浙江省宁波市2023-2024学年九年级下学期第三次月考数学试题（含答案解析）

浙江省宁波市第七中学2023-2024学年九年级下学期第三次

月考数学试题

一、单选题

1.2024的倒数是()

—C.2024D.-2024

A'2024'B2024

【答案】A

【分析】

本题考查了倒数.乘积是1的两数互为倒数.据此解答即可.

【详解】解：2024的倒数是,

2024

故选：A.

2.下面的计算正确的是()

A.5a2-4a2=1B.3a+4b-labC.2^a+b)=2a+b

D.—(a+b)=­a—b

【答案】D

【分析】

各项化简得到结果，即可得出结论.

【详解】A、5a2-4a2=a2,本选项错误.

B、3。+46不能合并，本选项错误.

C、2(a+b)=2a+2b,本选项错误.

D、—(a+b)=-a—b,本选项正确.

故选：D.

【点睛】本题考查了整式的加减，熟练掌握运算法则是解题的关键.

3.“一寸光阴一寸金，寸金难买寸光阴."我们一定要珍惜每分每秒，努力学习，一天

的时间为86400秒，将86400用科学记数法表示为()

A.86.4xlO3B.8.64xlO3C.8.64xlO4D.0.864xlO5

【答案】C

【分析】用科学记数法表示绝对值较大的数时，一般形式为0X10",其中1W|4|<1O,〃

为整数.

【详解】解：86400用科学记数法表示为8.64xlO4.

故选：C.

【点睛】

本题考查了科学记数法，科学记数法的表示形式为axio”的形式，其中n为

整数.确定”的值时，要看把原来的数，变成。时，小数点移动了多少位，”的绝对值

与小数点移动的位数相同.

4.牛顿曾说过：“反证法是数学家最精良的武器之一”.那么我们用反证法证明：“若

a>b>0,则&<必"，首先应该假设（）

A.s/a<y[bB.y[a>C.y[a=D.-fa>y/b

【答案】D

【分析】

本题考查了反证法的应用，根据反证法的步骤中，第一步是假设结论不成立,反面成立，

解此题关键要懂得反证法的步骤.反证法的步骤是：假设结论不成立、从假设出发推出

矛盾、假设不成立，则结论成立.

【详解】解：反证法证明：“若a>b>0,则后〈扬“，首先应该假设夜

故选：D.

5.下列几何体中，主视图和左视图都为三角形的是（）

【答案】C

【分析】

此题考查了三视图，分别判断各几何体的主视图和左视图即可得到答案.

【详解】解：A.三棱柱的主视图为矩形，左视图也是矩形，故选项错误，不符合题意;

B.长方体的主视图为矩形，左视图也是矩形，故选项错误，不符合题意；

C.三棱锥的主视图为三角形，左视图也是三角形，故选项正确，符合题意；

D.圆柱的主视图为矩形，左视图也是矩形，故选项错误，不符合题意.

故选：C.

6.下表记录了甲、乙、丙、丁四名跳高运动员最近几次选拔赛成绩的平均数与方差:

试卷第2页，共22页

甲乙丙T

平均数（cm）180185185180

方差3.63.67.48.1

根据表中数据，要从中选择一名成绩好且发挥稳定的运动员参加比赛，应该选择（）

A.甲B.乙C.丙D.丁

【答案】B

【分析】

本题考查用平均数和方差做决策，正确理解方差与平均数的意义是解题关键.先比较平

均数，再比较方差，平均数相同时选择方差较小的运动员参加即可.

【详解】解：V180<185>3.6<7.4,

乙的平均数高且方差小发挥稳定性好，应该选择乙.

故选：B.

7.如图，在AABC中，ZACB=90°,分别以点A,2为圆心，大于gA3的长为半径作

弧，两弧交于点M,N,作直线分别交A8,AC于点。，E,连接CO,BE,则下列

结论中不一定正确的是（）

A.AD=BDB.BE>CD

C.ZBEC=ZBDCD.BE平分NCBD

【答案】D

【分析】根据题意可知DE是AB的垂直平分线，由此即可得出=由RtABC中

点。是AB的中点，可得ACZ）和△BCD均为等腰三角形，据此作出判断.

【详解】由题可得，OE是A3的垂直平分线，

AD=BD,故A选项正确；

RtABC,点。是A3的中点,

CD-AD,

DE.LAB,

中，AE>AD,

BE>CD,故B选项正确；

N8EC是等腰住的外角，

ZBEC=2ZA,

N3DC是等腰ACE）的外角，

ZBDC=2ZA,

ZBEC=ZBDC,故C选项正确；

，当ZA=30。时，ZABE=30°=NCBE,

.,•当NA=30。时，BE平分/ABC,

而—A不一定为30。，

BE不一定平分NCBD,故D选项错误.

故选：D.

【点睛】本题考查了线段的垂直平分线的性质、等腰三角形的性质、直角三角形斜边上

中线的性质等知识的运用.解题时注意：在直角三角形中，斜边上的中线等于斜边的一

半；线段垂直平分线上任意一点，到线段两端点的距离相等.

8.如图所示，在RtaABC中，4=30。，点。是斜边AB的中点，点G是Rt^ABC的

重心，GE_LAC于点E,若8c=6cm,那么GE的长为（）c机.

【答案】B

【分析】

根据在直角三角形中，30。所对的直角边是斜边的一半得到AB=23C=12c〃z,根据直角

三角形斜边上的中线是斜边的一半CD=^AB=6cm,根据重心的性质得到

2

CG=-CD=4cm,根据30。所对的直角边是斜边的一半得到答案.

【详解】解：在RABC中，ZA=30°,

AB=2BC=12cm,

试卷第4页，共22页

在&ABC中，点。是斜边AB的中点,

CD=—AB=6cm,

2

・・•点G是及ABC的重心，

CG=-CD=4cm

3f

•；CD=AD,

：.ZDC4=ZA=30°,

GE=—CG=2cm,

2

故选：B.

9.反比例函数%=生（工〉0）的图象与一次函数%=-尤+6的图象交于4、5两点，其中

x

A（l,2）,当％〉%时，x的取值范围是（）

A.x<lB.l<x<2C.x>2D.0<x<l或

x>2

【答案】D

【分析】

本题主要考查了一次函数与反比例函数综合，线吧点A坐标代入一次函数解析式和反比

例函数解析式中求出两个函数解析式，进而求出点8的坐标，再根据函数图象找到反比

例函数图象在一次函数图象上方时自变量的取值范围即可.

【详解】

解：把4（1,2）代入%=竺（工>0）中得：m=2,

X

2

，反比例函数解析式为弘=—（x〉0）,

把A（l,2）代入%=-*+，中得2=-1+Z?,解得。=3,

・••一次解析式为%=一元+3,

y2=—x+3

联立<2八、得：%2一3%+2=0,解得％=1或%=2,

Ix

・・・5（2,1）,

由函数图象可知，当。<九<1或%>2时反比例函数图象在一次函数图象上方，

・•・当时，x的取值范围是：Ovxvl或无>2,

故选D.

10.如图，分别以直角三角形的三边向外作等腰直角三角形，然后将较小的两个等腰直

角三角形./因和_5/汨放在最大的等腰直角三角形,ABC内（如图），DE与FG交于

点P,连接AP,FE.EG,欲求「GEC的面积，只需要知道哪个三角形的面积即可（）

C.ADFPD.FEG

【答案】C

【分析】

本题主要考查了以直角三角形三边组成的图形的面积，平行四边形的性质与判定，先根

据勾股定理得SVABC=SV.G+SVB»E，FG〃BC,CG//PE,则四边形CEPG是平行四

边形,再由S四边形ECGPUSADFP,可以得到SZ\CEG=5SZ\DFP•

【详解】解：由题意得&ABC=S'AFG+SVBDE，FG〃BC,CG//PE,

四边形CEPG是平行四边形,

••S.CEGUlSjjijjjgECGP，

•'S'ABC=S'AFG+S四边形BFPE+四边形ECGP>

S四边形ECGp-S^DFF,

•*S/\CEG=JS^DFP，

故选：C.

试卷第6页，共22页

二、填空题

11.64的算术平方根是.

【答案】8

【分析】

直接根据算术平方根的定义即可求出结果.

【详解】

解：：8n=64,

764=8,即64的算术平方根是8.

故答案为：8.

【点睛】

此题主要考查了算术平方根的定义，解题的关键是算术平方根必须是正数，注意平方根

和算术平方根的区别.

Y-L1

12.要使分式注有意义，那么x应满足的条件是_____.

x-1

【答案】x#l

【分析】根据分式有意义的条件可得x-#0,再解即可.

【详解】解：由题意得：x-1加，

解得好1,

故答案为:x^l.

【点睛】此题主要考查了分式有意义的条件，关键是掌握分式有意义的条件是分母不等

于零.

13.在平面直角坐标系中，将点4（4,3）先向右平移1个单位长度、再向下平移2个单

位长度得到点B,则B的坐标是.

【答案】（5,1）

【分析】

本题考查的是坐标与图形变化-平移.利用点平移的坐标规律“右移加，左移减,上移加，

下移减”，把A点的横坐标加1,纵坐标减2即可得到点8的坐标.

【详解】解：点A（4,3）先向右平移1个单位长度，再向下平移2个单位长度，得到点2,

则点B的坐标是（4+1,3-2）,即（5,1）.

故答案为：（5,1）.

14.一个扇形的圆心角为60。半径为60小则这个扇形的弧长为—cm.（结果保留兀）

【答案】21

【分析】已知扇形的圆心角为60。，半径为6,代入弧长公式计算.

【详解】解：依题意，〃=60,r=6f

・迎rrrr”Yl'Tl'T60X7TX6-

••扇形的弧长二=——--=2乃，

lol)loO

故答案为2n.

【点睛】本题考查的是扇形的弧长公式的运用，正确记忆弧长公式是解题的关键.

\a,x+b,y=c.(x=1

15.若关于x,y的।।的解是。，则关于加，”的方程组

[a2x+b2y=c2[,二一3

2q(加一〃)一3b1+〃)=5cl

的解是

2%(m-n)-3b2(m+〃)=5c2

m=5

【答案】

n=0

【分析】

仿照已知方程组的解法求出所求方程组的解即可.

x=2

【详解】解：关于x,y的的解是

a2x+b2y=c2y=-3'

2al-3Z?1=q

2a2-3b2=c2

(m-n)(m+n)

2%-----------3b、---=q

由题意得：＜

(m-n)[m+n)

m-n

-------=1

5

m+n

-------=1

.5

m=5

n=0

故答案为：n.

【点睛】此题考查了解二元一次方程组，熟练掌握运算法则是解本题的关键.

16.如图，矩形ABCD中，ZBAC=60。，点石在A8上，且5£=1,钻=3,点尸在5C

边上运动，以线段所为斜边在点8的异侧作等腰△GEF,使3、E、G、/四点共圆.连

接5G、CG.

试卷第8页，共22页

(1)/EBG=；

CF

(2)当CG最小时，.

AD

【答案】45。/45度回上上

99

【分析】

本题考查了矩形的性质，四点共圆，全等三角形的判定与性质，勾股定理，等腰直角三

角形的判定与性质，垂线段最短，含30度角的直角三角形.如图1,取石尸的中点O,

连接。氏OG,作射线BG,证明E,G,尸在以。为圆心的圆上，得点G在/ABC

的平分线上，当CG,3G时，CG最小，止匕时，画出图2,根据3CG是以3C为斜边的

等腰直角三角形，证明EGB四二FGC,可得BE=CF,根据含30度角的直角三角形可

得AD,进而可得结论.

【详解】

解：(1)如图1,

；B、E、G、尸四点共圆，

:.ZABC=ZEGF=90°,

等腰△GEF,

：.GE=GF,

GE=GF

/.ZGBE=ZGBF=-ZEBF=45°；

2

故答案为：45°；

(2)由(1)得BG平分//IBC,

.•.点G在/ABC的平分线上，

...当CG_L3G时，CG最小，

此时，如图2,

CG1BG,

BCG是以8。为斜边的等腰直角三角形,ZBGC=90°f

..BG=CG,

/EGF=/BGC=90。,

ZEGF-ZBGF=ZBGC-ZBGF,

:"EGB=/FGC,

在，EG8和△/GC中，

BG=CG

</EGB=/FGC,

EG=FG

EGB^FGC(SAS),

:.BE=CF,

・・•四边形ABC。是矩形，

AD=BC,

VBE=l,AB=3,

：.CF=BE=lf

在中，44C=60。,

ZAC6=30°,

・•・AC=2AB=6,

JBC=y/AC2-AB2=373，

・•・AD=30

.CF=1=6

**A£>-3A/3-9•

故答案为：B.

9

试卷第10页，共22页

三、解答题

17.计算：

(l)(a-2)2+(a+l)(a-l)

⑵解分式方程：片2=—x、-：!.

l—xX+1

【答案】（l）2〃_4a+3

(2)x=-3

【分析】

本题考查了整式的混合运算、解分式方程，对于解分式方程，记住一定要检验.

（1）根据平方差和完全平方公式去括号，在合并同类项即可；

（2）两边同乘最简公分母，化为整式方程，解整式方程即可，最后验根.

【详解】（1）

解：原式=。2一4。+4+。2-1

=2a~—4a+3;

（2）

去分母得：2（x+l）=x（l_x）_（l-尤2）

解得：x=-3

经检验，*=-3是分式方程的解

18.如图，ASC在平面直角坐标系内，顶点坐标分别为A（T2）,8（-3,3）,C（-3,l）.

⑴画出,ABC关于原点。成中心对称的△ABiG；

⑵以A为位似中心，在网格中画出VADE,使VADE与〈ABC位似且面积比为4:1.

【答案】（1）作图见解析

（2）作图见解析

【分析】

本题主要考查了中心对称作图和位似作图，解题的关键是作出对应点.

(1)作出点A、B、C关于原点的对称点A、鸟、G，然后顺次连接即可;

(2)以A为位似中心，作出点3、C的位似点，然后顺次连接即可.

【详解】(1)

解：如图，△AB。1即为所求作的三角形.

(2)解：如图，△A?耳与VAD/?即为所求作的三角形.

19.观察下列等式：

第①个等式：12+22=32-22,

第②个等式：22+32=72-62,

第③个等式：32+42=132-122,

第④个等式：42+52=212-202,

根据上述规律解决下列问题：

(1)写出第⑤个等式；

(2)写出你猜想的第⑪个等式(用含〃的式子表示)，并证明.

【答案】⑴5,+62=3/_3()2

(2)H2+(n+l)2一［"(”+1)了，见解析

【分析】

(1)根据前4个等式的计算规律，写出第⑤个等式即可；

(2)根据前5个等式的计算规律猜想写出第〃个等式，再运用平方差公式计算证明.

【详解】(1)

试卷第12页，共22页

第⑤个等式为:52+62=312-302;

⑵

第〃个等式（用含"的式子表示）为:"+（”+1）2=（/I）丁，

证明：左边=++2〃+1）=2〃2+2"+1,

右边+丁+2〃（"+1）+1—[”（"+1）了=2n2+2n+1,

•左边=右边，

〃2+（〃+1）~=["（“+1）+1丁-鼠+1）了.

【点睛】

本题主要考查了数字规律的探究，熟练掌握平方差公式的应用是解答本题的关键.

20.为了加强中华优秀传统文化教育.培育和践行社会主义核心价值观，学校决定开设

特色活动课，包括A（经典诵读），3（传统戏曲），C（中华功夫），。（民族器乐）四门课程.校

学生会随机抽取了部分学生进行调查，问询学生最喜欢哪-一门课程，并将调查结果绘

请结合图中信息解答问题:

⑴本次共调查了名学生，图中扇形“C”的圆心角度数是_。.

（2）请将条形统计图补充完整；

（3）在这次调查中，甲、乙、丙、丁四名学生都选择了“经典诵读”课程，现准备从这四

人中随机抽取两人参加市级经典诵读比赛，试用列表或树状图的方法求抽取的两人恰好

是甲和乙的概率.

【答案】（1）100,72；（2）见解析；（3）7，

O

【分析】（1）用B项目的人数除以其百分比即可得到调查人数，计算出C项目的人数

除以调查人数后再乘以360。得到C的圆心角度数；

（2）根据（1）求出的C项目是12人直接补图即可；

（3）列树状图表示所有可能的情况，确定恰好是甲和乙的情况，再根据概率公式计算

即可.

【详解】（1）调查人数=12+12%=100（人）；

C项目的人数为：100-42-12-26=20（人），

20

扇形“C”的圆心角度数是前x360=72°,

故答案为：100,72。；

⑵补全条形图如下:

⑶树状图如下:

开始

所有出现的结果共有12种情况，并且每种情况出现的可能性相等，其中出现甲和乙一

起的情况共有2种，

21

二恰好选到甲和乙的概率尸=77=2.

126

【点睛】此题是统计题，正确理解条形图和扇形图中的信息，能根据部分的数量及百分

比求总体，掌握计算部分百分比的公式，会列树状图或是表格求事件的概率.

21.图1是某型号挖掘机，该挖掘机是由基座、主臂和伸展臂构成.图2是某种工作状

态下的侧面结构示意图（MN是基座的高，是主臂，PQ是伸展臂，EM//QN}.已

知基座高度为1m,主臂MP长为5m,测得主臂伸展角/PME=37。.

3344

（参考数据：sin37°®,tan37°«—,sin53°«—,tan53°®-

主臂

基座

试卷第14页，共22页

⑴求点尸到地面的高度；

（2）当挖掘机挖到地面上的点时，ZMPQ=113°,求QN.

【答案】（1）点尸到地面的高度为4m；

⑵QN=4肉4（m）.

【分析】本题考查了解直角三角形的应用，根据题目的已知条件并结合图形添加适当的

辅助线是解题的关键.

（1）过点尸作/汨，QN,延长ME交PH于尸，易知四边形MNHF为矩形，则

FH=MN=\m,PF=PM-smZPME,进而可求4/=?尸+见得答案；

（2）由（1）可知，四边形为矩形，贝1］例=府=冏八8$4加£,求得/。巴/=60。

进而可得QH=4gm，据此求解可得答案.

【详解】（1）解：过点尸作尸于”，延长ME交尸”于尸，

:.FH=MN=lm,ZPFM=9Q0,

3

则PF=PM-sinZPME=PM-sin37°=5x-=3(m),

点尸到地面的高度：PH=PF+FH=4m,

即点尸到地面的高度为4m；

(2)解：由(1)可知，四边形MZVHF为矩形，

则HV=9-cosNPME=PM8s37。=4m,

4PME=37。,

，ZMPF=53°,

：.=113°-53°=60°,

■/PH=4m,

：.tanNQPH=端=6,

：.QH=4am,

：.QN=QH+HN=4石+4(m).

22.根据以下素材，探索完成任务.

如何确定拍照打卡板

设计师小聪为某商场设计拍

照打卡板（如图1）,图2为其

平面设计图.该打卡板是轴对

素

称图形，由长方形。及G和等

材

腰三角形ABC组成，且点3,

F,G,C四点共线.其中，点图1

A到5c的距离为1.2米，

RS=0.8米，DG=1.5米.

因考虑牢固耐用，小聪打算选

B

用甲、乙两种材料分别制作长

------

素方形DEFG与等腰三角形

材ABC（两种图形无缝隙拼

接），且甲材料的单价为85元

DC

/平方米，乙材料的单价为100

图2

元/平方米.

问题解决

任小聪说：“如果我设计的方案中CB长与C,。两点

务推理最大高度间的距离相等，那么最高点B到地面的距离就是

线段。G长”，他的说法对吗？请判断并说明理由.

任

假设CG长度为无米，等腰三角形A3C的面积为

务探究等腰三角形ABC面积

S.求S关于x的函数表达式.

任

小聪发现他设计的方案中，制作拍照打卡板的总

务确定拍照打卡板

费用不超过180元，请你确定CG长度的最大值」

【答案】任务一：对，理由见解析；任务二：S=1.2^+0.48；任务三：CG长度的最大

值为0.25米.

试卷第16页，共22页

【分析】

本题考查了全等三角形的性质和判定、一次函数的实际运用、不等式的实际运用；

任务一，作BHLDC于点H,证明丝，。GC,根据全等三角形的性质即可解题;

任务二，利用三角形面积公式，即可建立S关于尤的函数表达式；

任务三，利用总费用为三角形所需费用加上矩形所需费用，根据总费用不超过180元,

建立不等式求解，即可解题.

【详解】任务一：解：他的说法对，理由如下：

作BHLOC于点H,

四边形DMG是长方形，

.-.ZDGC=90°,

:.ZBHC=ZDGC,

在与，DGC中，

ZBCH=ZDCG

<ZBHC=ZDGC

BC=DC

BHC^DGC（AAS）,

:.DG=BH.

•••最高点B到地面的距离就是线段0G长.

任务二：解：该打卡板是轴对称图形，四边形。所G是长方形，且点A到的距离

为1.2米，/G=0.8米，

BF=CG=x,

等腰三角形A3C的面积为S=g（2无+0.8）xl.2=（1.2x+0.48）（平方米），

/.S=1.2%+0.48.

任务三：解：/G=0.8米，0G=1.5米.

...长方形。EFG的面积为08x1.5=1.2（平方米），

甲材料的单价为85元/平方米，乙材料的单价为100元/平方米.

又甲、乙两种材料分别制作长方形DEfG与等腰三角形ABC,

80x1.2+(1.2x+0.48)x100<180,

解得0.25,

CG长度的最大值为0.25米.

23.如图，在平面直角坐标系中，抛物线丁=-/+&1+。Qb,c为常数)与x轴正半轴

的交点坐标是(1,0),对称轴为直线x=-2.

(1)求抛物线的解析式.

(2)点48均在这个抛物线上，点A的横坐标为。，点8的横坐标为。+4,将A,8两

点之间的部分(包括4B两点)记为图象G,设图象G的最高点的纵坐标与最低点的

纵坐标的差为九

①当A,8两点的纵坐标相等时，求/?的值；

②当0<%<9时，直接写出。的取值范围.

【答案】⑴抛物线的解析式为y=-d-4x+5

(2)①〃的值为4；②。的取值范围为-5<。<—3

【分析】

(1)利用待定系数法求出dc即可；

(2)①由A,8两点的纵坐标相等可得A,8两点关于抛物线的对称轴对称，即可求出

a,结合抛物线的顶点即可求出A

②分四种情况(见解析),先求出力关于a的表达式，根据0<〃<9可得关于a的不等式，

求解即可.

【详解】(1):•抛物线的对称轴是直线彳=一2,

b

——=~2,解得：/?=—4,

•••点(1,0)在抛物线上,

试卷第18页，共22页

.・・—i—4+c=0,

・・・c=5,

・••抛物线的解析式是：y=-x2-4x+5；

(2)①TA,B两点的纵坐标相等，

・・・A,B两点关于抛物线的对称轴对称，

.Q+Q+4

••-----------=—2,

2

解得：a=-4；

：.A(M,5),B(0,5),

*.*y=-x2-4x+5=-(x+2)2+9,

工图象G的最高点的纵坐标为9,

.••力=9—5=4；

(2)当x=〃时，y=_Q2—4Q+5,

当X=Q+4时，y=—(6i+4)2-4(a+4)+5=-a?—12a-27,

当。+4=-2时，a=-6,

i、当a<-6时，h-—a?—12a-27--4a+5)=-8a-32,

V0</z<9,・・・0<—8a—32<9,

,，41

解得：一"-<a<-4,

o

又,:a<-6,

・,・此种情况不存在；

ii、当a>—2时,h——c^—4a+5-(-/-12a—27)—8a+32,

*.*0</z<9,・\0<8a+32v9,

23

解得：-4<〃<--—,

o

又ta>-2,

・,・此种情况不存在；

iii、当-4时，/i=9-(-a?-4〃+5)=a?+4Q+4,

*.*0</z<9,0<a2+4«+4<9,

解得：-5<a<-4；

iv、当^4<aK-2时，h=9-1-a?-12a-27)=Q?+12a+36,

V0</?<9,A0<a2+12fl+36<9,

解得：-4<a<-3；

综上，当0</z<9时，。的取值范围为一5<。<一3.

【点睛】本题是二次函数综合题，主要考查了二次函数的图象与性质、待定系数法求函

数的解析式、抛物线的对称性等知识，熟练掌握二次函数的图象与性质、灵活应用数形

结合思想是解题的关键.

24.如图1所示，已知AB,C。是।。的直径，T是C。延长线的一点，。的弦AP交

CD于点、E,且AE=EF,OA2=OE-OT.

备用图

(1)如图1,求证：BT是:。的切线；

DT1

(2)在图1,连接CB,DB,若工方=彳，求tanC的值;

D12

(3)如图2,连接。尸交A5于点G,过G作GPLCD于点尸，若BT=6垃,DT=6.求

二厂的值,

nC

【答案】(1)见解析

(2)tanZC=

⑶软3

5

【分析】