湖南省岳阳市岳阳楼区2022-2023学年高一年级下册期末考试数学试题（解析版）

湖南省岳阳市岳阳楼区2022-2023学年高一下学期期末考试

数学试题

一、单项选择题.(本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有

一项是符合题目要求的.)

1.若集合M={削/<1},N=1%|0<x<2},则McN=()

A.1x|-l<x<2!B.{%|0<%<l!

C.{x[0<x<l}D.|x|-l<x<0}

k答案』B

k解析》因为{尤|尤2<1},所以"={x|—1<X<1},

因为N={x|0Vx<2},所以MN={x|0Wx<l}.

故选：B.

2.设x,yeR,向量a=(2,—6),b=(l,x),且a//0，则,+可=()

A.6B.2A/5C.10D.3710

K答案XD

K解析』由向量2=(2,-6),Z?=(l,x),

因为。//〃，可得2光=—6x1，解得％=-3，

所以a+6=(3,—9),所以3+0=，32+(—9)2=3弧

故选：D.

3.复数z满足z(l+i)=l—i,则z的模等于()

A.-1B.OC.1D.72

k答案』C

K解析工由z(l+i)=l—i,可得z=「=?二»*=_i,所以目=1.

''l+i(l+i)(l-i)11

故选：C.

4.已知aeR,贝『'0<a<l''是"VxeR,+2ax+l>0”的()

A,充分不必要条件B.必要不充分条件

C.充要条件D.既不充分也不必要条件

k答案』A

a>0

K解析U：Vxe氏公2+2依+1>0，，。=0或4,

A=4a--4a<0

即a=0或0<a<l,0<«<L

"0<a<1”是“Vxe氏0+2依+1>o”的充分不必要条件.

故选：A.

5.已知x>0,则下列说法正确的是（）

A.x+工—2有最大值0

B.x-\-----2有最小值为0

xx

D.%+▲—2有最小值为一4

C.XH-----2有最大值为一4

Xx

K答案UB

由均值不等式x+,22

K解析』由题意，x>o

X

当且仅当兀=,，即x=l时等号成立，故x+工—2»0,有最小值0.

XX

故选：B.

6.民间娱乐健身工具陀螺起源于我国，最早出土的石制陀螺是在山西夏县发现的新石器时

代遗址.如图所示的是一个陀螺的立体结构图.已知底面圆的直径A5=8cm,圆柱体的高

BC=8cm,圆锥体的高CD=3cm,则这个陀螺的表面积是（）

A.96兀cm?B.10071cm2C.11671cm2D.11471cm2

（答案IB

K解析』圆柱、圆锥的底面半径为4cm,圆锥的母线长为“^两=5cm，

所以陀螺的表面积是兀x4?+271x4x8+71x4x5=10071cmt

故选：B.

7.“哥德巴赫猜想”是近代三大数学难题之一，其内容是.一个大于2的偶数都可以写成两个

素数(质数)之和，也就是我们所谓的“1+1”问题.他是1742年由数学家哥德巴赫提出的，

我国数学家潘承洞、王元、陈景润等在哥德巴赫猜想的证明中都取得了相当好的成绩.若将

16拆成两个正整数的和，则拆成的和式中，加数全部为质数的概率为()

3542

A.-B.-C.—D.一

88155

k答案》C

K解析X16可以拆成1+15,2+14,3+13,4+12,5+11,6+10,7+9,8+8,

9+7,10+6,11+5,12+4,13+3,14+2,15+1共有15种情况，

其中拆成的和式中加数全部为质数的有：3+13,5+11,13+3,11+5共有4种情况，

4

所以拆成的和式中，加数全部为质数的概率为尸=一.

15

故选：C.

12

8.已知函数=—%2+ax—1)(av1),g(x)=lnx.若

丸(村=〉在(0,+8)上有三个零点,则。的取值范围为()

A.团B.C.(0,1)D.

k答案XA

K解析》①当x=l时，因为g⑴=0,所以1为g(x)一个零点，

又/(l)=a—1——1『，因为a<1,所以/(1)<0,

所以Ml)=g(l)=0,所以1为/i(x)的一个零点；

②当%>1时，g(x)〉0,/z(x)>g(x)>0,所以Zz(x)在(L+8)上无零点；

③当0<x<l时，g(x)<0,g(x)在(0,1)上无零点，

所以/z(x)在(0,1)上的零点个数是/(x)在(0,1)上的零点个数，

11

992

因为/(0)=_］(口_1)2<0,y(i)=a-i__(6Z_i)<o,

函数了(无)在(0,1)上有两个零点，即函数网无)在(0,1)上有两个零点，

所以A=2a—1>0,0<-<1,又a<1,

2

即g<o<l时，/(力在(0,1)上有两个零点；

综上，a的取值范围为

故选：A.

二、多项选择题.(本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符

合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得。分.)

9.已知函数/*)的图象可由函数g(x)=gsin［2x+：］的图象向左平移方个单位长度得

到，则下列说法正确的是()

A.7(x)的最小正周期为兀B./(x)是偶函数

C./⑶在［03］上单调递增D.当xe0,二时，/⑶的取值范围为［0」］

4L4J2

(答案》ABD

I7T7T17rl

K解析X由题意知，/(%)=—sin(2(x+—)+—)=—sin(2x+—)=—cos2x,

284222

9jr

对于A项，T=—=7i,故A项正确；

2

对于B项，/(x)的定义域为R,/(—x)=；cos(—2x)=gcos2x=.f(x),

所以/(x)为偶函数，故B项正确；

,，，71

对于C项，因为2E<2X<TI+2E,kwZ,解得：kn<x<--^kn,kwZ,

2

ji

所以/(X)单调递减区间为［E,二+E］,keZ,

TT

又因JT为—IT+E］,keZ,所以/(x)在［0,2］上单调递减，故C项错误；

4-2,4

对于D项，由C项知，/(X)在［0,四］上单调递减，7(0)=-,/(-)=-cos-=0,

424-22

所以7(x)的值域为［0-］，故D项正确.

2

故选：ABD.

10.己知实数"c满足。>1>〃>。>0,则下列说法正确的是()

ab

A.a>bB.logca<log,a

1c11

c.logc.a<aD•庐</

［答案XAC

K解析H•:a>T>b〉c〉0,：♦0。>/力2>/,

logac<logab<0,即log,.a>log/,

故A项正确，B,D选项不正确；

cc

logca<Q,a>0,/.logca<a,

故C选项正确.

故选：AC.

11.将一枚质地均匀且标有数字1,2,3,4,5,6的骰子随机掷两次，记录每次正面朝上

的数字，甲表示事件“第一次掷出的数字是1"，乙表示事件“第二次掷出的数字是2”，丙表

示事件“两次掷出的数字之和是8”，丁表示事件“两次掷出的数字之和是7".则()

A.事件甲与事件丙是互斥事件

B.事件甲与事件丁相互独立事件

C.事件乙包含于事件丙

D.事件丙与事件丁是对立事件

(答案』AB

K解析》由题意，事件甲：第一次掷出的数字是1有：(1,1),(1,2),(1,3),(1,4),(1,5),(1,6),

事件乙:第二次掷出的数字是2有：(1,2),(2,2),(3,2),(4,2),(5,2),(6,2),

事件丙：两点数之和为8的所有可能为：（2,6）,（3,5）,（4,4）,（5,3）,（6,2）,

事件丁：两点数之和为7的所有可能为:（1,6）,（2,5）,（3,4）,（4,3）,（5,2）,（6,1）,

其中尸（甲）=：,尸（乙）=：,尸（丙）=工尸（丁）=三=：,

6636366

对于A中，事件甲与事件丙不能同时发生，所以事件甲与事件丙是互斥事件，所以A正确；

对于B中，由尸（甲丁）=',P（甲）P（丁）='xL=2,所以P（甲丁）=P（甲）P（丁），

366636

所以事件甲与事件丁是相互独立事件，所以B正确；

对于C中，事件乙不包含于事件丙，所以C错误；

对于D中，根据对立事件的定义，可得事件丙与事件丁不对立，所以D错误.

故选：AB.

12.在棱长为1的正方体ABC。-A与GR中，点。为底面的中心，点E是正方

形464A内（含边界）一个动点，则下列结论正确的是（）

A.B01AC

B.点E存在无数个位置满足OE;平面AC。

C.直线CG与平面ACR所成角的余弦值为YZ

2

D.三棱锥A-EC。1体积的最大值为:

（答案』ABD

k解析》对于选项A,根据题意作图如下：

在正方体ABC。—A4G。]中，易知00,AC,AC，5。，

因为00「|5。=0',所以AC,平面005,即ACLOfi,故A正确;

对于选项B,根据题意作图如下：

在正方体ABCD-44G2中，易知AR//BG,

因为BC]<z平面AC。，A。U平面ACD1,所以BC"/平面AC。],

同理可得：网//平面AC。1，因为网BQ=B,所以平面码。//平面，AC,

易知06u平面BA。，当EeBA时，OE//平面功人。，故B正确；

对于选项C,根据题意作图如下：

在正方体ABCD-A4Gg中，易知A。，BD,BB]±AC,

因为BDcB耳=B,所以AC，平面BOB1，即AC，BQ,同理可得：B}DLDXC,

因为ACCDy=C,所以平面ACR,连接R。'，易知口。丫BlD=F,

则ZDD.F为直线DD{与平面ACD,所成角,

/nnF_DR_1_A/6

在RlORO中，COS/DDQ^FF，

因为Cq/ADR,所以直线CG与平面ACR所成角的余弦值为，5,故C错误;

3

对于选项D,根据题意作图如下：

在正方体ABCD—a41G2中，

易知当点£与点片重合时，三棱锥A-EC。1体积取最大值,

设点B］到平面ACD）的距离为h,则h=B1D-DD[sinZDDO',

由选项B可知cosNDDQ'=当,则sinNDD|O'=且，可得丸=冬叵,

33

则三棱锥A-ECDX体积取最大值:

故正确.

V=—•SArn•h=一义—x”J2xj2x------=—,D

313433

故选：ABD.

三、填空题.(本题共4小题,每小题5分，共20分.)

13.已知■，兀],sina3

=—,贝!Jsin2a=_____.

24

[!答案n———

25

34

K解析U由a,sina=不可得cosa=一《,

c3/4124

所以sin2a=2sinacosa=：2x—x—=-----.

故K答案X为：----.

25

14.“幸福感指数”是指某个人主观地评价他对自己目前生活状态的满意程度的指标，常用区

间［0,10］内的一个数来表示，该数越接近10表示满意度越高.现随机抽取10位岳阳市居民，

他们的幸福感指数为3,4,5,5,6,7,7,8,9,10.则这组数据的85%分位数是.

R答案H9

K解析H10x85%=8.5,

，从小到大排列后，取第9个数作为这组数据的85%分位数，第9个数是9.

故(答案》为：9.

15.已知圆台上下底面半径分别为3,4,圆台的母线与底面所成的角为45。，且该圆台上下

底面圆周都在某球面上，则该球的体积为.

K解析》由题意，作出圆台的轴截面如下图示AB=6,CD=8,NAOC=45,

故AE=£)E=1,

设球心为。，球半径为R,

2

由于OF?=Qa2_Ap2=AE+AOD-^CD\,则R2_9=(I+JR2_]6)2,

4

可得R=5,所以该球体积为一成3=——.

33

.•_,—、r500兀

故K答案X为：-----.

3

JT

16.已知二A5c中，角A、B、C所对的边分别为。、b、c,ZABC=-f/ABC的角

3

平分线交AC于点。，且BD=上，则a+c的最小值为.

［［答案》4

K解析》因为NABC=1,/ABC的角平分线交AC于点。，且

因为S4e~S^ABD+S/^BCD,即+，

AB232o2o

即/四邛（。+。c+a11、

即々?=a+c,所以,------二——\--=l

acac9

cca、cIea“

所以,a+c=(a+c)=2-1--1—>2+2.1----=4,

ac\ac

当且仅当。=。=2时，等号成立，故a+c的最小值为4.

故K答案U为：4.

四、解答题.（本题共6个小题，共70分.解答题应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）

17.如图，在正方体ABC。—44Goi中.

（1）求证：AC上面BOR；

（2）求异面直线8。和AR所成角的大小.

解：（1）证明：因为ABC。—A4GR为正方体，所以A8C。为正方形，所以AC人3。,

又因为DR1平面ABCD,ACu平面ABCD,故DDl1AC,

又BDDD]=D,BD,DDXu平面BDDX,

所以AC，平面BOR.

（2）因为AR//BG，所以异面直线50和AR所成角，即8。与BG所成的角或补角,

7T

又三角形6G。为等边三角形，所以=

TC

所以异面直线BD和AD,所成角为-.

18.已知平面向量a=(1,2)]=(一3,-2).

(1)若e_L(2a+b),且卜|=行，求c坐标；

(2)若a与a+4b的夹角为锐角，求实数几的取值范围.

解：(1)由。=(1,2)]=(一3,-2),所以22+4=(2,4)+(—3,-2)=(—1,2),

设e=(羽y),

因为e_L(2a+b),所以e-(2a+b)=—x+2y=0,

因为同=逐，所以Jf+y2=也,

x=-2[x=2

解得〈1，或〈「

[y=-i[y=i

所以c的坐标为(—2,—l)或(2』).

(2)由a=(l,2),/?=(—3,—2),

所以a+彳匕=。,2)+(-34_2彳)=(I—342—22),

因为。与a+彳匕的夹角为锐角,

所以a-(a+2b)>0且a与a+2/,不共线,

〉

'1-34+2(2-22)0,解得/<2且4/0,

'2(1-32)^2-227

即实数4的取值范围为(―s,O)u]o,g

19.我校在2021年的自主招生考试成绩中随机抽取40名学生的笔试成绩，按成绩共分成五

组：第1组口5,80),第2组［80,85),第3组［85,90),第4组［90,95),第5组［95,

100］,得到的频率分布直方图如图所示，同时规定成绩在85分以上的学生为“优秀”，成绩

小于85分的学生为“良好”，且只有成绩为“优秀”的学生才能获得面试资格.

(1)根据样本频率分布直方图估计样本的中位数与平均数；

(2)如果用分层抽样的方法从“优秀”和“良好”的学生中共选出5人，再从这5人中选2人,

那么至少有一人是“优秀”的概率是多少？

解：(1)第一组的频率为0.05,第二组的频率为0.35,第三章的频率为0.30,

第四组的频率为Q20,第五组的频率为0.10,

所以中位数在第三组，不妨设为无，则(％-85)x0.06=0.5-0.05-0.35,

解得x=85+9=理，

33

平均数为77.5x0.05+82.5x0.35+87.5x0.3+92.5x0.2+97.5x0.1=87.25.

(2)根据题意，“良好”的学生有40x0.4=16人，“优秀”的学生有40x0.6=24人，

所以分层抽样得“良好”的学生有5义更=2人，“优秀”的学生有5x竺=3人，

4040

将三名优秀学生分别记为A,B,C,两名良好的学生分别记为a,b,

则这5人中选2人的基本事件有：AB,AC,BC,Aa,Ab,Ba,Bb,Ca,Cb,ab共10种，

其中至少有一人是“优秀,，的基本事件有：AB,AC,BC,Aa,Ab,Ba,Bb,Ca,Cb共9种，

9

所以至少有一人是“优秀”的概率是P=—.

10

20.在锐角中，A,B,C的对边分别为a,b,c,且&=2csinA.

(1)求角C的大小；

(2)若c=3,且勿?=9,求周长.

解：（1）、瓦z=2csinA，由正弦定理得GsinA=2sinCsinA，

sinAwO,.-.V3=2sinC，sinC=走，.・.NJGO。或4=120。,

2

MC是锐角三角形，.,.NC=60°.

（2）由余弦定理得°2=储+82—2^85C，

:.9=a2+b2-ab=（a+b）2-3ab,:.^a+by=27+9=36.:.a+b=6,

所以ABC的周长=a+》+c=6+3=9.

21.在中国共产主义青年团成立100周年之际，某校举办了“强国有我，挑战答题”的知识竞

赛活动，已知甲、乙两队参加，每队3人，每人回答且仅回答一个问题，答对者为本队赢得

321

1分，答错得0分.假设甲队中3人答对的概率分别为一，；，一，乙队中每人答对的概率

432

2

均为耳，且各人回答问题正确与否互不影响.

（1）分别求甲队总得分为1分和2分的概率；

（2）求活动结束后，甲、乙两队共得4分的概率.

解：（1）依题意记甲队总得分为1分为事件A,甲队总得分为2分为事件8,

11

24

所以甲队总得分为1分的概率为2分的概率为L.

424

（2）依题意甲队总得分为0分的概率为[1———g1

24

i|I321!

得