河北省张家口市2024届高三一模数学试题及答案

河北省张家口市2024届高三一模数学试题

学校:姓名：班级：考号：

一、单选题

1.已知复数4=(1+D(l_2i),复数z=—2i,则|z—zj=()

A.V?B.4C.10D.回

2.下列命题为真命题的是（）

A.Vx>0,ex>cosxB.\fa>b,a2>b2

C.>0,cosx>exD.3a>b,a3<b3

1…5兀

3.已知cos］，贝代in——x

2A/22A/2

ABC.D.

-4-1r

4.已知双曲线的一条渐近线的倾斜角为,其焦点到渐近线的

距离为2,则C的方程为（）

5.过点尸（1,2）作圆O：/+y2=10相互垂直的两条弦与C。，则四边形ACBD的面积

的最大值为（）

A.6>/6B.2A/15C.9aD.15

6.已知定义在R上的函数〃无）满足：/（%）+/（2-%）=2,/（^）-/（4-x）=0,且

2024

/'（0）=2.若QN*,贝（）

Z=1

A.506B.1012C.2024D.4048

7.已知等比数列｛见｝的前"项和为5”,％>1,邑=6J，则数列｛4｝的公比q满足（）

A.0<^<1B.-1<^<0

C.q>lD.q<-l

8.设〃力为非负整数，加为正整数，若a和6被根除得的余数相同，则称。和6对模加

同余，记为。三b（modm）.若。为质数，“为不能被P整除的正整数，贝IJ/Tml（modp）,

这个定理是费马在1636年提出的费马小定理，它是数论中的一个重要定理.现有以下

4个命题：

①23°+1三65（mod7）；

②对于任意正整数一尤三0（modl3）；

③对于任意正整数—x三0（mod7）；

④对于任意正整数三l（mod5）.

则所有的真命题为（）

A.①④B.②C.①②③D.①②④

二、多选题

9.下表是某地从2019年至2023年能源消费总量近似值，（单位：千万吨标准煤）的

数据表:

年份20192020202120222023

年份代号X12345

能源消费总量近似值y（单位：千万吨标准煤）44.244.646.247.850.8

以x为解释变量，y为响应变量，若以%=3+%为回归方程，则决定系数仪0.9298,

若以％=4/+%尤+0为回归方程，则用。0.9965,则下面结论中正确的有（）

A.变量X和变量y的样本相关系数为正数

B.夕2=62炉+%尤+。2比上=4天+4的拟合效果好

C.由回归方程可准确预测2024年的能源消费总量

D.y=3b{+a{

10.已知函数〃x）=sin（2x+9）］|d日），且=若函数/⑺向右平移

a（a>0）个单位长度后为偶函数，则（）

7t

A.（P=~-

6

B.函数/（x）在区间上单调递增

C.。的最小值为；

6

5兀

D.。的最小值为二

试卷第2页，共4页

11.已知函数〃x）=e*与函数g（x）=l+—；的图象相交于上（5,凶）,巩马,%）两点,且

X~1

玉＜%2，则（）

x1

A.%％=1B.yj=_

e

C.适5耳＞1D.X2y2=l

三、填空题

12.已知点厂为抛物线C：/=16y的焦点，直线/为C的准线，则点尸到直线/的距离

为.

13.有5位大学生要分配到A,B,C三个单位实习，每位学生只能到一个单位实习，每个

单位至少要接收一位学生实习，已知这5位学生中的甲同学分配在A单位实习，则这5位

学生实习的不同分配方案有种.（用数字作答）

14.如图，己知点A是圆台。。的上底面圆J上的动点，氏C在下底面圆。上，

AO}=1,OO}=2,BO=3,BC=2小,则直线AO与平面。pBC所成角的余弦值的最小值

为.

四、解答题

15.已知在四边形ABCD中，△ABZ）为锐角三角形，对角线AC与8D相交于点0,

AD=2,AC=4,BD=y[6,ZABD=-.

4

⑴求A3；

⑵求四边形ABCD面积的最大值.

16.如图，在四棱锥P-ABCD中，底面ABC。是边长为2的菱形，ZDAB=60,

PA=PD=410.

p

------』

(1)证明：PBLBC-,

⑵若二面角尸-AD-C为150,求平面APB与平面CP3夹角的正弦值.

17.某商场举办摸球赢购物券活动.现有完全相同的甲、乙两个小盒，每盒中有除颜色

外形状和大小完全相同的10个小球，其中甲盒中有8个黑球和2个白球，乙盒中有3

个黑球和7个白球.参加活动者首次摸球，可从这两个盒子中随机选择一个盒子，再从

选中的盒子中随机摸出一个球，若摸出黑球，则结束摸球，得300元购物券；若摸出的

是白球，则将摸出的白球放回原来盒子中，再进行第二次摸球.第二次摸球有如下两种

方案：方案一，从原来盒子中随机摸出一个球；方案二，从另外一个盒子中随机摸出一

个球.若第二次摸出黑球，则结束摸球，得200元购物券；若摸出的是白球，也结束摸

球，得100元购物券.用X表示一位参加活动者所得购物券的金额.

⑴在第一次摸出白球的条件下，求选中的盒子为甲盒的概率.

(2)①在第一次摸出白球的条件下，通过计算，说明选择哪个方案第二次摸到黑球的概率

更大；

②依据以上分析，求随机变量X的数学期望的最大值.

22

18.已知椭圆C:=+2=l(a>人>0)的上顶点为。(0,2),直线/：'=履与椭圆C交于

ab

AB两点，且直线与的斜率之积为-g.

⑴求椭圆C的方程；

⑵若直线直线/'与椭圆C交于M,N两点，且直线DM与。N的斜率之和为1,求

/'与/之间距离的取值范围.

19.已知函数〃x)=W，a>0.

(1)当。=2时，求函数/(X)的单调区间和极值；

(2)当x>0时，不等式/(x)-cos[lW(x)]2tdnx2-4x恒成立，求.的取值范围.

试卷第4页，共4页

参考答案:

1.D

【分析】

化简出4=3-i,贝ij可计算出z-z=-3-i,再由模长公式计算出答案.

［详解］4=(l+i)(l-2i)=l-2i+i-2i2=3-i,

|z-zJ=k2i-3+i|=F3-i|=J(-3)2+(-l)2=回.

故选：D

2.A

【分析】

根据指数函数和余弦函数的性质即可判断AC；举出反例即可判断B；由作差法即可判断D.

【详解】对于AC,当％>0时，Vx>0,ex>l,cosx<l,

所以Vx〉0,e”>cosx,故A正确，C错误；

对于B,当1=0/=一1时，=0<1=Z?2,故B错误；

对于D,/=(q_9(Q2+〃〃+/)=(〃_〃)++-|/?2,

因为所以"一。3=(Q_b)+［02>°，故D错误.

故选：A.

3.A

【分析】

Sir3冗(71\

根据7T=2-匕+*j结合诱导公式求解即可.

故选：A.

4.B

【分析】

由题意可得2=走及渐近线方程，再根据焦点到渐近线的距离及/=储求出0,6即可得

a3

解.

答案第1页，共15页

【详解】由题意可得2=tan4=3，所以°=回，

a63

双曲线的渐近线方程为y=±#x,即x±6y=0，

|c|r

焦点(c,0)到渐近线x+6y=0的距离/=^^=彳=2,所以c=4,

V1+32

又/+/=c?=16,a=,所以。?=4,〃=12,

22

所以c的方程为土-匕=1.

124

故选：B.

5.D

【分析】

记OM=m,ON=n,由题意可知/+1=5,易得=240—疗•J10—川,再利用基本

不等式，得出其最值.

22

【详解】如图所示：OP=y/5,iflOM=m,ON=n,IjJlJm+n=5,

AC=2410-M,A)=2A/10-",

C]A-CCC/1Z-vT-7,I0_+I0~7?2

SACBD=5AC•BD=2\l0—m•\l0—n<2x-------------=15,

当且仅当而二/=加二了，即加=〃=芈时，取等号.

所以四边形ACBD的面积的最大值为15.

故选：D

【分析】根据条件得到函数/(x)是周期为4的函数，再根据条件得出

/⑴，/(2),43),/(4),即可求出结果.

【详解】〃X)+〃2T)=2,①

答案第2页，共15页

.-./(l+x)+f(2-(l+x))=2,

即〃1+X)+〃1T)=2,所以f+=,

所以函数的图象关于(LI)对称，

令x=l,则/。)+/。)=2,所以=

令元=2,f(2)+f(0)=2,又“0)=2,所以"2)=0,

X-/W-/(4-x)=0,.-./(2-x)=f(4-(2-x))=/(2+x),②

即函数〃元)的图象关于直线尤=2对称，

"3)="1)=1

且由①和②，得/(x)+/(2+x)=2=/(2+x)+/(4+x)=2,

所以f(x)=F(4+x),则函数〃x)的一个周期为4,

贝4(4)="0)=2,

2024

所以E/(D=506[/(1)+/(2)+/(3)+”4)]=506X(1+0+1+2)=2024.

1=1

故选：C

7.B

【分析】

利用切线不等式放缩，结合等比数列的通项公式及排除法可得答案.

【详解】设函数/(x)=ex-x-l,则:(x)=e=l,

当x<0时，f'(x)<0,/⑴为减函数；当x>0时，f'(x)>0,Ax)为增函数;

所以/(X)"0)=0,即e』+l.

因为邑=eS，2s4+I,所以S3-S4NI,即gW-1.

因为q=>1,所以q<0,排除A,C.

若q=-l,at-2>l,则星=2,64=。，不满足S3=eS，，排除D.

故选：B

8.C

【分析】

答案第3页，共15页

由二项式定理即可证明23°+1被7除所得余数为2,即可判断①；由费马小定理可得

?2=l(modl3),即可判断②；由F三i(mod7),结合产-x=x，一1)(尤$+1)即可判断③；

由三l(mod5),结合_?2-1=(尤4-1)(尤8+尤4+])即可判断@.

【详解】对于①：因为23°=81°=(7+1严=©7°+《。79++C；07+l,

所以23。被7除所得余数为1,

所以23°+1被7除所得余数为2,

所以23°+1三65(mod7),正确；

对于②：由费马小定理得：x12^l(modl3),即%三o(modl3),正确；

对于③：由费马小定理得：f三i(mod7),即f-l三0(mod7),

X%13-%=x(%12-1)=x(%6-l)(x6+1),所以03—x三0(mod7),正确；

对于④：由费马小定理得：/三i(mod5),即/_1三0(mod5),

又无I?-1=(%4—1)(X8+%4+1),

所以xJ三0(mod5),错误.

故选：C

【点睛】关键点睛：解本题的关键在于充分理解新定义，然后结合带余数法以及费马小定理

等初等数论知识即可求解.

9.ABD

【分析】

随着变量x的增加，变量y也在增加可判断A选项；根据决定系数越接近1,拟合效果越好

可判断B选项；由经验回归方程的定义可判断C选项；由经验回归方程必过样本中心点可

判断D选项.

【详解】对于A选项：随着变量了的增加，变量)也在增加，故变量y和变量X成正相关,

即样本相关系数为正数，正确；

对于B选项：因为房＞斤，故[2=匕2尤2+。2%+。2比%=白尤+4的拟合效果好，正确；

对于C选项：回归方程可预测2024年的能源消费总量，不可准确预测，错误；

对于D选项：由回归方程必过样本中心点，可知y=3々+4,正确.

答案第4页，共15页

故选：ABD.

10.AC

7T

【分析】由=-xj可得函数关于x=与轴对称,由此可解出e=-m，则A

6

正确；可得〃x)=sin(2x-Wj,由此即可判断出B选项；将函数“力向右平移。个单位长

度后得至IJg(x)=sin12x-2a-?1,由g(x)偶函数，可得a=2”,keZ,再由a>0,即

可求出。的最小值.

【详解】对于A,因为所以函数/(x)关于x=g轴对称,

27r7T71

所以——+0=—+E,左cZ,解得(p=---卜kit,ksZ,

326

又冏笠，所以当左=0时，(P=~,故A正确；

26

对于B,/(x)=sin12x-'，

、r,2兀771c711171

当一<%<兀时，一<2x一一<——,

3666

因为y=sinx在区间上不单调递增，故B错误；

对于CD,将函数〃x)向右平移。(a>0)个单位长度后得到g(x)=si“2x-2a-£

TTTT7TKTT

由g@)偶函数，可得：-2a-m=g+E,keZ,解得“=Z,

6232

7T

又。>0,所以当上=-1时，a的最小值为:，故C正确，D错误.

6

故选：AC

11.AC

【分析】

构造函数利用奇偶性和单调性得出xl+x2=0,结合选项逐项验证即可.

【详解】由题意e'=l+二有两个不等的实数根，e^=—,x=ln=,

x-1x-1x-1

h(x)=,贝0=_X—Inx+1=-h(x),即力(x)为奇函数；

x-1-x-1

当X>1时，〃(尤)=之比>0,/7(x)为增函数；

x-1

若飘石)=。，贝4%(—玉)=0,又力(电)=0,所以芯+%2=。.

对于A,%%=9^=9+"2=1,正确.

答案第5页，共15页

对于B,若=e*='成立，则有玉%2=-1,与芯+%2=。矛盾，所以B不正确.

e

6必_pxi一+^^巧_pxi

所以之二互正确.

对于C,由指数均值不等式------->e2可得------>1,>1,C

马一项々一%x2-xl

对于D,令/(x)=xe*,尸(x)=(x+l)e",当x>l时，F'(x)>0,尸(x)为增函数,

所以/(%)>2D=e,即无2%>e,D不正确.

故选：AC.

【点睛】结论点睛:均值不等式的拓展：(1)对数型均值不等式：斥<<五手，

In王-Inx22

一+巧金尤2_gxigxi已电

2

其中尤2，X,>0,x,>0；(2)指数型均值不等式：e<----------<一--,其中王3马.

x2—X12

12.8

【分析】

根据抛物线定义计算即可.

【详解】根据抛物线方程可知，抛物线焦点为尸(0,4),准线为y=T,所以点尸到直线/的

距离为8.

故答案为：8.

13.50

【分析】

根据特殊元素进行分类计数，具体分类下是不相同元素分配问题，先分堆再配送，注意平均

分堆的要除以顺序.

【详解】根据特殊元素“甲同学”分类讨论，

当A单位只有甲时，其余四人分配到民C,不同分配方案有C：C；A；+C©=14种；

当A单位不只有甲时，其余四人分配到A民C,不同分配方案有*yA；=36种;

合计有50种不同分配方案，

故答案为：50.

14.叵

10

【分析】

答案第6页，共15页

以0为坐标原点，建立空间直角坐标系，求得对应点的坐标，设出未知点的坐标，利用向量

法求线面角正弦值的最大值，再求余弦值的最小值即可.

【详解】连接0C,过C作垂直于80的延长线于点H,以。为坐标原点，建立空间直

角坐标系如下所示：

在三角形03C中，因为。8=3,OC=3,8C=26',

9+20-9_加，则=BC-cos2=26x9=W

2x3x2下33

则CH==延

93

又5(3,0,0),0(0,0,0),«(0,0,2),设点A(v”,2),m,ne[—1』，由QA=1,则可得m2+n2=l；

BC=L^,^,O1B(?1=(-3,0,2),

I33J

设平面O[BC的法向量〃?=(%,y,z),

m-BC=Q[_12x+拽y=0广

则，即33',取y=7L则x=2,z=3,

同股=°[-3x+2z=0

故平面QBC的法向量niuQ,&'n),又。4=(能,〃,2),

TT

设直线A。与平面OfC所成角为e,6e0,-,

2根+&n+62机+石〃+6

则sin0=cos(OA,m)\=------=-―J--------产——1

।'〃|m|OA30x+〃2+43V10

因为私〃,且根2+/=1,故令机=cosa,〃=sina,a£[0,2?i),

贝U2m+有n+6=>/5sincr+2coscr+6=3sin+0)+6,tan9=------,cpe

答案第7页，共15页

Xae[0,27i),故sin(a+e)£[-l,l],3sin(a+0)+6w[3,9],也即2m+^n+6G[3,9],

故sind的最大值为二==题，又故cos0的最小值为a-sin?e=巫.

371010L2j10

即直线A。与平面QBC所成角的余弦值的最小值为零.

故答案为：叵.

10

【点睛】关键点点睛：本题用向量法处理线面角的求解，结合问题的关键一是，能够准确求

得C的坐标，二是能够根据/+*=],求得2"7+6”+6的范围；属综合困难题.

15.(1)AB=-x/3+1

⑵26

【分析】

(1)由余弦定理解出边长即可，注意判断△ABD为锐角三角形；

(2)作垂直于及歹，表示出四边形的面积等于两三角形面积和，再由正弦函数

的最值求出面积的最大值.

化简为4笈一2吊8+2=0,解得43=6+1或6-1,

lIv3-lj+4-62-2«

当AB=g-1时，因为cosNBW=^-----\丁=------1K＜。，与△AB。为锐角三

2x2x(6一1)2x2x(V3-l)

角形不符合，故48=6+1

(2)作AE,C尸垂直于瓦尸，设=

则

答案第8页，共15页

SABCD=SABD+SCBD=^BD-AE+^BD-CF=^BD(AOsinZl+COsinZr)=^BD-ACsinZl,

当$:111/1=1=>/1=90。=>47，班),四边形面积最大

最大面积为!x4x#=2几

16.(1)证明见解析

⑵也

37

【分析】

(1)取AO的中点0,连接。尸,。氏9，证明平面P03,即3C，平面P03,再根

据线面垂直的性质即可得证；

(2)先说明一尸。3即为二面角尸-AD-C的平面角，再以点。为原点建立空间直角坐标系，

利用向量法求解即可.

【详解】(1)取AD的中点0,连接。P,。氏3D,

在菱形ABCD中，ZDAB=60,

则△ABD为等边三角形，所以

因为尸4=尸。=,所以AD_LOP,

因为OP03=。。「,03<=:平面208,所以ADJ_平面PQB,

又因为AD〃3C,所以5C1平面尸03,

又PBu平面POB,

所以「5L3C；

(2)因为OBLAAADLOP,OPu平面PAD,OBu平面ACD,

所以NP03即为二面角尸-AD-C的平面角，

所以/尸03=150°,

如图，以点。为原点建立空间直角坐标系，

OP=dP牙-ON=3,

则A(l,0,0),3(0,若,0),々-2,右,0),P0,-券,/,

(5Q3、一.

故0,-^-,-,48=(1,-括,0),C8=(2,0,0),

答案第9页，共15页

设平面上4B的法向量为〃=（x,y,z）,

n-BP=+—z=0

则有22，令y=g,贝！|x=3,z=5,

n-AB=x—yfiy=0

所以〃=（3,g,5）,

设平面尸3c的法向量为机=（a,b,c）,

m-BP=-—b+-c=Q

则有22,可取加=（0,6,5）,

m-BC=2a=Q

em，n282"

贝”cosm,n=

|m||n|25/7x5/37历,

’2⑺3扃

所以平面APB与平面CP3夹角的正弦值为

37

（2）①方案二中取到红球的概率更大；②230

【分析】

（1）利用全概率公式和概率的乘法公式计算；

（2）①利用条件概率公式计算，根据数据下结论；②两种方案分别求出期望，根据数据下

结论.

【详解】（1）设试验一次，“取到甲盒”为事件A，“取到乙盒”为事件4，

“第一次摸出黑球”为事件耳，“第一次摸出白球”为事件,

1217Q

x+X=

p（B2）=p（4）m|A）+m）m|A）=^752n）2（）

答案第10页，共15页

所以试验一次结果为白球的概率为9三，

21

所以iF二pqia）p（a）102=2

9-9

20

所以选到的袋子为甲盒的概率为£.

27

（2）①尸（4忸2）=1-尸（阖层）=1-§=§

所以方案一中取到黑球的概率为：

oQ"7337

或=尸（4闾尸（四⑷+尸（4闻尸㈤&）=丁伍+§.=旃,

方案二中取到黑球的概率为：

鸟=尸（4闻尸㈤A）+P（A网尸（4闯14+方»为

3137

因为所以方案二中取到黑球的概率更大•

4590

②随机变量X的值为300,200,100,

依据以上分析，若采用方案一:

P（X=300）=P（B1）=l-P（B2）=1i,

尸（x=2oo）=尸（不用=2乂卫=2L,

'7v72090200

P（X=100）=1----=—,

'720200200

113753

石（X）=300x——+200x——+100x——=228.5,

'720200200

若采用方案二:

P（X=300）=P（B1）=l-P（B2）=1l,

Q13

P（X=200）=P（B2）^=-X-=-,

1137

P（X=100）=l------------=—,

v7202020

1137

E（X）=300x—+200x—+100x—=230,

v7202020

所以随机变量X的数学期望的最大值230.

x2y2

18.（1）—+^=1

124

答案第11页，共15页

。，*

⑵

【分析】

（1）联立方程组，根据34心B=-;，利用韦达定理可求“，从而得解；

（2）设直线/':丫=丘+祖,（〃件±2）,联立方程组，根据的“+心.=1,利用韦达定理可得

m=4k—2,由两平行直线间的距离公式，并利用导数求最值.

【详解】（1）

设A(^,AX1),B(X2,AX2)

22

由题意，可知6=2,则椭圆c：A+L=l,

a24

y=kx

1，得（4+片上2卜2_4〃2=0,

联立方程组x2,2

一4〃2

显然A>0,且玉+%=。，玉%2=-------『

12124+八2

1kx,-2kx0-21

1--------

因为即"一,

j41人23

化简得(342+1)玉%2-6Mxi+%2)+12=0,

所以（3新+1）•《［D+12=0,解得片=12,

所以椭圆C：£+t=l

124

(2)由直线/'〃/,设直线/':y=Ax+加,(mw±2),

A/(J^,AX3+m),B(x4,Ax4+m),

y=kx+m

联立方程组］dy2_,得(1+3左2)f+6初觊+3苏-12=0,

1124

贝(jA=36/〃，-4(3〃+1)(〃/-4)=n(12k2-zn2+4)>0

得苏<12二+4①

-6km3m2-12

且％3+%=

3%2+1'%"4-3左2十］

kx3+m-2kx4+m-2

又因为％£>M+/W=1，即1=］,

答案第12页，共15页

化简得（2左-1）龙3工4+（"?-2乂电+%4）=。,

W-12-6km

则（2”1）+(〃?-2)=0,

3F+13k2+1

化简得（〃?一2乂必一机-2）=0,

因为〃2H±2,所以m=4左一2,结合①可知0〈左＜4,

|4^-2|_l4k2-4k+l

/'与/之间距离〃=下」=

4/-4Z+12(2k-l)(k+2)

设g（无）=则g’㈤

-1+P-ST

当A=:时，g"）=0,

则当Ae（0,£|,g"）＜0,则g（x）单调递减,

当kg"）＞0,则g（x）单调递增，

所以gOOmin=g（j=。，

【点睛】方法点睛：利用韦达定理法解决直线与圆锥曲线相交问题的基本步骤如下:

（1）设直线方程，设交点坐标为（占,％）,（x,,y2）；

（2）联立直线与圆锥曲线的方程，得到关于x（或y）的一元二次方程，必要时计算A；

（3）列出韦达定理；

（4）将所求问题或题中的关系转化为国+%，为々的形式；

（5）代入韦达定理求解.

答案第13页，共15页

19.(1)单调递增区间为：(0,1),单调递减区间为：(-8,0)和(1,+8)；极大值/⑴=士，极

e

小值/(0)=0；

⑵(0,2e]

【分析】

(1)将。=2代入，求出尸(可，即可求出答案；

ainx2x

(2)原不等式等价于e~-2(〃In%-2%)-cos(aIn%-2x)>0,F(x)=a]nx-2x9a>0