二次函数中的线段、周长与面积的最值问题及定值问题（学生版）-2024年中考数学

重难点二次函数中的线段、周长与面积的最值问题及定值问题

目录

重难点题型突破

题型01利用二次函数解决单线段的最值问题

题型02利用二次函数解决两条线段之和的最值问题

题型03利用二次函数解决两条线段之差的最值问题

题型04利用二次函数解决三条线段之和的最值问题

题型05利用二次函数解决三角形周长的最值问题

题型06利用二次函数解决四边形周长的最值问题

题型07利用二次函数解决图形面积的最值问题

类型一利用害U补、拼接法解决面积最值问题

类型二利用用铅垂定理巧求斜三角形面积最值问题

类型三构建平行线，利用同底等高解决面积最值问题

题型08利用二次函数解决定值问题

重难点题型突破

题型01利用二次函数解决单线段的最值问题

【解题思路】抛物线中的线段最值问题有三种形式：

1.平行于坐标轴的线段的最值问题:常通过线段两端点的坐标差表示线段长的函数关系式，运用二次函数性

质求解.求最值时应注意：

①当线段平行于y轴时，用上端点的纵坐标减去下端点的纵坐标；

②当线段平行于，轴时，用右端点的横坐标减去左端点的横坐标.在确定最值时，函数自变量的取值范围应确

定正确.•••

〔题目1J（2022・辽宁朝阳•统考中考真题）如图，在平面直角坐标系中，抛物线y=ax2+2x+c与c轴分别交于

点41,0）和点与y轴交于点C（0,-3），连接BC.

（1）求抛物线的解析式及点B的坐标.

（2）如图，点P为线段BC上的一个动点（点P不与点B,。重合），过点P作y轴的平行线交抛物线于点Q,

求线段PQ长度的最大值.

（3）动点P以每秒四个单位长度的速度在线段BC上由点。向点B运动，同时动点”以每秒1个单位长

度的速度在线段B。上由点B向点。运动，在平面内是否存在点N,使得以点P,Al,B,N为顶点的四边

形是菱形？若存在，请直接写出符合条件的点N的坐标;若不存在,请说明理由.

题目幻（2021.西藏.统考中考真题）在平面直角坐标系中，抛物线夕=—/+陵+。与2轴交于人，B两点.与

V轴交于点C.且点A的坐标为（-1,0）,点。的坐标为（0,5）.

（1）求该抛物线的解析式；

（2）如图（甲）.若点P是第一象限内抛物线上的一动点.当点P到直线BC的距离最大时，求点P的坐标;

⑶图（乙）中，若点河是抛物线上一点,点N是抛物线对称轴上一点,是否存在点河使得以B,C,M,N为

顶点的四边形是平行四边形？若存在，请求出点M的坐标;若不存在,请说明理由.

甲乙

题目回(2021.Lh东泰安•统考中考真题)二次函数9=ax2+bx+4伍丰0)的图象经过点A(-4.0),B(l,0),与

9轴交于点。，点P为第二象限内抛物线上一点，连接BP、AC,交于点Q,过点P作轴于点O.

⑴求二次函数的表达式；

⑵连接BC,当/DPB=2ZBCO时,求直线BP的表达式；

(3)请判断：空■是否有最大值，如有请求出有最大值时点P的坐标，如没有请说明理由.

题目回(2020•辽宁阜新•中考真题)如图，二次函数y=x2+bx+c的图象交c轴于点A(-3,0),3(1,0)，交y

轴于点。.点P(m,0)是2轴上的一动点，PM，，轴,交直线AC于点交抛物线于点N.

⑴求这个二次函数的表达式；

(2)①若点P仅在线段AO上运动，如图1.求线段MN的最大值；

②若点P在立轴上运动，则在沙轴上是否存在点Q,使以河，N,。，Q为顶点的四边形为菱形.若存在,请

直接写出所有满足条件的点Q的坐标;若不存在,请说明理由.

（fe目［5］（2020•天津"中考真题）已知点A（l,0）是抛物线夕=aa?+6rc+m（a,b,7n为常数，a/0,m<0）与c轴

的一个交点.

（1）当a=1,馆=一3时，求该抛物线的顶点坐标；

（2）若抛物线与c轴的另一个交点为河（口,0）,与沙轴的交点为。，过点。作直线I平行于2轴，E是直线I

上的动点，F是沙轴上的动点，EF=2，^.

①当点E落在抛物线上（不与点。重合），且AE=E尸时，求点F的坐标；

②取EF的中点N,当馆为何值时，的最小值是个.

题目回（2023•重庆•统考中考真题）如图，在平面直角坐标系中,抛物线y=^x2+bx+c与①轴交于点4

B，与g轴交于点C，其中氏3,0）,。（0,—3）.

（1）求该抛物线的表达式；

（2）点P是直线AC下方抛物线上一动点，过点P作P。，力。于点。，求PD的最大值及此时点P的坐标;

（3）在（2）的条件下,将该抛物线向右平移5个单位，点E为点P的对应点，平移后的抛物线与"轴交于点

F,Q为平移后的抛物线的对称轴上任意一点.写出所有使得以QF为腰的△QEF是等腰三角形的点Q

的坐标，并把求其中一个点Q的坐标的过程写出来.

•M

题型02利用二次函数解决两条线段之和的最值问题

【解题思路】抛物线中的线段最值问题有三种形式：

2.两条线段和的最值问题:解决这类问题最基本的定理就是“两点之间线段最短”，解决这类问题的方法是:作

其中一个定点关于已知直线的对称点，连接对称点与另一个定点，它们与已知直线的交点即为所求的点.其变

形问题有三角形周长最小或四边形周长最小等.

【常见模型一】（两点在河的异侧）:在直线L上找一点M,使P4+PB的值最小.

方法:如右图，连接AB,与直线力交于点在河处渡河距离最短，最短距离为线段的长。

【常见模型二】（两点在河的同侧）:在直线L上找一点使PA+PB的值最小.

方法s如右图，作点B关于直线乙的对称点连接与直线乙的交点即为所求的渡河点，最短距离为线段

的长。

题目F（2023•山东枣庄•统考中考真题）如图，抛物线y=-x2+bx+c经过A（-l,O）,C（O,3）两点，并交立轴

于另一点B,点河是抛物线的顶点，直线AM与轴交于点D.

（1）求该抛物线的表达式；

（2）若点H是x轴上一动点,分别连接MH,DH,求MH+0H的最小值；

（3）若点P是抛物线上一动点，问在对称轴上是否存在点Q,使得以。，河，P,Q为顶点的四边形是平行四

边形？若存在，请直接写出所有满足条件的点Q的坐标;若不存在,请说明理由.

题目②（2015•四川自贡・统考中考真题）如图，已知抛物线y=ax2+bx+c（a丰0）的对称轴为直线C=—1,且

抛物线与，轴交于A、B两点，与y轴交于。点，其中4（1,0）,。（0,3）.

（1）若直线v=力2+"经过B、。两点,求直线BC和抛物线的解析式；

⑵在抛物线的对称轴x=-1上找一点使点河到点A的距离与到点。的距离之和最小,求出点”的坐

标；

（3）设点P为抛物线的对称轴立=—1上的一个动点，求使ABPC为直角三角形的点P的坐标.

题目回（2021•山东东营・统考中考真题）如图，抛物线9=-；疗+近+。与2轴交于4B两点，与g轴交于

点C,直线y=—Jr+2过6、C两点，连接AC.

⑴求抛物线的解析式；

（2）求证：AAOC-AACB；

（3）点”（3,2）是抛物线上的一点，点D为抛物线上位于直线上方的一点，过点。作DE，，轴交直线

BC于点E,点P为抛物线对称轴上一动点,当线段DE的长度最大时，求PD+的最小值.

题目回(2023•山东德州•校考一模)如图，已知抛物线y=ax2--x+c与0轴交于点A(-4,0),5(1,0),与沙

轴交于点C.

(1)求抛物线的解析式；

(2)在抛物线的对称轴上是否存在点Q使QB+QC最小？若存在，请求出Q点坐标;若不存在，请说明理

由；

(3)点P为力。上方抛物线上的动点,过点P作PD，AC,垂足为点。，连接PC,当△PCD与A4C。相似

时，求点P的坐标.

题目回(2021•广东东莞・校考一模)如图,抛物线y=ax2+bx+3与，轴交于A(-l,0)、B(3,0)两点,抛物线

的对称轴Z与。轴交于M点、.

(1)求抛物线的函数解析式；

(2)设点P是直线I上的一个动点，当PA+PC的值最小时，求PA+PC长；

⑶已知点N(0,—1),在沙轴上是否存在点Q,使以M、N、Q为顶点的三角形与△BCM相似？若存在;若

不存在，请说明理由.

题目回（2023•江苏苏州・统考一模）如图，二次函数9=—如+]⑺一1加+机（机是常数，且小＞0）的图象

与立轴相交于点A、B（点A在点B的左侧）,与y轴相交于点C,动点P在对称轴，上,连接AC.BC、PA.

PC.

（1）求点A,B.C的坐标（用数字或含m的式子表示）；

（2）当P4+PC的最小值等于40时，求m的值及此时点P的坐标；

⑶当山取（2）中的值时，若/APC=2AABC,请直接写出点P的坐标.

题型03利用二次函数解决两条线段之差的最值问题

【解题思路】抛物线中的线段最值问题有三种形式：

3.两条线段差的最值问题:解决这类问题最基本的定理就是“三角形任何两边之差小于第三边”，解决这类问

题的方法是:求解时,先根据原理确定线段差取最值时的图形,再根据已知条件求解。

【常见模型一】（两点在同侧）:在直线乙上求一点P,求|P4—的最大值

方法:如右图，延长射线,与直线£交于点P,|P4—最大值为AB

【常见模型二】（两点在异偏）:在直线乙上求一点P,求|P4—的最大值。

A

・

方法:如右图，作点B关于直线乙的对称点B一延长射线与直线L交于点P,|P4—PB|最大值为AB，

［遨回上(2023•江西九江•校考模拟预测)已知二次函数"=a/+^+c中，,，g的部分对应值如下表，点。

(t,0)是c轴上一动点.

X-1013

y03m0

(1)表格中小=，在如图所示的平面直角坐标系中画出该二次函数的图象;

(2)若二次函数9=ax2+bx+c的图象与沙轴交于点顶点为B,求—P5］的最大值及此时点P的坐

标；

(3)设Q(0,2t)是“轴上的动点，若线段PQ与函数沙=a^+bx+c(z>0)的图象只有一个公共点，求t的

取值范围.

〔题目区(2022・湖南常德•统考中考真题)如图，已经抛物线经过点0(0,0),4(5,5),且它的对称轴为c=2.

(1)求此抛物线的解析式；

(2)若点B是抛物线对称轴上的一点，且点B在第一象限,当的面积为15时，求B的坐标；

(3)在(2)的条件下，P是抛物线上的动点，当PA—PB的值最大时，求P的坐标以及PA-PB的最大值

题目回(2022上•福建泉州・九年级统考期末)如图，在平面直角坐标系土。9中,顶点为E(l,4)的抛物线?/=

a/+^+c与2轴从左到右依次交于45两点，与g轴的交点为C(0,3),P是抛物线对称轴右侧图象上

的一点，且在，轴的上方.

（1）求此抛物线的解析式；

（2）若直线BP与抛物线对称轴交于点。，当取得最大值时，求点P的坐标；

（3）若直线8。与抛物线对称轴交于点F,连接PC,PE,PF,记△PCF,△PEF的面积分别为Si，S2,判断

2&+S2是否存在最大值.若存在，求出最大值;若不存在，请说明理由.

题目©（2020上•广东惠州•九年级惠州一中校考阶段练习）如图,抛物线y=ax^-2ax-3a与①轴交于A,

B两点，点A,B分别位于原点的左、右两侧,与y轴交于点C,D为抛物线的顶点，已知△ABC的面积为

2V3.

（1）求抛物线的解析式.

（2）P为抛物线对称轴上的点，当P4—PC取最大值时，求点P的坐标.

（3）在（2）的条件下，E为抛物线上的动点，若S岫DE：S^BDP=1：2时，直接写出点E的坐标.

题目回（2019•云南红河・统考一模）已知抛物线y=-x2+bx+c经过点A（—1,0），与夕轴交于点B,且对称轴

为2=1.

（1）求该抛物线的解析式；

（2）点P是抛物线对称轴上的一动点，当-PB\取最大值时,求点P的坐标.

题型04利用二次函数解决三条线段之和的最值问题

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题目UJ（2021•湖北恩施・统考中考真题）如图,在平面直角坐标系中，四边形ABCD为正方形，点A,B在立

轴上，抛物线y=x2+bx+c经过点B,。（一4,5）两点，且与直线DC交于另一点E.

（1）求抛物线的解析式；

（2）F为抛物线对称轴上一点，Q为平面直角坐标系中的一点，是否存在以点为顶点的四边形

是以跳;为边的菱形.若存在，请求出点F的坐标;若不存在,请说明理由；

（3）P为y轴上一点,过点P作抛物线对称轴的垂线,垂足为连接ME,BP.探究EM+MP+PB是否

存在最小值.若存在，请求出这个最小值及点m的坐标;若不存在,请说明理由.

题目0（2022•山东烟台・统考二模）如图，平面直角坐标系中，正方形ABCD的顶点4B在，轴上，抛物线

y=-x2+bx+c^xtA,。（4,—5）两点，且与直线。。交于另一点E.

（1）求抛物线的解析式：

（2）P为沙轴上一点,过点P作抛物线对称轴的垂线,垂足为Q,连接EQ,AP.试求EQ+PQ+AP的最

小值；

（3）N为平面内一点,在抛物线对称轴上是否存在点河,使得以点河，N,E,A为顶点的四边形是菱形？若

存在，请直接写出点河的坐标;若不存在,请说明理由.

题目可（2022•湖北恩施・统考模拟预测）如图，已知抛物线沙=/0+m2+鼠点4T⑵在抛物线的对称

轴上，凤0,今）是抛物线与?/轴的交点，D为抛物线上一动点，过点。作，轴的垂线，垂足为点C.

⑴直接写出儿七的值；

(2)如图,若点。的坐标为(3,m)，点、Q为y轴上一动点，直线QK与抛物线对称轴垂直，垂足为点K.探

求。K+KQ+QC的值是否存在最小值,若存在，求出这个最小值及点Q的坐标;若不存在,请说明理由;

⑶如图,连接AD,AC,若ADAC=60°,求点。的坐标.

题型05利用二次函数解决三角形周长的最值问题

题目工)(2023广东湛江•校考一模)抛物线y=ax2+bx+2与立轴交于点A(-3,0),B(l,0),与y轴交于点C.

(1)

(2)求抛物线的解析式

(3)在抛物线对称轴上找一点朋■，使的周长最小，并求出点朋■的坐标和的周长

(4)若点P是，轴上的一个动点,过点P作PQ//BC交抛物线于点Q,在抛物线上是否存在点Q,使B、C、

P、Q为顶点的四边形为平行四边形？若存在请求出点Q的坐标，若不存在请说明理由.

题目可(2023•湖南郴州•统考中考真题)已知抛物线y=ax2+bx+4与2轴相交于点A(l,0),B(4,0)，与夕轴

相交于点C.

.VAJJ,A.VA

I1

(1)求抛物线的表达式;

12

（2）如图L点P是抛物线的对称轴I上的一个动点，当△P4C的周长最小时，求修的值；

-4O

（3）如图2,取线段OC的中点。,在抛物线上是否存在点Q,使tan/QDB=-y?若存在，求出点Q的坐

标;若不存在,请说明理由.

［题目①（2023•四川资阳・统考二模）如图，直线y=—六2+4与c轴、g轴分别交于4口两点，抛物线"=

O

（1）求抛物线的解析式；

（2）点D为抛物线上位于AB上方的一点，过点。作DE，于点E,作DF〃9轴交AB于点F,当

△DEF的周长最大时，求点。的坐标；

（3）G是平面内的一点，在（2）的条件下，将&DEF绕点、G顺时针旋转a得到当a=AOBA时,

△DE'F'的两个顶点恰好落在抛物线上，求点口的横坐标.

题目⑷（2023•湖北恩施・统考一模）已知直线y=£—l与田轴交于点4过2轴上力，。两点的抛物线y=

ax2+bx+3与9轴交于点5,与直线y—x—1交于。且OB=OC,

（1）直接写出A,B,。三点的坐标；

（2）求抛物线的解析式；

（3）若点/■是抛物线对称轴I上一动点，当■的周长最小时，求的面积；

（4）点P是抛物线上一动点（点P不与B,。重合），连接4P,OP,若AADP的面积等于3,求点P的坐标.

题目回（2023•四川成都・统考一模）如图，在平面直角坐标系立。夕中，抛物线y=aa?+b/+c（a片0）与立轴

交于点力（-1,0）,点B（3,0）,与沙轴交于点。（0,—3）.

（1）求抛物线的函数表达式；

（2）在对称轴上找一点Q,使△AQC的周长最小,求点Q的坐标；

（3）在⑵的条件下,点P是抛物线上的一点，当△AQC和A4QP面积相等时,请求出所有点P的坐标.

题型06利用二次函数解决四边形周长的最值问题

［题目R（2023・辽宁丹东•校考二模）如图,在平面直角坐标系中，已知抛物线y=ax2+bx+5与c轴交于

A（—l,0）,B（5,0）两点，与y轴交于点C.

（1）求抛物线的函数表达式；

（2）若点P是位于直线BC上方抛物线上的一个动点,求△BPC面积的最大值；

（3）若点。是沙轴上的一点，且以B、C、O为顶点的三角形与相似,求点D的坐标；

（4）若点E为抛物线的顶点,点F⑶a）是该抛物线上的一点,点M■在。轴、点N在沙轴上,是否存在点M、

N使四边形EFMN的周长最小，若存在,请直接写出点M、点N的坐标;若不存在,请说明理由.

题目可（2022.广东东莞.东莞市光明中学校考一模）二次函数夕=&/+祈+3（&片0）的图像与沙轴交于点

C,与c轴交于点A（l,0）、B（”,0）.

14

⑴求a、6的值；

（2）P是二次函数图像在第一象限部分上一点，且/PAB=/OCA,求P点坐标；

（3）在（2）的条件下,有一条长度为1的线段EF落在OA上（E与点O重合，F与点A重合），将线段EF沿

c轴正方向以每秒4个单位向右平移，设移动时间为t秒，当四边形CEFP周长最小时，求t的值.

JLO

题目可（2022•安徽六安・校考一模）如图，直线：夕=。—3与c轴、?/轴分别交于A,B两点,抛物线yM

+bx+c经过点A,抛物线的对称轴与c轴交于点。，与直线AB交于点N,顶点为C

（1）求抛物线的解析式；

（2）点河在线段BN上运动，过点初作线段EF平行于y轴，分别交抛物线于点F,交a:轴于点瓦作FG，

CD于点G；

①若设£。，0）,试用含力的式子表示DE的长度；

②试求四边形EFGO的周长取得最大值.

题型07利用二次函数解决图形面积的最值问题

【解题思路】抛物线中的面积最值问题通常有以下3种解题方法：

1）当所求图形的面积没有办法直接求出时，通常采用分割或补全图形的方法表示所求图形的面积，如下:

15

一般步骤为:①设出要求的点的坐标；

②通过割补将要求的图形转化成通过条件可以表示的图形面积和或差；

③列出关系式求解；

④检验是否每个坐标都符合题意.

2）用铅垂定理巧求斜三角形面积的计算公式:三角形面积等于水平宽和铅锤高乘积的一半.

3）利用平行线间的距离处处相等,根据同底等高，将所求图形的面积转移到另一个图形中，如图所示:

一般步骡为:①设出直线解析式，两条平行直线k值相等;

②通过已知点的坐标，求出直线解析式；

③求出题意中要求点的坐标；

④检验是否每个坐标都符合题意.

类型一利用割补、拼接法解决面积最值问题

〔题目|1J（2022广东•统考中考真题）如图，抛物线y=x2+bx+c（b,c是常数）的顶点为。，与，轴交于4B

两点，A（l,0）,AB=4,点P为线段AB上的动点，过P作PQ〃BC交于点。

（1）求该抛物线的解析式；

（2）求ACPQ面积的最大值，并求此时P点坐标.

题目0（2012下•江苏泰州•九年级统考期末）如图，在平面直角坐标系中，已知抛物线经过人（一4,0）,

（1）求抛物线的解析式；

（2）若点河为第三象限内抛物线上一动点,点”的横坐标为A4A1B的面积为S,求S关于神的函数关

系式,并求出S的最大值；

（3）若点P是抛物线上的动点,点Q是直线y=-x上的动点，判断有几个位置能使以点P,Q,B,O为顶点

的四边形为平行四边形（要求PQ〃08）,直接写出相应的点Q的坐标.

题目区（2021•河南驻马店•校联考二模）如图所示,抛物线g=+c的对称轴为直线c=3,抛物线与

2轴交于4（—2,0）、B两点，与v轴交于点。（0,4）.

（2）连结BC,在第一象限内的抛物线上,是否存在一点P,使的面积最大？最大面积是多少？

（2022•湖北随州・统考中考真题）如图1,平面直角坐标系xOy中，抛物线y=ax2+bx+c+（a<0）

与力轴分则点A和点B（L0）,与沙轴交于点。，对称轴为直线c=—1,且。4=OC,P为抛物线上一动点.

⑴直接写出抛物线的解析式；

（2）如图2,连接AC,当点P在直线AC上方时，求四边形PABC面积的最大值，并求出此时P点的坐标；

（3）设河为抛物线对称轴上一动点，当P,M运动时，在坐标轴上是否存在点N,使四边形PMCN为矩形?

若存在，直接写出点P及其对应点N的坐标;若不存在,请说明理由.

类型二利用用铅垂定理巧求斜三角形面积最值问题

箍目工（2022.山东烟台.统考中考真题）如图，已知直线v=+4与，轴交于点4与v轴交于点。，抛物

O

线沙=姐2+施+。经过4。两点，且与立轴的另一个交点为B,对称轴为直线①=一1.

（1）求抛物线的表达式；

（2）0是第二象限内抛物线上的动点,设点D的横坐标为求四边形ABCD面积S的最大值及此时D点

的坐标；

（3）若点P在抛物线对称轴上，是否存在点P,Q,使以点4。，P,Q为顶点的四边形是以力。为对角线的

菱形？若存在，请求出P,Q两点的坐标;若不存在,请说明理由.

2

题目团（2019・湖南娄底•中考真题）如图，抛物线y=ax+bx+c与①轴交于点A（-1.O）,点B（3,0）,与y轴交

于点。，且过点。（2,—3）.点、P、Q是抛物线y=ax2+bx+c上的动点.

（1）求抛物线的解析式；

（2）当点P在直线下方时，求APOD面积的最大值.

（3）直线OQ与线段BC相交于点E,当AOBE与AABC相似时，求点Q的坐标.

题目回（2018•辽宁阜新•中考真题）如图，已知二次函数?/=ax2+bx+3的图象交，轴于点A“，0），氏3,0）,

交“轴于点。.

（1）求这个二次函数的表达式；

（2）点P是直线BC下方抛物线上的一动点，求△BCP面积的最大值；

（3）直线2=馆分别交直线BC和抛物线于点M,N,当是等腰三角形时,直接写出m的值.

题目⑷（2021.辽宁阜新.统考中考真题）在平面直角坐标系中,抛物线y=ax2+bx-3交工轴于点A（-l.O）,

B（3,0）,过点B的直线y^^-x-2交抛物线于点C.

（1）求该抛物线的函数表达式；

（2）若点P是直线下方抛物线上的一个动点（P不与点重合），求△PBC面积的最大值；

（3）若点河在抛物线上，将线段O河绕点O旋转90°,得到线段ON,是否存在点河，使点N恰好落在直线

BC上？若存在，请直接写出点河的坐标;若不存在,请说明理由.

题目回（2020.内蒙古通辽.中考真题）如图，在平面直角坐标系中,抛物线y=-x+bx+c与2轴交于点A,

B,与v轴交于点。，且直线夕=2—6过点B,与夕轴交于点。，点。与点。关于c轴对称.点P是线段

OB上一动点,过点P作2轴的垂线交抛物线于点交直线BD于点N.

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（1）求抛物线的函数解析式；

（2）当4MDB的面积最大时，求点P的坐标；

（3）在（2）的条件下,在y轴上是否存在点Q,使得以Q,河,N三点为顶点的三角形是直角三角形,若存在，

直接写出点Q的坐标;若不存在，说明理由.

题目回（2022.湖南娄底.统考中考真题）如图，抛物线y=2,-6与x轴相交于点4点与y轴相交

于点C.

（2）点P（m,n）（0<m<6）在抛物线上,当m取何值时，APBC的面积最大？并求出面积的最大

值.

（3）点F是抛物线上的动点，作FE〃入。交2轴于点E,是否存在点F,使得以A、C、E、F为顶点的四边形

是平行四边形？若存在,请写出所有符合条件的点F的坐标;若不存在，请说明理由.

颖目可（2021・湖北荆门•统考中考真题）如图，抛物线9=♦+就+c交，轴于4—1,0）,比3,0）两点，交g

轴于点。（0,—3）,点Q为线段BC上的动点.

（1）求抛物线的解析式；

⑵求IQOI+IQ川的最小值；

（3）过点Q作PQ〃入。交抛物线的第四象限部分于点P,连接P4,PB,记APAQ与△PBQ的面积分别

为S,52,设S=S1+S2，求点P坐标，使得S最大,并求此最大值.

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类型三构建平行线，利用同底等高解决面积最值问题

题目（2021.江苏连云港.统考中考真题）如图,抛物线y=ma;2+（m2+3）a;-（6小+9）与,轴交于点A.B,

与沙轴交于点。，已知B（3,0）.

（1）求m的值和直线BC对应的函数表达式；

（2）P为抛物线上一点，若SWBC=SMBC，请直接写出点P的坐标；

（3）Q为抛物线上一点，若ZACQ=45°,求点Q的坐标.

题目句（2021•天津北辰・统考二模）如图,在平面直角坐标系中，。为原点，抛物线？/u//+bc+c。，。为常

数）经过点4一4,0）和点口（0,—2）.

⑴求抛物线的解析式；

（2）在抛物线上是否存在一点P,使SAP4B=SAOAB?若存在，请求出点P的坐标，若不存在，请说明理

由；

（3）点“为直线AB下方抛物线上一点，煎N为y轴上一点，当4MAB的面积最大时,直接写出2MN+

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ON的最小值.

题型08利用二次函数解决定值问题

题目R（2023・四川成都•校考三模）如图,在平面直角坐标系xOy中，抛物线y=ax2+bx-1■与立轴交于

A（-l,0）,B（3,0）两点，其顶点为直线v=fee—k与抛物线相交于E,F两点（点E在点F的左侧）.

（1）求抛物线的函