.

,/ZAPD=30°,

:.ZODP=180°-30。-60°=90°.

/.OD±DP.

VOD为半径，

；.DP是。O切线.

(2)VZODP=90°,NP=30°,OD=3cm,

.*.OP=6cm,由勾股定理得：DP=3^/3cm.

...图中阴影部分的面积S=Sv。*S扇形00B=4B373-60^32=-A/3--p(cm2)

Nuur屏形〃(7万23602y、

20、(1)一次函数解析式为y=2x+2；反比例函数解析式为y=3；(2)D(2,0).

【解析】

⑴根据A(-1,0)代入产fcr+2,即可得到人的值；

(2)把C(1,〃)代入产2/2,可得C(1,4),代入反比例函数y=一得到机的值；

x

444

(3)先根据D(a,0)>PD〃y轴，即可得出P(a,2a+2),Q(a,—),再根据PQ=2QD,即可得2a+2——=2x—,进

aaa

而求得D点的坐标.

【详解】

(1)把A(-1,0)代入产质+2得-A+2=0,解得4=2,

••・一次函数解析式为尸2x+2；

把C(1,//)代入y=2x+2得〃=4,

AC(1,4),

m

把C(1,4)代入户一得机=1x4=4,

x

4

・••反比例函数解析式为产一；

x

(2)・・・PD〃y轴，

而D(%0),

4

AP(a,2a+2),Q(。，—),

a

VPQ=2QD,

44

:.2a+2-—=2x—,

aa

整理得a2+a-6=0,解得ai=2,ai=-3(舍去)，

AD(2,0).

【点睛】

本题考查了反比例函数与一次函数的交点问题：求反比例函数与一次函数的交点坐标，把两个函数关系式联立成方程

组求解，若方程组有解则两者有交点，方程组无解，则两者无交点.也考查了待定系数法求函数的解析式.

21、40%

【解析】

先设第次降价的百分率是x,则第一次降价后的价格为500(1-x)元，第二次降价后的价格为500(l-2x),根据两次

降价后的价格是240元建立方程，求出其解即可.

【详解】

第一次降价的百分率为x,则第二次降价的百分率为2x,

根据题意得：500(1-x)(l-2x)=240,

解得xi=0.2=20%,X2=1.3=130%.

则第一次降价的百分率为20%,第二次降价的百分率为40%.

【点睛】

本题考查了一元二次方程解实际问题，读懂题意，找出题目中的等量关系，列出方程，求出符合题的解即可.

22、(1)y=-10x+740(44<x<52)；(2)当每本足球纪念册销售单价是50元时，商店每天获利2400元；(3)将足球

纪念册销售单价定为52元时，商店每天销售纪念册获得的利润w元最大，最大利润是2640元.

【解析】

(1)售单价每上涨1元，每天销售量减少10本，则售单价每上涨(x-44)元，每天销售量减少10(x-44)本，所

以y=300-10(x-44),然后利用销售单价不低于44元，且获利不高于30%确定x的范围；

(2)利用每本的利润乘以销售量得到总利润得到(x-40)(-lOx+740)=2400,然后解方程后利用x的范围确定销

售单价；

(3)利用每本的利润乘以销售量得到总利润得到亚=(x-40)(-lOx+740),再把它变形为顶点式，然后利用二次函

数的性质得到x=52时w最大，从而计算出x=52时对应的w的值即可.

【详解】

(1)y=300-10(x-44),

即y=-lOx+740(44<x<52)；

(2)根据题意得(x-40)(-lOx+740)=2400,

解得xi=50,X2=64(舍去)，

答：当每本足球纪念册销售单价是50元时，商店每天获利2400元;

(3)w=(x-40)(-lOx+740)

=-10X2+1140X-29600

=-10(x-57)2+2890,

当xV57时，w随x的增大而增大，

而44<x<52,

所以当x=52时，w有最大值，最大值为-10(52-57)2+2890=2640,

答：将足球纪念册销售单价定为52元时，商店每天销售纪念册获得的利润w元最大，最大利润是2640元.

【点睛】

本题考查了二次函数的应用，一元二次方程的应用，解决二次函数应用类问题时关键是通过题意，确定出二次函数的

解析式，然后利用二次函数的性质确定其最大值；在求二次函数的最值时，一定要注意自变量x的取值范围.

2

23、(1)抽样调查；12；3；(2)60；(3)y.

【解析】

试题分析：(1)根据只抽取了4个班可知是抽样调查，根据C在扇形图中的角度求出所占的份数，再根据C的人数是

5,列式进行计算即可求出作品的件数，然后减去A、C、D的件数即为B的件数；

(2)求出平均每一个班的作品件数，然后乘以班级数14,计算即可得解；

(3)画出树状图或列出图表，再根据概率公式列式进行计算即可得解.

试题解析：(1)抽样调查，

所调查的4个班征集到作品数为：5+身上=12件，B作品的件数为：12-2-5-2=3件，故答案为抽样调查；12；3；

(2)王老师所调查的四个班平均每个班征集作品天=12+4=3