高中数学必修二《第六章 平面向量及应用》复习教案

高中数学必修二《第六章平面向量及应用》复习教案《6.1平面向量的概念》复习教案【基础知识拓展】1．向量与数量的区别(1)向量被赋予了几何意义，即向量是具有方向的，而数量是一个代数量，没有方向；(2)数量可以比较大小，而向量无法比较大小，即使|a|>|b|，也不能说a>b；(3)0与0不同.0表示数量，但0表示零向量，其中|0|＝0.2．向量与有向线段区别：从定义上看，向量有大小和方向两要素，而有向线段有起点、方向、终点三要素，因此这是两个不同的量．联系：向量可以用有向线段表示，但这并不是说向量就是有向线段．3．共线向量与相等向量(1)共线向量的定义指的是非零向量的共线问题；(2)共线向量中的向量所在的直线可以平行，也可以重合，与平面几何中的“共线”“平行”不同；(3)相等向量一定是共线向量，但共线向量不一定是相等向量．共线向量仅仅指向量的方向相同或相反；相等向量指大小和方向均相同．特别注意：(1)判断两个向量的关系：一要判断大小，二要判断方向，如遇上零向量，必须注意其方向的任意性．(2)定义中的零向量和单位向量都是只限制大小，没有确定方向．我们规定零向量的方向是任意的；单位向量有无数个，它们大小相等，但方向不一定相同．【跟踪训练】1．判一判(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)两个向量能比较大小．()(2)向量的模是一个正实数．()(3)单位向量的模都相等．()(4)向量eq\o(AB,\s\up16(→))与向量eq\o(BA,\s\up16(→))是相等向量．()答案(1)×(2)×(3)√(4)×2．做一做(1)下列说法正确的是()A．若|a|＞|b|，则a＞bB．若|a|＝|b|，则a＝bC．若a＝b，则a与b共线D．若a≠b，则a一定不与b共线(2)如图，四边形ABCD中，eq\o(AB,\s\up16(→))＝eq\o(DC,\s\up16(→))，则必有()A.eq\o(AD,\s\up16(→))＝eq\o(CB,\s\up16(→))B.eq\o(OA,\s\up16(→))＝eq\o(OC,\s\up16(→))C.eq\o(AC,\s\up16(→))＝eq\o(DB,\s\up16(→))D.eq\o(DO,\s\up16(→))＝eq\o(OB,\s\up16(→))(3)△ABC是等腰三角形，则两腰上的向量eq\o(AB,\s\up16(→))与eq\o(AC,\s\up16(→))的关系是________．(4)如图所示，四边形ABCD为正方形，△BCE为等腰直角三角形，①图中与eq\o(AB,\s\up16(→))共线的向量有________；②图中与eq\o(AB,\s\up16(→))相等的向量有________；③图中与eq\o(AB,\s\up16(→))模相等的向量有________；④图中与eq\o(EC,\s\up16(→))相等的向量有________．答案(1)C(2)D(3)模相等(4)①eq\o(DC,\s\up16(→))，eq\o(CD,\s\up16(→))，eq\o(BE,\s\up16(→))，eq\o(EB,\s\up16(→))，eq\o(AE,\s\up16(→))，eq\o(EA,\s\up16(→))，eq\o(BA,\s\up16(→))②eq\o(DC,\s\up16(→))，eq\o(BE,\s\up16(→))③eq\o(DC,\s\up16(→))，eq\o(CD,\s\up16(→))，eq\o(BA,\s\up16(→))，eq\o(BE,\s\up16(→))，eq\o(EB,\s\up16(→))，eq\o(DA,\s\up16(→))，eq\o(AD,\s\up16(→))，eq\o(CB,\s\up16(→))，eq\o(BC,\s\up16(→))④eq\o(BD,\s\up16(→))【核心素养形成】题型一向量的有关概念例1下列说法正确的是()A．数量可以比较大小，向量也可以比较大小B．方向不同的向量不能比较大小，但同向的可以比较大小C．向量的大小与方向有关D．向量的模可以比较大小[解析]A项，不管向量的方向如何，它们都不能比较大小，不正确；B项，方向相同的向量也不能比较大小，不正确；C项，向量的大小即向量的模，指的是有向线段的长度，与方向无关，不正确；D项，向量的模是一个数量，可以比较大小，正确．[答案]D1.解决与向量概念有关问题的方法解决与向量概念有关题目的关键是突出向量的核心——方向和长度，如：共线向量的核心是方向相同或相反，长度没有限制；相等向量的核心是方向相同且长度相等；单位向量的核心是方向没有限制，但长度都是一个单位长度；零向量的核心是方向没有限制，长度是0；规定零向量与任意向量共线．只有紧紧抓住概念的核心才能顺利解决与向量概念有关的问题．【跟踪训练】给出下列命题：①若向量a＝eq\o(AB,\s\up16(→))，b＝eq\o(BA,\s\up16(→))，则|a|＝|b|；②若a是单位向量，b也是单位向量，则a与b的方向相同或相反；③若向量eq\o(AB,\s\up16(→))是单位向量，则eq\o(BA,\s\up16(→))也是单位向量；④以坐标平面上的定点A为起点，所有单位向量的终点P的集合是以A为圆心的单位圆．其中正确的个数是________．答案3解析①正确，由于|a|＝|eq\o(AB,\s\up16(→))|＝AB，|b|＝|eq\o(BA,\s\up16(→))|＝BA＝AB，因此有|a|＝|b|.②不正确，由单位向量的定义知，凡长度为1个单位长度的向量均称为单位向量，但是对方向没有任何要求，因此说法②不正确．③正确，因为|eq\o(AB,\s\up16(→))|＝|eq\o(BA,\s\up16(→))|，所以当eq\o(AB,\s\up16(→))是单位向量时，eq\o(BA,\s\up16(→))也是单位向量．④正确，由于向量|eq\o(AP,\s\up16(→))|＝1，所以点P是以点A为圆心的单位圆上的一点．反过来，若点P是以点A为圆心，1为半径的单位圆上的任一点，则由于|eq\o(AP,\s\up16(→))|＝1，所以向量eq\o(AP,\s\up16(→))是单位向量，因此说法④正确.题型二向量的几何表示例2某人从A点出发向东走了5米到达B点，然后改变方向按东北方向走了10eq\r(2)米到达C点，到达C点后又改变方向向西走了10米到达D点．(1)作出向量eq\o(AB,\s\up16(→))，eq\o(BC,\s\up16(→))，eq\o(CD,\s\up16(→))；(2)求eq\o(AD,\s\up16(→))的模．[解](1)作出向量eq\o(AB,\s\up16(→))，eq\o(BC,\s\up16(→))，eq\o(CD,\s\up16(→))如图所示．(2)由题意得，△BCD是直角三角形，其中∠BDC＝90°，BC＝10eq\r(2)米，CD＝10米，所以BD＝10米．△ABD是直角三角形，其中∠ABD＝90°，AB＝5米，BD＝10米，所以AD＝eq\r(52＋102)＝5eq\r(5)(米)．所以|eq\o(AD,\s\up16(→))|＝5eq\r(5)米．2.向量的两种表示方法(1)几何表示法：先确定向量的起点，再确定向量的方向，最后根据向量的长度确定向量的终点．(2)字母表示法：为了便于运算可用字母a，b，c，…表示，为了联系平面几何中的图形性质，可用表示向量的有向线段的起点与终点表示向量，如eq\o(AB,\s\up16(→))，eq\o(CD,\s\up16(→))，eq\o(EF,\s\up16(→))等．【跟踪训练】某次军事演习中，红方一支装甲分队为完成对蓝军的穿插包围，先从A处出发向西迂回了100km到达B地，然后又改变方向向北偏西40°走了200km到达C地，最后又改变方向，向东突进100km到达D处，完成了对蓝军的包围．(1)作出向量eq\o(AB,\s\up16(→))，eq\o(BC,\s\up16(→))，eq\o(CD,\s\up16(→))；(2)求|eq\o(AD,\s\up16(→))|.解(1)向量eq\o(AB,\s\up16(→))，eq\o(BC,\s\up16(→))，eq\o(CD,\s\up16(→))，如图所示．(2)由题意，易知eq\o(AB,\s\up16(→))与eq\o(CD,\s\up16(→))方向相反，故eq\o(AB,\s\up16(→))与eq\o(CD,\s\up16(→))共线．又|eq\o(AB,\s\up16(→))|＝|eq\o(CD,\s\up16(→))|，∴在四边形ABCD中，AB綊CD，∴四边形ABCD为平行四边形．∴eq\o(AD,\s\up16(→))＝eq\o(BC,\s\up16(→))，|eq\o(AD,\s\up16(→))|＝|eq\o(BC,\s\up16(→))|＝200km.题型三相等向量与共线向量例3(1)①若|a|＝|b|，则a＝b；②若A，B，C，D是不共线的四点，则eq\o(AB,\s\up16(→))＝eq\o(DC,\s\up16(→))是四边形ABCD是平行四边形的充要条件；③若a＝b，b＝c，则a＝c；④两向量a，b相等的充要条件是eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(|a|＝|b|，,a∥b；))⑤|a|＝|b|是向量a＝b的必要不充分条件；⑥eq\o(AB,\s\up16(→))＝Ceq\o(D,\s\up16(→))的充要条件是A与C重合、B与D重合．其中真命题的个数是________．(2)如图所示，O是正六边形ABCDEF的中心，且eq\o(OA,\s\up16(→))＝a，eq\o(OB,\s\up16(→))＝b，eq\o(OC,\s\up16(→))＝c.①与a的长度相等、方向相反的向量有哪些？②与a共线的向量有哪些？③请一一列出与a，b，c相等的向量．[解析](1)①不正确．两个向量的长度相等，但它们的方向不一定相同，因此由|a|＝|b|推不出a＝b.②正确．∵eq\o(AB,\s\up16(→))＝eq\o(DC,\s\up16(→))，∴|eq\o(AB,\s\up16(→))|＝|eq\o(DC,\s\up16(→))|且eq\o(AB,\s\up16(→))∥eq\o(DC,\s\up16(→)).又∵A，B，C，D是不共线的四点，∴四边形ABCD是平行四边形．反之，若四边形ABCD是平行四边形，则AB綊DC，且eq\o(AB,\s\up16(→))与eq\o(DC,\s\up16(→))方向相同，因此eq\o(AB,\s\up16(→))＝eq\o(DC,\s\up16(→)).③正确．∵a＝b，∴a，b的长度相等且方向相同．又∵b＝c，∴b，c的长度相等且方向相同，∴a，c的长度相等且方向相同．故a＝c.④不正确．当a∥b，但方向相反时，即使|a|＝|b|，也不能得到a＝b，故eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(|a|＝|b|，,a∥b))不是a＝b的充要条件．⑤正确．这是因为|a|＝|b|eq\o(\s\up7(⇒),\s\do5(/))a＝b，但a＝b⇒|a|＝|b|，所以|a|＝|b|是a＝b的必要不充分条件．⑥不正确．这是因为eq\o(AB,\s\up16(→))＝eq\o(CD,\s\up16(→))时，应有|eq\o(AB,\s\up16(→))|＝|eq\o(CD,\s\up16(→))|及由A到B与C到D的方向相同，但不一定要有A与C重合、B与D重合．(2)①与a的长度相等、方向相反的向量有eq\o(OD,\s\up16(→))，eq\o(BC,\s\up16(→))，eq\o(AO,\s\up16(→))，eq\o(FE,\s\up16(→)).②与a共线的向量有eq\o(EF,\s\up16(→))，eq\o(BC,\s\up16(→))，eq\o(OD,\s\up16(→))，eq\o(FE,\s\up16(→))，eq\o(CB,\s\up16(→))，eq\o(DO,\s\up16(→))，eq\o(AO,\s\up16(→))，eq\o(DA,\s\up16(→))，eq\o(AD,\s\up16(→)).③与a相等的向量有eq\o(EF,\s\up16(→))，eq\o(DO,\s\up16(→))，eq\o(CB,\s\up16(→))；与b相等的向量有eq\o(DC,\s\up16(→))，eq\o(EO,\s\up16(→))，eq\o(FA,\s\up16(→))；与c相等的向量有eq\o(FO,\s\up16(→))，eq\o(ED,\s\up16(→))，eq\o(AB,\s\up16(→)).[答案](1)3(2)见解析[结论探究]本例(2)条件不变，试写出与向量eq\o(BC,\s\up16(→))相等的向量．解eq\o(OD,\s\up16(→))，eq\o(AO,\s\up16(→))，eq\o(FE,\s\up16(→)).[综合探究]在本例(2)中，若|a|＝1，则正六边形的边长如何？解因为ABCDEF是正六边形，|a|＝1，所以正六边形的边长也是1.3.共线向量与相等向量的区别与联系相等向量是指大小相等且方向相同的向量．共线向量是方向相同或相反的非零向量，共线向量也叫平行向量．相等向量一定是共线向量，而共线向量不一定相等．向量相等具备传递性，而向量的共线不具备传递性．【跟踪训练】(1)下列命题：①两个有共同起点且相等的向量，其终点可能不同；②若非零向量eq\o(AB,\s\up16(→))与eq\o(CD,\s\up16(→))是共线向量，则A，B，C，D四点共线；③若a∥b且b∥c，则a∥c；④若四边形ABCD是平行四边形，则一定有eq\o(AB,\s\up16(→))＝eq\o(DC,\s\up16(→)).其中真命题的个数为()A．0B．1C．2D．3(2)如图所示，四边形ABCD与ABDE是平行四边形．①找出与向量eq\o(AB,\s\up16(→))共线的向量；②找出与向量eq\o(AB,\s\up16(→))相等的向量．答案(1)B(2)见解析解析(1)相等向量起点相同时，终点必相同，故①错误；向量的共线不同于点共线，故当eq\o(AB,\s\up16(→))与eq\o(CD,\s\up16(→))共线时，四点A，B，C，D不一定共线，即②错误；当b＝0时，a与c没有任何关系，故③错误；eq\o(AB,\s\up16(→))与eq\o(DC,\s\up16(→))同向且等长，则eq\o(AB,\s\up16(→))＝eq\o(DC,\s\up16(→))，故④正确．(2)①依据图形可知，eq\o(DC,\s\up16(→))，eq\o(ED,\s\up16(→))，eq\o(EC,\s\up16(→))与eq\o(AB,\s\up16(→))方向相同，eq\o(BA,\s\up16(→))，eq\o(CD,\s\up16(→))，eq\o(DE,\s\up16(→))，eq\o(CE,\s\up16(→))与eq\o(AB,\s\up16(→))方向相反，所以与向量eq\o(AB,\s\up16(→))共线的向量为eq\o(BA,\s\up16(→))，eq\o(CD,\s\up16(→))，eq\o(DC,\s\up16(→))，eq\o(ED,\s\up16(→))，eq\o(DE,\s\up16(→))，eq\o(EC,\s\up16(→))，eq\o(CE,\s\up16(→)).②由四边形ABCD与ABDE是平行四边形，知eq\o(DC,\s\up16(→))，eq\o(ED,\s\up16(→))与eq\o(AB,\s\up16(→))长度相等且方向相同，所以与向量eq\o(AB,\s\up16(→))相等的向量为eq\o(DC,\s\up16(→))和eq\o(ED,\s\up16(→)).【课堂达标训练】1．有下列物理量：①质量；②速度；③力；④加速度；⑤路程；⑥功．其中，不是向量的个数是()A．1B．2C．3D．4答案C解析速度、力、加速度这3个物理量是向量，它们都有大小和方向，其余的不是向量．2．在下列判断中，正确的是()①长度为0的向量都是零向量；②零向量的方向都是相同的；③单位向量的长度都相等；④单位向量都是同方向；⑤任意向量与零向量都共线．A．①②③ B．②③④C．①②⑤ D．①③⑤答案D解析由定义知①正确，②由于零向量的方向是任意的，故两个零向量的方向是否相同不确定，故不正确．显然③⑤正确，④不正确．3．如图，在圆O中，向量eq\o(OB,\s\up16(→))，eq\o(OC,\s\up16(→))，eq\o(AO,\s\up16(→))是()A．有相同起点的向量B．共线向量C．模相等的向量D．相等的向量答案C解析由图可知，三向量方向不同，但长度相等．4．如图所示，以1×2方格纸中的格点(各线段的交点)为始点和终点的向量中，与eq\o(AF,\s\up16(→))相等的向量有________．答案eq\o(BE,\s\up16(→))，eq\o(CD,\s\up16(→))解析因为各方格均为正方形，则有eq\o(BE,\s\up16(→))＝eq\o(CD,\s\up16(→))＝eq\o(AF,\s\up16(→)).5．如图，O是正方形ABCD的中心．(1)写出与向量eq\o(AB,\s\up16(→))相等的向量；(2)写出与eq\o(OA,\s\up16(→))的模相等的向量．解(1)与向量eq\o(AB,\s\up16(→))相等的向量是eq\o(DC,\s\up16(→)).(2)与eq\o(OA,\s\up16(→))的模相等的向量有：eq\o(OB,\s\up16(→))，eq\o(OC,\s\up16(→))，eq\o(OD,\s\up16(→))，eq\o(BO,\s\up16(→))，eq\o(CO,\s\up16(→))，eq\o(DO,\s\up16(→))，eq\o(AO,\s\up16(→)).《6.2平面向量的运算》复习教案6.2.1向量的加法运算【基础知识拓展】1．准确理解向量加法的三角形法则和平行四边形法则(1)两个法则的使用条件不同三角形法则适用于任意两个非零向量求和，平行四边形法则只适用于两个不共线的向量求和．(2)当两个向量不共线时，两个法则是一致的．如图所示：eq\o(AC,\s\up16(→))＝eq\o(AB,\s\up16(→))＋eq\o(AD,\s\up16(→))(平行四边形法则)，又因为eq\o(BC,\s\up16(→))＝eq\o(AD,\s\up16(→))，所以eq\o(AC,\s\up16(→))＝eq\o(AB,\s\up16(→))＋eq\o(BC,\s\up16(→))(三角形法则)．(3)在使用三角形法则时，应注意“首尾连接”，这个方法可推广到多个向量相加的情形；在使用平行四边形法则时，应注意范围的限制及和向量与两向量起点相同．2．向量a＋b与非零向量a，b的模及方向的关系(1)当a与b不共线时，a＋b的方向与a，b的方向都不相同，且|a＋b|＜|a|＋|b|.(2)当a与b同向时，a＋b，a，b的方向相同，且|a＋b|＝|a|＋|b|.(3)当a与b反向时，若|a|≥|b|，则a＋b的方向与a的方向相同，且|a＋b|＝|a|－|b|.若|a|＜|b|，则a＋b的方向与b的方向相同，且|a＋b|＝|b|－|a|.【跟踪训练】1．判一判(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)两个向量相加结果可能是一个数量．()(2)两个向量相加实际上就是两个向量的模相加．()(3)任意两个向量的和向量不可能与这两个向量共线．()答案(1)×(2)×(3)×2．做一做(1)对任意四边形ABCD，下列式子中不等于eq\o(BC,\s\up16(→))的是()A.eq\o(BA,\s\up16(→))＋eq\o(AC,\s\up16(→))B.eq\o(BD,\s\up16(→))＋eq\o(DA,\s\up16(→))＋eq\o(AC,\s\up16(→))C.eq\o(AB,\s\up16(→))＋eq\o(BD,\s\up16(→))＋eq\o(DC,\s\up16(→))D.eq\o(DC,\s\up16(→))＋eq\o(BA,\s\up16(→))＋eq\o(AD,\s\up16(→))(2)如图所示，在正六边形ABCDEF中，若AB＝1，则|eq\o(AB,\s\up16(→))＋eq\o(FE,\s\up16(→))＋eq\o(CD,\s\up16(→))|等于()A．1 B．2C.eq\r(3) D.eq\r(5)(3)如图所示，已知向量a，b，c不共线，求作向量a＋b＋c.答案(1)C(2)B(3)解：a，b，c不共线中隐含着a，b，c均为非零向量，因为零向量与任一向量都是共线的．利用三角形法则或平行四边形法则作图．解法一(三角形法则)：如图①所示，作eq\o(AB,\s\up16(→))＝a，eq\o(BC,\s\up16(→))＝b，则eq\o(AC,\s\up16(→))＝a＋b，再作eq\o(CD,\s\up16(→))＝c，则eq\o(AD,\s\up16(→))＝eq\o(AC,\s\up16(→))＋eq\o(CD,\s\up16(→))＝(a＋b)＋c，即eq\o(AD,\s\up16(→))＝a＋b＋c.解法二(平行四边形法则)：因为a，b，c不共线，如图②所示．在平面内任取一点O，作eq\o(OA,\s\up16(→))＝a，eq\o(OB,\s\up16(→))＝b，以eq\o(OA,\s\up16(→))，eq\o(OB,\s\up16(→))为邻边作▱OADB，则对角线eq\o(OD,\s\up16(→))＝a＋b，再作eq\o(OC,\s\up16(→))＝c，以eq\o(OC,\s\up16(→))，eq\o(OD,\s\up16(→))为邻边作▱OCED.则eq\o(OE,\s\up16(→))＝a＋b＋c.【核心素养形成】题型一向量的三角形和平行四边形法则例1如下图中(1)，(2)所示，试作出向量a与b的和．[解]如下图中(1)，(2)所示，首先作eq\o(OA,\s\up16(→))＝a，然后作eq\o(AB,\s\up16(→))＝b，则eq\o(OB,\s\up16(→))＝a＋b.1、(1)应用三角形法则求向量和的基本步骤①平移向量使之“首尾相接”，即第一个向量的终点与第二个向量的起点重合．②以第一个向量的起点为起点，并以第二个向量的终点为终点的向量，即为两个向量的和．(2)应用平行四边形法则求向量和的基本步骤①平移两个不共线的向量使之共起点．②以这两个已知向量为邻边作平行四边形．③平行四边形中，与两向量共起点的对角线表示的向量为两个向量的和．【跟踪训练】(1)如图，已知a，b，求作a＋b；(2)如图所示，已知向量a，b，c，试作出向量a＋b＋c.解(1)如图①，②所示．首先作eq\o(AB,\s\up16(→))＝a，然后作eq\o(BC,\s\up16(→))＝b，则eq\o(AC,\s\up16(→))＝a＋b.(2)作法一：如图1所示，首先在平面内任取一点O，作向量eq\o(OA,\s\up16(→))＝a，接着作向量eq\o(AB,\s\up16(→))＝b，则得向量eq\o(OB,\s\up16(→))＝a＋b；然后作向量eq\o(BC,\s\up16(→))＝c，则向量eq\o(OC,\s\up16(→))＝(a＋b)＋c＝a＋b＋c即为所求．作法二：如图2所示，首先在平面内任取一点O，作向量eq\o(OA,\s\up16(→))＝a，eq\o(OB,\s\up16(→))＝b，eq\o(OC,\s\up16(→))＝c，以OA，OB为邻边作▱OADB，连接OD，则eq\o(OD,\s\up16(→))＝eq\o(OA,\s\up16(→))＋eq\o(OB,\s\up16(→))＝a＋b.再以OD，OC为邻边作▱ODEC，连接OE，则eq\o(OE,\s\up16(→))＝eq\o(OD,\s\up16(→))＋eq\o(OC,\s\up16(→))＝a＋b＋c即为所求.题型二向量的加法运算例2如图，在△ABC中，O为重心，D，E，F分别是BC，AC，AB的中点，化简下列三式：(1)eq\o(BC,\s\up16(→))＋eq\o(CE,\s\up16(→))＋eq\o(EA,\s\up16(→))；(2)eq\o(OE,\s\up16(→))＋eq\o(AB,\s\up16(→))＋eq\o(EA,\s\up16(→))；(3)eq\o(AB,\s\up16(→))＋eq\o(FE,\s\up16(→))＋eq\o(DC,\s\up16(→)).[解](1)eq\o(BC,\s\up16(→))＋eq\o(CE,\s\up16(→))＋eq\o(EA,\s\up16(→))＝eq\o(BE,\s\up16(→))＋eq\o(EA,\s\up16(→))＝eq\o(BA,\s\up16(→)).(2)eq\o(OE,\s\up16(→))＋eq\o(AB,\s\up16(→))＋eq\o(EA,\s\up16(→))＝(eq\o(OE,\s\up16(→))＋eq\o(EA,\s\up16(→)))＋eq\o(AB,\s\up16(→))＝eq\o(OA,\s\up16(→))＋eq\o(AB,\s\up16(→))＝eq\o(OB,\s\up16(→)).(3)eq\o(AB,\s\up16(→))＋eq\o(FE,\s\up16(→))＋eq\o(DC,\s\up16(→))＝eq\o(AB,\s\up16(→))＋eq\o(BD,\s\up16(→))＋eq\o(DC,\s\up16(→))＝eq\o(AD,\s\up16(→))＋eq\o(DC,\s\up16(→))＝eq\o(AC,\s\up16(→)).2、解决向量加法运算时应关注的两点(1)可以利用向量的几何表示，画出图形进行化简或计算．(2)要灵活应用向量加法运算律，注意各向量的起、终点及向量起、终点字母的排列顺序，特别注意勿将0写成0.【跟踪训练】化简或计算：(1)eq\o(CD,\s\up16(→))＋eq\o(BC,\s\up16(→))＋eq\o(AB,\s\up16(→))；(2)eq\o(AB,\s\up16(→))＋eq\o(DF,\s\up16(→))＋eq\o(CD,\s\up16(→))＋eq\o(BC,\s\up16(→))＋eq\o(FA,\s\up16(→)).解(1)eq\o(CD,\s\up16(→))＋eq\o(BC,\s\up16(→))＋eq\o(AB,\s\up16(→))＝(eq\o(AB,\s\up16(→))＋eq\o(BC,\s\up16(→)))＋eq\o(CD,\s\up16(→))＝eq\o(AC,\s\up16(→))＋eq\o(CD,\s\up16(→))＝eq\o(AD,\s\up16(→)).(2)eq\o(AB,\s\up16(→))＋eq\o(DF,\s\up16(→))＋eq\o(CD,\s\up16(→))＋eq\o(BC,\s\up16(→))＋eq\o(FA,\s\up16(→))＝(eq\o(AB,\s\up16(→))＋eq\o(BC,\s\up16(→)))＋(eq\o(CD,\s\up16(→))＋eq\o(DF,\s\up16(→)))＋eq\o(FA,\s\up16(→))＝eq\o(AC,\s\up16(→))＋eq\o(CF,\s\up16(→))＋eq\o(FA,\s\up16(→))＝eq\o(AF,\s\up16(→))＋eq\o(FA,\s\up16(→))＝0.题型三利用向量加法证明几何问题例3已知四边形ABCD的对角线AC与BD相交于点O，且eq\o(AO,\s\up16(→))＝eq\o(OC,\s\up16(→))，eq\o(DO,\s\up16(→))＝eq\o(OB,\s\up16(→)).求证：四边形ABCD是平行四边形．[证明]eq\o(AB,\s\up16(→))＝eq\o(AO,\s\up16(→))＋eq\o(OB,\s\up16(→))，eq\o(DC,\s\up16(→))＝eq\o(DO,\s\up16(→))＋eq\o(OC,\s\up16(→))，又∵eq\o(AO,\s\up16(→))＝eq\o(OC,\s\up16(→))，eq\o(OB,\s\up16(→))＝eq\o(DO,\s\up16(→))，∴eq\o(AB,\s\up16(→))＝eq\o(DC,\s\up16(→))，∴AB＝DC且AB∥DC，∴四边形ABCD为平行四边形．3、怎样用向量方法证明几何问题用向量方法证明几何问题，首先要把几何问题中的边转化成相应的向量，通过向量的运算及其几何意义得到向量间的关系，然后再还原成几何问题．【跟踪训练】如图所示，在平行四边形ABCD的对角线BD的反向延长线及延长线上取点E，F，使BE＝DF，求证：四边形AECF是平行四边形．证明∵eq\o(AE,\s\up16(→))＝eq\o(AB,\s\up16(→))＋eq\o(BE,\s\up16(→))，eq\o(FC,\s\up16(→))＝eq\o(FD,\s\up16(→))＋eq\o(DC,\s\up16(→))，又eq\o(AB,\s\up16(→))＝eq\o(DC,\s\up16(→))，eq\o(FD,\s\up16(→))＝eq\o(BE,\s\up16(→))，∴eq\o(AE,\s\up16(→))＝eq\o(FC,\s\up16(→))，即AE与FC平行且相等．∴四边形AECF是平行四边形.题型四向量加法的实际应用例4在水流速度为向东10km/h的河中，如果要使船实际航行的速度的大小为10eq\r(3)km/h，方向垂直于对岸渡河，求船行驶速度的大小与方向．[解]如图所示，eq\o(OA,\s\up16(→))表示水速，eq\o(OB,\s\up16(→))表示船实际航行的速度，eq\o(OC,\s\up16(→))表示船速，由eq\o(OB,\s\up16(→))＝eq\o(OC,\s\up16(→))＋eq\o(OA,\s\up16(→))，易知|eq\o(BC,\s\up16(→))|＝|eq\o(OA,\s\up16(→))|＝10，又∠OBC＝90°，所以|eq\o(OC,\s\up16(→))|＝20，所以∠BOC＝30°，所以∠AOC＝120°，即船行驶速度为20km/h，方向与水流方向的夹角为120°.4、应用向量解决平面几何和物理学问题的基本步骤【跟踪训练】在某地抗震救灾中，一救护车从A地按北偏东35°的方向行驶800km到达B地接到受伤人员，然后又从B地按南偏东55°的方向行驶800km送往C地医院，求这辆救护车行驶的路程及两次位移的和．解如图所示，设eq\o(AB,\s\up16(→))，eq\o(BC,\s\up16(→))分别表示救护车从A地按北偏东35°方向行驶800km，从B地按南偏东55°的方向行驶800km.则救护车行驶的路程指的是|eq\o(AB,\s\up16(→))|＋|eq\o(BC,\s\up16(→))|；两次行驶的位移的和指的是eq\o(AB,\s\up16(→))＋eq\o(BC,\s\up16(→))＝eq\o(AC,\s\up16(→)).依题意，有|eq\o(AB,\s\up16(→))|＋|eq\o(BC,\s\up16(→))|＝800＋800＝1600(km)．又α＝35°，β＝55°，∠ABC＝35°＋55°＝90°.所以|eq\o(AC,\s\up16(→))|＝eq\r(\a\vs4\al(|\o(AB,\s\up16(→))|2＋|\o(BC,\s\up16(→))|2))＝eq\r(8002＋8002)＝800eq\r(2)(km)．其中∠BAC＝45°，所以方向为北偏东35°＋45°＝80°.从而救护车行驶的路程是1600km，两次行驶的位移和的大小为800eq\r(2)km，方向为北偏东80°.【课堂达标训练】1．下列等式错误的是()A．a＋0＝0＋a＝aB.eq\o(AB,\s\up16(→))＋eq\o(BC,\s\up16(→))＋eq\o(AC,\s\up16(→))＝0C.eq\o(AB,\s\up16(→))＋eq\o(BA,\s\up16(→))＝0D.eq\o(CA,\s\up16(→))＋eq\o(AC,\s\up16(→))＝eq\o(MN,\s\up16(→))＋eq\o(NP,\s\up16(→))＋eq\o(PM,\s\up16(→))答案B解析对于A，根据0加任何向量都等于原向量，且向量加法满足交换律，所以A正确；对于B，根据向量的三角形加法运算可得eq\o(AB,\s\up16(→))＋eq\o(BC,\s\up16(→))＝eq\o(AC,\s\up16(→))，故原式等于eq\o(AC,\s\up16(→))＋eq\o(AC,\s\up16(→))≠0.故B错误；对于C，可知eq\o(AB,\s\up16(→))与eq\o(BA,\s\up16(→))共线且方向相反，所以eq\o(AB,\s\up16(→))＋eq\o(BA,\s\up16(→))＝0，所以C正确；对于D，可知eq\o(MN,\s\up16(→))＋eq\o(NP,\s\up16(→))＋eq\o(PM,\s\up16(→))＝eq\o(MP,\s\up16(→))＋eq\o(PM,\s\up16(→))＝0，又eq\o(CA,\s\up16(→))＋eq\o(AC,\s\up16(→))＝0，可知D正确．故选B.2．设P是△ABC所在平面内一点，且eq\o(BC,\s\up16(→))＋eq\o(BA,\s\up16(→))＝eq\o(BP,\s\up16(→))＋eq\o(BP,\s\up16(→))，则()A.eq\o(PA,\s\up16(→))＋eq\o(PB,\s\up16(→))＋eq\o(PC,\s\up16(→))＝0 B.eq\o(PA,\s\up16(→))＋eq\o(PB,\s\up16(→))＝0C.eq\o(PC,\s\up16(→))＋eq\o(PA,\s\up16(→))＝0 D.eq\o(PB,\s\up16(→))＋eq\o(PC,\s\up16(→))＝0答案C解析因为P是△ABC所在平面内一点，eq\o(BC,\s\up16(→))＋eq\o(BA,\s\up16(→))＝eq\o(BP,\s\up16(→))＋eq\o(BP,\s\up16(→))，所以P是AC的中点，所以eq\o(PC,\s\up16(→))＋eq\o(PA,\s\up16(→))＝0.3．若a等于“向东走8km”，b等于“向北走8km”，则|a＋b|＝________，a＋b的方向是________．答案8eq\r(2)km北偏东45°解析如图所示，设eq\o(AB,\s\up16(→))＝a，eq\o(BC,\s\up16(→))＝b，则eq\o(AC,\s\up16(→))＝a＋b，且△ABC为等腰直角三角形．则|eq\o(AC,\s\up16(→))|＝8eq\r(2)，∠BAC＝45°.4．在菱形ABCD中，∠DAB＝60°，|Aeq\o(B,\s\up16(→))|＝1，则|eq\o(BC,\s\up16(→))＋eq\o(CD,\s\up16(→))|＝________.答案1解析由题意知△ABD为等边三角形，∴|eq\o(BC,\s\up16(→))＋eq\o(CD,\s\up16(→))|＝|eq\o(BD,\s\up16(→))|＝1.5．如图，在正六边形OABCDE中，eq\o(OA,\s\up16(→))＝a，eq\o(OE,\s\up16(→))＝b，试用向量a，b将eq\o(OB,\s\up16(→))，eq\o(OC,\s\up16(→))，eq\o(OD,\s\up16(→))表示出来．解设正六边形的中心为P，则四边形ABPO，AOEP，ABCP，OPDE均为平行四边形，由向量加法的平行四边形法则得eq\o(OP,\s\up16(→))＝eq\o(OA,\s\up16(→))＋eq\o(OE,\s\up16(→))＝a＋b.∵eq\o(AB,\s\up16(→))＝eq\o(OP,\s\up16(→))＝eq\o(ED,\s\up16(→))，∴eq\o(AB,\s\up16(→))＝eq\o(ED,\s\up16(→))＝a＋b.在△AOB中，根据向量加法的三角形法则得eq\o(OB,\s\up16(→))＝eq\o(OA,\s\up16(→))＋eq\o(AB,\s\up16(→))＝a＋a＋b.同理，在△OBC中，eq\o(OC,\s\up16(→))＝eq\o(OB,\s\up16(→))＋eq\o(BC,\s\up16(→))＝a＋a＋b＋b，在△OED中，eq\o(OD,\s\up16(→))＝eq\o(OE,\s\up16(→))＋eq\o(ED,\s\up16(→))＝eq\o(OE,\s\up16(→))＋eq\o(OP,\s\up16(→))＝b＋a＋b.6.2.2向量的减法运算【基础知识拓展】1．向量减法的运算法则(1)向量的减法运算与向量的加法运算是互逆运算，可以灵活转化，减去一个向量等于加上这个向量的相反向量．(2)两个向量的差也可用平行四边形法则及三角形法则求得：用平行四边形法则时，如图，两个向量也是共起点，和向量是起点与它们的起点重合的那条对角线(eq\o(AC,\s\up16(→)))，而差向量是另一条对角线(eq\o(DB,\s\up16(→)))，方向是从减向量指向被减向量；用三角形法则时，把减向量与被减向量的起点相重合，则差向量是从减向量的终点指向被减向量的终点．2．非零向量a，b的差向量的三角不等式(1)当a，b不共线时，如图①，作eq\o(OA,\s\up16(→))＝a，eq\o(OB,\s\up16(→))＝b，则a－b＝eq\o(OA,\s\up16(→))－eq\o(OB,\s\up16(→))＝eq\o(BA,\s\up16(→)).(2)当a，b共线且同向时，若|a|>|b|，则a－b与a，b同向(如图②)，于是|a－b|＝|a|－|b|.若|a|<|b|，则a－b与a，b反向(如图③)，于是|a－b|＝|b|－|a|.(3)当a，b共线且反向时，a－b与a同向，与b反向．于是|a－b|＝|a|＋|b|(如图④)．可见，对任意两个向量，总有向量不等式成立：||a|－|b||≤|a－b|≤|a|＋|b|.【跟踪训练】1．判一判(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)两个向量的差仍是一个向量．()(2)向量的减法实质上是向量的加法的逆运算．()(3)向量a与向量b的差与向量b与向量a的差互为相反向量．()(4)相反向量是共线向量．()答案(1)√(2)√(3)√(4)√2．做一做(1)非零向量m与n是相反向量，下列不正确的是()A．m＝n B．m＝－nC．|m|＝|n| D．方向相反(2)eq\o(OB,\s\up16(→))－eq\o(OA,\s\up16(→))＋eq\o(BA,\s\up16(→))＝________.(3)四边形ABCD是边长为1的正方形，则|eq\o(AB,\s\up16(→))－eq\o(AD,\s\up16(→))|＝________.答案(1)A(2)0(3)eq\r(2)【核心素养形成】题型一向量的减法运算例1化简：(1)(eq\o(AB,\s\up16(→))－eq\o(CD,\s\up16(→)))－(eq\o(AC,\s\up16(→))－eq\o(BD,\s\up16(→)))；(2)(eq\o(AC,\s\up16(→))＋eq\o(BO,\s\up16(→))＋eq\o(OA,\s\up16(→)))－(eq\o(DC,\s\up16(→))－eq\o(DO,\s\up16(→))－eq\o(OB,\s\up16(→)))．[解](1)解法一(变为加法)：原式＝eq\o(AB,\s\up16(→))－eq\o(CD,\s\up16(→))－eq\o(AC,\s\up16(→))＋eq\o(BD,\s\up16(→))＝eq\o(AB,\s\up16(→))＋eq\o(DC,\s\up16(→))＋eq\o(CA,\s\up16(→))＋eq\o(BD,\s\up16(→))＝(eq\o(AB,\s\up16(→))＋eq\o(BD,\s\up16(→)))＋(eq\o(DC,\s\up16(→))＋eq\o(CA,\s\up16(→)))＝eq\o(AD,\s\up16(→))＋eq\o(DA,\s\up16(→))＝0.解法二(利用公式eq\o(AB,\s\up16(→))－eq\o(AC,\s\up16(→))＝eq\o(CB,\s\up16(→)))：原式＝eq\o(AB,\s\up16(→))－eq\o(CD,\s\up16(→))－eq\o(AC,\s\up16(→))＋eq\o(BD,\s\up16(→))＝(eq\o(AB,\s\up16(→))－eq\o(AC,\s\up16(→)))－eq\o(CD,\s\up16(→))＋eq\o(BD,\s\up16(→))＝eq\o(CB,\s\up16(→))－eq\o(CD,\s\up16(→))＋eq\o(BD,\s\up16(→))＝eq\o(DB,\s\up16(→))＋eq\o(BD,\s\up16(→))＝0.解法三(利用公式eq\o(AB,\s\up16(→))＝eq\o(OB,\s\up16(→))－eq\o(OA,\s\up16(→))，其中O是平面内任一点)：原式＝eq\o(AB,\s\up16(→))－eq\o(CD,\s\up16(→))－eq\o(AC,\s\up16(→))＋eq\o(BD,\s\up16(→))＝(eq\o(OB,\s\up16(→))－eq\o(OA,\s\up16(→)))－(eq\o(OD,\s\up16(→))－eq\o(OC,\s\up16(→)))－(eq\o(OC,\s\up16(→))－eq\o(OA,\s\up16(→)))＋(eq\o(OD,\s\up16(→))－eq\o(OB,\s\up16(→)))＝eq\o(OB,\s\up16(→))－eq\o(OA,\s\up16(→))－eq\o(OD,\s\up16(→))＋eq\o(OC,\s\up16(→))－eq\o(OC,\s\up16(→))＋eq\o(OA,\s\up16(→))＋eq\o(OD,\s\up16(→))－eq\o(OB,\s\up16(→))＝0.(2)(eq\o(AC,\s\up16(→))＋eq\o(BO,\s\up16(→))＋eq\o(OA,\s\up16(→)))－(eq\o(DC,\s\up16(→))－eq\o(DO,\s\up16(→))－eq\o(OB,\s\up16(→)))＝(eq\o(AC,\s\up16(→))＋eq\o(BA,\s\up16(→)))－(eq\o(OC,\s\up16(→))－eq\o(OB,\s\up16(→)))＝eq\o(BC,\s\up16(→))－eq\o(BC,\s\up16(→))＝0.1、(1)向量减法运算的常用方法(2)向量加减法化简的两种形式①首尾相连且为和；②起点相同且为差．做题时要注意观察是否有这两种形式，同时要注意逆向应用．【跟踪训练】化简下列各式：(1)eq\o(AB,\s\up16(→))－eq\o(AC,\s\up16(→))－eq\o(DB,\s\up16(→))；(2)eq\o(AB,\s\up16(→))＋eq\o(BC,\s\up16(→))－eq\o(AD,\s\up16(→))；(3)eq\o(AB,\s\up16(→))－eq\o(CD,\s\up16(→))－eq\o(DB,\s\up16(→)).解(1)eq\o(AB,\s\up16(→))－eq\o(AC,\s\up16(→))－eq\o(DB,\s\up16(→))＝eq\o(CB,\s\up16(→))＋eq\o(BD,\s\up16(→))＝eq\o(CD,\s\up16(→)).(2)eq\o(AB,\s\up16(→))＋eq\o(BC,\s\up16(→))－eq\o(AD,\s\up16(→))＝eq\o(AC,\s\up16(→))－eq\o(AD,\s\up16(→))＝eq\o(DC,\s\up16(→)).(3)eq\o(AB,\s\up16(→))－eq\o(CD,\s\up16(→))－eq\o(DB,\s\up16(→))＝eq\o(AB,\s\up16(→))＋eq\o(DC,\s\up16(→))＋eq\o(BD,\s\up16(→))＝eq\o(AB,\s\up16(→))＋eq\o(BD,\s\up16(→))＋eq\o(DC,\s\up16(→))＝eq\o(AC,\s\up16(→)).题型二向量减法的几何意义例2如图，在五边形ABCDE中，若四边形ACDE是平行四边形，且eq\o(AB,\s\up16(→))＝a，eq\o(AC,\s\up16(→))＝b，eq\o(AE,\s\up16(→))＝c，试用a，b，c表示向量eq\o(BD,\s\up16(→))，eq\o(BC,\s\up16(→))，eq\o(BE,\s\up16(→))，eq\o(CD,\s\up16(→))及eq\o(CE,\s\up16(→)).[解]∵四边形ACDE为平行四边形，∴eq\o(CD,\s\up16(→))＝eq\o(AE,\s\up16(→))＝c.eq\o(BC,\s\up16(→))＝eq\o(AC,\s\up16(→))－eq\o(AB,\s\up16(→))＝b－a.eq\o(BE,\s\up16(→))＝eq\o(AE,\s\up16(→))－eq\o(AB,\s\up16(→))＝c－a，eq\o(CE,\s\up16(→))＝eq\o(AE,\s\up16(→))－eq\o(AC,\s\up16(→))＝c－b，∴eq\o(BD,\s\up16(→))＝eq\o(BC,\s\up16(→))＋eq\o(CD,\s\up16(→))＝b－a＋c.[结论探究]若例2条件不变，试用a，b，c表示向量eq\o(DA,\s\up16(→)).解解法一(应用三角形法则)：eq\o(DA,\s\up16(→))＝eq\o(EA,\s\up16(→))－eq\o(ED,\s\up16(→))＝－eq\o(AE,\s\up16(→))－eq\o(AC,\s\up16(→))＝－c－b.解法二(应用平行四边形法则)：eq\o(DA,\s\up16(→))＝－eq\o(AD,\s\up16(→))＝－(eq\o(AC,\s\up16(→))＋eq\o(AE,\s\up16(→)))＝－c－b.2、求作两个向量的差向量的两种思路(1)可以转化为向量的加法来进行，如a－b，可以先作－b，然后作a＋(－b)即可．(2)也可以直接用向量减法的三角形法则，即把两向量的起点重合，则差向量为连接两个向量的终点，指向被减向量的终点的向量．【跟踪训练】已知一点O到平行四边形ABCD的三个顶点A，B，C的向量分别是a，b，c，则向量eq\o(OD,\s\up16(→))等于()A．a＋b＋c B．a－b＋cC．a＋b－c D．a－b－c答案B解析如图，点O到平行四边形的三个顶点A，B，C的向量分别为a，b，c，结合图形有：eq\o(OD,\s\up16(→))＝eq\o(OA,\s\up16(→))＋eq\o(AD,\s\up16(→))＝eq\o(OA,\s\up16(→))＋eq\o(BC,\s\up16(→))＝eq\o(OA,\s\up16(→))＋eq\o(OC,\s\up16(→))－eq\o(OB,\s\up16(→))＝a＋c－b.题型三向量加法、减法的综合应用例3如图，O为△ABC的外心，H为垂心．求证：eq\o(OH,\s\up16(→))＝eq\o(OA,\s\up16(→))＋eq\o(OB,\s\up16(→))＋eq\o(OC,\s\up16(→)).[证明]作直径BD，连接DA，DC，有eq\o(OB,\s\up16(→))＝－eq\o(OD,\s\up16(→))，DA⊥AB，DC⊥BC，AH⊥BC，CH⊥AB，故CH∥DA，AH∥DC.得四边形AHCD是平行四边形，进而eq\o(AH,\s\up16(→))＝eq\o(DC,\s\up16(→)).又eq\o(DC,\s\up16(→))＝eq\o(OC,\s\up16(→))－eq\o(OD,\s\up16(→))＝eq\o(OC,\s\up16(→))＋eq\o(OB,\s\up16(→))，得eq\o(OH,\s\up16(→))＝eq\o(OA,\s\up16(→))＋eq\o(AH,\s\up16(→))＝eq\o(OA,\s\up16(→))＋eq\o(DC,\s\up16(→))＝eq\o(OA,\s\up16(→))＋eq\o(OB,\s\up16(→))＋eq\o(OC,\s\up16(→)).3、用几个基本向量表示其他向量的一般步骤(1)观察待表示的向量位置；(2)寻找相应的平行四边形或三角形；(3)运用法则找关系，化简得结果．【跟踪训练】如图，已知D，E，F分别为△ABC的边BC，AC，AB的中点．求证：eq\o(AD,\s\up16(→))＋eq\o(BE,\s\up16(→))＋eq\o(CF,\s\up16(→))＝0.证明连接EF，由题意知：eq\o(AD,\s\up16(→))＝eq\o(AC,\s\up16(→))＋eq\o(CD,\s\up16(→))，eq\o(BE,\s\up16(→))＝eq\o(BC,\s\up16(→))＋eq\o(CE,\s\up16(→))，eq\o(CF,\s\up16(→))＝eq\o(CB,\s\up16(→))＋eq\o(BF,\s\up16(→)).由D，E，F分别为△ABC的边BC，AC，AB的中点可知：eq\o(EF,\s\up16(→))＝eq\o(CD,\s\up16(→))，eq\o(BF,\s\up16(→))＝eq\o(FA,\s\up16(→)).所以eq\o(AD,\s\up16(→))＋eq\o(BE,\s\up16(→))＋eq\o(CF,\s\up16(→))＝(eq\o(AC,\s\up16(→))＋eq\o(CD,\s\up16(→)))＋(eq\o(BC,\s\up16(→))＋eq\o(CE,\s\up16(→)))＋(eq\o(CB,\s\up16(→))＋eq\o(BF,\s\up16(→)))＝(eq\o(AC,\s\up16(→))＋eq\o(CD,\s\up16(→))＋eq\o(CE,\s\up16(→))＋eq\o(BF,\s\up16(→)))＋(eq\o(BC,\s\up16(→))＋eq\o(CB,\s\up16(→)))＝(eq\o(AE,\s\up16(→))＋eq\o(EC,\s\up16(→))＋eq\o(CD,\s\up16(→))＋eq\o(CE,\s\up16(→))＋eq\o(BF,\s\up16(→)))＋0＝eq\o(AE,\s\up16(→))＋eq\o(CD,\s\up16(→))＋eq\o(BF,\s\up16(→))＝eq\o(AE,\s\up16(→))＋eq\o(EF,\s\up16(→))＋eq\o(FA,\s\up16(→))＝0.【课堂达标训练】1．在菱形ABCD中，下列等式中不成立的是()A.eq\o(AC,\s\up16(→))－eq\o(AB,\s\up16(→))＝eq\o(BC,\s\up16(→)) B.eq\o(AD,\s\up16(→))－eq\o(BD,\s\up16(→))＝eq\o(AB,\s\up16(→))C.eq\o(BD,\s\up16(→))－eq\o(AC,\s\up16(→))＝eq\o(BC,\s\up16(→)) D.eq\o(BD,\s\up16(→))－eq\o(CD,\s\up16(→))＝eq\o(BC,\s\up16(→))答案C解析由向量减法法则知C错误．2．如图所示，D，E，F分别是△ABC的边AB，BC，CA的中点，则eq\o(AF,\s\up16(→))－eq\o(DB,\s\up16(→))等于()A.eq\o(FD,\s\up16(→)) B.eq\o(FC,\s\up16(→))C.eq\o(FE,\s\up16(→)) D.eq\o(DF,\s\up16(→))答案D解析由题图易知eq\o(AF,\s\up16(→))＝eq\o(DE,\s\up16(→))，∴eq\o(AF,\s\up16(→))－eq\o(DB,\s\up16(→))＝eq\o(DE,\s\up16(→))－eq\o(DB,\s\up16(→))＝eq\o(BE,\s\up16(→))，又eq\o(BE,\s\up16(→))＝eq\o(DF,\s\up16(→))，∴eq\o(AF,\s\up16(→))－eq\o(DB,\s\up16(→))＝eq\o(DF,\s\up16(→)).3．若O，E，F是不共线的任意三点，则以下各式中成立的是()A.eq\o(EF,\s\up16(→))＝eq\o(OF,\s\up16(→))＋eq\o(OE,\s\up16(→)) B.eq\o(EF,\s\up16(→))＝eq\o(OF,\s\up16(→))－eq\o(OE,\s\up16(→))C.eq\o(EF,\s\up16(→))＝－eq\o(OF,\s\up16(→))＋eq\o(OE,\s\up16(→)) D.eq\o(EF,\s\up16(→))＝－eq\o(OF,\s\up16(→))－eq\o(OE,\s\up16(→))答案B解析由向量减法的三角形法则可知eq\o(EF,\s\up16(→))＝eq\o(OF,\s\up16(→))－eq\o(OE,\s\up16(→)).故选B.4．若a，b为相反向量，且|a|＝1，|b|＝1，则|a＋b|＝________，|a－b|＝________.答案02解析如果a，b为相反向量，那么a＋b＝0，∴|a＋b|＝0，又a＝－b，∴|a|＝|－b|＝1，∴|a－b|＝2|a|＝2.5．已知O为平行四边形ABCD内一点，eq\o(OA,\s\up16(→))＝a，eq\o(OB,\s\up16(→))＝b，eq\o(OC,\s\up16(→))＝c，用a，b，c表示eq\o(OD,\s\up16(→)).解解法一：如图所示，eq\o(OD,\s\up16(→))＝eq\o(OA,\s\up16(→))＋eq\o(AD,\s\up16(→))＝a＋eq\o(BC,\s\up16(→))＝a＋(eq\o(OC,\s\up16(→))－eq\o(OB,\s\up16(→)))＝a＋c－b.解法二：eq\o(OD,\s\up16(→))＝eq\o(OA,\s\up16(→))＋eq\o(AB,\s\up16(→))＋eq\o(BC,\s\up16(→))＋eq\o(CD,\s\up16(→))＝eq\o(OA,\s\up16(→))＋eq\o(BC,\s\up16(→))＋(eq\o(AB,\s\up16(→))＋eq\o(CD,\s\up16(→)))＝eq\o(OA,\s\up16(→))＋eq\o(BC,\s\up16(→))＋0＝eq\o(OA,\s\up16(→))＋(eq\o(BO,\s\up16(→))＋eq\o(OC,\s\up16(→)))＝a＋(－b＋c)＝a－b＋c.6.2.3向量的数乘运算【基础知识拓展】1．对λa的理解(1)可以将a的长度扩大(|λ|>1时)，也可以缩小(|λ|<1时)；同时可以不改变a的方向(λ>0时)，也可以改变a的方向(λ<0时)，与a的方向相反．(2)当λ＝0时，λa＝0，而当λ≠0时，若a＝0，也有λa＝0.(3)实数与向量可以求积，结果仍是一个向量，它可以看成实数与实数的积的定义的推广，但不能进行加减运算，如：λ＋a，λ－a无意义．2．对两向量共线的条件的理解(1)判断两向量共线，其实就是找一个实数，使得它与一个向量的积等于另一个向量．可以用来证明几何中的三点共线及两直线平行的问题．(2)为何规定“非零向量a”这一条件？若a＝0，b≠0时，不存在实数λ使得b＝λa；若a＝0，b＝0，则存在不唯一的实数满足等式．(3)若a，b不共线，且存在实数λ，μ，使μa＝λb(或μa＋λb＝0)，则必有μ＝λ＝0.因为a，b不共线，则a，b必为非零向量，若λ≠0，则b＝eq\f(\a\vs4\al(μ),λ)a，若μ≠0，则a＝eq\f(λ,μ)b，无论哪种情况都有a，b共线与已知矛盾，故必有λ＝μ＝0.(4)两向量共线的一般形式：若存在不全为0的一对实数λ，μ使μa＋λb＝0，则a与b共线．【跟踪训练】1．判一判(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)λa的方向与a的方向一致．()(2)共线向量定理中，条件a≠0可以去掉．()(3)若a＝4e，b＝－8e，则a＝－2b.()答案(1)×(2)×(3)×2．做一做(1)下列各式中不表示向量的是()A．0·aB．a＋3bC．|3a|D.eq\f(1,x－y)e(x，y∈R，且x≠y)(2)下列各式计算正确的有()①(－7)6a＝－42a；②7(a＋b)－8b＝7a＋15b；③a－2b＋a＋2b＝2a；④4(2a＋b)＝8a＋4b.A．1个B．2个C．3个D．4个(3)已知向量a，b不共线，c＝ka＋b(k∈R)，d＝a－b，如果c∥d，那么()A．k＝1且c与d同向B．k＝1且c与d反向C．k＝－1且c与d同向D．k＝－1且c与d反向(4)已知向量a＝2e，b＝－e，则a与b________(填“共线”或“不共线”)．答案(1)C(2)C(3)D(4)共线【核心素养形成】题型一向量的数乘运算例1化简下列各式：(1)3(6a＋b)－9eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(a＋\f(1,3)b))；(2)eq\f(1,2)eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(3a＋2b－\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(a＋\f(1,2)b))))－2eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)a＋\f(3,8)b))；(3)2(5a－4b＋c)－3(a－3b＋c)－7a.[解](1)原式＝18a＋3b－9a－3b＝9a.(2)原式＝eq\f(1,2)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2a＋\f(3,2)b))－a－eq\f(3,4)b＝a＋eq\f(3,4)b－a－eq\f(3,4)b＝0.(3)原式＝10a－8b＋2c－3a＋9b－3c－7a＝b－c.1、向量数乘运算的方法(1)向量的数乘运算可类似于代数多项式的运算．例如实数运算中的去括号、移项、合并同类项、提取公因式等变形手段在数与向量的乘积中同样适用，但是在这里的“同类项”“公因式”指向量，实数看作是向量的系数．(2)向量也可以通过列方程来解，把所求向量当作未知数，利用代数方程的方法求解，同时在运算过程中要多注意观察，恰当运用运算律，简化运算．【跟踪训练】(1)设向量a＝3i＋2j，b＝2i－j，求eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,3)a－b))－eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(a－\f(2,3)b))＋(2b－a)；(2)已知向量为a，b，未知向量为x，y，向量a，b，x，y满足关系式3x－2y＝a，－4x＋3y＝b，求向量x，y.解(1)原式＝eq\f(1,3)a－b－a＋eq\f(2,3)b＋2b－a＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,3)－1－1))a＋eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－1＋\f(2,3)＋2))b＝－eq\f(5,3)a＋eq\f(5,3)b＝－eq\f(5,3)(3i＋2j)＋eq\f(5,3)(2i－j)＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－5＋\f(10,3)))i＋eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(10,3)－\f(5,3)))j＝－eq\f(5,3)i－5j.(2)eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(3x－2y＝a，①,－4x＋3y＝b，②))①×3＋②×2，得x＝3a＋2b，再代入①，得y＝4a＋3b.题型二向量的线性运算的应用例2如图，四边形ABCD是一个梯形，eq\o(AB,\s\up16(→))∥eq\o(CD,\s\up16(→))且|eq\o(AB,\s\up16(→))|＝2|eq\o(CD,\s\up16(→))|，M，N分别是DC，AB的中点，已知eq\o(AB,\s\up16(→))＝e1，eq\o(AD,\s\up16(→))＝e2，试用e1，e2表示下列向量．(1)eq\o(AC,\s\up16(→))＝________；(2)eq\o(MN,\s\up16(→))＝________.[解析](1)因为eq\o(AB,\s\up16(→))∥eq\o(CD,\s\up16(→)