2024年高考数学模拟卷1（新高考专用）（解析版）

2024年高考数学全真模拟卷01（新高考专用）

（考试时间：120分钟;满分：150分）

注意事项：

1.本试卷分第I卷（选择题）和第II卷（非选择题）两部分。答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写

在答题卡上。

2.回答第I卷时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用

橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。写在本试卷上无效。

3.回答第U卷时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。

4.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。

第I卷

一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目

要求.

1.（5分）（2023・全国・模拟预测）已知集合4={0,1,2},8={%62|/<3},则7^3=（）

A.[0,1}B.{-1,0,2}C.{-1,0,1,2}D.{-1,1,2,3）

【解题思路】根据题意，求得B={-1,0,1},结合集合并集的运算，即可求解.

【解答过程】由集合B={%GZ|x2<3}={-1,0,1）1

又因为2={0,1,2},所以4UB={-1,0,1,2}.

故选：C.

2.（5分）（2023•四川甘孜•统考一模）已知复数z满足（1-i）-z=3+L其中i为虚数单位，则|z|=（）

A.V3B.V5C.3D.5

【解题思路】利用复数的四则运算，结合复数模的计算公式即可得解.

【解答过程】因为（l—i）-z=3+i,

所以z=笠=g^=^=l+2i,

1-1(1-1)(1+1)2

贝U|z|=V1T4=V5.

故选：B.

3.（5分）（2023•四川甘孜・统考一模）己知平面向量满足|山=2|国=2,若21（2—司，则2与3的夹

角为（）

A.-B.-C.—D.—

6336

【解题思路】根据向量垂直及数量积运算律、定义可得1-2cos值，研=0,即可求夹角.

【解答过程】由题设2■（五—b）=彦—N,b=0,而同=1,网=2,

所以1—2cos值b）=0=>cos（a,b）=（a,b）G[0,7t],

所以值,研=泉

故选：B.

4.（5分）（2023・广西南宁•南宁三中校考模拟预测）2023年10月12日，环广西公路自行车世界巡回赛

于北海市开赛，本次比赛分别在广西北海、钦州、南宁、柳州、桂林5个城市举行，线路总长度达958.8公

里，共有全球18支职业车队的百余名车手参加.主办方决定选派甲、乙、丙、丁、戊5名志愿者到A、B两

个路口进行支援，每个志愿者去一个路口，每个路口至少有一位志愿者，则不同的安排方案总数为（）

A.15B.30C.25D.16

【解题思路】当两组人数分别为1和4时，2和3时两种情况，结合排列组合知识求出答案.

【解答过程】5名志愿者分为两组，

当两组人数分别为1和4时，此时有最A刍=10种情况，

当两组人数分别为2和3时，此时有釐髭A刍=20种情况，

综上，不同的安排方案总数为10+20=30.

故选：B.

5.（5分）（2023•全国•模拟预测）已知％为等差数列｛a"的前n项和,a7+2a9+a17=24,则S20=（）

A.240B.60C.180D.120

【解题思路】利用等差数列的性质以及前几项和公式求解即可.

【解答过程】因为数列｛&J为等差数列，所以a7+2a9+a17=2a12+2a9=24,

所以a12+=12,

所以$20=2°6产）=10（«!+a20）=10（a12+a9）=120.

故选：D.

6.（5分）（2023•全国•模拟预测）在直角坐标系xOy中，椭圆「:《+《=l（a>6>0）的左顶点与右焦点

分别为4F，动点P在「上（不与r左、右顶点重合），Q为平面内一点，若丽=3诙，且NP4F=“0F,

则「的离心率为（）

【解题思路】利用椭圆的方程与性质，以及数形结合思想即可求解.

【解答过程】如图所示：

因为NP4F=40F,所以。Q〃人P,

又而=3研所以黑=需=2,

所以|4。|=2|。尸|,即。=2c,所以T的离心率e=*=

a2

故选：A.

7.(5分)(2023・广东・统考二模)如图，直线y=l与函数/(%)=以也(3%+9)(/>0,3>0,切〈2的

图象的三个相邻的交点为A,B,C,且\BC\=2ir,则f(%)=()

A.2sin(|%+§B.2sin(%+])

2^3.Z2,TT\2V3./.7i\

C.—sinI—x4—)D.—sin(x4—)

3\3373\2/

【解题思路】由题意可得相邻对称轴间距离求出周期得出3排除BD,再由x=0区分AC即可得解.

【解答过程】因为\BC\=2n,

所以相邻两对称轴间的距离三+TT=9,即周期7=3it,所以3=f=；,

223713

排除BD,

当x=0时，代入/(X)=2sin(|x+；),可得/(0)=B>1,满足题意，

代入/'(x)=¥sin(|x+§,可得/<0)=誓X曰=1,不符合题意，

故A正确C错误.

故选：A.

8.(5分)(2023•安徽•校联考模拟预测)已知f(x)是定义在R上的偶函数，函数仪久)满足gO)+g(-x)=0,

且f(x),g(x)在(-8,0］单调递减，则()

A./(g(O)在［0,+8)单调递减B.g(g(x))在(-8,0］单调递减

C.(%))在［0,+8)单调递7或D./■(/■(%))在(一8,0］单调递减

(解题思路］利用函数的奇偶性与单调性一一判定选项即可.

【解答过程】由题意知“X)在［0,+8)单调递增，g(x)为奇函数，在R上单调递减.

设则g(久2)<g(%i)wo，f(gO2))>AgOi))，

所以f(g(x))在。+8)单调递增，故A错误，

设了1<%2<o,则gCO>。(亚)，g(g(%i))<g(g(%2))，

g(g(x))在(一8,0］单调递增，故B错误；

设ow/<4，则/01)</(%2)，9("巧))>9(/(%2))，

所以g(f(x))在0+8)单调递减，故c正确；

-X2-1,则/(/(X))=(X2-1)2-1,y(/(o))=0,/(/(一1))=一1,此时/(/(X))在(一8,0］不单

调递减，故D错误.

故选:C.

二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全

部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.

9.(5分)(2023•广西玉林•校联考模拟预测)随着国民经济的快速发展和人民生活水平的不断提高，我国

社会物流需求不断增加，物流行业前景广阔.社会物流总费用与GDP的比率是反映地区物流发展水平的指

标，下面是2017〜2022年我国社会物流总费用与GDP的比率统计，则().

A.2018〜2022这5年我国社会物流总费用逐年增长，且2019年增长的最多

B.2017〜2022这6年我国社会物流总费用的70%分位数为16.7万亿元

C.2017〜2022这6年我国社会物流总费用与GDP的比率的极差为0.2%

D.2019年我国的GDP不达100万亿元

【解题思路】由图表结合统计相关知识逐项判断可得答案.

【解答过程】由图表可知，2018〜2022这5年我国社会物流总费用逐年增长，2021年增长的最多，且增长

为16.7—14.9=1.8万亿元，故A错误；

因为6x70%=4.2,则70%分位数为第5个，即为16.7,

所以这6年我国社会物流总费用的70%分位数为16.7万亿元，故B正确；

由图表可知，2017〜2022这6年我国社会物流总费用与GDP的比率的极差为14.8%-14.6%=0.2%,故C

正确；

由图表可知，2022年我国的GDP为17.8+14.7%7121.1万亿元，故D错误.

故选：BC.

10.（5分）（2023•云南大理・统考一模）如图，正方体4BCD-&B1C1A的棱长为1,则下列四个命题正

确的是（）

A.正方体4BCD的内切球的半径为日

B.两条异面直线DiC和BQ所成的角为g

C.直线BC与平面4BQD1所成的角等于:

D.点。到面2CD1的距离为日

【解题思路】根据正方体和内切球的几何结构特征，可判定A错误；连接把异面直线和8cl所

成的角的大小即为直线。道和所成的角，AaCDi为正三角形，可判定B正确；证得平面4BC15,

进而求得直线BC与平面4BC14所成的角，可判定C正确；结合等体积法，得到力."Di=%L4CD，进而可

判定D错误.

【解答过程】对于A中，正方体4BC0-的内切球的半径即为正方体4BCD-的棱长的

一半，所以内切球的半径R=%所以A错误.

对于B中，如图所示，连接4C,C£)i，

因为48〃的。1且48=6%,则四边形4BQA为平行四边形，所以

所以异面直线DiC和BG所成的角的大小即为直线DiC和所成的角乙4/C的大小，

又因为4C=4DI=DIC=VL则AaCDi为正三角形，即乙4£>iC=g,所以B正确；

对于C中，如图所示，连接B】C,在正方形BBiGC中，BC1[BQ

因为48_L平面BBiGC,BrCu平面B/GC,所以481BQ

又因为2Bn8G=B,ABu平面4BGD1，BC】u平面ABC/i，

所以8停1平面ABCi5,所以直线BC与平面ABGDi所成的角为NCBG=:,

4

所以C正确；

对于D中，如图所示，设点。到面4CD1的距离为h,因为△AC5为正三角形,

所以SA/CDJ=]xACxADiSin；=*

又因为SA/CD=^ADxCD=l，根据等体积转换可知：VD_ACD1=VD1_ACD,

即:xhxS^ACD1=|xDD1xShACD,即gx/ix^=|xlx|,解得h=所以D错误.

故选：BC.

11.(5分)(2023•广西玉林•校联考模拟预测)已知直线x+y=0与圆+。-2尸=产相切，则下列

说法正确的是().

A.过(0,5)作圆M的切线，切线长为近

B.圆M上恰有3个点到直线x—y+3=0的距离为亨

C.若点(x,y)在圆M上，则专的最大值是2+8

D.圆(x-3)2+(y-3)2=2与圆M的公共弦所在直线的方程为3x+y-7=0

【解题思路】对于A：根据题意可得圆心和半径，结合切线性质分析求解；对于B：根据圆的性质结合点到

直线的距离分析求解；对于C：设专=屋分析可知直线质-丫+2k=0与圆”有公共点，结合点到直线

的距离分析求解；对于D：根据两圆方程判断两圆的位置关系即可.

【解答过程】圆M：、2+(y-2)2二72的圆心M(0,2),半径为r,

若直线％+y=0与圆M：久2+(y-2)2=丁2相切，则丁=5=V2.

对于选项A：因为点/(0,5)到圆心M(0,2)的距离|M*=3>V2=r,

可知点/在圆外，所以切线长为川2一八=夕,故A正确；

对于选项B：因为圆心M(0,2)到直线x-y+3=0的距离为d=上浮='=］，

所以圆M上恰有3个点到直线％-y+3=0的距离为日，故B正确；

对于选项C：因为若点(x,y)在圆M上，则—夜可知尤+2不0,

设上=k,贝！U%—y+2fc=0,

x+2J

可知直线kx—y+2k=0与圆M有公共点，则与箸W夜，解得2—+

/Vk2+1

所以名的最大值是2+百，故C正确；

x+2

对于选项D：圆(x-3)2+(y-3)2=2的圆心N(3,3),半径R=迎,

则|MN|=J(3—0)2+(3—2/=V10,可得|MN|>R+r,

所以两圆外离，没有公共弦，故D错误；

故选：ABC.

12.(5分)(2023・安徽・校联考模拟预测)若函数/0)=£1眇+加-'+4,既有极大值点又有极小值点,

贝IJ()

A.ac<0B.be<0C.a（b+c）<0D.c2+4ab>0

【解题思路】根据极值定义，求导整理方程，结合一元方程方程的性质，可得答案.

x

【解答过程】由题知方程尸（%）=ae-be-，+c=贮箸型=0,

ae2x+cex—b=0有两不等实根无「x2,

令力=e%,t>0,则方程at?+元—匕=0有两个不等正实根G，t2,

'aW0

△=+4ab>o仅2+4ab>o

其中=e"i,《2=e'2,（七］+12=—>0,ucV0，

I』n,故ACD正确,B错误.

故选：ACD.

第n卷

三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

13.（5分）（2023•全国•模拟预测）据先秦典籍《世本》记载：“尧造围棋，丹朱善之.”围棋，起源于中

国，至今已有四千多年历史，蕴含着中华文化的丰富内涵.现从3名男生和2名女生中任选3人参加围棋

比赛，则所选3人中至多有1名女生的概率为j.

【解题思路】利用组合的知识结合古典概型的概率公式可解.

【解答过程】从5人中任选3人，一共有髭种选法.

所选3人中至多有1名女生的情况有以下两种：3人全都是男生，有第种选法；3人中有2名男生1名女生，

有髭最种选法.则所选3人中至多有1名女生的概率P=员*=

10

故答案为：

10

14.（5分）（2023•全国•校联考模拟预测）已知a>0,b>0,且满足a+2b=3,则学+写竽的最

2a2b+l

小值为1.

【解题思路】根据基本不等式即可求解.

【解答过程】由于a>0,b>0,所以

a2+42b2+b+2a2（2b+l）b+2a2121

-9---1----okI1=5---J----1=刁1-9（26+1）+,--

2a2b+12a28+12a22b+12

2+i)x£—7

>2一2,

「a_2

当且仅当h5一％2，即。=2,b时等号成立.

-(2Z?+1)=—2

【2'J2b+l

故答案为：

15.(5分)(2023•四川甘孜・统考一模)设((%)为/(%)的导函数，若/⑺=%眇一(⑴久,则曲线y=f(%)

在点处的切线方程为e%—y—e=0.

【解题思路】对原函数求导并求得尸(1)=e,再由导数几何意义写出切线方程.

【解答过程】由题设广(%)=(%+1)铲一=(1),则/⑴=2e-r⑴nf，(l)=e,

所以/(%)=x(ex-e),则/'(1)=0,

综上，点(1)(1))处的切线方程为丫=已(％-1),BPex-y-e=0.

故答案为：ex-y-e=0.

16.(5分)(2023上•四川成都•高三校考阶段练习)在三棱锥S—ABC中，^BAC=3^SCA=90°,SZ1AB,

SB=V13,AB=3,则三棱锥S-ZBC外接球的体积为当n.

6

【解题思路】找到外接球的球心，计算出外接球的半径，从而求得外接球的体积.

【解答过程】依题意as1S42B，ac,sanac=a,s44cu平面sac,所以AB_L平面sac,

由于力BU平面力BC,所以平面ABC1平面SAC.

设D,E分别是BC,4C的中点，则DE〃AB,所以DE，平面SAC.

设F是三角形S4C的外心，SX=V13-9=2,

由正弦定理得小=焉＞4=2,

过产作FO，平面S4C,过。作D。，平面ABC,FOCiDO=0,连接EF,

EFu平面S力C,贝UDE1EF,所以四边形。DEF是矩形,

则。是三棱锥S-4BC外接球的球心.

由于4Fu平面S4C,所以。F14F,

在RtzkAF。中，AF=2,OF=OE=^,

所以。4=^4+|=|,也即三棱锥S-4BC外接球的半径为|,

所以外接球的体积为？x停f=等.

3\2/6

故答案为：詈n.

6

四、解答题：本题共6小题，共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

17.(10分)(2023•上海奉贤•统考一模)在△力8C中，设角4、B、C所对边的边长分别为a、b、c,已知

V3c=y/3bcosA+asinB.

(1)求角B的大小；

(2)当a=2V2,b=2百时，求边长c和△ABC的面积S.

【解题思路】(1)借助正弦定理将边化为角，结合C=n-(A+B)及两角和的正弦公式计算化简即可得;

(2)根据正弦定理即可计算出4,结合B可求出C,再试用正弦定理即可得到c,再使用面积公式即可得到

面积.

【解答过程】(1)由正弦定理得百sinC=V^sinBcosA+sin力sinB,

由于C=it—(X+B),则遍sin(4+B)=UsinBcosa+sinXsinB,

展开得V^sin力cosB+V3sinBcosX=V3sinScos/l+sinXsinS,

化简得百cosB=sinB,

贝UtanB=V3,

所以8=》

(2)由正弦定理，得容===*,即有sinA="，

sm-SIIL4sinC2

3

因为a<b,所以4是锐角，即4=%

4

因为4+C=竽,

所以。=工,

c=空IxsinC=4(sin-cos-+sin-cos-)=4x恒=瓜+也,

si%I6446；4

所以SAABC—|absinC=|X2V3X2y[2X(sin2cos+sincos

=2A/6X①+四=3+V3.

4

18.（12分）（2023•安徽•校联考模拟预测）己知正项数列｛厮｝的前n项和为治,且满足2户=即+1,几eN*.

（1）求数列｛an｝的通项公式;

2

（2）若数列｛6„｝满足6n=厮+，求数列｛现｝的前几和珞.

an'an+l

【解题思路】（1）根据数列递推式求出首项，得出当nN2时，Sn_i+1）2,和%=；（即+1）2相

减并化简可得厮-与-1=2,即可求得答案;

（2）利用（1）的结果可得好=厮+^^的表达式，利用等差数列的前w项和公式以及裂项法求和，即

an'an+l

可求得答案.

【解答过程】（1）由2，^=%+1得%=［（%+1）2,则的=：（Q1+1）2,解得的=1,

当7122时，Sn-1=；(an_i+1)2,所以加=S.-S^-i=；(即+1/-；(心一］+1尸,

整理得-an-i)(an+an_!)=2(an+a^),

因为｛。九｝是正项数列，所以%!+&1一1>0，所以M一%^1=2,

所以｛%J是首项为1,公差为2的等差数列,

所以厮=l+2(n-l)=2n-l,nGN*.

(2)由(1)可得，an=2n-l,

2

所以6=a+--=2几-1+____?____=2n-1+—______'

Tlnan'an+l(2n-l)(2n+l)2n-l2n+l

11,111

所以7k=*0+

3352n-l

=H7+.a1------1--=H7H--1----2-71--.

2n+l2n+l

19.（12分）（2023•全国•模拟预测）直播带货是一种直播和电商相结合的销售手段，目前已被广大消费者

所接受.针对这种现状，某公司决定逐月加大直播带货的投入，直播带货金额稳步提升，以下是该公司2023

年前5个月的带货金额:

月份X12345

带货金额y/万元350440580700880

（1）计算变量X,y的相关系数r（结果精确到0.01）.

（2）求变量x,y之间的线性回归方程，并据此预测2023年7月份该公司的直播带货金额.

(3)该公司随机抽取55人进行问卷调查，得到如下不完整的列联表:

参加过直播带货未参加过直播带货总计

女性2530

男性10

总计

请填写上表，并判断是否有90%的把握认为参加直播带货与性别有关.

参考数据：9=590,£乙(%-元尸=10,£乙(%一力2=176400,

£二(%；-元)(%—9)=1320,V441000~664.

参考公式：相关系数r=I2当,线性回归方程的斜率B=飞⑵了穹叱截距a=y-bx.

区。回瓦方3国2

n(ad-bc)2其中九

附：2a+b+c+d.

K=(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)'八

P(K2>fc0)0.150.100.050.025

k。2.0722.7063.8415.024

【解题思路】(1)直接代入求相关系数即可;

(2)根据线性回归方程求解回归方程即可；

(3)零假设之后计算K2,再比较大小判断零假设是否成立即可.

葭式阳问5-歹)13201320

【解答过程】(1)丁0.99

V10XV176400-2X7441000〜

(2)因为元=gx(1+2+3+4+5)=3,7=590,£，=i(x；—%)2=10,(x；——y)=1320,

所以B=3=i『)(yr)=照=a,a=590—132x3=194,

2：=1aL为21°

所以变量X,y之间的线性回归方程为9=132%+194,

当x=7时，y=132x7+194=1118(万元).

所以预测2023年7月份该公司的直播带货金额为1118万元.

(3)补全完整的列联表如下.

参加过直播带货未参加过直播带货总计

女性25530

男性151025

总计401555

零假设为：参加直播带货与性别无关，

根据以上数据，经计算得到R2=55：产:*5X；5)2X3,743>2,706=与1，

30x25x40x15u,±

根据小概率值a=0.1的独立性检验我们推断/不成立，即参加直播带货与性别有关，该判断犯错误的概率

不超过10%.

20.(12分)(2023•上海奉贤・统考一模)在《九章算术》中，将四个面都是直角三角形的四面体称为鳖膈.如

B

(1)若4B=1,PC=V3,求证：四面体P-ABC是鳖膈，并求该四面体的体积;

(2)若四面体P—4BC是鳖席，当4C=a(a>l)时，求二面角力一BC-P的平面角的大小.

【解题思路】(1)借助线面垂直证明面面垂直，结合题目所给长度，运用勾股定理证明四面全为直角三角

形即可，体积借助体积公式计算即可得;

(2)根据题意，会出现两种情况，即N4BC=］或N4CB=］分类讨论计算即可得.

【解答过程】(1)•；P4_L平面ABC,AB,4Cu平面ABC,

•••PA1AB,PA1AC,

.•.△P4C、APaB为直角三角形，

在直角△P4C中，\AC\=J|PC|2-IP川2=V2,

在直角APAB中，\PB\=VPX2+PB2=V2,

.♦.在△力BC中，有14cl2=MB|2+|BC|2,

■.ABIBC,故△ABC为直角三角形，

在APBC中，有|PC|2=|PB|2+|BC|2,

故PB1BC,故APBC为直角三角形，

故四面体P-4BC四个面都是直角三角形，即四面体P-4BC是鳖膈,

1111

^P-ABC~^3LABCo'IZ尸川=鼻"弓X1o'1'1=大；

(2)PA1平面ABC,BCu平面ABC,

•••PA1BC,

由AC—a>1—AB,

故乙sac不可能是直角，

若乙48c=I，贝!1有4B1BC,

5L.PA1BC,PA,力Bu平面PAB,PACtAB=A,

故BC1平面PAB,又PBu平面P4B,

故BC1PB,

■■■乙4BP是二面角a—BC—P的平面角，

AC=a,BC=1,AB-Va2—1,•••tanZ-PBA=.\,

yJa2-l

所以二面角4-BC-P的平面角的大小为arctan竿

a2-l

若44cB=p

同理可得乙4cp是二面角4-BC-P的平面角，

所以tan/ACP=丝=工，

ACa

所以二面角的平面角的大小为arctan工，

a

综上所述，二面角/-BC-尸的平面角的大小为arctan与三或arctan工.

21.(12分)(2023•吉林长春•东北师大附中模拟预测)在平面直角坐标系xOy中，抛物线E：y2=2Px(p>0)

的焦点为F,E的准线交x轴于点K,过K的直线I与抛物线E相切于点A,且交y轴正半轴于点P.已知△AKF

的面积为2.

(1)求抛物线E的方程；

(2)过点尸的直线交E于M,N两点，过M且平行于y轴的直线与线段OA交于点T,点“满足而5=人.证

明：直线HN过定点.

【解题思路】(1)根据题意假设得直线/：x=my-1,联立抛物线方程求得，Xg.p),再利用三角形面

积即可求得p=2,由此得解；

(2)根据题意设得MN：y=kx+l,联立抛物线方程求得y1+%=%再依次求得T，〃的坐标,

从而求得直线HN的方程，化简可得HN为y=左"把i,由此得证.

%2一

【解答过程】(1)由题可知，Fg,O),准线尤=一］K(*,0),

因为直线/的斜率存在且不为0,所以设/：x=my-l，

y2=2px

__巳，消去x，得V—2pzny+p?=o,

{xm

因为l与E1相切，所以△=4p2(m2—1)=0,所以m=1或m=—1,

因为交y轴正半轴于点P,所以?n=l,

因此y2-2py+p2=o,解得y=p,所以4弓,p),

故/F_LKF,所以S-"