2024届高考3月模拟考压轴题汇编-多选题篇含答案

2024届高考3月模拟考压轴题汇编-多选题篇1(2024·东韶关·模)已知定义在R上的函数f,g的导函数分别为f,g，且f=f4-x，f1+x-gx=4,fx+g1+x=0，则(

)A.gx关于直线x=1对称C.fx的周期为4

B.g3=1D.fn⋅gn=0n∈Z广一lnx在点M处的切线与在点N处的切线相交于点P(x,y)，则(00

)A.0<k<

1e

B.xx=ex12

0

C.y+y=1+y12

0

D.yy<1123(2024·东佛山·模)对于棱长为1(单位：m)的正方体容器(容器壁厚度忽略不计)，下列说法正确的是(

)A.底面半径为1m，高为2m的圆锥形罩子(无底面)能够罩住水平放置的该正方体B.以该正方体的三条棱作为圆锥的母线，则此圆锥的母线与底面所成角的正切值为C.该正方体内能同时整体放入两个底面半径为0.5m，高为0.7m的圆锥

22D.该正方体内能整体放入一个体积为

3π3的圆锥174(2024·东·模)已知正方体ABCD面上的任意一点，则下列结论正确的是(

-A1B1C1D1的各个顶点都在表面积为3π的球面上，点P为该球)A.有无数个点P，使得AP⎳平面BDCB.有无数个点P，使得AP⊥平面BDC

1111

的体积的最大值为

2+161115(2024·东济南·模)下列等式中正确的是(

)8k=1

8

8k=2

k9

8k=2

k-1k!

=1-

18!

8k=0

8166(2024·东青岛·模)已知函数f(x)=cosx+

x(2

)π单B.fx的图象关于直线x=π对称9D.关于x的方程f(x)=a在区间[0,2π]有实数根，则所有根之和组成的集合为π,2π,4π7(2024·东聊城·模)设f是定义在R上的可导函数，导数为g，f3x+1是奇函数，且对1广xxxxx二2(2024·东广州·模)已知直线y=kx与曲线y=lnx相交于不同两点M(x1,y1)，N(x2,y2)，曲线y=广二广xxxxx二2(2024·东广州·模)已知直线y=kx与曲线y=lnx相交于不同两点M(x1,y1)，N(x2,y2)，曲线y=广二m广一C.若点P∈平面BCCB，则四棱锥P-ABCDD.若点P∈平面BCCB，则AP+PC的最大值为6山一A.Ck=28B.C2=C3C.D.Ck2=C8山一sin，则A.fx在区间调递增0,6C.fx的值域为0,8山x其x若一于任意的x∈R，f4-x=fx，则对于任意的k∈Z，下列说法正确的是(

)A.4k都是gx的周期C.曲线y=gx关于直线x=2k+1对称

B.曲线y=gx关于点2k,0对称D.gx+4k都是偶函数山一列an满足an=n2+n，数列bn的首项为1，且Δbn=n+2⋅2n-1,n∈N*，则(

)A.存在M>0，使得Δa<M恒成立n

B.存在M>0，使得Δ2a<M恒成立nn

D.对任意M>0，总存在n∈N*，使得

Δ2bn>Mbn9(2024·东济宁·模)如图，在棱长为2的正方体ABCD

-A1B1C1D1中，M是棱BC的中点，N是棱1

)A.三棱锥A-AMN1

的体积为定值752

1

-A1B1C1D1所得的截面图形的周长为11

的外接球的表面积为7π1

3

,

6310(2024·东淄博·模)把底面为椭圆且母线与底面都垂直的柱体称为“椭圆柱”.如图，椭圆柱(OO

中椭圆长轴AB=4，短轴CD=23，F1,F2为下底面椭圆的左右焦点，F2为上底面椭圆的右焦点，AA=4，P为线段BB上的动点，E为线段AB上的动点，MN

为过点F2的下底面的一条动弦(不与AB重合)，则下列选项正确的是(

)12

28(2024·东烟台·模)给定数列an，定义差分运算：Δan=an+1-an,Δ2an=8(2024·东烟台·模)给定数列an，定义差分运算：Δan=an+1-an,Δ2an=Δan+1-Δan,n∈N*.若数C.对任意M>0，总存在n∈N*，使得b>M山一DD上的动点(含端点)，则下列说法中正确的是(B.若N是棱DD的中点，则过A，M，N的平面截正方体ABCDC.若N是棱DD的中点，则四面体D-AMND.若CN与平面ABC所成的角为θ，则sinθ∈3山一A.当FF⎳平面PMN时，P为BB的中点B.三棱锥F-FCD外接球的表面积为8π2212则tanα+β的最大值为-

1613D.三棱锥E-PMN体积的最大值为811(2024·东泰安·模)已知函数f的定义域为R，且f=0，若f+y=f+f+2，则下列说法正确的是(

)A.f-1=-4

B.fx有最大值

C.f2024=4046

D.函数fx+2是奇函数12(2024·东菏泽·模)如图，过点C(a,0)(a>0)的直线AB交抛物线y2=2px(p>0)于A，B两点，连接AO、BO，并延长，分别交直线x=-a于M，N两点，则下列结论中一定成立的有(

)A.BM⎳AN

B.以AB为直径的圆与直线x=-a相切C.S

△AOB

=S

△MON

D.S2△MCN

=4S

△ANC

⋅S

△BCM湖一f2=x2．设f的零点个数为m，方程3a+2bf+c=0的实根个数为n，则(

)A.当a>0时，n=3C.mn一定能被3整除

B.当a<0时，m+2=nD.m+n的取值集合为4,5,6,714(2024·北武汉·拟预测)已知函数f=ax+1lnxex+1恰有三个零点，设其由小到大1-x分别为x1,x2,x3，则(

)A.实数a的取值范围是

1e

B.x+x+x=0123C.函数gx=fx+kf-x可能有四个零点

D.

3=ex1

315(2024·建·拟预测)已知正方体ABCD

-A1B1C1D1的棱长为2，棱AB,BC的中点分别为E，F，点G在底面A1B1C1D1上，且平面EFG∥平面ACD

1

，则下列说法正确的是(

)11

12

11

A1

1C.三棱锥G-BCD体积的最大值为21

D.二面角D-EF-G的余弦值为

33

3C.若点Q是下底面椭圆上的动点，Q是点Q在上底面的射影，且QF，QF与下底面所成的角分别为α,β，山x1xxy一山一C.若点Q是下底面椭圆上的动点，Q是点Q在上底面的射影，且QF，QF与下底面所成的角分别为α,β，山x1xxy一山一13(2024·北·模)已知函数fx=ax3+bx2+cx+d存在两个极值点x1,x2x1<x2，且fx1=-x1，xxfx2xxe1+-湖模0,f′xf′福模A.若存在λ使得AG=λGD，则λ=B.若G∈CD，则EG∥平面ADD16(2024·建泉州·拟预测)已知函数f=-x2+2x，g=x2+a，则(

)A.fx≤gx恒成立的充要条件是a≥

12B.当a=C.当a=

1412

时，两个函数图象有两条公切线时，直线4x-4y+1=0是两个函数图象的一条公切线D.若两个函数图象有两条公切线，以四个切点为顶点的凸四边形的周长为2+22，则a=117(2024·建莆田·模)已知定义在R上的函数f满足：f+y=f+f-3xy+y，则(

)A.y=fx是奇函数B.若f1=1，则f-2=4C.若f1=-1，则y=fx+x3为增函数D.若∀x>0,fx+x3>0，则y=fx+x3为增函数18(2024·建漳州·拟预测)如图，在棱长为4的正方体ABCD

-A1B1C1D1中，E，F分别是棱A1B1，1

上的动点，则下列说法正确的是(

)A.当G为AD的中点时，EF⊥CGB.若G在线段BD上运动，三棱锥A-GEF的体积为定值C.存在点G，使得平面EFG截正方体所得的截面面积为123D.当G为AD的中点时，三棱锥A-EFG的外接球表面积为1

236π919(2024·国·拟预测)设f，g都是定义在R上的奇函数，且f为单调函数，f>1，若对任意x∈R有fgx-x=a(a为常数)，gfx+2+gfx=2x+2，则(

)A.g2=0C.fx-x为周期函数

B.f3<3nk=120(2024·建龙岩·模)如图，在棱长为2的正方体ABCD1114福xx模福xxxyx二福模DD的中点，G为底面ABCD全xxx福xx模福xxxyx二福模DD的中点，G为底面ABCD全xxx1模D.f(4k)>2n2+2n-A1B1C1D1中，已知M,N,P分别是棱C1D,AA,BC的中点，点Q满足CQ=λCC,λ∈0,1，下列说法正确的是()福一A.不存在λ使得QA⊥QB

1B.若Q,M,N,P四点共面，则λ=

14C.若λ=

13

，点F在侧面BB1C1C内，且A1F⎳平面APQ，则点F的轨迹长度为

133D.若λ=

12

，由平面MNQ

分割该正方体所成的两个空间几何体Ω1和Ω2，某球能够被整体放入Ω1或Ω2，则该球的表面积最大值为12-63π福模123n123ni应bi，i=1,2,⋯,n)不同的个数，则下列结论正确的是(

)A.若u=0,0,0,0,0，则存在5个5元数组v，使得du,v=1B.若u=1,1,1,1,1，则存在12个5元数组v，使得du,v=3C.若n元数组w=0,0,⋯,0d,w+dv,w≥d,vn个0D.若n元数组w=1,1,⋯,1d,w+dv,w≥d,vn个1521(2024·建福州·拟预测)通信工程中常用n元数组a1,a221(2024·建福州·拟预测)通信工程中常用n元数组a1,a2,a3,⋯,an表示信息，其中ai=0或1i,n∈N*,1≤i≤n．设u=a,a,a,⋯,a,v=b,b,b,⋯,b,du,v表示u和v中相对应的元素(a对，则uu，则uu2024届高考3月模拟考压轴题汇编-多选题篇1(2024·东韶关·模)已知定义在R上的函数f,g的导函数分别为f,g，且f=f4-x，f1+x-gx=4,fx+g1+x=0，则(

)A.gx关于直线x=1对称C.fx的周期为4

B.g3=1D.fn⋅gn=0n∈Z【答案】ACD【详解】由f(x)=f(4-x)，得f(1+x)=f(3-x)①，f(1+x)-g(x)=4②，得f(3-x)-g(2-x)=4③，由①②③，得g(x)=g(2-x)，所以函数g(x)图象关于直线x=1对称，故A正确；由g(x)=g(2-x)，得g(x)=-g(2-x)，令x=1，得g(1)=0；由f(1+x)-g(x)=4，得f(1+x)-g(x)=0，令x=1，得f(2)=g(1)=0，∴f(2+x)-g(1+x)=0④，又f(x)+g(1+x)=0⑤，令x=2，得f(2)=g(3)=0，故B错误；④⑤两式相加，得f(2+x)+f(x)=0，得f(4+x)+f(2+x)=0，所以f(x)=f(4+x)，即函数f(x)的周期为4，故C正确；由f(2+x)+f(x)=0，令x=2，得f(4)+f(2)=0，所以f(4)=0，所以f(1)g(1)=f(2)g(2)=f(3)g(3)=f(4)g(4)=⋯=f(n)g(n)=0(n∈Z)，故D正确.故选：ACD广一lnx在点M处的切线与在点N处的切线相交于点P(x,y)，则(00

)A.0<k<

1e

B.xx=ex12

0

C.y+y=1+y12

0

D.yy<112【答案】ACD【详解】令fx=

lnxx

，则fx=

1-lnxx

，故x∈0,e时，fx递增；x∈e,+∞时，fx递减，所以fx的极大值fe=

1e

，且x>1，fx>0，因为直线y=kx与曲线y=lnx相交于M(x1,y1)､N(x2,y2)两点，所以y=k与fx图像有2个交点，所以0<k<

1e

，故A正确；设M(x1,y1),N(x2,y2)，且1<x1<e<x2，可得kx1=lnx1,kx2=lnx2，y=lnx在M,N点处的切线程为y-lnx=1

1x1

(x-x),y-lnx=12

1x2

(x-x),21广xxxxx二2(2024·东广州·模)广xxxxx二2(2024·东广州·模)已知直线y=kx与曲线y=lnx相交于不同两点M(x1,y1)，N(x2,y2)，曲线y=lnx1=x(x-x1)xx2lnx-lnx2x-x0121221

y1(x-x)xx

10-1

221

1k0

lnx-lnx2x-x12

1=xx12

lnx-lnx2x-x21

1，因为k=

yx

1=1

lnxx1

1=

lnxx2

2112因为P(x0,y0)为两切线的交点，所以y0=lnx1+

1x1

x-1=lnx+x01

2

lnx-lnx2x-x21

1-1=

xlnx-xlnx+xlnx-xlnx2111222x-x21

1-1，即y0=

xlnx-xlnx221x-x21

1-1，以y+1=0

xlnx-xlnx221x-x21

1，212x-x

21

1221=

xlnx-xlnx+xlnx-xlnx2111221x-x21

2=

xlnx-xlnx221x-x21

1=y+1，0故C正确；因为kx1=y1，所以lnk+lnx1=lny1，所以lnk+y1=lny1，同理得lnk+y2=lny2，得lny1-y1=lny2-y2，即

y-y21lny-lny2

1

=1，因为

y-y21lny-lny2

1

>

1212故选：ACD.3(2024·东佛山·模)对于棱长为1(单位：m)的正方体容器(容器壁厚度忽略不计)，下列说法正确的是(

)A.底面半径为1m，高为2m的圆锥形罩子(无底面)能够罩住水平放置的该正方体B.以该正方体的三条棱作为圆锥的母线，则此圆锥的母线与底面所成角的正切值为C.该正方体内能同时整体放入两个底面半径为0.5m，高为0.7m的圆锥

22D.该正方体内能整体放入一个体积为

3π3的圆锥17【答案】BCD【详解】对于A，若高为2m的圆锥形罩子刚能覆盖水平放置的正方体，考虑圆锥的轴截面，如图，2-lnx=，得lnx2-lnx1=x22因为k=1，以x=xxk，即xx=即-lnx=，得lnx2-lnx1=x22因为k=1，以x=xxk，即xx=即x0=0，xxx，故B错误；-y12，以xlnx=xlnx，所+y=lnx+lnx=lnx+lnxx-x所以y1yy，所以yy<1，故D正确.广二mBC=

2，因为△ABC∽△ADE，所以

BCDE

=

12

，所以DE=22，圆锥底面圆半径最小为2>1，A错误；对于B，如图，以AB，AA1，AD三条棱作为圆锥母线，底面所在平面为平面A1BD，所以

111

BD1

=V

B-AAD1

，所以点A到平面A1BD的距离为h=

33

，则此圆锥的母线AA1与底面A1BD所成角的正切值为

1-

33

2

22

，B正确；对于C，如图，以矩形BB1D1D的中心为圆锥底面圆圆心，半径为0.5，分别以AA1，CC1的中点E，F为两个圆锥的顶点，每个圆锥高的最大值为

22

>0.7，C正确；对于D，如图，AC1的中点P作垂线MN，分别交AC，A1C1于点M，N，则PM=AP⋅tan∠C1AC=

32

×

22

=

64

，3等价于求AB与平面A1BD所成角的正切值，因为VA-A××2×2×31××1×1，h=×132232等价于求AB与平面A1BD所成角的正切值，因为VA-A××2×2×31××1×1，h=×132232=33以正方体的体对角线AC1作为圆锥的轴，C1为圆锥顶点，MN为圆锥底面圆的直径时，该圆锥的体积为V=

13

π×PM

2

×CP=1

13

64

2

32

=

316

π>

317

π，D正确．事实上，以正方体的体对角线AC1作为轴，C1为顶点的圆锥的体积最大值，显然底面圆心在线段AP上(不含P点)，设AG=x，当GI与MN(M为AC的四等分点)重合时，MP=NP，因此0<x≤

324

，因为△AGH∽△AC1C，所以

AGAC

1

=

AHAC

=

GHCC

1

，则AH=

63

x,GH=

33

x,CH=1

3-

63

x，圆锥体积V(x)=

13

π×GH2×CH=1

39

πx2

2xx≤3

32(x)=4

39

x(2-

2x)>0在3

40,上单调递增，体积的最大值为V

32=4

316

π>

317

π,D正确.故选：BCD.4(2024·东·模)已知正方体ABCD面上的任意一点，则下列结论正确的是(

-A1B1C1D1的各个顶点都在表面积为3π的球面上，点P为该球)A.有无数个点P，使得AP⎳平面BDCB.有无数个点P，使得AP⊥平面BDC

1111

的体积的最大值为

2+16111【答案】ACD【详解】令正方体ABCD

-A1B1C1D1的外接球半径为r，4πr2=3π，r=

32

，则BD1=

3,AB=1，4π××1-,<0，V2上恒成立，0,所以V(x)在324广一C.若点P∈平面BCCB，则四棱锥P-ABCDπ××1-,<0，V2上恒成立，0,所以V(x)在324广一C.若点P∈平面BCCB，则四棱锥P-ABCDD.若点P∈平面BCCB，则AP+PC的最大值为6连接AB1,AD1,B1D1，由四边形ABC1D1是该正方体的对角面，得四边形ABC1D1是矩形，即有AD1⎳BC1，而BC1⊂平面BDC

1

，AD1⊄平面BDC

1

，则AD1⎳平面BDC

1

，同理AB1⎳平面BDC

1

，又AB1∩AD1=A,AB1,AD1⊂平面AB1D1，因此平面AB1D1⎳平面BDC

1

，令平面ABD

1

截球面所得截面小圆为圆M，对圆M上任意一点(除点A外)均有AP⎳平面BDC

1

，A正确；对于B，过A与平面BDC

1

垂直的直线AP仅有一条，这样的P点至多一个，B错误；对于C，平面BCC1B1截球面为圆R，圆R的半径为2+1，2

22

，则圆R上的点到底面ABCD

的距离的最大值为因此四棱锥P-ABCD

的体积的最大值为

13

×1×

2+12

=

2+16

，C正确；对于D，显然AB⊥平面BCC1B1，在平面BCC1B1内建立平面直角坐标系，如图，22

22

，而-

1

1

1因此AP=

1+

22

2+

2PC=1

22

1-

2

22

(sinθ+cosθ)=x，AP+PC=1

2+x+

1-x=

2+x+

1-x2≤22+x2+1-x2=

6，当且仅当x=-

12取等号，此时

22

(sinθ+cosθ)=-

12

，即sin

π4

12

，因此AP+PC1的最大值为6，D正确.故选：ACD5(2024·东济南·模)下列等式中正确的是(

)8k=1

8

8k=2

k9

8k=2

k-1k!

=1-

18!

8k=0

816【答案】BCD【详解】对于A，因为1+x8=C80+C81x+C82x2+⋯+C88x8，88k=1

k=1对于B，因为Cn2+Cn3=Cn3+1，5令点Pcosθ,sinθB,-211,C,222，22cosθ+21+22sinθ+21=2令点Pcosθ,sinθB,-211,C,222，22cosθ+21+22sinθ+21=2(sinθ+cosθ)，22cosθ-21+22sinθ-21=2(sinθ+cosθ)，令θ+=-山一A.Ck=28B.C2=C3C.D.Ck2=C8令x=1，得28=1+C81+C82+⋯+C88=1+C8k，则C8k=28-1，故A错误；8k=2448889对于C，因为

1k-1!

-

1k!

=

k!-k-1!k!k-1!

k-1k-1!k!k-1!

=

k-1k!

，8k=2

k-1k!

8k=2

对于D，1+x=+x+x，对于1+x16，其含有x8的项的系数为C168，对于1+x81+x8，要得到含有x8的项的系数，须从第一个式子取出k0≤k≤8,k∈N个x，再从第二个式子取出8-k个x，888k=0故选：BCD.

k=0

k=06(2024·东青岛·模)已知函数f(x)=cosx+

x(2

)π单B.fx的图象关于直线x=π对称9D.关于x的方程f(x)=a在区间[0,2π]有实数根，则所有根之和组成的集合为π,2π,4π【答案】BCD【详解】对于A：当x∈

πsin6

x2

>0，所以f(x)=cosx+sin

x2

=1-2sin2

x2

x2因为y=sin

x2

0,上

ππ

=

1-cosπ2

2-2

3

=

6-4

2

，x2

6-4

2

因为

4916

>3，即

74

>

3，所以2-

3-

14

=

74

-

3>0，即2-

3>

14

，所以2-

3>

12

，所以sin

π12

=

2-2

3

>

14

，又y=-2x2+x+1在∞,

1

上所以y=1-2sin2

x2

xππ

0,上0,不

6所以Ck2=C22+C32+C42+⋯+C82=C33+C32+C42+⋯+C82=C3+C2+⋯+C2=⋯=C3+C2所以Ck2=C22+C32+C42+⋯+C82=C33+C32+C42+⋯+C82=C3+C2+⋯+C2=⋯=C3+C2=C3，故B正确；=所以111111111=k-1!-k!=1!-2!+2!-3!+⋯+7!-8!=1-8!，故C正确.它们对应的系数为C8kC88-k=C8k2，161818所以C8k2=C168，故D正确.山一sin，则A.fx在区间调递增0,6C.fx的值域为0,80,时+sin，在单调递增，又sin6126=所以sin∈0,，1上单调递增，在,+∞单调递减，44-+sin在不单调，即fx在区间单调，故A错误；266对于B：因为f2π-x=cos2π-x+

22

x所以fx的图象关于直线x=π对称，故B正确；对于C：因为f=cosx+

x1-2sin2

x2

xx2x

，令t=

2111

99

98

，xx22

x2

x2πα则当x∈0,α时fx单调递增，

14

，令

α2

x2

<

πx22

14

x2所以fx在α,π上单调递减，2π-αα又sin

14

，令

π2

x2

<

2π-αx22且

14

x2所以fx在π,2π-α上单调递增，当

2π-α2

x2

xx22

14

，所以fx在2π-α,2π上单调递减，又f0=f2π=1，fπ=0，fα=f2π-α=

98

，所以fx在[0,2π]上的函数图象如下所示：由图可知：①当a=0时y=fx与y=a有且仅有一个交点，即关于x的方程f(x)=a在区间[0,2π]的实数根为π；②当0<a<1或a=

98

时y=fx与y=a有两个交点，即关于x的方程f(x)=a在区间[0,2π]有两个实数根，且两根关于x=π对称，所以两根之和为2π；③当1≤a<

98

时y=fx与y=a有四个交点，即关于x的方程f(x)=a在区间[0,2π]有四个实数根，不妨设为x1,x2,x3,x4且x1<x2<x3<x4，72π-xcosx+f，=sin+1-2=222xsin=x，则t∈0,1，令ht=1-2t2+t，t∈0,1，sin则ht2π-xcosx+f，=sin+1-2=222xsin=x，则t∈0,1，令ht=1-2t2+t，t∈0,1，sin则ht在0,上单调递增，在,1上单调递减，又h0=1，h1=0，h=444所以ht∈0,，所以fx的值域为0,，故C正确；88对于D：当x∈[0,2π]时sin≥0，所以fx=cosx+sin=1-2sin2+sin，由A选项可令α∈0,且sin=62<，即α<x<π时y=sin在α,π上单调递增，且<sin<1，=sin=22<，即π<x<2π-α时y=sin在π,2π-α上单调递减，<sin<1，<<π，即2π-α<x<2π时y=sin在2π-α,2π上单调递减，且0<sin<所以x1与x4关于x=π对称，x2与x3关于x=π对称，所以x1+x2+x3+x4=4π；④当a<0或a>

98

时y=fx与y=a无交点，即关于x的方程f(x)=a在区间[0,2π]无实数根；综上可得，若关于x的方程f(x)=a在区间[0,2π]有实数根，则所有根之和组成的集合为π,2π,4π，故D正确；故选：BCD7(2024·东聊城·模)设f是定义在R上的可导函数，其导数为g，若f3x+1是奇函数，且对于任意的x∈R，f4-x=fx，则对于任意的k∈Z，下列说法正确的是(

)A.4k都是gx的周期C.曲线y=gx关于直线x=2k+1对称

B.曲线y=gx关于点2k,0对称D.gx+4k都是偶函数【答案】BC【详解】由f3x+1是奇函数，故有f3x+1=-f-3x+1，即有fx+1=-f-x+1，故，则fx+1=f-x+1，即gx+1=g-x+1，故gx关于x=1对称，由f4-x=fx，则-f4-x=fx，即-g4-x=gx，故gx关于2,0中心对称，由-g4-x=gx，则-g3-x=gx+1，又gx+1=g-x+1，故g-x+1=-g3-x，即有gx+1=-g3+x，则gx+3=-gx+5，故gx+3=-gx+5=-gx+1，即gx+1=gx+5，故gx=gx+4，故gx周期为4.对A：当k=0时，4k=0，故A错误；对B：由gx周期为4，故g4k-x=g-x，又-g4-x=gx，故-g-x=gx，故g-x=-gx=g4k-x，故曲线y=gx关于点2k,0对称，故B正确；对C：由gx周期为4，故g4k+2-x=g2-x，又gx+1=g-x+1，故gx=g-x+2=g4k+2-x，故曲线y=gx关于直线x=2k+1对称，故C正确；对D：由B得-gx=g4k-x，故-g-x=g4k+x，又gx周期为4，故有-g-x=-g4k-x，故g4k+x=-g4k-x，又x∈R，即gx+4k都是奇函数，故D错误.故选：BC.山一列an满足an=n2+n，数列bn的首项为1，且Δbn=n+2⋅2n-1,n∈N*，则(

)A.存在M>0，使得Δa<M恒成立n

B.存在M>0，使得Δ2a<M恒成立n

8山xx一8(2024·山xx一8(2024·东烟台·模)给定数列an，定义差分运算：Δan=an+1-an,Δ2an=Δan+1-Δan,n∈N*.若数n

D.对任意M>0，总存在n∈N*，使得

Δ2bn>Mbn【答案】BC【详解】对于A，由an=n2+n，得Δan=(n+1)2+(n+1)-(n2+n)=2n+2，显然Δan有最小值4，无最大值，因此不存在M>0，使得Δan<M恒成立，A错误；对于B，由选项A知，Δan=2n+2，则Δ2an=2(n+1)+2-(2n+2)=2，显然当M>2时，Δ2an<M恒成立，B正确；对于C，由Δbn=(n+2)⋅2n-1，得bn+1-bn=(n+2)⋅2n-1，当n≥2时，bn=b1+(b2-b1)+(b3-b2)+(b4-b3)+⋯+(bn-bn-1)即bn=1+3×20+4×21+5×22+⋯+(n+1)×2n-2，于是2bn=2×20+3×21+4×22+⋯+n×2n-2+(n+1)×2n-1，两式相减得-bn=1+1+21+22+⋯+2n-2-(n+1)×2n-1=1+

1-2n-11-2

-(n+1)×2n-1=-n×2n-1，因此bn=n⋅2n-1，显然b1=1满足上式，则bn=n⋅2n-1，由bn+1-bn=(n+2)⋅2n-1>0，得数列bn是递增数列，bn有最小值1，无最大值，从而对任意M>0，总存在n∈N*，使得bn>M，C正确；对于D，Δ2bn=(n+3)⋅2n-(n+2)⋅2n-1=(n+4)⋅2n-1，由选项C得

Δ2bn=1+bn

4n

，显然数列+

是递减数列，0<1+

4n

≤5，因此对任意M>0，不存在n∈N*，使得

Δ2bn>M成立，bn错误.故选：BC9(2024·东济宁·模)如图，在棱长为2的正方体ABCD

-A1B1C1D1中，M是棱BC的中点，N是棱1

)A.三棱锥A-AMN1

的体积为定值752

1

-A1B1C1D1所得的截面图形的周长为11

的外接球的表面积为7π1

3

,

63

9C.对任意M>0，总存在n∈N*，使得b>M4n1D山一DD上的动点(含端点)，则下列说法中正确的是(C.对任意M>0，总存在n∈N*，使得b>M4n1D山一DD上的动点(含端点)，则下列说法中正确的是(B.若N是棱DD的中点，则过A，M，N的平面截正方体ABCDC.若N是棱DD的中点，则四面体D-AMND.若CN与平面ABC所成的角为θ，则sinθ∈3【答案】AD【详解】对于A,连接A1M,因为DD1⎳AA1,AA⊂平面AAM,DD⊄平面AAM,1111所以DD1⎳平面A1AM,又点N是棱DD1上的动点(含端点)，所以点N到平面A1AM的距离为定值，设为d，则VA

-AMN1

=V

N-AAM1

=

13

×S

△A

AM1

×d=

13

×

2×52

×d=

53

d，为定值，故A正确；对于B,如图，四边形AMHN

为过A，M，N的平面截正方体ABCD

-A1B1C1D1所得的截面图形，因为平面A1ADD

⎳平面BBCC11

,1且平面A1ADD

∩平面AMHN1

=AN,且平面B1BCC1∩平面AMHN

=MH,根据面面平行的判断定理知，AN⎳MH，又因为M,N为中点，所以H为四等分点，则四边形AMHN

的周长为：

MHHNAN

5+

52

+

172

+

5=

55+2

17

,故B错误；对于C,如图所示，连接AD1,取AD的中点为M,连接MM

连接OM,则OE=OM,在△AD1N中，设其外接圆半径为r，由正弦定理知，

AN

1

=

522

=

10=2r，所以r=

102

，即ON=

102

，依题易得△AND

≅1DMA,故∠AMD=∠AND,弦AD1所对的圆周角相等，故A,M,N,D1四点共圆，则OM=ON=

102

,设外接球半径为R,过O作OE⊥MM

交MM

则在Rt△OEM

中，OM

2

=OE2+ME2,即R2=

2

2

2在Rt△OON中，ON2=OO

2+O2,即R2=OO

2+

2

2

10AM+++=，设△AD1N外接圆圆心为O,外接球球心为O,sin∠ADN于E,,10+2-OO,①AM+++=，设△AD1N外接圆圆心为O,外接球球心为O,sin∠ADN于E,,10+2-OO,①N10,②联立①②，解得OO=1,R2=

72

,故外接球的表面积为4πR2=14π,故C错误；对于D，以A为坐标原点，建立如下图所示空间直角坐标系，则A0,0,0,B12,0,2,C2,2,0,N0,2,λ,λ∈0,2,1n⋅AB=02x+2z=01n⋅AC=0n⋅CN2=

33

λ2+4λ+4=λ2+4

33

1+

4λ,λ2+4当λ=0时，sinθ=当λ≠0时，

33

，sinθ=

33

1+

4λ=λ2+4

33

1+

4λ+4λ

≤

33

1+

42λ×4λ

=

63

，当且仅当λ=2时等号成立，又sinθ=

33

1+

4λ>λ2+4

33

，

33

,

，故D正确，故选：AD.10(2024·东淄博·模)把底面为椭圆且母线与底面都垂直的柱体称为“椭圆柱”.如图，椭圆柱(OO

中椭圆长轴AB=4，短轴CD=23，F1,F2为下底面椭圆的左右焦点，F2为上底面椭圆的右焦点，AA=4，P为线段BB上的动点，E为线段AB上的动点，MN

为过点F2的下底面的一条动弦(不与AB重合)，则下列选项正确的是(

)12

11则AB=2,0,2,AC=2,2,0,CN=-2,0,λ,设平面AB1C的法向量n=x,y,z，⇒则AB=2,0,2,AC=2,2,0,CN=-2,0,λ,设平面AB1C的法向量n=x,y,z，⇒+2y=0，则2x令x=1，则y=z=-1，故n=1,-1,-1，λ+2则sinθ=cosn,CN=,3⋅4+λn⋅CN综上可知，sinθ∈63山一A.当FF⎳平面PMN时，P为BB的中点B.三棱锥F-FCD外接球的表面积为8π2212则tanα+β的最大值为-

1613D.三棱锥E-PMN体积的最大值为8【答案】ACD【详解】由题设，长轴长AB=AB=4，短轴长CD=23，则OF1=OF2=OF2=1，得F2,F2分别是OB,OB中点，而柱体中ABBA为矩形，连接OB，由B2⎳OF1，B2OF11，∴四边形F1OB2为平行四边形，OB⎳F1F2，当F1F2⎳平面PMN时，F1F2⊂平面ABBA，平面ABBA∩平面PMN=PF2，则F1F2⎳PF2，有OB⎳PF2，△OBB

222222△FCD外接圆半径为r=2

12

×

CDsin∠CFD2

=2，22222三棱锥F2-F2CD外接球的半径为R=

22+22=22，所以外接球的表面积为4πR2=32π，B选项错误；点Q是下底面椭圆上的动点，Q是点Q在上底面的射影，且QF1，QF2与下底面所成的角分别为α,β，令QF1=m,QF2=n，则m+n=4，又QQ=4，则tanα=

4m

，tanβ=

4n

，tanα+β=

tanα+tanβ=1-tanαtanβ

mn-16

=

16mn-16

，tanα+β=

16-m-22-12

，由椭圆性质知1≤m≤3，则当m=1或m=3时，tanα+β的最大值为-

1613

，C选项正确；

12C.若点Q是下底面椭圆上的动点，Q是点Q在上底面的射影，且QF，QF与下底面所成的角分别为α,β，FF=C.若点Q是下底面椭圆上的动点，Q是点Q在上底面的射影，且QF，QF与下底面所成的角分别为α,β，FF==F中，F2是OB中点，则P为BB的中点，A选项正确；OF⊥CD，CD23，OF1，则△FCD中，CFDF2，∠CFD=120°FF⎳AA，则FF⊥平面FCD，4m+n由VE-PMN=VM

-PEF

+V2

N-PEF

2

，要使三棱锥E-PMN体积最大，只需△PEF2的面积和M,N到平面PEF2距离之和都最大，S

△PEF

=S2

BFEB2

-S

△PBF

-S2

△PEB

，令EB=a,PB=b，且a,b∈0,4，则PB=4-b，S

△PEF

=2

12

×4×1+a-

12

×1×b-

12

×a×4-b=2+

ba-1，当a=b=4时，有最大值S△PEF=8，2在下底面内以O为原点，构建如上图的直角坐标系，且B0,2，则椭圆方程为

y24

+

x23

=1，设MN:y=tx+1，联立椭圆得3t2+4x2+6tx-9=0，Δ=144t2+1>0，x+x=-MN

6t3t2+4

,xx=-MN

93t2+4

xM+xN2-4xMxN=

12t2+13t2+4

，令l=

12l3l2+1

=

123l+

1l

，由对勾函数性质可知y=3l+

1l

124

=3，综上，三棱锥E-PMN体积的最大值为

13

×8×3=8，D选项正确.故选：ACD11(2024·东泰安·模)已知函数f的定义域为R，且f=0，若f+y=f+f+2，则下列说法正确的是(

)A.f-1=-4

B.fx有最大值

C.f2024=4046

D.函数fx+2是奇函数【答案】ACD【详解】对于A中，令x=y=0，可得f0=-2，令x=1,y=-1，则f1-1=f-1+f1+2，解得f-1=-4，所以A正确；对于B中，令x=x1,y=x2-x1，且x1<x2，则fx1+x2-x1=fx1+fx2-x1+2，可得fx2-fx1=fx2-x1+2，若x>0时，fx>-2时，fx2-fx1>0，此时函数fx为单调递增函数；若x<0时，fx<-2时，fx2-fx1<0，此时函数fx为单调递减函数，所以函数fx不一定有最大值，所以B错误；对于C中，令y=1，可得fx+1=fx+f1+2=fx+2，132，xM-xN=t2+1≥1，xM-xN2，xM-xN=t2+1≥1，xM-xN=在1,+∞上递增，xM-xNmax=山x1xxy一即fx+1-fx=2，所以f2024=f2024-f2023+f2023-f2022+⋯+f3-f2+f2-f1+f1=2023×2+0=4046，所以C正确；对于D中，令y=-x，可得f0=fx+f-x+2，可得fx+2+f-x+2=0，即fx+2=-f-x+2，所以函数fx+2是奇函数，所以D正确；故选：ACD.12(2024·东菏泽·模)如图，过点C(a,0)(a>0)的直线AB交抛物线y2=2px(p>0)于A，B两点，连接AO、BO，并延长，分别交直线x=-a于M，N两点，则下列结论中一定成立的有(

)A.BM⎳AN

B.以AB为直径的圆与直线x=-a相切C.S

△AOB

=S

△MON

D.S2△MCN

=4S

△ANC

⋅S

△BCM【答案】ACD【详解】对于A，令AB:x=my+a,Ax1,y1,Bx2,y2，xy则Δ=2pm2+8pa>0，y1y2=-2pa,y1+y2=2pm，1212则kOA=

yx

1,OA:y=1

yx

1x,M1

,-

1

ay1x1

故kBM=

y+ay12x12

=

y+2pa2y12

=

yy+2pa12

11=0，同理kAN=0,∴BM⎳AN，故A正确；对于C，设x=-a与x轴交于P，S△PON=S△AOC,S△MOP=S△BOC，则S△PON+S△MOP=S△AOC,+S△BOC，S△AOB=S△MON，故C正确；对于D，S△ANC=

12

x1+ay1,S△BCM=-

122

2则S△ANC⋅S△BCM

=-

14

x1+ax2+ay1y2=-

141212=-=-

1412121214

14山一=my+a，消x可得y2-2pmy-2pa=0，联立2=2px山一=my+a，消x可得y2-2pmy-2pa=0，联立2=2pxx+x=my+y+2a=2pm2+2a，-ax+ax+ayx+ax+aymy+2amy+2ayym2yy+2amy+y+4a2yym2-2pa+2am2pm+4a2-2pa=pa2pm2+2a，而S△MCN=S△MPC+S△NPC=

12

⋅2a|y-y|=a|y-y|，1212所以S△2MCN=a2y1-y22=a2y1+y22-4y1y2=4pa2pm2+2a=4S△ANC⋅S△BCM，故D正确；x+x2

y+y2,12

2Q

pm2+a,-pa,则Q到直线x=-a的距离d=pm2+2a，以AB为直径的圆的半径

2

=

12

12

p2m4+p2m2+2pam2+2pa，所以d2-

AB4

2

=p+2a2a-pm2，当a=

p2

时相切，当a≠

p2

时不相切，故B错误.故选：ACD.湖一f2=x2．设f的零点个数为m，方程3a+2bf+c=0的实根个数为n，则(

)A.当a>0时，n=3C.mn一定能被3整除

B.当a<0时，m+2=nD.m+n的取值集合为4,5,6,7【答案】AB【详解】由题意可知fx=3ax2+2bx+c为二次函数，且x1,x2x1<x2为fx的零点，由ffx=3afx2+2bfx+c=0得fx=x1或fx=x2，当a>0时，令fx>0，解得x<x1或x>x2；令fx<0，解得x1<x<x2；可知：fx在-∞,x1,x2,+∞内单调递增，在x1,x2内单调递减，则x1为极大值点，x2为极小值点，若x1≥0，则-x1≤0<x2，因为fx1>fx2，即-x1>x2，两者相矛盾，故x1<0，则fx=x2有2个根，fx=x1有1个根，可知n=3，若fx2=x2>0，可知m=1，mn=3,m+n=4；若fx2=x2=0，可知m=2，mn=6,m+n=5；若fx2=x2<0，可知m=3，mn=9,m+n=6；故A正确；当a<0时，令fx>0，解得x1<x<x2；令fx<0，解得x<x1或x>x2；

15对于B，AB中点Q1，即AB1+m对于B，AB中点Q1，即AB1+m2y-y=13(2024·北·模)已知函数fx=ax3+bx2+cx+d存在两个极值点x1,x2x1<x2，且fx1=-x1，xxfx2x可知：fx在x1,x2内单调递增，在内-∞,x1,x2,+∞单调递减，则x2为极大值点，x1为极小值点，若x2≤0，则-x1>0≥x2，因为fx1<fx2，即-x1<x2，两者相矛盾，故x2>0，若fx1=-x1>0，即x1<0，可知m=1，n=3，mn=3,m+n=4；若fx1=-x1=0，即x1=0，可知m=2，n=4，mn=8,m+n=6；若fx1=-x1<0，即x1>0，可知m=3，n=5，mn=15,m+n=8；此时m+2=n，故B正确；综上所述：mn的取值集合为3,6,8,9,15，m+n的取值集合为4,5,6,8，故CD错误；故选：AB.14(2024·北武汉·拟预测)已知函数f=ax+1lnxex+1恰有三个零点，设其由小到大1-x分别为x1,x2,x3，则(

)A.实数a的取值范围是

1e

B.x+x+x=0123C.函数gx=fx+kf-x可能有四个零点

D.

3=ex1

3【答案】BCD【详解】对于B，f=0⇔aln+x1-ex1-xex+1

=0，设h=aln+x1-ex1-xex+1

，则它的定义域为-1,1，它关于原点对称，且hx=aln-x1-e-x1+xe-x+1

=-

1-xex+1

x

hx，所以hx是奇函数，由题意hx=0有三个根x1,x2,x3，则x1+x2+x3=0，故B正确；对于C，由f+kfx=0⇒ax+1lnxex+1+1-x

-x+1ln-x1+x

e-x+1

0，所以aln+x1-ex1-xex+1

ln1+x1-x

ex+ex

16xe1+-湖模0,f′xf′xx1+x1+1+x+1-exe1+-湖模0,f′xf′xx1+x1+1+x+1-ealn=--1+x-e1+-a1e-=+ka-ex1-ex=0，1+1所以aln+x1-ex1-xex+1

=

ex1-xex+1

+，1-xex+1

即aln+x1-ex

kex

0已经有3个实根x,x,x，

123当k>0时，令1-

kex

123由B可知，x1=-x3，而

31

33又f=aexln

1+x1-x

21-x2

3

1-x1+x

3

3

2

3

-1，3

1+x1-x

3

3

2

3

-ex

3=aln

1-x1+x

3

3

2

3

-1+aex3ln

1+x1-x

3-aln3

1-x1+x

3-ex3+133

1+x1-x

3

33

3

，D正确；对于A，aln+x1-ex1-xex+1

，设p=alnx=-1-x

1-exex+1

，则px=

2a1-x2

,mx=

2exx+1

，所以p0=2a,m0=

12

，从而0<2a<

12

,0<a<

14

，故A错误.故选：BCD.15(2024·建·拟预测)已知正方体ABCD

-A1B1C1D1的棱长为2，棱AB,BC的中点分别为E，F，点G在底面A1B1C1D1上，且平面EFG∥平面ACD

1

，则下列说法正确的是(

)11

12

11

A1

1C.三棱锥G-BCD体积的最大值为21

D.二面角D-EF-G的余弦值为

33【答案】BCD【详解】如图，建立空间直角坐标系，依题意，A2,0,0,C0,2,0,D10,0,2,E2,1,0,F1,2,0，设00100设平面ACD1的一个法向量为n1=x1,y1,z1，nn⋅AC=-2x+2y=0nn111111nn23-x-y00220202

1,1,

3-x-y02

0为平面EFG

∥平面ACD

1

，所以n1⎳n2，即

3-x-y02

0=1，以x+y=1，00171+x1-exalnk1+1+1-==0，则x=lnk，只需保证lnk≠x,x,x可使得方程有4个实根，故C正确；=ex⇔fx=exf-x，fxfx33+aex+1-ex1+x1-exalnk1+1+1-==0，则x=lnk，只需保证lnk≠x,x,x可使得方程有4个实根，故C正确；=ex⇔fx=exf-x，fxfx33+aex+1-ex,ex3fx=aln3+aex+11-x2x所以f3=aexln3+aex+11-x23+aex+11-x2=ex3fx+