《9.2 用样本估计总体》考点讲解复习与同步训练

《9.2用样本估计总体》考点讲解【思维导图】考法一总体取值规律的估计【例1】某市2021年4月1日~4月30日对空气污染指数的监测数据如下(主要污染物为可吸入颗粒物):61，76，70，56，81，91，92，91，75，81，88，67，101，103，95，91，77，86，81，83，82，82，64，79，86，85，75，71，49，45，（1）完成频率分布表；（2）作出频率分布直方图；（3）根据国家标准，污染指数在0~50之间时，空气质量为优；在51~100之间时，空间质量为良；在101~150之间时，空间质量为轻微污染；在151~200之间时，空间质量为轻度污染.请你依据所给数据和上述标准，对该市的空气质量给出一个简短评价.【一隅三反】1．某市为提倡节约用水，准备实行自来水“阶梯计费”方式，用户用水不超出基本用水量的部分享受基本价格，超出基本用水量的部分实行超价收费，为更好地决策，自来水公司随机抽取了部分用户的用水量数据，并绘制了如图不完整的统计图(每组数据包括右端点但不包括左端点)，请你根据统计图解答下列问题：用户用水量频数直方图用户用水量扇形统计图（1）此次抽样调查的样本容量是________；（2）补全频数分布直方图，求扇形图中“15吨～20吨”部分的圆心角的度数；（3）如果自来水公司将基本用水量定为每户25吨，那么该地区6万用户中约有多少用户的用水全部享受基本价格．2．对某校高一年级学生参加社区服务次数进行统计，随机抽取M名学生作为样本，得到这M名学生参加社区服务的次数.根据此数据作出了频数与频率的统计表和频率分布直方图如下：分组频数频率[10，15）100.25[15，20）25n[20，25）mp[25，30]20.05合计M1（1）求出表中M，p及图中a的值；（2）若该校高一学生有360人，试估计该校高一学生参加社区服务的次数在区间[10，15）内的人数.3．为了解某市家庭用电量的情况，该市统计局调查了100户居民去年一年的月均用电量，发现他们的用电量都在50kW·h至350kW·h之间，进行适当分组后，画出频率分布直方图如图所示．（I）求a的值；（Ⅱ）求被调查用户中，用电量大于250kW·h的户数；（III）为了既满足居民的基本用电需求，又提高能源的利用效率，市政府计划采用阶梯定价，希望使80%的居民缴费在第一档（费用最低），请给出第一档用电标准（单位：kW·h）的建议，并简要说明理由．4．某微商对某种产品每天的销售量（单位：件）进行为期一个月（按30天计算）的数据统计分析，并得出了这种产品该月销售量的频率分布直方图（如图）.假设用直方图中所得的频率来估计相应事件发生的概率.（Ⅰ）求频率分布直方图中的值；（Ⅱ）若微商在一天的销售量不低于25件，则上级商企会给微商赠送100元的礼金，估计该微商在一年内获得的礼金数.考法二总体百分数的估计【例2】已知一组数据为第百分位数是（）A． B． C． D．【一隅三反】1．数据1，2，3，4，5，6的60%分位数为（）A．3 B．3.5 C．3.6 D．42．已知从某中学高一年级随机抽取20名女生，测量她们的身高（单位：cm），把这20名同学的身高数据从小到大排序：148.0149.0150.0152.0154.0154.0155.0155.5157.0157.0158.0159.0161.0162.0163.0164.0165.0170.0171.0172.0则这组数据的第75百分位数是（）A．163.0 B．164.0 C．163.5 D．164.53．“幸福感指数”是指某个人主观地评价他对自己目前生活状态的满意程度的指标，常用区间内的一个数来表示，该数越接近10表示满意程度越高，现随机抽取6位小区居号，他们的幸福感指数分别为5，6，7，8，9，5，则这组数据的第80百分位数是（）A．7 B．7.5 C．8 D．9考法三总体集中趋势的估计【例3】因受新冠疫情的影响，某企业的产品销售面临困难.为了改变现状，该企业欲借助电商和“网红”直播带货扩大销售.受网红效应的影响，产品销售取得了较好的效果.现将该企业一段时间内网上销售的日销售额统计整理后绘制成如下图所示的频率分布直方图：请根据图中所给数据，求：（1）实数a的值；（2）该企业网上销售日销售额的众数和中位数；（3）该企业在统计时间段内网上销售日销售额的平均数.【一隅三反】1．如图，从参加数学竞赛的学生中抽出60名，将其成绩（均为整数）整理后画出的频率分布直方图如图，观察图形，回答下列问题：（Ⅰ）79.5-89.5这一组的频数、频率分别是多少？（Ⅱ）估计这次数学竞赛的平均成绩是多少？（Ⅲ）估计这次数学竞赛的及格率（60分及以上为及格）.2．某校从参加高一年级期末考试的学生中抽出60名学生，将其物理成绩（均为整数）分成六段后画出如下频率分布直方图．观察图形的信息，回答下列问题：（1）估计这次考试的众数m与中位数n（结果保留一位小数）；（2）估计这次考试的优秀率（80分及以上为及格）和平均分．3．某城市户居民的月平均用水量（单位：吨），以分组的频率分布直方图如图.（1）求直方图中的值；并估计出月平均用水量的众数.（2）求月平均用水量的中位数及平均数；（3）在月平均用水量为，，，的四组用户中，用分层抽样的方法抽取22户居民，则应在这一组的用户中抽取多少户？（4）在第（3）问抽取的样本中，从这两组中再随机抽取2户，深入调查，则所抽取的两户不是来自同一个组的概率是多少？考点四总体离散程度的估计【例4】如图所示的四组数据，标准差最小的是（）A． B．C． D．【一隅三反】1．已知数据的平均数为，方差为，则，，…，的平均数和方差分别为（）A．和 B．和C．和 D．和2．一组数据中的每一个数据都乘以3，再减去50，得到一组新数据，若求得新的数据的平均数是1.6，方差是3.6，则原来数据的平均数和方差分别是（）A．17.2，3.6 B．54.8，3.6 C．17.2，0.4 D．54.8，0.43．已知样本数据由小到大依次为2，3，3，7，，，12，13．7，18．3，20，且样本的中位数为10.5，若使该样本的方差最小，则，的值分别为（）．A．10，11 B．10.5，9.5 C．10.4，10.6 D．10.5，10.54．为了测试小班教学的实践效果，刘老师对、两班的学生进行了阶段测试，并将所得成绩统计如图所示；记本次测试中，、两班学生的平均成绩分别为，，、两班学生成绩的方差分别为，，则观察茎叶图可知（）A．， B．，C．， D．，《9.2用样本估计总体》考点讲解答案解析考法一总体取值规律的估计【例1】某市2021年4月1日~4月30日对空气污染指数的监测数据如下(主要污染物为可吸入颗粒物):61，76，70，56，81，91，92，91，75，81，88，67，101，103，95，91，77，86，81，83，82，82，64，79，86，85，75，71，49，45，（1）完成频率分布表；（2）作出频率分布直方图；（3）根据国家标准，污染指数在0~50之间时，空气质量为优；在51~100之间时，空间质量为良；在101~150之间时，空间质量为轻微污染；在151~200之间时，空间质量为轻度污染.请你依据所给数据和上述标准，对该市的空气质量给出一个简短评价.【答案】（1）频率分布表见解析；（2）频率分布直方图见解析；（3）该市空气质量有待进一步改善.【解析】（1）频率分布表分组频数频率分组频数频率[41，51)2[81，91)10[51，61)1[91，101)5[61，71)4[101，111)2[71，81)6（2）频率分布直方图（3）答对下述两条中的一条即可:①该市一个月中空气污染指数有2天处于优的水平，占当月天数的；有26天处于良的水平，占当月天数的；处于优或良的天数共有28天，占当月天数的.说明该市空气质量基本良好.②轻微污染有2天，占当月天数的.污染指数在80以上的接近轻微污染的天数有15天，加上处于轻微污染的天数，共有17天，占当月天数的，超过50%.说明该市空气质量有待进一步改善.【一隅三反】1．某市为提倡节约用水，准备实行自来水“阶梯计费”方式，用户用水不超出基本用水量的部分享受基本价格，超出基本用水量的部分实行超价收费，为更好地决策，自来水公司随机抽取了部分用户的用水量数据，并绘制了如图不完整的统计图(每组数据包括右端点但不包括左端点)，请你根据统计图解答下列问题：用户用水量频数直方图用户用水量扇形统计图（1）此次抽样调查的样本容量是________；（2）补全频数分布直方图，求扇形图中“15吨～20吨”部分的圆心角的度数；（3）如果自来水公司将基本用水量定为每户25吨，那么该地区6万用户中约有多少用户的用水全部享受基本价格．【答案】（1）答案见解析；（2）答案见解析，79.2°；（3）4.08万户.【解析】（1）；（2）用水15～20吨的户数为100－10－36－24－8＝22(户)，“15～20吨”部分的圆心角的度数为（3）(万户)所以该地区6万用户中约有4.08万户的用水全部享受基本价格．2．对某校高一年级学生参加社区服务次数进行统计，随机抽取M名学生作为样本，得到这M名学生参加社区服务的次数.根据此数据作出了频数与频率的统计表和频率分布直方图如下：分组频数频率[10，15）100.25[15，20）25n[20，25）mp[25，30]20.05合计M1（1）求出表中M，p及图中a的值；（2）若该校高一学生有360人，试估计该校高一学生参加社区服务的次数在区间[10，15）内的人数.【答案】（1）M＝40，，；（2）90人.【解析】（1）由[10，15）内的频数是10，频率是0.25知，，所以M＝40.因为频数之和为40，所以10＋25＋m＋2＝40，m＝3..因为a是对应分组[15，20）的频率与组距的商，所以.（2）因为该校高一学生有360人，分组[10，15）内的频率是0.25，所以估计该校高一学生参加社区服务的次数在此区间内的人数为90人.3．为了解某市家庭用电量的情况，该市统计局调查了100户居民去年一年的月均用电量，发现他们的用电量都在50kW·h至350kW·h之间，进行适当分组后，画出频率分布直方图如图所示．（I）求a的值；（Ⅱ）求被调查用户中，用电量大于250kW·h的户数；（III）为了既满足居民的基本用电需求，又提高能源的利用效率，市政府计划采用阶梯定价，希望使80%的居民缴费在第一档（费用最低），请给出第一档用电标准（单位：kW·h）的建议，并简要说明理由．【答案】（I）；（Ⅱ）；（III）kW·h.【解析】（1）因为，所以；（2）根据频率分布直方图可知：“用电量大于250kW·h”的频率为，所以用电量大于250kW·h的户数为：，故用电量大于250kW·h有户；（3）因为前三组的频率和为：，前四组的频率之和为，所以频率为时对应的数据在第四组，所以第一档用电标准为：kW·h.故第一档用电标准为kW·h.4．某微商对某种产品每天的销售量（单位：件）进行为期一个月（按30天计算）的数据统计分析，并得出了这种产品该月销售量的频率分布直方图（如图）.假设用直方图中所得的频率来估计相应事件发生的概率.（Ⅰ）求频率分布直方图中的值；（Ⅱ）若微商在一天的销售量不低于25件，则上级商企会给微商赠送100元的礼金，估计该微商在一年内获得的礼金数.【答案】（Ⅰ）0.02；（Ⅱ）10800元.【解析】（Ⅰ）由题意可得．（Ⅱ）根据频率分布直方图知，日销售量不低于25件的天数为：（天），一个月可获得的礼金数为（元），依此可以估计该微商一年内获得的礼金数为元.【点睛】本题考查频率的求法，考查频率分布直方图的性质等基础知识，考查样本估计总体以及运算求解能力、数形结合思想的应用，是基础题．考法二总体百分数的估计【例2】已知一组数据为第百分位数是（）A． B． C． D．【答案】C【解析】因为有6位数，所以，所以第百分位数是第三个数6.故选：C【一隅三反】1．数据1，2，3，4，5，6的60%分位数为（）A．3 B．3.5 C．3.6 D．4【答案】D【解析】由660%=3.6，所以数据1，2，3，4，5，6的60%分位数是第四个数，故选：D2．已知从某中学高一年级随机抽取20名女生，测量她们的身高（单位：cm），把这20名同学的身高数据从小到大排序：148.0149.0150.0152.0154.0154.0155.0155.5157.0157.0158.0159.0161.0162.0163.0164.0165.0170.0171.0172.0则这组数据的第75百分位数是（）A．163.0 B．164.0 C．163.5 D．164.5【答案】A【解析】因为这组数据从小到大已排序，所以这组数据的第75百分位数为第个数，即为163.0故选：A3．“幸福感指数”是指某个人主观地评价他对自己目前生活状态的满意程度的指标，常用区间内的一个数来表示，该数越接近10表示满意程度越高，现随机抽取6位小区居号，他们的幸福感指数分别为5，6，7，8，9，5，则这组数据的第80百分位数是（）A．7 B．7.5 C．8 D．9【答案】C【解析】该组数据从小到大排列为：5，5，6，7，8，9，且，故选：C.考法三总体集中趋势的估计【例3】因受新冠疫情的影响，某企业的产品销售面临困难.为了改变现状，该企业欲借助电商和“网红”直播带货扩大销售.受网红效应的影响，产品销售取得了较好的效果.现将该企业一段时间内网上销售的日销售额统计整理后绘制成如下图所示的频率分布直方图：请根据图中所给数据，求：（1）实数a的值；（2）该企业网上销售日销售额的众数和中位数；（3）该企业在统计时间段内网上销售日销售额的平均数.【答案】（1）0.012；（2）55万元，57万元；（3）57.4万元.【解析】（1）由频率分布直方图知：，解得：；（2）用频率分布直方图中最高矩形所在区间的中点值作为众数的近似值，得众数为55万元；因为第一个小矩形的面积为0.08，第二个小矩形的面积为0.12，第三个小矩形的面积为0.16，，设第四个小矩形中底边的一部分长为x，则，解得，所以中位数为万元；（3）依题意，日销售额的平均值为：所以该企业在统计时间段内网上销售日销售额的平均数为57.4万元.【一隅三反】1．如图，从参加数学竞赛的学生中抽出60名，将其成绩（均为整数）整理后画出的频率分布直方图如图，观察图形，回答下列问题：（Ⅰ）79.5-89.5这一组的频数、频率分别是多少？（Ⅱ）估计这次数学竞赛的平均成绩是多少？（Ⅲ）估计这次数学竞赛的及格率（60分及以上为及格）.【答案】（Ⅰ）；；（Ⅱ）；（Ⅲ）.【解析】（Ⅰ）这一组的频率为，这一组的频数为；（Ⅱ）估计这次数学竞赛的平均成绩是：.故估计这次数学竞赛的平均成绩是.（Ⅲ）估计这次环保知识竞赛的及格率（分及以上为及格）.2．某校从参加高一年级期末考试的学生中抽出60名学生，将其物理成绩（均为整数）分成六段后画出如下频率分布直方图．观察图形的信息，回答下列问题：（1）估计这次考试的众数m与中位数n（结果保留一位小数）；（2）估计这次考试的优秀率（80分及以上为及格）和平均分．【答案】（1），；（2）优秀率，平均分71分.【解析】（1）众数是最高小矩形中点的横坐标，所以众数为（分）前三个小矩形面积为，∵中位数要平分直方图的面积，∴.（2）依题意，80及以上的分数所在的第五、六组，频率和为，所以，抽样学生成绩的合格率是，利用组中值估算抽样学生的平均分：，估计这次考试的平均分是71分.3．某城市户居民的月平均用水量（单位：吨），以分组的频率分布直方图如图.（1）求直方图中的值；并估计出月平均用水量的众数.（2）求月平均用水量的中位数及平均数；（3）在月平均用水量为，，，的四组用户中，用分层抽样的方法抽取22户居民，则应在这一组的用户中抽取多少户？（4）在第（3）问抽取的样本中，从这两组中再随机抽取2户，深入调查，则所抽取的两户不是来自同一个组的概率是多少？【答案】(1)x=0.075，7；(2)6.4，5.36；(3)2；（4）.【解析】(1)根据频率和为1，得2×(0.02+0.095+0.11+0.125+x+0.05+0.025)=1，解得x=0.075；由图可知,最高矩形的数据组为[6,8)，所以众数为；(2)[2,6)内的频率之和为(0.02+0.095+0.11)×2=0.45；设中位数为y，则0.45+(y−6)×0.125=0.5，解得y=6.4，∴中位数为6.4；平均数为(3)月平均用电量为的用户在四组用户中所占的比例为，∴月平均用电量在的用户中应抽取11×=2(户).（4）月平均用电量在的用户中应抽取11×=1(户)，月平均用电量在的用户设为A、B,月平均用电量在的用户设为C，从，这两组中随机抽取2户共有，3种情况，其中，抽取的两户不是来自同一个组的有，2种情况，所以，抽取的两户不是来自同一个组的概率为.考点四总体离散程度的估计【例4】如图所示的四组数据，标准差最小的是（）A． B．C． D．【答案】A【解析】对A，，，对B，，，对C，，，对D，，，所以标准差最小的是A.故选：A.【一隅三反】1．已知数据的平均数为，方差为，则，，…，的平均数和方差分别为（）A．和 B．和C．和 D．和【答案】B【解析】因为数据的平均数为，方差为，所以，，…，的平均数和方差分别为和故选：B2．一组数据中的每一个数据都乘以3，再减去50，得到一组新数据，若求得新的数据的平均数是1.6，方差是3.6，则原来数据的平均数和方差分别是（）A．17.2，3.6 B．54.8，3.6 C．17.2，0.4 D．54.8，0.4【答案】C【解析】设一组数据为，平均数为，方差为，所得一组新数据为，平均数为，方差为，则，，所以，所以，所以，由题意得，所以，所以所以，所以，所以.故选：C.3．（已知样本数据由小到大依次为2，3，3，7，，，12，13．7，18．3，20，且样本的中位数为10.5，若使该样本的方差最小，则，的值分别为（）．A．10，11 B．10.5，9.5 C．10.4，10.6 D．10.5，10.5【答案】D【解析】由于样本共有10个值，且中间两个数为，，依题意，得，即．因为平均数为，所以要使该样本的方差最小，只需最小．又，所以当时，最小，此时．故选：D4．为了测试小班教学的实践效果，刘老师对、两班的学生进行了阶段测试，并将所得成绩统计如图所示；记本次测试中，、两班学生的平均成绩分别为，，、两班学生成绩的方差分别为，，则观察茎叶图可知（）A．， B．，C．， D．，【答案】B【解析】根据茎叶图中数据的分布可得，班学生的分数多集中在之间，班学生的分数集中在之间，所以.相对两个班级的成绩分布来说，班学生的分数更加集中，班学生的分数更加离散，所以.故选：B《9.2用样本估计总体（精练）》同步练习【题组一总体取值规律的估计】1．为了解学生课外阅读的情况，随机统计了名学生的课外阅读时间，所得数据都在中，其频率分布直方图如图所示．已知在中的频数为100，则的值是（）A．500 B．1000 C．10000 D．250002．某工厂对一批产品进行了抽样检测.下图是根据抽样检测后的产品净重（单位：克）数据绘制的频率分布直方图，其中产品净重的范围是[90，100]，样品数据分组为，，，，.已知样本中产品净重小于94克的个数为36，则样本中净重大于或等于92克并且小于98克的产品的个数是（）A． B． C． D．3．为了解学生在“弘扬传统文化，品读经典文学”月的阅读情况，现从全校学生中随机抽取了部分学生，并统计了他们的阅读时间（阅读时间），分组整理数据得到如图所示的频率分布直方图.则图中a的值为（）A．0.028 B．0.030 C．0.280 D．0.3004．在容量为50的样本中，某组的频率为，则该组样本的频数为（）．A．9 B．10 C．18 D．205．“水是生命之源”，但是据科学界统计可用淡水资源仅占地球储水总量的，全世界近人口受到水荒的威胁．某市为了鼓励居民节约用水，计划调整居民生活用水收费方案，拟确定一个合理的月用水量标准（吨）：一位居民的月用水量不超过的部分按平价收费，超出的部分按议价收费．为了了解居民用水情况，通过抽样，获得了某年100位居民每人的月均用水量（单位：吨），将数据按照分成9组，制成了如图所示的频率分布直方图．（1）求直方图中的值；（2）设该市有60万居民，估计全市居民中月均用水量不低于2.5吨的人数，并说明理由；（3）若该市政府希望使的居民每月的用水不按议价收费，估计的值，并说明理由．6．随机观测生产某种零件的某工厂名工人的日加工零件数（单位：件），获得数据如下：、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、，根据上述数据得到样本的频率分布表如下：分组频数频率（1）确定样本频率分布表中、、和的值；（2）根据上述频率分布表，画出样本频率分布直方图；（3）根据样本频率分布直方图，求在该厂任取人，至少有人的日加工零件数落在区间的概率.【题组二总体百分数的估计】1．一组数据12，34，15，24，39，25，31，48，32，36，36，37，42，50的第25，75百分位数分别是______、________．2．若一组数据为82，81，79，78，95，88，92，84，则该组数据的75%分位数是______.3．数据10，9，8，7，6，5，4，3，2，1的25%分位数、80%分位数分别是_______；4．树人中学高一1班23名男生身高的样本数据（单位：）按从小到大排序，排序结果如下：164，165，165，166，167，168，168，168，170，170，170，172，172，172，173，173，173，173，174，175，175，175，176.由数据估计树人中学高一年级男生身高的第50百分位数为________.5．某校从高一新生中随机抽取了一个容量为20的身高样本，数据从小到大排序如下（单位：）：152，155，158，164，164，165，165，165，166，167，168，168，169，170，170，170，171，，174，175，若样本数据的第90百分位数是173，则的值为________.6．下列数据是30个不同国家中每10000名患某种疾病的男性的死亡人数：1.53.25.25.65.67.18.79.210.011.213.213.713.814.515.215.716.518.819.223.9272728.928.933.133.834.840.641.650.1这组数据的第70百分位数是_______________.7．某同学在7天内每天参加体育锻炼的时间(单位：分钟)如下65，65，66，74，73，81，80，则它们的第三四分位数是________.8．已知一组数据，且这组数据的平均数为，则的值为__________.【题组三总体集中趋势的估计】1．名工人某天生产同一零件，生产的件数是、、、、、、、、、.设其平均数为，中位数为，众数为，则有（）A． B． C． D．2．2021年宿州市某中学参加高中数学建模(应用)能力测试，高一年级有60人，高二年级有40人.高一的平均成绩为70分，高二的平均成绩为80分，则参加测试的100名学生的平均成绩为（）A．72分 B．73分 C．74分 D．75分3．根据气象学上的标准，连续天的日平均气温低于即为入冬．现有甲、乙、丙、丁四地连续天的日平均温度的记录数据（记录数据都是正整数）：①甲地：个数据的中位数为，众数为；②乙地：个数据的平均数为，极差为；③丙地：个数据的平均数为，中位数为；④丁地：个数据的平均数为，方差小于．则肯定进入冬季的地区是（）A．甲地 B．乙地 C．丙地 D．丁地4．某组数据的茎叶图如图所示，其众数为，中位数为，平均数为，则（）A． B．C． D．5．已知一组数据的频率分布直方图如图所示，则众数、中位数、平均数分别为（）A． B． C． D．6．甲、乙两名学生的六次数学测验成绩(百分制)的茎叶图如图所示．①甲同学成绩的中位数大于乙同学成绩的中位数；②甲同学的平均分比乙同学的平均分高；③甲同学的平均分比乙同学的平均分低；④甲同学成绩的方差小于乙同学成绩的方差．上面说法正确的是()A．③④ B．①②④C．②④ D．①③④7．从某食品厂生产的面包中抽取个，测量这些面包的一项质量指标值，由测量结果得如下频数分布表：质量指标值分组频数（1）在相应位置上作出这些数据的频率分布直方图；（2）估计这种面包质量指标值的平均数（同一组中的数据用该组区间的中点值作代表）；（3）根据以上抽样调查数据，能否认为该食品厂生产的这种面包符合“质量指标值不低于的面包至少要占全部面包的规定？”8．某学校对男、女学生进行有关“习惯与礼貌”的评分，记录如下：男：54，70，57，46，90，58，63，46，85，73，55，66，38，44，56，75，35，58，94，58；女：77，55，69，58，76，70，77，90，51，53，63，64，69，83，83，65，100，75.（1）分别计算男、女学生得分的平均数；（2）分别计算男、女学生得分的四分位数.9．某地教育部门对某学校学生的阅读素养进行检测，在该校随机抽取了名学生进行检测，实行百分制，现将所得的成绩按照，分成6组，并根据所得数据作出了如下所示的频数与频率的统计表和频率分布直方图.分组频数频率250.30100.10合计1（1）求出表中及图中的值；（2）估计该校学生阅读素养的成绩中位数以及平均数.10．某班的全体学生共有人，参加数学测试(百分制)成绩的频率分布直方图如图，数据的分组依次为：，，，.依此表可以估计这一次测试成绩的中位数为分.（1）求表中，的值；（2）请估计该班本次数学测试的平均分.10．某城市交通部门为了对该城市共享单车加强监管，随机选取了100人就该城市共享单车的推行情况进行问卷调查，并将问卷中的这100人根据其满意度评分值（百分制）按照分成5组，制成如图所示频率分直方图.（1）求图中的值；（2）求这组数据的平均数和中位数；（3）已知满意度评分值在内的男生数与女生数的比为3：2，若在满意度评分值为的人中随机抽取2人进行座谈，求2人均为男生的概率.【题组四总体离散程度的估计】1．已知数据的中位数为，众数为，平均数为，方差为，则下列说法中，错误的是（）A．数据的中位数为B．数据的众数为C．数据的平均数为D．数据的方差为2．数据，，…，分别是某学校教职工个人的年收入，设这个数据的中位数为，平均数为，方差为，如果再加上世界首富的年收入数据，则对这个数据，下列说法正确的是（）A．年收入平均数增大，中位数可能不变，方差变大B．年收入平均数增大，中位数一定变大，方差变大C．年收入平均数增大，中位数可能不变，方差可能不变D．年收入平均数可能不变，中位数可能不变，方差可能不变3.是，，…，的平均值，为，，…的平均值，为，，…的平均值，则下列各式正确的是（）A． B．C． D．4．（多选）国家为了实现经济“双循环”大战略，对东部和西部地区的多个县市的某一类经济指标进行调查，得出东部，西部两组数据的茎叶图如图所示，则下列结论正确的是（）A．西部的平均数为13.3B．东部的极差小于西部的极差C．东部的30%分位数是11.6D．东部的众数比西部的众数小5．（多选）在某地区某高传染性病毒流行期间，为了建立指标显示疫情已受控制，以便向该地区居民显示可以过正常生活，有公共卫生专家建议的指标是“连续7天每天新增感染人数不超过5人”，根据连续7天的新增病例数计算，下列各项中，一定符合上述指标的是（）A．平均数B．标准差C．平均数且极差小于或等于D．众数等于且极差小于或等于6．（多选）甲､乙两支田径队队员的体重(单位：kg)信息如下：甲队体重的平均数为60，方差为200，乙队体重的平均数为68，方差为300，又已知甲､乙两队的队员人数之比为1：3，则关于甲､乙两队全部队员的体重的平均数和方差的说法正确的是（）A．平均数为67 B．平均数为66 C．方差为296 D．方差为2877．（多选）已知一组数据，，，，的平均数和方差均为2，则下列叙述正确的有（）A．，，，，的平均数为3B．，，，，的方差为3C．，，，，的方差为4D．，，，，的方差为88.某城区举行“奥运知识”演讲比赛，中学组根据初赛成绩在高一、高二年级中分别选出10名同学参加决赛，这些选手的决赛成绩如图所示.团体成绩众数极差平均数方差高一年级2239.6高二年级85.727.8（1）请把上边的表格填写完整.（2）考虑平均数与方差，你认为哪个年级的团体成绩更好些?9．某学校高一名学生参加数学竞赛，成绩均在分到分之间.学生成绩的频率分布直方图如图：（1）估计这名学生分数的中位数与平均数；（精确到）（2）某老师抽取了名学生的分数：，已知这个分数的平均数，标准差，若剔除其中的和两个分数，求剩余个分数的平均数与标准差.（参考公式：）（3）该学校有座构造相同教学楼，各教学楼高均为米，东西长均为米，南北宽均为米.其中号教学楼在号教学楼的正南且楼距为米，号教学楼在号教学楼的正东且楼距为米.现有种型号的考试屏蔽仪，它们的信号覆盖半径依次为米，每个售价相应依次为元.若屏蔽仪可在地下及地上任意位置安装且每个安装费用均为元，求让各教学楼均被屏蔽仪信号完全覆盖的最小花费.（参考数据：）11．为庆祝国庆节，某中学团委组织了“歌颂祖国，爱我中华”知识竞赛，从参加考试的学生中抽出60名，将其成绩(成绩均为整数)分成[40，50)，[50，60)，…，[90，100]六组，并画出如图所示的部分频率分布直方图，观察图形，回答下列问题：（1）求第四组的频率，并补全这个频率分布直方图；（2）请根据频率分布直方图，估计样本的中位数和方差.（每组数据以区间的中点值为代表）.《9.2用样本估计总体（精练）》同步练习答案解析【题组一总体取值规律的估计】1．为了解学生课外阅读的情况，随机统计了名学生的课外阅读时间，所得数据都在中，其频率分布直方图如图所示．已知在中的频数为100，则的值是（）A．500 B．1000 C．10000 D．25000【答案】B【解析】由图可得在中的频率为，所以，故选：B.2．某工厂对一批产品进行了抽样检测.下图是根据抽样检测后的产品净重（单位：克）数据绘制的频率分布直方图，其中产品净重的范围是[90，100]，样品数据分组为，，，，.已知样本中产品净重小于94克的个数为36，则样本中净重大于或等于92克并且小于98克的产品的个数是（）A． B． C． D．【答案】D【解析】，，，对应的频率分别为：设样本容量为因为净重小于94克的个数为36，所以，解得则样本中净重大于或等于92克并且小于98克的产品的个数为故选：D3．为了解学生在“弘扬传统文化，品读经典文学”月的阅读情况，现从全校学生中随机抽取了部分学生，并统计了他们的阅读时间（阅读时间），分组整理数据得到如图所示的频率分布直方图.则图中a的值为（）A．0.028 B．0.030 C．0.280 D．0.300【答案】A【解析】由得.故选：A4．在容量为50的样本中，某组的频率为，则该组样本的频数为（）．A．9 B．10 C．18 D．20【答案】A【解析】由题意，频数＝样本容量×频率．故选：A5．“水是生命之源”，但是据科学界统计可用淡水资源仅占地球储水总量的，全世界近人口受到水荒的威胁．某市为了鼓励居民节约用水，计划调整居民生活用水收费方案，拟确定一个合理的月用水量标准（吨）：一位居民的月用水量不超过的部分按平价收费，超出的部分按议价收费．为了了解居民用水情况，通过抽样，获得了某年100位居民每人的月均用水量（单位：吨），将数据按照分成9组，制成了如图所示的频率分布直方图．（1）求直方图中的值；（2）设该市有60万居民，估计全市居民中月均用水量不低于2.5吨的人数，并说明理由；（3）若该市政府希望使的居民每月的用水不按议价收费，估计的值，并说明理由．【答案】(1)；(2)万；(3)吨.【解析】（1）由概率统计相关知识，可知各组频率之和的值为即频率分布直方图各小矩形面积之和为解得：（2）由图可知，不低于吨人数所占百分比为全市月均用水量不低于吨的人数为：（万）（3）由（2）可知，月均用水量小于吨的居民人数所占百分比为：即的居民月均用水量小于吨，同理，的居民月均用水量小于吨故假设月均用水量平均分布，则（吨）6．随机观测生产某种零件的某工厂名工人的日加工零件数（单位：件），获得数据如下：、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、，根据上述数据得到样本的频率分布表如下：分组频数频率（1）确定样本频率分布表中、、和的值；（2）根据上述频率分布表，画出样本频率分布直方图；（3）根据样本频率分布直方图，求在该厂任取人，至少有人的日加工零件数落在区间的概率.【答案】（1），，，；（2）详见解析；（3）.【解析】（1）由题意知，，，；（2）样本频率分布直方图为：（3）根据样本频率分布直方图，每人的日加工零件数落在区间的概率，设所取的人中，日加工零件数落在区间的人数为，则，，所以人中，至少有人的日加工零件数落在区间的概率约为.【题组二总体百分数的估计】1．一组数据12，34，15，24，39，25，31，48，32，36，36，37，42，50的第25，75百分位数分别是______、________．【答案】2539【解析】把数据从小到大排序为12，15，24，25，31，32，34，36，36，37，39，42，48，50共14个数，14×25%＝3.5，14×75%＝10.5，所以第25，75百分位数分别是第4，11项数据，即是25，39．故答案为：25，39．2．若一组数据为82，81，79，78，95，88，92，84，则该组数据的75%分位数是___________.【答案】90【解析】由题可得一共有8个数据，则该组数据的75%分位数在第6位和第7位之间，为.故答案为：90.3．数据10，9，8，7，6，5，4，3，2，1的25%分位数、80%分位数分别是_______；【答案】3；8.5【解析】将数据10，9，8，7，6，5，4，3，2，1从小到大排序得：1，2，3，4，5，6，7，8，9，10，当时，，分位数为3.当时，，分位数为.故答案为：3；8.5.4．树人中学高一1班23名男生身高的样本数据（单位：）按从小到大排序，排序结果如下：164，165，165，166，167，168，168，168，170，170，170，172，172，172，173，173，173，173，174，175，175，175，176.由数据估计树人中学高一年级男生身高的第50百分位数为________.【答案】172【解析】由，将样本数据从小到大排列，第12个数字为172，所以可估计树人中学高一年级男生身高的第50百分位数为172.故答案为：172.5．某校从高一新生中随机抽取了一个容量为20的身高样本，数据从小到大排序如下（单位：）：152，155，158，164，164，165，165，165，166，167，168，168，169，170，170，170，171，，174，175，若样本数据的第90百分位数是173，则的值为________.【答案】172【解析】百分位数的意义就在于，我们可以了解的某一个样本在整个样本集合中所处的位置，本题第90百分位数是173，所以，故答案为:1726．下列数据是30个不同国家中每10000名患某种疾病的男性的死亡人数：1.53.25.25.65.67.18.79.210.011.213.213.713.814.515.215.716.518.819.223.9272728.928.933.133.834.840.641.650.1这组数据的第70百分位数是_______________.【答案】27.【解析】按从小到大排列此30个数据，指数，则第70百分位数是，故答案为：27.7．某同学在7天内每天参加体育锻炼的时间(单位：分钟)如下65，65，66，74，73，81，80，则它们的第三四分位数是________.【答案】80【解析】从小到大排序为65，65，66，73，74，80，81，第三四分位数即75%分位数，7×75%＝5.25，所以第三四分位数是第6项数据80.故答案为：808．已知一组数据，且这组数据的平均数为，则的值为__________.【答案】【解析】由题意，解得故答案为：【题组三总体集中趋势的估计】1．名工人某天生产同一零件，生产的件数是、、、、、、、、、.设其平均数为，中位数为，众数为，则有（）A． B． C． D．【答案】B【解析】将生产的件数由小到大排列为：、、、、、、、、、，，中位数为，众数为.因此，.故选：B.2．2021年宿州市某中学参加高中数学建模(应用)能力测试，高一年级有60人，高二年级有40人.高一的平均成绩为70分，高二的平均成绩为80分，则参加测试的100名学生的平均成绩为（）A．72分 B．73分 C．74分 D．75分【答案】C【解析】由题意可得，参加测试的100名学生的平均成绩为.故选：C.3．根据气象学上的标准，连续天的日平均气温低于即为入冬．现有甲、乙、丙、丁四地连续天的日平均温度的记录数据（记录数据都是正整数）：①甲地：个数据的中位数为，众数为；②乙地：个数据的平均数为，极差为；③丙地：个数据的平均数为，中位数为；④丁地：个数据的平均数为，方差小于．则肯定进入冬季的地区是（）A．甲地 B．乙地 C．丙地 D．丁地【答案】D【解析】①甲地：个数据的中位数为，众数为；则这个数据可能为，，，，；即连续天的日平均气温不是都低于，所以甲地不一定入冬，故A错；②乙地：个数据的平均数为，极差为；则这个数据可能为，，，，；即连续天的日平均气温不是都低于，所以乙地不一定入冬，故B错；③丙地：个数据的平均数为，中位数为；则这个数据可能为，，，，；即连续天的日平均气温不是都低于，所以丙地不一定入冬，故C错；④丁地：个数据的平均数为，方差小于．如有数据大于等于，则方差必大于等于，不满足题意，因此丁地这续天的日平均气温都低于，所以丁地一定入冬，故D正确；故选：D.4．某组数据的茎叶图如图所示，其众数为，中位数为，平均数为，则（）A． B．C． D．【答案】A【解析】由图中数据可得，所以故选：A5．已知一组数据的频率分布直方图如图所示，则众数、中位数、平均数分别为（）A． B． C． D．【答案】B【解析】由频率分布直方图可知，众数为；由，所以面积相等的分界线为65，即中位数为65；平均数为．故选：B．6．甲、乙两名学生的六次数学测验成绩(百分制)的茎叶图如图所示．①甲同学成绩的中位数大于乙同学成绩的中位数；②甲同学的平均分比乙同学的平均分高；③甲同学的平均分比乙同学的平均分低；④甲同学成绩的方差小于乙同学成绩的方差．上面说法正确的是()A．③④ B．①②④C．②④ D．①③④【答案】A【解析】由茎叶图知甲同学的成绩为72,76,80,82,86,90；乙同学的成绩为69,78,87,88,92,96.故甲同学成绩的中位数小于乙同学成绩的中位数，①错；计算得甲同学的平均分为81，乙同学的平均分为85，故甲同学的平均分比乙同学的平均分低，因此②错、③对；计算得甲同学成绩的方差小于乙同学成绩的方差，故④对．7．从某食品厂生产的面包中抽取个，测量这些面包的一项质量指标值，由测量结果得如下频数分布表：质量指标值分组频数（1）在相应位置上作出这些数据的频率分布直方图；（2）估计这种面包质量指标值的平均数（同一组中的数据用该组区间的中点值作代表）；（3）根据以上抽样调查数据，能否认为该食品厂生产的这种面包符合“质量指标值不低于的面包至少要占全部面包的规定？”【答案】（1）见解析；（2）；（3）见解析.【解析】（1）画图.（2）质量指标值的样本平均数为.所以这种面包质量指标值的平均数的估计值为.（3）质量指标值不低于的面包所占比例的估计值为，由于该估计值大于，故可以认为该食品厂生产的这种面包符合“质量指标值不低于的面包至少要占全部面包的规定.”8．某学校对男、女学生进行有关“习惯与礼貌”的评分，记录如下：男：54，70，57，46，90，58，63，46，85，73，55，66，38，44，56，75，35，58，94，58；女：77，55，69，58，76，70，77，90，51，53，63，64，69，83，83，65，100，75.（1）分别计算男、女学生得分的平均数；（2）分别计算男、女学生得分的四分位数.【答案】（1）男生平均数为61.05，女生平均数为71；（2）男生得分的四分位数：50，58，71.5；女生得分的四分位数：63，69.5，77.【解析】（1）男学生的平均数为，女学生得分的平均数.（2）男、女学生得分从小到大排列为男：35，38，44，46，46，54，55，56，57，58，58，58，63，66，70，73，75，85，90，94；女：51，53，55，58，63，64，65，69，69，70，75，76，77，77，83，83，90，100；男、女学生得分的四分位数如下表25%分位数50%分位数75%分位数男生505871.5女生6369.5779．某地教育部门对某学校学生的阅读素养进行检测，在该校随机抽取了名学生进行检测，实行百分制，现将所得的成绩按照，分成6组，并根据所得数据作出了如下所示的频数与频率的统计表和频率分布直方图.分组频数频率250.30100.10合计1（1）求出表中及图中的值；（2）估计该校学生阅读素养的成绩中位数以及平均数.【答案】（1）；（2）中位数是，平均数是68.5.【解析】（1）由频率统计表可知：，由频率分布直方图可知：，解得（2）∵前两组的频率和为，前三组的频率和为∴中位数在内，设中位数为，则，解得，即中位数为.平均数为∴估计该校学生阅读素养的成绩中位数是，平均数是68.5.10．某班的全体学生共有人，参加数学测试(百分制)成绩的频率分布直方图如图，数据的分组依次为：，，，.依此表可以估计这一次测试成绩的中位数为分.（1）求表中，的值；（2）请估计该班本次数学测试的平均分.【答案】（1），；（2）分.【解析】（1）由中位数为70可得，，解得.又，解得.（2）由频率分布直方图可知，每组的频率依次为：，，，，则该班本次数学测试的平均分的估计值为:分.10．某城市交通部门为了对该城市共享单车加强监管，随机选取了100人就该城市共享单车的推行情况进行问卷调查，并将问卷中的这100人根据其满意度评分值（百分制）按照分成5组，制成如图所示频率分直方图.（1）求图中的值；（2）求这组数据的平均数和中位数；（3）已知满意度评分值在内的男生数与女生数的比为3：2，若在满意度评分值为的人中随机抽取2人进行座谈，求2人均为男生的概率.【答案】（1）；（2）平均数为，中位数设为；（3）.【解析】（1）由，解得.（2）这组数据的平均数为.中位数设为，则，解得.（3）满意度评分值在内有人，其中男生3人，女生2人.记为，记“满意度评分值为的人中随机抽取2人进行座谈，恰有1名女生”为事件，从5人中抽取2人有：，，，，，，，，，所以总基本事件个数为10个，包含的基本事件个数为3个，所以.【题组四总体离散程度的估计】1．已知数据的中位数为，众数为，平均数为，方差为，则下列说法中，错误的是（）A．数据的中位数为B．数据的众数为C．数据的平均数为D．数据的方差为【答案】D【解析】若数据的中位数为，众数为，平均数为,则由性质知数据的中位数,众数，平均数均变为原来的2倍，故正确；则由方差的性质知数据的方差为4p,故D错误；故选D．2．数据，，…，分别是某学校教职工个人的年收入，设这个数据的中位数为，平均数为，方差为，如果再加上世界首富的年收入数据，则对这个数据，下列说法正确的是（）A．年收入平均数增大，中位数可能不变，方差变大B．年收入平均数增大，中位数一定变大，方差变大C．年收入平均数增大，中位数可能不变，方差可能不变D．年收入平均数可能不变，中位数可能不变，方差可能不变【答案】A【解析】因为数据，，…，分别是某学校教职工个人的年收入，所以世界首富的收入会远远大于，，…，，故这个数据的平均数会大大增加；而中位数为数据中间的数或中间两个数的平均数，所以中位数有可能不变；因为世界首富的收入远远大于，，…，，所以数据的集中程度受的影响很大，数据离散程度加大，所以方差变大.故选：A3.是，，…，的平均值，为，，…的平均值，为，，…的平均值，则下列各式正确的是（）A． B．C． D．【答案】A【解析】因为为，，…的平均值，为，，…的平均值,所以，，则有.故选：A.4．（多选）国家为了实现经济“双循环”大战略，对东部和西部地区的多个县市的某一类经济指标进行调查，得出东部，西部两组数据的茎叶图如图所示，则下列结论正确的是（）A．西部的平均数为13.3B．东部的极差小于西部的极差C．东部的30%分位数是11.6D．东部的众数比西部的众数小【答案】ACD【解析】对于A：即西部的平均数为13.3，故A正确；对于B：东部的最大值为，最小值为，极差为；西部的最大值为，最小值为，极差为；故B错误；对于C：东部共13个数据，,即从小到大的第4个数为东部的30%分位数，所以东部的30%分位数是11.6，故C正确；对于D：东部的众数为，西部的众数为和均大于，故D正确；故选：ACD5．（多选）在某地区某高传染性病毒流行期间，为了建立指标显示疫情