高一年级上学期第一章集合课程讲义

集合1．集合的概念（1）含义：一般地，我们把所研究对象统称为元素，把一些元素组成的总体叫做集合（简称为集）．（2）集合相等：只要构成两个集合的元素是一样的，即这两个集合中的元素完全相同，就称这两个集合相等．[知识点拨]集合中的元素必须满足如下性质：（1）确定性；（2）互异性；（3）无序性．2．元素与集合的关系关系概念记法读法属于如果a是集合A中的元素，就说a属于集合Aa属于集合A不属于如果a不是集合A中的元素，就说a不属于集合Aa不属于集合A[知识点拨]符号“”和“”只能用于元素与集合之间，并且这两个符号的左边是元素，右边是集合，具有方向性，左右两边不能互换．3．集合的表示法（1）列举法：即把集合的元素一一列举出来，并用花括号“{}”括起来，基本形式为，适用于有限集或元素间存在规律的无限集．（2）描述法：即用集合所含元素的共同特征来表示，基本形式为，既要关注代表元素x，也要把握其属性，适用于无限集．（3）图示法：韦恩（英国逻辑学家，John．Venn）图（几何方法）：用一条封闭的曲线的内部来表示一个集合的方法．[知识点拨]常用的数集符号表示：名称自然数集正整数集整数集有理数集实数集符号NN*或N＋ZQR4．集合的分类①按集合中所含元素的个数分类有限集：含有有限个元素的集合．无限集：含有无限个元素的集合．②按集合中元素的性质分类数集：集合中元素是数值．如，点集：集合中的元素是点．如，图形集等等．5．集合的关系（1）．子集：一般地，对于两个集合A与B，如果集合A的任何一个元素都是集合B的元素，我们就说集合A包含于集合B，或集合B包含集合A记作:（2）．集合相等：一般地，对于两个集合A与B，如果集合A的任何一个元素都是集合B的元素，同时集合B的任何一个元素都是集合A的元素，我们就说集合A等于集合B，记作A=B（3）．真子集：对于两个集合A与B，如果，并且，我们就说集合A是集合B的真子集，记作：AB或BA，读作A真包含于B或B真包含A（4）．空集：不含任何元素的集合叫做空集，记为（5）．子集的性质：（1）任何一个集合是它本身的子集，即．（2）空集是任何集合的子集，即对任何集合A，都有A；空集是任何非空集合的真子集，即对任何集合A，若，则⫋A．（3）对于集合A，B，C，如果，，那么．（4）含有个元素的集合的子集个数是，真子集个数是，非空真子集个数是．6．集合的运算（1）．并集和交集定义并集交集自然语言一般地，由所有属于集合A或集合B的元素组成的集合，称为集合A与B的并集，记作一般地，由属于集合A且属于集合B的所有元素组成的集合，称为集合A与B的交集，记作符号语言图形语言性质（2）．全集文字语言一般地，如果一个集合含有我们所研究问题中涉及的所有元素，那么就称这个集合为全集（3）．补集文字语言对于一个集合A，由全集U中不属于集合A的所有元素组成的集合称为集合A相对于全集U的补集，简称为集合A的补集，记作符号语言图形语言性质，题型一：描述法表示集合的正确理解【例1】集合，用列举法可以表示为A．，2，4， B．，2，4，5，6， C．，，，，3， D．，，，，2，3，【练1】已知集合，，则集合的真子集个数为A．32 B．4 C．5 D．31【练2】集合，用列举法可以表示为A．， B．，2，4，5，6， C．，，，，3， D．，，，，2，3，【练3】集合中含有的元素个数为A．4 B．6 C．8 D．12题型二：集合关系的判断【例2】已知集合，，，，则集合，之间的关系为．【练1】设集合，，，，则、的关系为A． B． C． D．【练2】集合，，，，则，之间的关系为A． B． C． D．【练3】（多选）下列选项中的两个集合相等的有A．，，， B．，，， C．，， D．，题型三：根据元素与集合的关系求参数【例3】已知集合，，，且，则实数的值为A．3 B．2 C．0或3 D．0或2或3【练1】设集合，，1，，，若，则实数．【练2】已知集合，，，若，则实数的取值集合为A． B．， C． D．题型四：根据集合中元素个数求参数【例4】若集合中只有一个元素，则实数的值为A．0或1 B．1 C．0 D．【练1】已知集合，，若，则实数的取值集合为A． B． C． D．【练2】若集合，则实数的取值集合为A． B． C． D．【练3】若集合中只有一个元素，则．【练4】已知集合，，．（1）若是空集，求的取值范围；（2）若中只有一个元素，求的值，并求集合；（3）若中至多有一个元素，求的取值范围题型五：子集关系的等价应用求参数【例5】已知集合，，．（1）若，求；（2）若，求实数的取值范围．【练1】已知集合，集合．（1）求．（2）求，求的取值范围．【练2】已知集合，，或．（1）当时，求；（2）若，求的取值范围．【练3】已知集合，．（1）若，求；（2）若，求的取值集合．【练4】已知集合，．（1）当时，写出所有满足条件的集合；（2）若，求实数的取值范围．题型六：利用韦恩图解决集合问题【例6】2021年是中国共产党成立100周年，电影频道推出“经典频传：看电影，学党史”系列短视频，传扬中国共产党的伟大精神，为厂大青年群体带来精神感召．现有《青春之歌》《建党伟业》《开国大典》三短视频，某大学社团有50人，观看了《青春之歌》的有21人，观看了《建党伟业》的有23人，观看了《开国大典》的有26人．其中，只观看了《青春之歌》和《建党伟业》的有4人，只观看了《建党伟业》和《开国大典》的有7人，只观看了《青春之歌》和《开国大典》的有6人，三支短视频全观看了的有3人，则没有观看任何一支短视频的人数为．【练1】某网店统计了连续三天售出商品的种类情况：第一天售出19种商品，第二天售出13种商品，第三天售出18种商品；前两天都售出的商品有3种，后两天都售出的商品有4种．则该网店这三天售出的商品最少有A．25种 B．27种 C．29种 D．31种【练2】某疫情防控志愿者小组有20名志愿者，由党员和大学生组成，其中有15人是党员，有9人是大学生，则既是党员又是大学生的志愿者人数为A．2 B．3 C．4 D．5【练3】向某50名学生调查对，两事件的态度，其中有30人赞成，其余20人不赞成；有33人赞成，其余17人不赞成；且对，都不赞成的学生人数比对，都赞成的学生人数的三分之一多1人，则对，都赞成的学生人数为A．18 B．19 C．20 D．21【练4】某班有39名同学参加数学、物理、化学课外研究小组，每名同学至多参加两个小组．已知参加数学、物理、化学小组的人数分别为26，15，13，同时参加数学和物理小组的有6人，同时参加物理和化学小组的有4人，则同时参加数学和化学小组有多少人．题型七：集合中的新定义问题【例7】设全集，3，5，6，，对其子集引进“势”的概念：①空集的“势”最小；②非空子集的元素越多，其“势”越大；③若两个子集的元素个数相同，则子集中最大的元素越大，子集的“势”就越大，最大的元素相同，则第二大的元素越大，子集的“势”就越大，依次类推．若将全部的子集按“势”从小到大的顺序排列，则排在第12位的子集是．【练1】（多选）非空集合关于运算满足：对于任意的，，都有，则称集合关于运算为“回归集”．下列集合关于运算为“回归集“的是A．为，为自然数的减法 B．为，为有理数的乘法 C．为，为实数的加法 D．已知全集，集合，为（A），为实数的乘法【练2】集合，4，，，，定义，，则的真子集个数为A．31 B．63 C．32 D．64【练3】设数集且、都是集合的子集，如果把叫做集合的“长度”，那么集合的“长度”的最小值为（）A． B． C． D．【练4】已知是非空数集，若非空集合，满足以下三个条件，则称，为集合的一种真分拆，并规定，与，为集合的同一种真分拆．①；②；③的元素个数不是中的元素．则集合，2，3，4，5，的真分拆的种数是A．5 B．6 C．10 D．15【练5】（多选）对于集合，，定义，，⊕．设，2，3，4，5，，，5，6，7，8，9，，则⊕中可能含有下列元素A．5 B．6 C．7 D．8【练6】是正整数集的子集，满足：，，，并有如下性质：若，，则，则的非空子集数为A．2022 B．2023 C． D．题型八：集合中的综合问题【例8】若集合恰有8个整数元素，写出的一个值：．【练1】设集合，，，，若中所有三元子集的三个元素之和组成的集合为，3，5，，则集合．【练2】给定实数集合，，定义运算，，．设，2，4，，，，99，，则中的所有元素之和为．【练3】设是非空数集，若