浙江省温州市2024届高三年级下册3月第二次适应性考试（二模）数学含答案

机密★考试结束前

温州市普通高中2024届高三第二次适应性考试

数学试题卷

2024.3

本试卷共4页，19小题，满分150分.考试用时120分钟.

注意事项：

1.答卷前，考生务必用黑色字迹钢笔或签字笔将自己的姓名、准考证号填写在答题卷上.将条

形码横贴在答题卷右上角“条形码粘贴处”.

2.作答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卷上对应题目选项的答案信息点涂黑；

如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案，答案不能答在试题卷上.

3.非选择题必须用黑色字迹钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卷各题目指定区域内相应位

置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用铅笔和涂改液.不按以

上要求作答的答案无效.

4.考生必须保持答题卷的整洁，不要折叠、不要弄破.

选择题部分（共58分）

一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项

是符合题目要求的.

1.已知zeC,则“z2eR”是“zwR”的（）

A.充分条件但不是必要条件B.必要条件但不是充分条件

C.充要条件D.既不是充分条件也不是必要条件

2.已知集合"=+==+则AfN=（）

A.0B.RC.MD.N

3.在正三棱台ABC-A4G中，下列结论正确的是（）

A.匕IBC-ABC=3匕「g口B.平面AB。］

C.±BXCD.A^IBC

4.已知4=51110.5/=3°5,（?=108（）.30.5,则a,4c的大小关系是（）

A.a<b<cB.a<c<bC.c<a<bD.c<b<a

5.在（3——展开式中，x的奇数次募的项的系数和为（）

A.-64B.64C.-32D.32

6.已知等差数列｛a,｝的前〃项和为5“，公差为d,且｛S,｝单调递增.若%=5,则de（)

7.若关于x的方程—+mx+l|+|x2-mx+l|=21Ml的整数根有且仅有两个，则实数加的取值范围是（）

V-2-2垓

A.B.C.D.2

2三29

：x是有理数系私，是互质的正整数），则下列结论正确的是

8.已知定义在（0,1）上的函数/（%）=<

1,X是无理数

()

/（%）的图象关于x=g对称

A.B.的图象关于对称

C./（九）在（0,1）单调递增D.7（%）有最小值

二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目

要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.

9.已知角a的顶点为坐标原点，始边与x轴的非负半轴重合，P（-3,4）为其终边上一点，若角夕的终边与角

2a的终边关于直线丁=—x对称，则（）

A.cos(兀+a)=gJT

B.p=2kn+—+2a^keZ）

八7

C.tan£=—D.角夕的终边在第一象限

24

10.已知圆G:x?+丁=6与圆。2：Y+V+2x-a=0相交于A,3两点.若5根3=25根,.，则实数。的

值可以是（）

,2214

A.10B.2C.—D.—

33

11.已知半径为r球与棱长为1的正四面体的三个侧面同时相切，切点在三个侧面三角形的内部（包括边界）,

记球心到正四面体的四个顶点的距离之和为d,则（）

A.r有最大值，但无最小值B.厂最大时，球心在正四面体外

C.厂最大时，d同时取到最大值D.d有最小值，但无最大值

非选择题部分（共92分）

三、填空题：本大题共3小题，每题5分，共15分.把答案填在题中的横线上.

12.平面向量a1满足a=（2,1）,a//b,a-b-y/10,则卜卜.

13.如图，在等腰梯形ABC。中，AB=BC=CD=-AD,点七是A£>的中点.现将ZXABE沿3E翻折

2

到△A5E,将ADCE沿CE翻折到△D'CE,使得二面角A—BE—C等于60。，D—CE—5等于90。,

则直线A3与平面D'CE所成角的余弦值等于.

14.已知尸，尸分别是双曲线1=1（。力〉0）与抛物线丁2=2/（0>0）的公共点和公共焦点，直线PF

倾斜角为60。，则双曲线的离心率为.

四、解答题：本大题共5小题，共77分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.

15.（本小题满分13分）记△ABC的内角A,3,C所对的边分别为a,4c,已知2csinB=J办.

（1）求C；

（2）若tanA=tanB+tanC,a=2,求△ABC的面积.

16.（本小题满分15分）已知直线y=与椭圆C:亍+丁=1交于两点，P是椭圆。上一动点（不同

于A,3),记％,kPA,kPB分别为直线OP,PA,PB的斜率,且满足H噎=kPA-kPB.

（1）求点P的坐标（用人表示）；

（2）求|。阳-|4却的取值范围.

17.（本小题满分15分）红旗淀粉厂2024年之前只生产食品淀粉，下表为年投入资金x（万元）与年收益y（万

元）的8组数据：

X1020304050607080

y12.816.51920.921.521.92325.4

（1）用y=blnx+a模拟生产食品淀粉年收益y与年投入资金x的关系，求出回归方程；

（2）为响应国家“加快调整产业结构”的号召，该企业又自主研发出一种药用淀粉，预计其收益为投入的

10%.2024年该企业计划投入200万元用于生产两种淀粉，求年收益的最大值.（精确到0.1万元）

附：①回归直线6=石丫+益中斜率和截距的最小二乘估计公式分别为：

♦___

£viui-nvu

b=-------------,a=u-b-v

i=l

888£8(1%)c8

X%Eliu.A；

Z=1i=li=li=li=l

1612920400109603

③In2ao.7,ln5al.6

18.(本小题满分17分)数列｛4｝,｛0｝满足：｛4｝是等比数列，4=2,g=5,且

a1bl+a2b2+---+anbn=2(an-3)bn+^neN*).

(1)求年;

(2)求集合A=3(x-aJ(x-4)=0,，K2",ieN*｝中所有元素的和；

(3)对数列｛c“｝,若存在互不相等的正整数人,《，…,4(/»2),使得%+%+…+c勺也是数列｛qj中的

项，则称数列｛%｝是“和稳定数列”.试分别判断数列｛4｝,｛〃｝是否是“和稳定数列”.若是，求出所有/

的值；若不是，说明理由.

19.(本小题满分17分)如图，对于曲线r,存在圆c满足如下条件：

第19题图

①圆c与曲线r有公共点A,且圆心在曲线r凹的一侧；

②圆。与曲线r在点A处有相同的切线；

③曲线r的导函数在点A处的导数(即曲线r的二阶导数)等于圆c在点A处的二阶导数(已知圆

2

(无―4+仆―与2=/2在点a5,为)处的二阶导数等于_:__);

则称圆C为曲线r在A点处的曲率圆，其半径厂称为曲率半径.

(1)求抛物线＞=好在原点的曲率圆的方程；

(2)求曲线y=工的曲率半径的最小值；

X

（3）若曲线y=/在（%,e』）和（巧,*）（为处有相同的曲率半径，求证：^+x2<-ln2.

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数学试题参考答案及评分标准

2024.3

一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.

题号12345678

答案BDDBAACA

二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.

题号91011

选项ACDBDABD

三、填空题:

12.72；13.—；14.2+近或6+2

83

四、解答题：

15.解：①由2csiiiB=J^b得2sinCsiiiB=J5sinB（正弦定理2分）

得sinC=f2,:.C=7二L或3冗把（每个答案1分）

244

只写一个答案扣1分

由tanA=-tan（5+C）=tanB+tanC（正切公式给2分）

jr37r

（tanA+tanB+tanC=tanAtanBtanC也给2分）（对C二一或一进行讨论也给2分）

44

金tanB+tanC八一「八一八

得-------------=tanB+tanC,又tanB+tanCw0

1-taaBtanC

.-.tanBtanC=2即"Ce0弓tanC=1,即tanB=2

由①得tanA=tanB+tanC=3,（求出tanA或tanB给3分）

••.sinA=酒又a即云^=+得。=巫

10sinAsinC乡而至33?

102

又sin5='|j^（求出sinA、sinB>b、c其中一个给1分）

孚X竿4（公式和答案各给1分）

S=—acsinB=—x2x

22

②由tanA=tanB+tanC得

sinAsinBsinCsinBcosC+sinCcosBsin（B+C）cir»A

—।——-------（切化弦就给2分）

cosAcosBcosCcosBcosCcosBcosCcosBcosC

/.cosA=cosBcosC=-cos（B+C）

/.tanBtanC=2即.,.5C£10,方/.tanC=1,即taaB=2

由①得tanA=tanB+tanC=3,（求出tanA或给3分）

••.sinA=亚又a即一一=+得。=叵

10sinAsinC'回昱313J

102

又sinB=鼻下（求出sinA、sinB、b、。其中一个给1分）

S=工acsinB=LX2X叵x述=-（公式和答案各给1分）

22353

16.解：（1）由题设得A、B两点关于原点对称，设人（%,%）,尸（％2，%），则5（-七,一%）,

fr2

a+q=1_

2,两式相减得左匹,江也=——,所以，k-k=——

且4OP

¥七一%X1+Z44

—+y=1

I42

X2=4,

用--代替上述坐标中的左,可得尸4k,11或/4k,__

4kJ4k2+1V4F+1JW4F+144k2+1,

1.有对称坐标给1分

2.点差思想2分，两点斜率公式1分

3.写出的1上=—工给1分，到这里给4分

OP4

4.直线与椭圆方程联立求得坐标给2分，只写一个坐标给1分

5.尸坐标正确给2分，一个正确给1分

（2）由（1）得,

\OP\-\AB\=

116k4+17k2+l1J9力一

V16左4+8左？+1—V+16左4+8左〃+1

=41+,9=_=5

2J16^xp+8

当且仅当左=±工时等号成立.

2

当上=0时，|。斗|44有最小值4,但此时如斜率不存在，故|°斗|他|«4,5].

i.弦长公式算是2分，有公式但代入错误给1分

2.化简正确给2分

3.算出最大值是5的最后给6分，算出正确结果给7分。

17.（1）分值为6分

29.16129.161

603-603-

b=-------8b=—----^--二5

292292

109109

88

说明1：四个数字中有一个正确、有分数结构就给2分

人咆-5・”=2

88

回归方程为：亍=51nx+2

说明2：（1）学生出现约等于5也给满分

（2）&只能计算正确才给2分

（2）分值为9分

2024年设该企业投入食品淀粉生产x万元，预计收益y（万元）

说明3：有列式（错误）给2分

y=51nx+2+（200-x）-,0<x<200

,5150-x八/曰s

y=-------=--------=0,得x=50

x1010%

说明4：

（1）有导数给2分

（2）只要出现50就给3分

二其在（0,50）上递增，（50,200）上递减

%=51n50+2+15=5（21n5+ln2）+1=36.5

说明5：第一问的值求错，第二问有列函数式给2分，有求导再给2分（不管结果对错）

18.解：⑴她=23-3）4+8,[=2,;.%=2

又01bl+a2b2=2（%-3）2,4=2,.•9=2,g=5,解得：瓦=4

也｝的公比q=%=2,；.d=2"

又01bl+02bl+-•-+4-2-1=2（a“_i—3）2_1+8,

作差得：她=2（4-3应-2（矶-3应-

（有做差的过程，不管式子是否正确，均给1分）

将2=2"代入，化简：%=2（%-3）--3）,

得：an-an_x=3（w>2）（结果正确，给1分）

/.｛«„｝是公差d=3的等差数列，；.4=6=3〃一1

说明：1、通项公式均正确，有过程，满分；

2、只有通项公式，没有任何过程，给答案分2分；

3、踩点给分：64=2（q-3）4+8或4=2（1分）

侬1+02/=2（%-3泡或匕2=4（1分）

也｝的公比q=+=2（1分）2=2"（1分）

a

注意：如果学生有写出q=出4=4,么=2",

漏了q=2不扣分，到a=2"处，给4分!

又01bl+02b2+…+an_1bLi=2[an_x-3）/?,,^+8,

作差得：勺2=2（4-3）bn-2（^-3）^

（有作差的动作就给1分，不管运算对错）

%_%T=3（〃N2）（1分，化简结果错不给分）

an=3n—l（1分）

（2）记集合A的全体元素的和为S,

集合"=｛。],。2,…,。2"｝的所有元素的和为4"=2n'6no]+2）=6“2+”，

集合N=｛"打，…，"”｝的所有元素的和为B2n

集合N的所有元素的和为T,则有5=怎+%-T

对于数列也卜

当〃=2左一IpeN*）时，怎t=22"】=（3—1--1=3p—i（peN*）是数列｛叫中的项

当〃=2左（左eN*）时，％=2&J=2（3。-1）=3q—2（qeN*）不是数列｛4｝中的项

.•万用+仇+…+砥"其中收72=.2（6~1）-I-/-回-D+1

p2k+l>a2n22

即左=1鸣（6"-1）+1（其中国表示不超过实数x的最大整数）

0吃（6"-1）+1]4

.­.5=6n2+n+22n+1--4L2

33

写成：*<6/7-1<2rk+1或1鸣（61）-1<k<咋2（6"A1也对

22

说明：1、求出数歹£4｝的前2九项和=6〃2+〃，（1分）

002n+l

求出数列也｝的前2〃项和％=22向一2（1分）B2n=~,化简错，也给

1—2

2、有指出优〃不是数列｛4｝的项或是数列｛%｝的项。分）

3、有出现集合A中所有元素的和为

4“+J_31+&+…+^T）

（即体现学生知道数列和集合概念的不同，

+52〃还要减去数列｛4｝与｛%｝的公共项，左表达错误也给1分）

4、答案正确再给1分（左表达正误在这里体现）。

（3）①解：当，=3%,wN*）时，气+%T----F4.是3的正整数倍，

故一定不是数列｛4｝中的项；

当/=3S一1,（切eN*）时，”+电4-----=l（mod3）,不是数列｛。〃｝中的项;

当/=3机+l,（〃zeN*）时，aA,+a^++akj=2（mod3）,是数列｛aa｝中的项；

综上，数列｛a,｝是“和稳定数列"，j=3m+l,（meN*）；（3分）

说明：1、判断出数列｛4｝是“和稳定数列”（1分）；

2、写出｛4｝是“和稳定数列”的）的一个值：如j=4,7（1分）；

写出｛a“｝是”和稳定数列”的）的所有值/=3m+l,（meN*）

并说明理由（1分）

（3）②解：数列｛〃｝不是“和稳定数列”，理由如下：

不妨设：1<仁<《<•・<%，则4+4,+…+%>%，且

12kj+1+1

bkt+鬣+…+%…+%=2+2+■■■+2^=2-2<2^=bkj+i

故4+%+•••+外不是数列也｝中的项。

方法二：反证法：若存在互不相等的正整数人,《,…，号,（）»2）,

使得以+%+…+%是数列｛%｝中的项。不妨设：1<%<《<…〈与，

易知4+4+•••+%>%，设4+%+.••+%=%（%>%），

即2%+2运+…+2勺=2%,两边除以26得:1+2%，+…+2号的=2-勺，

该式左边是奇数，右边是偶数，显然不成立,

故假设不成立，数列｛%｝不是“和稳定数列”。

说明：1、判断出数列｛4｝是“和稳定数列”(1分)；

2、写出｛4｝是“和稳定数列”的)的一个值：如/=4,7(1分)；

写出｛4｝是“和稳定数列”的)的所有值/=3m+l,(meN*)

并说明理由(1分)

(直接写出｛4｝是“和稳定数列”的j的所有值并说明理由2分)

3、判断出数列也｝不是“和稳定数列”(1分)；

4、证明数列也｝不是“和稳定数列”(1分)

19.解：⑴记“力=X2,设抛物线＞=/在原点的曲率圆的方程为x2+(y_))2=/，其中b为曲率半径.

则/'(x)=2x,/"(x)=2,有求导就给1分

41,

故"/"⑼"行^r2=声给1分

即

2

所以抛物线y=炉在原点的曲率圆的方程为炉+(y

(2)设曲线y=/(x)在(％,%)的曲率半径为r.则

法一:,两等式各1分

2

由5-。)2+(%-"『=/知，［/'(%)了+1=r

(为-")2

3

2

所以曲率半径一般式1分

3

(1)22

+1

2

故曲线y=!在点(%,%)处的曲率半径

求导代入，得出该曲线曲率半径1分

X2

3

11)

r=—+-2\V2

2xoy

7

A

(,1、3

1

所以r=>2,

241X0)

片

2_2(

+4»23基本不等式求解最值1分

户=2"XQ

故/'2夜，曲线y=!在点(1,1)处的曲率半径—=收.取等条件1分

1_xQ-a

片y0-b

法二：＜两等式各1分

2r2

X0伍-％)3

2

y-b=----—

044

V=户

=(x°-好+(%")2+

所以《2，而

2

芦2§2§.君

x0-a=一一j—

2%

所以「3=2解方程，得出该曲线曲率半径2分

故厂2形，曲线y=L在点(1,1)处的曲率半径厂=J5.取等条件1分

e2x+lV

(3)法一：函数y=短的图象在(x,e。处的曲率半径厂=^_—曲率半径表达式正确1分

故/3="+e

-Xi--Xi——Xn--Xi—石-X-)

由题意知：e3+e3=e3+e3令4=",t?=e?,

则有彳+工=以+工，换元1分

ht?

所以彳-即&-2)&+4=仁殳，故“2(4+幻=1・化简2分

,24秘2

____3

又1=(%+%2)2%也，=2(丫2)5=2e*2

所以玉+W4Tn2.基本不等式求最值2分

e2x+lP

法二：函数丁=f的图象在(x,e)处的曲率半径厂

e+1

有户二—J+3/%+3+"2］曲率半径表达式正确1分

ex

令.=/2,—/尤2,则有彳+3A+3H—=%；+3t2+3H—，换兀1分

则(4_12)/]+%2+3-----0