江西省重点中学协作体2024届高三一模数学试题 附答案

江西省重点中学协作体2024届高三第一次联考

迎

数学试卷2024.2

（考试时间：120分钟，试卷满分：150分）

注意事项：

1.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上.

2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑.如需改动,

用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷

上无效.

3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回.

一、单选题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项

是符合题目要求的.

1.己知集合A={xeN|212—X—15V0},5={y|y=sinx},则AB=()

A.{x|-l<x<l}B.{0,1}C.{-1,0,1}D.{1}

2.在复平面内，复数Z对应的点在第三象限，则复数Z<l+i）2°24对应的点在（）

A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限

JI31

3.已知。=sin—,/?=In—,c——，则()

522

A.a>b>cB.0a>bC.c>b>aD.a>c>b

4.已知2$1110=3+2石8$0,则0111120-看)=()

5.已知双曲线2=1（〃〉0口〉0）的左，右焦点分别为耳、鸟，点M为片关于渐近线的对称点.若

ab

\MF\

―^=2,且4儿明乃的面积为8,则。的方程为（）

y2x2x2y222

A.x2------=1B.------y2—1C.----------=1D.土-匕=1

4428416

6.如图，正六边形的边长为2近，半径为1的圆O的圆心为正六边形的中心，若点M在正六边形的边上运

动，动点A,2在圆。上运动且关于圆心。对称，则的取值范围为（

A.[4,5]B.[5,7]C.[4,6]D.[5,8]

7.中国蹴鞠已有两千三百多年的历史，于2004年被国际足联正式确认为世界足球运动的起源.蹴鞠在2022

年卡塔尔世界杯上再次成为文化交流的媒介，走到世界舞台的中央，诉说中国传统非遗故事.为弘扬中华传统

文化，某市四所高中各自组建了蹴鞠队(分别记为“甲队”“乙队”“丙队”“丁队”)进行单循环比赛(即

每支球队都要跟其他各支球队进行一场比赛)，最后按各队的积分排列名次(积分多者名次靠前，积分同者名

次并列)，积分规则为每队胜一场得3分，平场得1分，负一场得。分.若每场比赛中两队胜、平、负的概率

均为工，则在比赛结束时丙队在输了第一场的情况下，其积分仍超过其余三支球队的积分的概率为()

3

8.已知函数/(九)及其导函数/'(x)的定义域均为R,记g(x)=f'(x+1)，且

/(2+x)—/(2—x)=4x,g(3+x)为偶函数，则g，(7)+g(17)=()

A.0B.1C.2D.3

二、多选题：本大题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题

目要求.全部选对的得6分，有选错的得0分.若只有2个正确选项，每选对一个得3分；若

只有3个正确选项，每选对一个得2分.

9.下列说法正确的是()

A.用简单随机抽样的方法从含有50个个体的总体中抽取一个容量为10的样本，则个体机被抽到的概率是

0.2

B.已知一组数据1,2,优,6,7的平均数为4,则这组数据的方差是5

C.数据27,12,14,30,15,17,19,23的50%分位数是17

D.若样本数据石,%2,•••,4)的标准差为8,则数据2%—1,2%—1,,2%0-l/(x)=e'T+e』+x2—2%的标

准差为16

10.已知函数/。)="-1+/-*+/一2%,若不等式/(2—<7)</(尤2+3)对任意的％6区恒成立，则实数a

的取值可能是()

,1

A.―4B.C.1D.2

2

11.已知正方体ABC。—444。的棱长为1,M是棱A片的中点.尸是平面CD0G上的动点(如下图)，

则下列说法正确的是()

A.若点尸在线段上，则3P〃平面用QA

B.平面PBD]±平面

C.若ZMBP=,则动点P的轨迹为抛物线

D.以△A网的一边43所在直线为旋转轴，其余两边旋转一周，在旋转过程中，三棱锥A-5DG体积的

V21V21

取值范围为-,

6五十司

三、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共15分.把答案填在答题卡中的横线上.

(、

12.2--(x+y)6的展开式中好>4的系数为

Iy)

22

13.已知正数尤,y满足x+y=6,若不等式a<+“一恒成立，则实数a的取值范围是

'x+1y+2

14.斐波那契数列(Fibonaccisequence),又称黄金分割数列，因数学家莱昂纳多・斐波那契

(LeonardoFibonacci)以兔子繁殖为例子而引入，故又称为“兔子数列”，指的是这样一个数列：1、1、2、

3、5、8、13、21、34、…，在数学上，斐波那契数列以如下递推的方式定义：

a0=l,q=1,an=an_x+an_1{n>2,n&'^^,A=[ax,a1,•,%）24}，37A且3w。中，则B中所有元素之和

为奇数的概率为.

四、解答题：本大题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.

15.（13分）在△A5C中，已知内角48、C的对边分别为心氏c,且△ABC的面积为百，点。是线段5c

上靠近点8的一个三等分点，AD=1.

（1）若NADC=—,求c；

3

（2）若从+4。2=11,求sin求BAC的值.

16.（15分）如图，在三棱锥£>—ABC中，AB=AD=BD=3>/2,AC=1,BC=CD=5.

n

（1）证明：平面AC。，平面ABC；

（2）若E是线段上的点，且CD=4CE,求二面角£—AB—C的正切值.

22

17.（15分）已知椭圆E:事+4=1的左右顶点分别为4民点C在E上，点〃（6,%）,7^（6,%）分别为

直线AC、BC上的点.

（1）求的值；

（2）设直线与椭圆E的另一个交点为。，求证：直线CD经过定点.

18.（17分）设（X,F）是一个二维离散型随机变量，它的一切可能取的值为（a,,%）,其中令

弓=尸（X=q,V=,称尾（i,jeN*）是二维离散型随机变量（X,K）的联合分布列，与一维的情形相似，

我们也习惯于把二维离散型随机变量的联合分布列写成下表形式：

（x,y）4b2b3

axAlP12P13

a2P21P22023

〃3。31。32。33

现有〃(〃eN*)个球等可能的放入编号为1,2,3的三个盒子中，记落入第1号盒子中的球的个数为X,落入第2

号盒子中的球的个数为K.

(1)当〃=2时，求(X,F)的联合分布列，并写成分布表的形式:

(2)设&==左,丫=且左求f左号的值.

m=0k=0

(参考公式：若X~B(n,p)，则£kC\pkQ_p)i=np)

左=0

19.(17分)己知函数/(%)金火).

(1)若〃二—1,求/(%)的图象在x=l处的切线方程；

(2)若函数/(X)存在两个极值点石,%2(%<%2),

(i)求。的取值范围；

(ii)求证：3X-X>—-2.

21a

江西省重点中学协作体2024届高三第一次联考数学参考答案

一、单选题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.

题号12345678

答案BCDACBDC

1.【答案】B；2.【答案】C；3.【答案】D

4.【答案】A由2sina=3+2如852，得工sine-V3cosa=­f即sin(a—四)=。，

22434

所以sin(2tz--)=sin[2((z-—)+—]=cos2(tz--)=1-2sin2(«-—)=l-2x(—)2=---

6323348

5.【答案】C；6.【答案】B

7.【答案】D【详解】丙队在输了第一场的情况下，其积分仍超过其余三支球队的积分，三队中选一队

与丙比赛，丙输，例如是丙甲，

33

若丙与乙、丁的两场比赛一赢一平，则丙只得4分，这时，甲乙、甲丁两场比赛中甲只能输，否则甲

的分数不小于4分，不合题意，在甲输的情况下，乙、丁已有3分，那个它们之间的比赛无论什么情

况，乙、丁中有一人得分不小于4分，不合题意.

若丙全赢(概率是(；)2)时，丙得6分，其他3人分数最高为5分，这时甲乙，甲丁两场比赛中甲不

能赢，否则甲的分数不小于6分，只有平或输，一平一输，概率是C；(；y，如平乙，输丁，则乙丁比

赛时，丁不能赢，概率是2,

3

两场均平，概率是乙丁这场比赛无论结论如何均符合题意，

两场甲都输，概率是(；)2,乙丁这场比赛只能平，概率是3.

综上，概率为C；x[C；*(；)2xg+(g)2+(g)2'D正确.

8.【答案】C【详解】因为g(3+x)为偶函数，g(x)=/'(x+l)，所以/'(x+4)=/'(—x+4)，

对/(2+x)—/(2—x)=4尤两边同时求导，得/'(2+X)+/'(2—%)=4，所以有

/'(4+无)+/(—x)=4=>尸(4一尤)+/(t)=4nf'(4+x)+/'(x)=4=>尸(8+尤)=f\x),

所以函数的周期为8,在/'(2+x)+/'(2—幻=4中，令％=0，所以/'⑵=2，

因此g(17)=/(18)=/(2)=2，因为g(3+x)为偶函数，

所以有g(3+x)=g(3-x)ng[3+x)=—g[3—x)ng<7)=—⑴，

r(8+x)=f\x)ng(7+x)=g(x—1)=>g[7+x)=g'(x—l)ng<7)=g'(T)⑵，

由⑴，⑵可得:g⑺=0,所以g'(7)+g(17)=2.

二、多选题：本大题共3小题，每小题6分，共18分.

题号91011

答案ADBCDABD

9.【答案】AD【详解】对于A,一个总体含有50个个体，某个个体被抽到的概率为工，

50

以简单随机抽样方式从该总体中抽取一个容量为10的样本，

则指定的某个个体被抽到的概率为工xl0=』=0.2，故A正确；

505

对于B,数据1,2,m,6,7的平均数是4,w=4x5-l-2-6-7=4-

这组数据的方差是S2=却0—盯+(2-盯+(4-町+(6-盯+(7-4月=生，故B错误;

5L」5

对于C,8个数据50百分为8x50%=4,第50百分位数为12±”=18,故C错误；

2

对于D,依题意，D(X)=82>则£>(2x—1)=2?x£>(%)=162，

所以数据2%-1,2%-L…,2/-1的标准差为16,D正确.

10.【答案】BCD

11.【答案】ABD【详解】对于A项，如图所示，连接对应面对角线，

根据正方体的性质可知：BD〃B}D］，

平面42A,耳2<=平面42A,

•••6。//平面3］。4，同理可知G。//平面B|D|A，

又BD\DC°BD、。£匚平面5。］。，

，平面BCD//平面ADA，

又PeC［D，；•3Pu平面3Cj。，

BPH平面B,D.A,故A正确；

对于B项，易知5片，面A5G2，

面则

ACu44G2,±B}B,

又±BQi,B[D]BB[=Bx,BR、BB{u平面BByD，

AG1平面BB]D，而5。u平面BB[D，

/.BQ±AG，同理BQ，DC』

又DCJ4G=G，℃i、AGu平面AG。，

•••BDX1平面AG。，

又•:BD[u平面PBD「；.平面PBDl1平面，故B正确；

对于C项，因为为定直线，是定角，A到BA/的距离为定值，

所以ZMBP=时，p在以3M为旋转轴，Dl到BM的距离为半径的圆锥上,

又5M//平面故平面CZ>2G截圆锥的轨迹为双曲线的一支，即C错误；

对于D项，设A51,DG中点分别为N,Q,

则点A的运动轨迹是平面A3]G。内以N为圆心，变为半径的圆（如图），

易知DC1±NQ,DC[±BQ,NQ\BQ=Q,NQ、BQu平面BNQ，；•，平面BNQ，

•/DQu平面BDC[，；•平面BDCX±平面BNQ，

而sinNNQB=嗡=走

T

设NQ与圆的交点分别为E,F（点E位于点F,Q之间，如上图所示）,

易知当点A分别位于点E,F时，点A到平面3DG的距离分别取到最小值和最大值，

且距离的最小值4nhi

（F）\R

距离的最大值d=1+—■sinZNQB=1+—■—，

max（223

BOG的面积s=，（Jijsin60=与,

1V3(.立、1近、,1V3(.01由1V2

min32^2J36125max32^2J3612

故选项D正确.综上，正确选项为ABD.

三、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共15分.

12.【答案】24【详解】二项式(x+y)6的展开式通项公式为(+1=C"6fy,r<6/eN*，

242455

当r=4时,T5=C^xy-15xy>当厂=5时,T6=C^x'y=6xy>

24

因此展开式中含的项为2.15fy4+6盯5.(_£)=24xy,故所求系数为24•

y

13.【答案】(YO,4].

今2023

14.【答案】

四、解答题：本大题共5小题，共77分.

15.（13分）解（1）由题可得：CD=2BD,故8—28—2叵..............2分

□AACQ-3-3

又即J_xlxCZ）x3=友'

2223

,-.CD=->^BD=-............4分

33

在，.ABD中，根据余弦定理得AB2=BD2+AD2-2AD-BD-cosZADB

即AB2=—+l+2xlx—X—...........6分

932

:.AB=®即0=昱，..............7分

33

21

⑵CD=2BD，:.AD=-AB+-AC............8分

33

-24.21-24*4，h1d

:.AD=-AB+-AC+-ABAC>n即n1=土+幺+^^ccosNBAC

999999

又廿分

C2=II，.•Zc.cosNBACn—!①.............11

+42

又工加■•sin/R4C=6②，由①②得：tanNA4c=—46............12分

2

sinABAC=4®............13分

7

16.(15分)(1)证明：在AACD中cosNGW=3+3—5=也,：.ZCAD=45°....1分

2ACAD2

过点，作戊A47于点。，连接6。，则DO=AD-sin45°=3

AB=AD,CD=CB,AABC0AADC,即勿二的4..........3分

XBD=3s/2,:.OB2+OD-=BD-,:.ODLOB

又ODLAC,OBAC=O,；.0。，平面ABC...........5分

又ODu平面ACD,平面/5_L平面ABC-............6分

(2)由(1)知，0A>OB、勿两两垂直，以。为原点建立坐标系O-町z,

A(3,0,0),8(0,3,0),Z)(0,0,3),C(-4,0,0)

--3

CD=4CE,.\E(-3,0,-)...........8分

4

设〃=(羽y,z)是平面/龙的一个法向量

-3x+3y=0

n-AB=0

则《n3

n,AE=0-6x+—z=0

4

令x=l,贝！Jy=l,z=8/.n=(1,1,8)12分

而加=(0,0,1)是平面ABC的一个法向量，，cos<m-n>=-J=14分

|m|•|n|33

Ji

设二面角E—AB—C平面角的大小为e,则tane=J

，8

，二面角E-AB-C的正切值为J...........15分

8

17.（15分）解（解设C（和％）,由题可知，...........2分

%X_短

又^AM,^BN由％AC-%BC4分

27Xj+3%]—3Xy—9

v22C

一八、、。&必)在E上，.•.力+=1，.•.kAC.kBC=-§............5分

二%・％=T5............6分

(2)由题可知，直线MA的方程为：y=[z-(x+3)

V=-M(X|3)

2222

联立方程<9可得：(45+yM)x+6^%+9^-405=0

5X2+9/=45

A=36%2_火45+yj)(9靖-405)=45>0...........7分

々9靖_405,-3y/+135

一<Y—_LV1______.,v—"/以_____8分

45+%/45+yJ

………

同理可得点D的坐标为（3yJ—15,-3%）

9分

5+yJ5+yJ

(i)当直线CD垂直于x轴时，x,=Xn，即-3yj+135="J_i5,,2=]5

45+yJ5+V》

v=r=1,此时直线CD的方程为x=3...........10分

cD22

(ii)当直线CD不垂直于x轴时，

30%।10%

k=45++5+%_2°yJ+3°°%......................]]分

—3yJ+i353yJ—15——3yJ+675

45+靖5+yJ

故直线CD的方程为y+10%=2。靖+3。。%(%_3%2T5)............”分

'5+yJ—3靖+6755+V

令2号广韶潺田)

整理得X=3%：+6。加：+225=3,此时直线CD经过定点(3,0)................14分

2c2+15022

综上，直线CO经过定点(9,0)...................15分

另解：(ii)当直线CD不垂直于x轴时，由对称性知定点在x轴上，设QQ,0)

30yMTO加

+靖5+靖

由C、D、Q三点共线知45

-3城+135-3V-15.

45+靖5+靖

化简得：(6—4/)yJ+90—60f=0,贝卜=：

此时直线经过定点(1,0).........14分

综上，直线co经过定点(1,())............15分

解法二：

(1)设C5,%),则AC=(%+3,%),丽7=(9,%)，

A>C、M二点共线，yM————,..............2分

司+3

同理："=瓷……..............4分

22

又点C&,%)在曲线E上，.\5_+A=i，代入上式得：yM-yN=-156分

⑵由左AC=七，左B"=中得心”=3左AC

又kAC,左BC=xW'=_§，,••左BC•kBD=3kBe'kAC=-J........................8分

由题可得直线CD显然不与x轴平行

设直线CD的方程为：x=my+n(n^±3),。(不弘)，D(x2,y2)

,x=my+n/、

由《0.得(5加2+9)y2+10加+5〃2—45=0........................9分

5x2+9y=45

10mn

M+%=一<2,0

5m+9

由△，。得-n分

5/—45

*%=<2,Q

5m+9

又L/L/.瓷=(〃»+/J)(7+〃_3)

M•%_5/—45.......................

2

+〃z"(M+%)—3加(%+y2)+n--6n+9~9n-54n+81

由:限45=得“=g或“=3(舍去)..............14分

9H2-54/1+8132

...直线CD：x=my+|,...直线CD经过定点(T，0).......................15分

18.(17分)解(1)若n=2,X的取值为0,1,2,Y的取值为0,1,21..............1分

则P(X=O,Y=O)=±=L..............2分

329

,、八

P(1=0,闫)=Cr；x—1x—1=—2,..............3分

2339

P(J=0,y=2)=1=工，P(b1,K=0)=C^x-x-=-,..............4分

3292339

，「八

P(X=L9)=C1*x-1x-1=-2,P,(J=2,K=0)..1...1................5分

2339329

P(X=l,y=2)=PQX%y=l)=P(X=2,K=2)=0..............6分

故(X,Y)的联合分布列为

exn012

£2£

0

999

22

i0

99

1_

200

9

..............7分

(2)当左+m>72时，尸(X=£y=m)=0,.....9分

〃ri—kn—k1

故Pk=£p(x=k,Y=ni)WP(X=k,Y=喻/"沱屋左..............11分

机=0m=0m=0°

所以£纳=：£［的(3《)”力，15分

&=0k=0」J

由二项分布的期望公式可得2切&..............17分

后=03

19.(17分)解(1)若。二-1,贝!J/(x)=xlnx+212+l,所以/'(%)=lnx+l+4x,

所以/'(1)=1+4=5,又/(1)=2+1=3,..........2分

所以/(%)的图象在x=l处的切线方程为y—3=5(%—1),即5x—y—2=0...........3分

(2)(i)由题意知r(x)=lnx+l-4ar.

令g(x)-y,(x)=lnx-4or+l,则gf^=--4a.

x

因为/(九)有两个极值点X］,%2(玉<9)，所以g(x)=0有两个不等正实根苞，/(王<X2)一

若aWO,g'(x)>0,则g(x)在(0,+8)上递增，

所以g(x)在(0,+8)上至多有一个零点，不符合题意；...........5分

若a>0,令g'(九)=0,解得x=1-,

所以当0<x<'时，g'(X)>0，当x〉工时，g'(%)<0，

所以g(x)在上递增，在+8］上递减.

所以x=工时，g(x)取得极大值，即最大值为=—ln(4a),....