安徽省安庆市2024届高三模拟考试(二模)数学试题

安徽省安庆市2024届高三模拟考试(二模)数学试题一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，有且只有一项符合题目要求．1．设集合A={x||2x−1|≤3}，集合B={x|x+1x−1>0}A．(1，2] B．[1，2]2．已知复数z=(1+i)23−i，A．14 B．1 C．2 3．设F是椭圆C：x225+y29=1A．12 B．14 C．16 D．184．在一次学科核心素养能力测试活动中，随机抽取了100名同学的成绩（评分满分为100分），将所有数据按[40，50]，(50，60]，A．80 B．78 C．76 D．745．设{an}是公比不为1的无穷正项等比数列，则“{an}为递减数列”是“存在正整数A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充要条件 D．既不充分也不必要条件6．已知点P(1，0)，C(0，3)，O是坐标原点，点A．5π6 B．2π3 C．π27．已知函数f(x)=2cos2ωx+sinA．12 B．32 C．528．如图，在长方体ABCD−A1B1C1DA．不存在点E，使得EC⊥B．空间中与三条直线A1D1，ECC．过点E与平面D1AE和平面DAEC所成角都等于D．过点E与三条棱AB，AD，AA二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．9．已知定义在R上的函数f(x)，满足对任意的实数x，y，均有f(x+yA．fB．fC．函数f(D．函数y=f(x)10．抛物线C：x2=2py(p>0)的焦点为F(0，1)，经过点F且倾斜角为α的直线l与抛物线C交于A．当|AB|B．△AOB面积的最大值为2C．点E在一条定直线上D．设直线EF倾斜角为β，|α−β11．满足a1=2，a2=1，A．存在非零实数t，使得{aB．存在非零实数t，使得{aC．3D．i=1三、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共15分．12．在二项式(x+113．已知圆锥的顶点为P，底面圆心为M，底面直径AB=2．圆锥的内切球和外接球的球心重合于一点O，则该圆锥的全面积为．14．剪纸是一种用剪刀或刻刀在纸上剪刻花纹，用于装点生活或配合其他民俗活动的中国民间艺术．其传承赓续的视觉形象和造型格式，蕴涵了丰富的文化历史信息，表达了广大民众的社会认知、道德观念、实践经验、生活理想和审美情趣，具有认知、教化、表意、抒情、娱乐、交往等多重社会价值．现有如图所示剪纸图案，其花纹中就隐含方程为x23+y23=a23(a>0)四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．15．如图，在平面凸四边形ABCD中，tan∠ABD+（1）求∠ADB；（2）若AD=BD=4，∠ACB=∠BDC=π6，求16．已知函数f(（1）当m=−3时，求函数f(（2）若不等式f(x)≤0对任意的17．如图，将边长为2的菱形ABDC沿其对角线BC对折，使得点A、D分别位于边长为2的等边△PBC所在平面的两侧，且PA=6，PD=3．设E是（1）证明：平面PBC⊥平面ABC；（2）求平面EBD与平面ABC夹角的正弦值．18．树人高中拟组织学生到某航天基地开展天宫模拟飞行器体验活动，该项活动对学生身体体能指标和航天知识素养有明确要求．学校所有3000名学生参加了遴选活动，遴选活动分以下两个环节，当两个环节均测试合格可以参加体验活动．第一环节：对学生身体体能指标进行测试，当测试值ξ≥12.第二环节：对身体体能指标符合要求的学生进行航天知识素养测试，测试方案为对A，B两类试题依次作答，均测试合格才能符合遴选要求．每类试题均在题库中随机产生，有两次测试机会，在任一类试题测试中，若第一次测试合格，不再进行第二次测试．若第一次测试不合格，则进行第二次测试，若第二次测试合格，则该类试题测试合格，若第二次测试不合格，则该类试题测试不合格，测试结束．经过统计，该校学生身体体能指标ξ服从正态分布N(参考数值：P(μ−σ<X<μ+σ)P(（1）请估计树人高中遴选学生符合身体体能指标的人数（结果取整数）；（2）学生小华通过身体体能指标遴选，进入航天知识素养测试，作答A类试题，每次测试合格的概率为13，作答B类试题，每次测试合格的概率为1①在解答A类试题第一次测试合格的条件下，求测试共进行3次的概率．②若解答A、B两类试题测试合格的类数为X，求X的分布列和数学期望．19．取整函数被广泛应用于数论、函数绘图和计算机领域，其定义如下：设x∈R，不超过x的最大整数称为x的整数部分，记作[x]，函数y=[x]称为取整函数．另外也称[x]（1）直接写出[lnπ]和（2）设a，b∈N∗，证明：a=b[ab]+b{ab（3）对于任意一个大于1的整数a，a能唯一写为a=p1a1×p2a2×⋯×pkak，其中pi为质数，ai为整数，且对任意的i<j，pi<pj，

答案解析部分1．【答案】A2．【答案】B3．【答案】C4．【答案】B5．【答案】C6．【答案】A7．【答案】B8．【答案】D9．【答案】A,C,D10．【答案】C,D11．【答案】B,C,D12．【答案】21013．【答案】3π14．【答案】1215．【答案】（1）解：由已知得：sin∠ABD故sin∠ABD所以sin(∠ABD+∠ADB因为sin(∠ABD+∠ADB)=sin(π−∠BAD（2）解：由已知，△ABD为边长为4的等边三角形，在△ABC中，∠ACB=π6，由正弦定理得故BC=AB由于∠BAC+∠BCA+∠ABD+∠CBD=π，所以∠BAC+∠CBD=π2，故在△BCD中，由余弦定理得CD即CD2=16．【答案】（1）当m=−3时，f(x)求导，得f'令f'(x)=0当0<x<3时，f'(x当x>3时，f'(x所以函数f(x)的单调递增区间为(（2）解：由条件可知f(1)≤0，于是当m≤1时，f(x)=2ln对其求导，得g'所以函数g(x)在[因此实数m的取值范围是(−∞17．【答案】（1）证明：取BC的中点O，连接OA、OP，如图所示：

因为四边形ABDC是边长为2的菱形，△PBC是边长为2的等边三角形，所以△ABC也是边长为2的等边三角形．在等边△PBC中，O是BC的中点，故OP⊥BC；且OA=OP=3又PA=6，故OP⊥OA；又OA∩BC=O，故OP⊥平面ABC又OP⊂平面PBC，故平面PBC⊥平面ABC．（2）解：由（1）知，OP⊥BC，OP⊥OA．又O是等边△ABC的BC边中点，故OA⊥BC，以O为原点，分别以OA、OB、OP所在直线为x、y、z轴，建立如图示空间直角坐标系如图所示：

则A(3，0，0)，B(0因为△DBC是边长为2的等边三角形，故OD=OP=3=PD，所以∠POD=60°，且又OP⊥BC，OD∩OP=O，故BC⊥平面DOP，则D在平面xOz内．故求得D(−3所以BE=(32设平面ABC的法向量为m=(a设平面EBD的法向量为n=(x令z=2，则x=0，y=3，即n=(0，设平面EBD与平面ABC的夹角为θ，则sinθ=故平面EBD与平面ABC的夹角的正弦值为21718．【答案】（1）解：P(所以符合该项指标的学生人数为：3000×0.（2）解：①记A1B1，B则P(A1)=P②设X的取值为0，1，2，P(x=0)=2所以X的分布列为X012P4535数学期望E19．【答案】（1）解：由e<π<2e，故1<lnπ<2，故[lnπ]=1，{−3（2）证明：因为ab=[a因为a，b都为整数，所以b{a又0≤{ab}<1，所以0≤b{假设b，2b，…，nb都小于等于a，因为a=b[a