江苏省无锡市惠山六校联考2023-2024学年高三第二次联考数学试卷含解析

江苏省无锡市惠山六校联考2023-2024学年高三第二次联考数学试卷

考生请注意：

1.答题前请将考场、试室号、座位号、考生号、姓名写在试卷密封线内，不得在试卷上作任何标记。

2.第一部分选择题每小题选出答案后，需将答案写在试卷指定的括号内，第二部分非选择题答案写在试卷题目指定的

位置上。

3.考生必须保证答题卡的整洁。考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回。

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1.已知抛物线C：V=6x的焦点为产，准线为/,A是/上一点，3是直线A尸与抛物线C的一个交点，若E4=3EB，

则1环|=（）

75

A.-B.3C.-D.2

22

2

2.若ae[l,6],则函数丁=皆处在区间[2,+8）内单调递增的概率是（）

4321

A.—B・—C.—D・—

5555

3

3.执行如图所示的程序框图，若输出的5=历，则①处应填写（）

网

♦心可

I

____KJ/输,§/

康］

A.k<3?B.k„3?C.k„5?D.k<5?

已知向量。与的夹角为，=网=石,

4.a+b60°,1,则。•。=（）

A.—BB.0C.0或-33

D.--

222

5.已知向量〃二(九1),。=(-1,2),若(〃-2Z?)_Lb,贝!a与人夹角的余弦值为（）

A2^/13n2A/13C6A/13n6V13

A.----------B.--------C.----------u•--------

13136565

6.已知向量〃=（1,2）,/?=（2,4-2）,且々_18，则2等于（）

A.4B.3C.2D.1

7.已知集合“=卜|工2—3x—10<0｝,N=卜"=跖7卜且河、N都是全集R（R为实数集）的子集，则

如图所示韦恩图中阴影部分所表示的集合为（）

A.1x|3<%<51B.｛乂x<-3或x>5｝

C.1x|-3<x<-2jD.1x|-3<x<51

8.若不相等的非零实数x,y,z成等差数列，且x,y,z成等比数列，则叶）=（）

z

57

A.--B.-2C.2D.-

22

9.已知正方体A3CD-的体积为£，点M,N分别在棱6同，CQ上，满足AM+MN+NR最小，则四

面体的体积为（）

A.—VB.-VC.-VD.-V

12869

10.设外力=加力若函数g（x）=〃x）-依在区间（01）上有三个零点，则实数。的取值范围是（）

11.设椭圆E：二+ql(tZ>。〉0）的右顶点为A,右焦点为尸，B、。为椭圆上关于原点对称的两点，直线5尸

/b2

交直线AC于拉，且“为AC的中点，则椭圆E的离心率是（）

2111

A.—B.—C.—D.一

3234

12.已知函数/（%）=依+1+|2%2+欠一1的最小值为0,贝!|。=（）

111

A.—B.—1C.+1D.±一

22

二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

13.数列｛4｝的前几项和为S",数列也｝的前〃项和为7“，满足q=2,3s,且

。也,="+1.若任意“6E，％<《“—7；成立，则实数X的取值范围为.

/、|logx-^|,0<x<4/、

14.设函数/(x)=I,9言.I。，若存在实数，〃，使得关于x的方程/(力=枕有4个不相等的实根，且这

J(O—XJ,4<X<o

4个根的平方和存在最小值，则实数a的取值范围是.

15.某次足球比赛中，A,B,C,。四支球队进入了半决赛.半决赛中，A对阵C,3对阵。，获胜的两队进入决

赛争夺冠军，失利的两队争夺季军.已知他们之间相互获胜的概率如下表所示.

ABCD

A获胜概率一0.40.30.8

8获胜概率0.6一0.70.5

C获胜概率0.70.3一0.3

。获胜概率0.20.50.7一

则A队获得冠军的概率为.

16.甲、乙两人下棋，两人下成和棋的概率是工，乙获胜的概率是工，则乙不输的概率是__.

23

三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

17.(12分)改革开放40年，我国经济取得飞速发展，城市汽车保有量在不断增加，人们的交通安全意识也需要不断

加强.为了解某城市不同性别驾驶员的交通安全意识，某小组利用假期进行一次全市驾驶员交通安全意识调查.随机抽取

男女驾驶员各50人，进行问卷测评，所得分数的频率分布直方图如图所示在80分以上为交通安全意识强.

(1)求。的值，并估计该城市驾驶员交通安全意识强的概率；

(2)已知交通安全意识强的样本中男女比例为4:1,完成下列2x2列联表，并判断有多大把握认为交通安全意识与性

别有关；

安全意识强安全意识不强合计

男性

女性

合计

（3）用分层抽样的方式从得分在50分以下的样本中抽取6人，再从6人中随机选取2人对未来一年内的交通违章情况

进行跟踪调查，求至少有1人得分低于40分的概率.

附：K?=7~其中“-q+6+c+d.

2

P[K>k]0.0100.0050.001

k6.6357.87910.828

18.(12分)已知函数/(x)=e?*+(l-tzx2)e*wR).

（1）证明：当x\e2时，e，＞x2；

（2）若函数/（x）有三个零点，求实数。的取值范围.

19.（12分）在正三棱柱48。115©中，已知43=1,441=2国凡6分别是棱441,4。和4心的中点，以｛用,FB,FG^

为正交基底，建立如图所示的空间直角坐标系尸盯z.

（1）求异面直线AC与3E所成角的余弦值;

（2）求二面角F-BCi.C的余弦值.

20.（12分）如图，已知椭圆E的右焦点为名（1,。），P,。为椭圆上的两个动点，PQ8周长的最大值为8.

（I）求椭圆E的标准方程;

（II）直线/经过8,交椭圆E于点A,3,直线机与直线/的倾斜角互补，且交椭圆E于点"，N,\MNf=4\AB\,

求证：直线m与直线/的交点T在定直线上.

2

21.（12分）设函数/（X）=|x-«|+|x+—|（«>0）.

a

2

（1）若不等式/（X）一口十一|羽X的解集为{X降1},求实数。的值;

a

（2）证明：/（x）>272.

22.（10分）已知四棱锥P—ABCD中，底面ABC。为等腰梯形，ADBC,PA=AD=AB^CD=2,BC=4,

B4_L底面ABCD.

（1）证明：平面？AC,平面上钻；

（2）过"的平面交于点E，若平面B4E把四棱锥P-ABCD分成体积相等的两部分，求二面角A-PE-5的

余弦值.

参考答案

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1、D

【解析】

根据抛物线的定义求得|”|=6,由此求得忸耳的长.

【详解】

过3作3C，/,垂足为C,设/与x轴的交点为。.根据抛物线的定义可知忸司=忸。.由于FA=3fB，所以

1

\AB\=2\BC\,所以NC4B=W，所以|AF|=2|ED|=6,所以忸8=总4刊=2.

故选：D

本小题主要考查抛物线的定义，考查数形结合的数学思想方法，属于基础题.

2、B

22

【解析】函数y=工詈在区间[2,+8）内单调递增，.•.歹=1—「=*@20,在[2,+8）恒成立，在

[2,+8）恒成立，aW4,aG[1,6],aw[1,4],.•.函数y=三产在区间[2,+刃）内单调递增的概率是篇=|，

故选B.

3、B

【解析】

模拟程序框图运行分析即得解.

【详解】

k=1,S=O',k=2,S=0-\—-----=—

2-+26

1113

k=3,S=—+k=4,S=-+

632+34442+410

所以①处应填写”,，3?”

故选：B

【点睛】

本题主要考查程序框图，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平.

4、B

【解析】

由数量积的定义表示出向量。与a+6的夹角为60°,再由/=卜『，代入表达式中即可求出

【详解】

由向量a与a+b的夹角为60。,

-2

a+a•万=aa+万cos60°,

2

所以a+a-b+2a-b+b,

又忖=1,网=豆，=|a|,b=|£>|,

所以l+a,b=5><lx。1+2°,〃+3,解得（2-b=0•

故选:B

【点睛】

本题主要考查向量数量积的运算和向量的模长平方等于向量的平方，考查学生的计算能力，属于基础题.

5、B

【解析】

直接利用向量的坐标运算得到向量2力的坐标，利用（a-2加2=0求得参数机，再用cos〈a,力=士生计算即可.

|。||回

【详解】

依题意，a-2b=(m+2,-3),而(a-2b)•b=0,即一加一2-6=0,解得m二一8,则

a-b_10_2A/13

cos〈a,Z?〉

|a||b「后病—13

故选：B.

【点睛】

本题考查向量的坐标运算、向量数量积的应用，考查运算求解能力以及化归与转化思想.

6、D

【解析】

由已知结合向量垂直的坐标表示即可求解.

【详解】

因为讶=(1,2)出=(2,4—2),且打B，

ci-b=2+2(/1—2)=0,

贝!U=l.

故选：D.

【点睛】

本题主要考查了向量垂直的坐标表示，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平，属于基础题.

7、C

【解析】

根据韦恩图可确定所表示集合为N(二/),根据一元二次不等式解法和定义域的求法可求得集合根据补集

和交集定义可求得结果.

【详解】

由韦恩图可知：阴影部分表示N(4"),

M={x|(x-5)(x+2)<0}={乂-2<x<5},A^=|x|9-x2>0j=1%|-3<x<3},

.•.A^n(^M)={x|-3<x<-2).

故选：C.

【点睛】

本题考查集合运算中的补集和交集运算，涉及到一元二次不等式和函数定义域的求解；关键是能够根据韦恩图确定所

求集合.

8、A

【解析】

X+ZXZ

由题意，可得y=—z2=xy,消去y得好+无z—2z2=0,可得一=-2,继而得到丁=一彳，代入即得解

2z2

【详解】

由％,y,z成等差数列，

Y+7

所以丁=丁，又了，z,y成等比数列，

所以z2=孙，消去y得好+xz—2Z2=0,

所以［曰］+--2=0,解得'=1或2=—2,

\z)zzz

因为x,y,z是不相等的非零实数，

x7

所以一二一2,此时y=——,

z2

所以虫=_2—

z22

故选：A

【点睛】

本题考查了等差等比数列的综合应用，考查了学生概念理解，转化划归，数学运算的能力，属于中档题.

9、D

【解析】

由题意画出图形,将所在的面延它们的交线展开到与AM所在的面共面,可得当BM=gBBiCN=；时

aV

A/+MN+NB最小，设正方体AG的棱长为3a,得。=药，进一步求出四面体AMNR的体积即可.

【详解】

解：如图,

•••点M,N分别在棱BBi，Cq上,要AM+MN+ND,最小，将MN,ND、所在的面延它们的交线展开到与所在的面

共面，AM,政V,ND1三线共线时，AM+脑V+NR最小,

:.BM=1BB｛，GN=；C】C

设正方体AC,的棱长为3a,则27a3=y,

a3=—.

27

取8G=；BC,连接NG,则AGNQ共面,

在AANR中，设N到ADI的距离为4,

22

ADX=7(3tz)+(3tz)=3^2a,

D[N=J(3Q)2+比=yflOa,

AN=J(3缶。+(2〃)2:应a,

10/+22/—18/7

cos/D[NA=

2-VlOtz-V22a

sinND[NA=^^=

2455

.•.S=-D.NANsmZD.NA=-AD.-h=^^-a2

ZAL>IIVA2ii2ii2

设M到平面AGND\的距离为h2,

13屈/6aV_

♦V—X---------

..VAMND132~9

故选D.

【点睛】

本题考查多面体体积的求法，考查了多面体表面上的最短距离问题，考查计算能力，是中档题.

10、D

【解析】

令g(x)=/(X)—④=。,可得=

在坐标系内画出函数/(x)=|liw|的图象(如图所示).

当％>1时，/(4)=111¥.由1=111%得了=—

X

设过原点的直线y=w与函数y=/〃x的图象切于点A(x0,lnx0),

Inx0=ax0\x0=e

则有1_1,解得|1.

a=——a=—

1与〔e

所以当直线y=G^与函数y=/"x的图象切时a=—.

e

又当直线丫=必经过点B(e2,2)时，有2=a-e2,解得

结合图象可得当直线y=依与函数/(尤)=|向|的图象有3个交点时，实数a的取值范围是•

即函数g(x)=/(x)—依在区间(01)上有三个零点时，实数。的取值范围是选D.

点睛：已知函数零点的个数(方程根的个数)求参数值(取值范围)的方法

⑴直接法：直接求解方程得到方程的根，再通过解不等式确定参数范围；

⑵分离参数法：先将参数分离，转化成求函数的值域问题加以解决；

(3)数形结合法：先对解析式变形，在同一平面直角坐标系中，画出函数的图象，然后数形结合求解，对于一些比较复

杂的函数的零点问题常用此方法求解.

11、C

【解析】

\OF\1c1

连接aw,OM为AABC的中位线，从而AO引0AAFB,且篙=7,进而——=—，由此能求出椭圆的离心

\FA\2a-c2

率.

【详解】

如图，连接OM,

椭圆E：l（a〉6〉0）的右顶点为A,右焦点为尸,

/b2

B、。为椭圆上关于原点对称的两点，不妨设8在第二象限,

直线5歹交直线AC于M,且M为AC的中点

•••为AABC的中位线,

\OF\1

•••AOFMAAFB,且词=Q,

c_1

••—―,

a-c2

c1

解得椭圆E的离心率e=一=—.

a3

故选:C

【点睛】

本题考查了椭圆的几何性质，考查了运算求解能力，属于基础题.

12、C

【解析】

设［雅盟工］二.计算可得f3=］累累北，再结合图像即可求出答案.

【详解】

g(x)+/z(x)=ax+\g(x)-x1+ax

设＜则

g(x)-/z(x)=2x2+ax-l/z(x)=l-x2

则〃上g(x)+Mx)+1g(x)j(x)1")C),

由于函数/(%)的最小值为0,作出函数g(x)/(x)的大致图像,

所以a=±l.

故选：C

【点睛】

本题主要考查了分段函数的图像与性质，考查转化思想，考查数形结合思想，属于中档题.

二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

,1

13、XW—

2

【解析】

an+1

当加.2时，a=S-S_可得到j=-再用累乘法求出再求出/，根据定义求出北，再借助单调性求

nnnitan-\"T

解.

【详解】

解：当〃=1时，3，=(l+〃z)6=3q,则〃7=2,35“=("+2)4，

当〃..2时，3S〃_]=(〃+1)4T,

3an=(〃+2)an一(〃+Y)an_x,

a“=〃+l

'"a„-l

_345nn+1,

=2x—x—x—...----•----=n（n+1）.

9

an-l123n-2n-1

7n+\1

•也=一=一

4〃

11+...+：4(当且仅当〃=1时等号成立),

----------1----------

〃+1n+2

二4,—,

2

1

故答案为:—00,—

2

【点睛】

本题主要考查已知s“求劣,累乘法，主要考查计算能力，属于中档题.

14、（-8,1）

【解析】

先确定关于x的方程/(%)=机当a为何值时有4个不相等的实根，再将这四个根的平方和表示出来，利用函数思想

来判断当«为何值时这4个根的平方和存在最小值即可.

【详解】

tz-log9x,0<x<4...、

由题意，当。工2时，log2x-a<0,此时y(x)=<[a-l°g；（8r）,4<x<8,此时函数/⑴在（°,4）单调递减,

在(4,8)单调递增，方程最多2个不相等的实根，舍;

,即九，

由图可知a-log2%=1。82%2一。，故石％2=4",且％3=8-々，%=8-

c4?。'(4。、

从而x；+x；+x；+x：=2x；+TF-16%+—+128,

X\7、%,

40_

令/=/H---,显然r>4",

王

x；+x；+x；+x；=2?2-16?+128-4a+1,要使该式在r>4"时有最小值，则对称轴。=4>4"，解得。<1.

综上所述，实数”的取值范围是（-8,1）.

【点睛】

本题考查了函数和方程的知识，但需要一定的逻辑思维能力，属于较难题.

15、0.18

【解析】

根据表中信息，可得A胜C的概率；分类讨论B或D进入决赛，再计算A胜B或A胜C的概率即可求解.

【详解】

由表中信息可知，A胜C的概率为0.3；

若B进入决赛，B胜D的概率为0.5,则A胜B的概率为0.5x04=0.2；

若D进入决赛，D胜B的概率为0.5,则A胜D的概率为0.5X0.8=0.4；

由相应的概率公式知，则A获得冠军的概率为P=0.3x（0.5x0.4+0.5x0.8）=0.18.

故答案为：0.18

【点睛】

本题考查了独立事件的概率应用，互斥事件的概率求法，属于基础题.

5

16、-

6

【解析】

乙不输的概率为工+工=3,填

2366

三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

17、（1）a=0.016,概率为0.2；（2）列联表详见解析，有99.5%的把握认为交通安全意识与性别有关；（3）

【解析】

（1）根据频率和为1列方程求得a的值，计算得分在80分以上的频率即可；

（2）根据题意填写列联表，计算K?的值，对照临界值得出结论；

（3）用分层抽样法求得抽取各分数段人数，用列举法求出基本事件数，计算所求的概率值.

【详解】

解：（1）10（0.004x2+0.008+a+0.02x2+0.028）=1

解得a=0.016.

所以，该城市驾驶员交通安全意识强的概率P=0.16+0.04=0.2

（2）根据题意可知，安全意识强的人数有100义0.2=20,

4

其中男性为20x——=16人，女性为4人，

4+1

填写列联表如下：

安全意

安全意识不强合计

识强

男性163450

女性44650

合计2080100

(16x46-4x34)xlOO

K2=------------1-----=9>7,879

20x80x50x50

所以有99.5%的把握认为交通安全意识与性别有关.

（3）由题意可知分数在（30,40］,（40,50］的分别为4名和8名，

所以分层抽取的人数分别为2名和4名，

设的为的为四，与，则基本事件空间为四耳）,

（30,40］A，4,（40,50］B2,2,（A，A）,（A，4），（4,），（A，

（4，名），（4再），（4，员），（4通）,（4也）（耳5），（4闻,（耳纭）,（国国），（用也），（号且）

共15种,

设至少有1人得分低于40分的事件为A,则事件A包含的基本事件有

（A，A），（A，4），（AW）,（4闯,（4，纭），（4,4）,（4，四），（4，四）,（&,名）共9种

93

所以P（A）=W=<

【点睛】

本题考查独立性检验应用问题，也考查了列举法求古典概型的概率问题，属于中档题.

2

18、⑴见解析；（2）（—e,+oo）

【解析】

(1)要证明e*>%2(%之e?),只需证明尤>21nx即可；

(2)e,-a/=0有3个根，可转化为a=1有3个根，即V=。与/z(x)=；有3个不同交点，利用导数作出用>)

XX

的图象即可.

【详解】

,2

(1)令g(x)=x—21nx,贝!|g'(%)二1一一,当％之/时，g'(x)>0,

x

故g(x)在［e2,+oo)上单调递增，所以g(%)2g(e?)=e?-4>0,

即x>21nx,所以

(2)由已知，/(x)=e2x+(l-ax2-ax2=(ex-ax2)(ex+1),

x

依题意，/(无)有3个零点，即e%-双2=。有3个根，显然。不是其根，所以。二e三

有3个根，令/z(x)=；,则=当x>2时，/7,(x)>0,当0<尤<2

X'X

时，/?(%)<0,当x<0时，A(x)>0,故人(x)在(0,2)单调递减，在(T»,0),(2,+00)上

2

单调递增，作出/X)的图象，易得。〉上e.

4

2

故实数4的取值范围为(e1,+00).

【点睛】

本题考查利用导数证明不等式以及研究函数零点个数问题，考查学生数形结合的思想，是一道中档题.

19、(1)也.(2)撞1.

417

【解析】

（1）先根据空间直角坐标系，求得向量AC和向量BE的坐标，再利用线线角的向量方法求解.

（2）分别求得平面B歹G的一个法向量和平面5CG的一个法向量，再利用面面角的向量方法求解.

,0,0^,C^--,0,0^,B0,-^-,0,E^­,0,^

规范解答（1）因为AB=1,A4=2,则尸（0,0,0）,

f1小，、

所以AC=（-L0，0），BE=5,---J

（22J

记异面直线AC和BE所成角为a,

l-lxj1

x/2

则cos“=|cos<AC,BE）|=Lx2（/-\2=-9

4

所以异面直线AC和BE所成角的余弦值为叵.

4

（2）设平面3尸G的法向量为加=（xi,ji,zi）.

因为FB=。，与，。，FCi

mrB=——％=。

则2

m-FCi+24=0

取xi=4,得平面B尸G的一个法向量为加=（4,0,1）.

设平面5CG的法向量为〃=住2,72,Z2）.

_若、

因为CB=-5―50，CG=（。，0，2）,

I227

n・CB=-y=0

则j2222?

n-CCi=2Z2=0

取m=若得平面5CG的一个法向量为"=（G，-1,0）,

所以cos（m,n）=/-----1/z=-----

“2++117

根据图形可知二面角F-5G-C为锐二面角，

所以二面角F-BCi-C的余弦值为汉H.

17

【点睛】

本题主要考查了空间向量法研究空间中线线角，面面角的求法，还考查了转化化归的思想和运算求解的能力，属于中

档题.

22

20、（I）—+2L=1.（ID详见解析.

43

【解析】

（I）由椭圆的定义可得，PQK周长取最大值时，线段PQ过点月，可求出。，从而求出椭圆E的标准方程；

（II）设直线/:丁=左（％-1）（左彳0）,直线77"丁=一左（兀+/）,B（x2,y2）,A/（x3,y3）,刈/，％）•把

直线m与直线/的方程分别代入椭圆E的方程，利用韦达定理和弦长公式求出「和|人理，根据|MN「=4|A同求

出t的值.最后直线m与直线I的方程联立，求两直线的交点即得结论.

【详解】

（I）设PQK的周长为L,

则L=|P阊+|0闾+俨注=2-俨片|+2”—旧制+归0|=4"—（|期|+e用）+归。

<4a-\PQ\+\PQ\=4a,当且仅当线段PQ过点百时“=”成立.

.•.4。=8,:.a=2,又c=1>:.b=6，

22

二椭圆E的标准方程为上+乙=1.

43

（II）若直线/的斜率不存在，则直线僧的斜率也不存在，这与直线相与直线/相交于点T矛盾，所以直线/的斜率存

在.

设/:丁=左（%-1）（左wO）,77z:y=—左（尤+/）,B（x,,y2）,M（x3,y3）,N（x4,y4）.

将直线小的方程代入椭圆方程得：（3+4左2产+8左2h+4伊产—3）=0.

8k2t4(FR_3

,口+”-直尸…

.・.即「=(1+/『6"2-3V+9)

11')(3+4左2)2-

4,9公+9_120+左2)

同理，|AB|=y/l+k2

3+4左23+4左2

由|脑V「=4|AB|得f=0,此时△=64//_16(3+4左2)(Et1-3)>0.

直线m:y=-kx,

联立直线m与直线I的方程得T］；，一J"，

即点T在定直线％=L.

2

【点睛】

本题考查椭圆的标准方程，考查直线与椭圆的位置关系，考查学生的逻辑推理能力和运算能力，属于难题.

21、(1)a=l；(2)见解析

【解析】

(1)由题意可得仅-〃伫4”,分类讨论去掉绝对值，分别求得X的