2022年内蒙古呼和浩特市(初三学业水平考试)中考数学真题试卷含详解

2022年呼和浩特市中考试卷数学

注意事项：

1.考生务必将自己的姓名、准考证号填涂在试卷和答题卡的规定位置.

2.考生要将答案写在答题卡上，在试卷上答题一律无效.考试结束后，本试卷和答题卡一并交

回.

3.考试时间120分钟.

一、选择题（本大题共10小题，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）

1.计算一3-2的结果是（）

A-1B.1C.-5D.5

2.据2022年5月26日央视新闻报道，今年我国农发行安排夏粮收购准备金1100亿元.数据“1100亿''用科学记

数法表示为（）

A.l.lxlO12B.1.1x10"C.HxlO10D.O.llxlO12

3.不透明袋中装有除颜色外完全相同的〃个白球、力个红球，则任意摸出一个球是红球的概率是（）

bbaa

AB.一C.----D.

a+baa+bb

4.图中几何体的三视图是（）

5.学校开展“书香校园，师生共读”活动，某学习小组五名同学一周的课外阅读时间（单位：h）,分别为：4,

5,5,6,10.这组数据的平均数、方差是（）

A6,4.4B.5,6C.6,4.2D.6,5

6.下列运算正确的是（）

B.("Z+〃)2=祇2+〃2

121D.3.工

C.--------=—

x-1XX3%

7.如图，AABC中，NACB=90°，将cABC绕点C顺时针旋转得到△EOC,使点B的对应点。恰好落在AB

边上，AC，ED交于点F.若/BCD=a,则NEFC的度数是（用含。的代数式表示）（）

1133

A.90°+-«B.90°--«C.180°--«D.-a

2222

8.已知为，巧是方程V—x—2022=0的两个实数根，则代数式2022%+《的值是（）

A.4045B.4044C.2022D.]

9.如图，四边形ABCD是菱形，NA4B=60°,点E是DA中点，尸是对角线AC上一点，且NDE9=45°,

则AE:FC的值是（）

A.3B.V5+1C.20+1D.2+73

10.以下命题：①面包店某种面包售价。元/个，因原材料涨价，面包价格上涨10%,会员优惠从打八五折调整为

打九折，则会员购买一个面包比涨价前多花了0.14a元；②等边三角形A8C中，。是边上一点，E是AC边

上一点，若AD=AE，则N84O=3NE£）C；③两边及第三边上的中线对应相等的两个三角形全等；④一列自

然数0,1,2,3,55,依次将该列数中的每一个数平方后除以100,得到一列新数，则原数与对应新数的差，随

着原数的增大而增大.其中真命题的个数有（）

A.1个B.2个C.3个D.4个

二、填空题（本大题共6小题，本题要求把正确结果填在答题卡规定的横线上，不需要解答过程）

H因式分解：x3-9x=.

k

12.点（2。一LyJ、（名为）在反比例函数＞的图象上，若0＜y＜当，则〃

的取值范围是.

13.如图，从一个边长是〃的正五边形纸片上剪出一个扇形，这个扇形的面积为（用含）的代数式表示）;

如果将剪下来的扇形围成一个圆锥，圆锥的底面圆直径为_______.

14.某超市糯米的价格为5元/千克，端午节推出促销活动：一次购买的数量不超过2千克时，按原价售出，超过2

千克时，超过的部分打8折.若某人付款14元，则他购买了千克糯米；设某人的付款金额为x元，购买量

为y千克，则购买量丁关于付款金额x（x>10）的函数解析式为.

15.已知为。。的直径且AB=2，点C是。。上一点（不与A、8重合），点。在半径08上，且

AD=AC，AE与过点。的。。的切线垂直，垂足为E.若NE4c=36°,则8=_____,OD=

16.在平面直角坐标系中，点C和点。的坐标分别为（一1,-1）和（4,—1）,抛物线），=/慨2-2加x+2（加H0）与线段

8只有一个公共点，则加的取值范围是.

三、解答题（本大题共8小题，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）

17.计算求解：

/1

（1）计算2sin450-12—行|+—

、3,

4x+y=5

（2）解方程组lx—1y

——+-=2

I23

18.“一去紫台连朔漠，独留青冢向黄昏”，美丽的昭君博物院作为著名景区现已成为外地游客到呼和浩特市旅游

的打卡地.如图，为测量景区中一座雕像A8的高度，某数学兴趣小组在。处用测角仪测得雕像顶部A的仰角为

30°,测得底部B的俯角为10。.已知测角仪CO与水平地面垂直且高度为1米，求雕像A3的高.（用非特殊角

的三角函数及根式表示即可）

A

19.某商场服装部为了调动营业员的积极性，决定实行目标管理，根据目标完成的情况对营业员进行适当的奖

励.为了确定一个适当的月销售目标，商场服装部统计了每位营业员在某月的销售额(单位：万元)，数据如下：

17181613241527261819221716193230161516281532231714152727

1619,对这30个数据按组距3进行分组，并整理和分析如下：

频数分布表：

组

——二三四五八七

别

销

售

额

13<x<1616<x<1919<x<2222<x<2525<x<2828<x<3131<x<34

/

万

元

频

61033ab2

数

数据分析表:

平均数众数中位数

20.3Cd

请根据以上信息解答下列问题:

(1)上表中Q=,b=,c=,d=；

(2)若想让一半左右的营业员都能达到销售目标，你认为月销售额定为多少合适？说明理由;

(3)

若从第六组和第七组内随机选取两名营业员在表彰会上作为代表发言，请你直接写出这两名营业员在同一组内的

概率.

20.如图，在.A3C中，AB=AC,以A8为直径的。。交8c于点。，交线段C4的延长线于点E,连接

BE.

(1)求证：BD=CD；

(2)若tanC=‘，BD=4,求AE.

2

777

21.如图，在平面直角坐标系中，一次函数X=依+人的图象与反比例函数%=一的图象交于A、B两点,且A

x

点的横坐标为1,过点B作跳;〃x轴，4)_13£于点。，点。(1,一；)是直线8上上一点，且4C=J5C£).

(2)根据图象，请直接写出不等式依+。-'<0的解集.

x

22.今年我市某公司分两次采购了一批土豆，第一次花费30万元，第二次花费50万元，已知第一次采购时每吨土

豆的价格比去年的平均价格上涨了200元，第二次采购时每吨土豆的价格比去年的平均价格下降了200元，第二

次的采购数量是第一次采购数量的2倍.

(1)问去年每吨土豆的平均价格是多少元？

(2)该公司可将土豆加工成薯片或淀粉，因设备原因，两种产品不能同时加工，若单独加工成薯片，每天可加工

5吨土豆，每吨土豆获利700元；若单独加工成淀粉，每天可加工8吨土豆，每吨土豆获利400元.由于出口需

要，所有采购的土豆必须全部加工完且用时不超过60天，其中加工成薯片的土豆数量不少于加工成淀粉的土豆数

量的2;，为获得最大利润，应将多少吨土豆加工成薯片？最大利润是多少？

23.下面图片是八年级教科书中的一道题：如图，四边形ABC。是正方形，点E是边的中点，44所=90。,

且所交正方形外角的平分线C尸于点F.求证=.(提示：取A8的中点G,连接EG.)

(1)请你思考题中“提示”，这样添加辅助线的意图是得到条件：；

(2)如图1,若点E是边上任意一点(不与8、C重合)，其他条件不变.求证：AE=EF；

图1

BE

(3)在(2)的条件下，连接AC,过点£作垂足为P.设——=k,当人为何值时，四边形

BC

ECFP是平行四边形，并给予证明.

24.如图，抛物线y=—+c经过点8(4,0)和点C(0,2),与x轴的另一个交点为A,连接AC、BC.

(1)求抛物线解析式及点A的坐标;

(2)如图1,若点。是线段AC的中点，连接3。，在y轴上是否存在点£，使得3DE是以30为斜边的直角

三角形？若存在，请求出点£的坐标；若不存在，请说明理由；

(3)如图2,点P是第一象限内抛物线上的动点，过点P作PQ〃丁轴，分别交8C、x轴于点知、N,当

△PA纥中有某个角的度数等于NO8C度数的2倍时，请求出满足条件的点P的横坐标.

2022年呼和浩特市中考试卷数学

注意事项：

1.考生务必将自己的姓名、准考证号填涂在试卷和答题卡的规定位置.

2.考生要将答案写在答题卡上，在试卷上答题一律无效.考试结束后，本试卷和答题卡一并交

回.

3.考试时间120分钟.

一、选择题（本大题共10小题，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）

1.计算一3-2的结果是（）

A.-1B.1C.-5D.5

【答案】C

【分析】先把减法转化为加法，再按照有理数的加法法则运算即可.

【详解】解：一3—2=-3+（—2）=-5.

故选：C.

【点睛】此题考查的是有理数的减法，掌握有理数的减法法则进行运算是解题的关键.

2.据2022年5月26日央视新闻报道，今年我国农发行安排夏粮收购准备金1100亿元.数据“1100亿”用科学记

数法表示为（）

A.l.lxlO12B.1.1x10"C.11x10'°D.O.llxlO12

【答案】B

【分析】科学记数法的表示形式为10"的形式，其中lW|a|<10,〃为整数.确定”的值时，要看把原数变成a

时，小数点移动了多少位，”的绝对值与小数点移动的位数相同.当原数绝对值》10时，“是正整数；当原数的绝

对值<1时，w是负整数.

【详解】解：1100亿=110000000000=1.1x10”,

故选：B.

【点睛】此题考查科学记数法的表示方法.科学记数法的表示形式为“Xio”的形式，其中iwiavio,〃为整数，

表示时关键要正确确定a的值以及n的值.

3.不透明袋中装有除颜色外完全相同的。个白球、b个红球，则任意摸出一个球是红球的概率是（）

a

D.

a+baa+b~b

【答案】A

【分析】根据概率公式直接求解即可.

【详解】共有（a+与个球，其中红球人个

，从中任意摸出一球，摸出红球的概率是一丝.

a+b

故选A.

【点睛】本题考查了简单概率公式的计算，熟悉概率公式是解题的关键.

【答案】C

【分析】根据图示确定几何体的三视图即可得到答案.

【详解】由几何体可知，该几何体的三视图为

」日

故选C

【点睛】本题考查了简单几何体的三视图，掌握三视图的视图方位及画法是解题的关键，注意实际存在又没有被

其他棱所挡，在所在方向看不到的棱应用虚线表示.

5.学校开展“书香校园，师生共读”活动，某学习小组五名同学一周的课外阅读时间（单位：h）,分别为：4,

5,5,6,10.这组数据的平均数、方差是（）

A.6,4.4B.5,6C.6,4.2D.6,5

【答案】A

【分析】分别利用求平均数和方差的公式计算，即可求解.

【详解】解：平均数-（4+5+54-6+10）=6；

2

方差为，［（4—6）2+（5—6）2+（5—6）2+（6—6）2+Q0_6）K4.4.

故选：A

【点睛】本题主要考查了求平均数和方差，熟练掌握求平均数和方差的方法是解题的关键.

6.下列运算正确的是（）

B.（m+«）2-nr+rr

c-2y29x2

D.3孙+——=-----

3%2y

【答案】D

【分析】分别根据二次根式乘法法则，完全平方公式，异分母分式加减法法则以及分式除法法则计算出各项结果

后，再进行判断即可.

；x^="=2,故此计算错误，不符合题意;

【详解】解：A.

B.（m+n）2=+2mn+n~,故此计算错误，不符合题意；

12x-2

C.----=--~故此计算错误，不符合题意；

x-lxx（x-l）

_?v23x9x2

D.3孙十一^=3盯—『=一二一，计算正确，符合题意，

5x-2y2y

故选：D.

【点睛】本题主要考查了二次根式乘法，完全平方公式，异分母分式加减法以及分式除法，熟练掌握相关运算法

则是解答本题的关键.

7.如图，qABC中，NACB=90°,将,ABC绕点C顺时针旋转得到△E0C,使点8的对应点力恰好落在A8

边上，AC.ED交于点F.若NBCD=a,则NEFC的度数是（用含。的代数式表示）（）

A

33

C.180°--aD.一a

22

【答案】C

【分析】根据旋转的性质可得，BC=DC,N4CE=a,则利用三角形内角和可求得/£进

而可求得/E,则可求得答案.

【详解】解：..•将绕点C顺时针旋转得到△匹C,且ZB8=a

：.BC=DC,ZACE=a,ZA=ZE,

：.ZB=ZBDC,

：.NB=ZBDC=180°於=90°--,

22

aa

：./A=NE=90°-ZB=90°-90°+-=-,

22

a

AZA=ZE=-

2

a3

NEEC=180°—NACE—NE=180°—a—上=180°—二a,

22

故选：C.

【点睛】本题考查了旋转变换、三角形内角和、等腰三角形的性质，解题的关键是掌握旋转的性质.

8.已知/，々是方程V—x—2022=0的两个实数根，则代数式x”2022王+考的值是（）

A.4045B.4044C.2022D.1

【答案】A

【分析】根据一元二次方程的解，以及一元二次方程根与系数的关系即可求解.

【详解】解：解：•・•王,是方程f一％-2022=0的两个实数根,

2

/.x,-2022=^,XyX2=-2022,x}+x2=1

2

x：-2022Xj+4=%(犬—2022)+勾=+x；-(^x}+x2)-2XJX2=l-2x(-2022)=4045

故选A

【点睛】本题考查了一元二次方程根与系数的关系，一元二次方程根的定义，掌握一元二次方程根与系数的关系

是解题的关键.

9.如图，四边形A3CD是菱形，NDW=60°,点E是中点，尸是对角线AC上一点，且NDM=45°,

则Ab:FC的值是（）

A.3B.75+1C.20+1D.2+73

【答案】D

【分析】取AC的中点M,连接EM设CO=2x,由中位线性质可得EM//CD,EM=-CD,EM=x,再根据

2

ZDAB=60°,/DEF=450可得出/知=EM=x,从而得到FC的长，即可得到AF:EC的结果.

【详解】解：如图所示：取AC的中点连接EM,DM,设CD=2x,

;点E是。A中点，

是△AC。的中位线,

：.EM//CD,EM=-CD,

2

EM=x,

NDAB=60°,四边形ABC。是菱形,

ADAC=ZDG4=/EMA=30°，ZAMD=90°,

ZDEF=45。

：.ZEFM=45°-30°=15°,/FEM=30°-15°=15°,

NEFM=NFEM=15。,

FM=EM-x,

CD=DA=2x,ACAD=ZACD=30°,

1f

：.DM^-AD^x,

2

y/Alf-AM2=8

AC=2yf3x,

AM=s/3x,

FC=2#>x-y/3x-x=Gx-x,

AFy/3x+x垂>+1日/-

—=-F=--=~r—=2+03，

FCx/3x-x5/3-1

故选：D.

【点睛】本题主要考查了菱形的性质和中位线的性质，熟练掌握这些性质是解此题的关键.

10.以下命题：①面包店某种面包售价。元/个，因原材料涨价，面包价格上涨10%,会员优惠从打八五折调整为

打九折，则会员购买一个面包比涨价前多花了0.14。元；②等边三角形A8C中，。是BC边上一点，E是AC边

上一点，若AQ=AE，则N3AO=3ZE£)C；③两边及第三边上的中线对应相等的两个三角形全等；④一列自

然数0,1,2,3,55,依次将该列数中的每一个数平方后除以100,得到一列新数，则原数与对应新数的差，随

着原数的增大而增大.其中真命题的个数有()

A.1个B.2个C.3个D.4个

【答案】C

【分析】根据全等三角形的判定与性质、二次函数的性质等知识逐项判断即可，

【详解】解：①项，会员原来购买一个面包需要0.85〃元，现在需要ax(l+10%)x0.9=0.99a,则会员购买一个面包

比涨价前多花了0.99a-0.85“=0.14a元，故①项正确；

②项，如图，

H

I)

:△ABC是等边三角形，

.\ZB=ZC=60°,

•；/B+NBAD=NADE+NEDC,NC+NEDC=/AED,

又•・•">=AE,

・・・4ADE=/AED,

：./B+/BAD=/ADE+/EDC=NC+/EDC+/EDC,

:/BAD=/EDC+/EDC=2/EDC,故②项错误；

③项，如图，△ABC和AB=DE,AC=DF,AM是△ABC的3C边上的中线，Z)N是的边政上的中

线，AM=DN,即有△ABCg△£>£：/,理由如下：

延长AM至G点，使得AM=GM,连接GC,延长DN至H点,使得DN=NH,连接”尸，

TAM是中线，

：.BM=MC,

9

：AM=MGf/AMB=/GMC,

：.AAMB^^GMC,

：.AB=GCf

同理可证DE=HF,

•：AM=DN,

：.AG=2AM=2DN=DH,

u

：AB=DEf

:・GC=HF,

・,・结合4＞拉尸可得△ACG0△£＞厂”，

：.ZGAC=ZHDFf

同理可证NGAB=N”OE,

・•・ZBAC=ZGAB+ZGAC=ZHDF+ZHDE=ZEDFf

■:AB=DE,AC=DF,

:.△ABgXDEF,故③正确；

1

④设原数为X，则新数为7前/9，设原数与新数之差为y,

100

11

即y=x-----X29,变形为：y=-----(X-50)27+25,

100-100

将尤等于0、1、2、3、55分别代入可知，y随着X的增大而增大，

故④正确；

即正确的有三个，

故选：C,

【点睛】本题考查了等边三角形的性质、全等三角形的判定与性质、二次函数的应用等知识，掌握全等三角形的

判定与性质是解答本题的关键.

二、填空题(本大题共6小题，本题要求把正确结果填在答题卡规定的横线上，不需要解答过程)

11.因式分解：d-9x=

【答案】x(x+3)(x-3)

【分析】利用提公因式法和公式法即可求解.

【详解】解：x3-9x=x(x2-32)=X(X+3)(X-3),

故答案为：Mx+3)(x—3).

【点睛】本题考查了因式分解，熟练掌握提公因式法和平方差公式是解题的关键.

k

12.点(2。一1,乂)、(“,月)在反比例函数y/〉0)的图象上，若0＜X＜必，则”的取值范围是_______.

【答案】a＞\

【分析】反比例函数中％>0,则同一象限内y随X的增大而减小，由于0<x<%，得到0<2a-l<a,从而得

到”的取值范围.

【详解】解：...在反比例函数尸七中，k>0,

x

.•.在同一象限内），随X的增大而减小，

0<X<%，

，这两个点在同一象限，

0<67<2iZ-1.

解得：a>\,

故答案为：a>1.

【点睛】此题考查了反比例函数的性质，解题的关键是熟悉反比例函数的增减性，当%>0,在每一象限内y随x

的增大而减小；当k<0,在每一象限内y随x的增大而增大.

13.如图，从一个边长是〃的正五边形纸片上剪出一个扇形，这个扇形的面积为（用含）的代数式表示）;

如果将剪下来的扇形围成一个圆锥，圆锥的底面圆直径为.

【答案】①.尊②.当

【分析】先求出扇形的半径与圆心角，再利用扇形弧长与所围成的圆锥的底面周长的关系求出圆锥的底面半径小

则可得出答案.

【详解】解：•••五边形4BCDE为正五边形，

NBC£>=108°,

108_37/

：/»,、=---乂2nxa=----，这个扇形的面积为:-------X7TXa

加360536010

设圆锥的底面圆半径为，则直径为：2r，则:子=2万尸,

，〜曰3。

解得〃=历’

故答案为：包二，雪.

105

【点睛】此题考查了正多边形内角和定理，扇形、圆锥的相关计算，掌握扇形所围的圆锥与扇形之间的等量关系

是解决本题的关键.

14.某超市糯米的价格为5元/千克，端午节推出促销活动：一次购买的数量不超过2千克时，按原价售出，超过2

千克时，超过的部分打8折.若某人付款14元，则他购买了千克糯米；设某人的付款金额为x元，购买量

为y千克，则购买量y关于付款金额x(x>10)的函数解析式为.

【答案】①.3②.y=4x+2##y=2+4x

【分析】根据题意列出一元一次方程，函数解析式即可求解.

【详解】解：［14>10,

,超过2千克，

设购买了。千克，则2x5+(a—2)x0.8x5=14,

解得a=3,

设某人的付款金额为x元，购买量为y千克，则购买量)关于付款金额x(x>10)的函数解析式为：

y=2x5+(x—2)x5x0.8=10+4%—8=4x+2,

故答案为：3,y—4x+2.

【点睛】本题考查了一元一次方程的应用，列函数解析式，根据题意列出方程或函数关系式是解题的关键.

15.己知为。。的直径且A6=2，点C是。。上一点(不与A、B重合)，点。在半径OB上，且

AD=AC，AE与过点C的。。的切线垂直，垂足为E.若NE4C=36°,则CD=，OD=.

【答案】①.1②.巫匚

2

【分析】根据题意作出图形，连接CO,根据切线的性质，等边对等角，平行线的性质可得

ZC4D=36°,根据A£>=AC,可得ACDO=ZCOD=72°，可得OC=CD=1,进而证明

ACD^,COD,根据相似三角形的性质列出方程，解方程即可求解.

【详解】如图，连接CO,

EC是。。的切线，AEVEC,ZEAC=36°,

：.OCA.EC,

：.AE//OC,

ZACO=N£4C=36。，

OA=OC,

.-.ZOAC=ZOCA=36°,

乙COD=2ZCAO=72°,

AC=AD,

：.ZADC=ZACD=12°,

：.ZADC=ZCOD=72°,

：.CD=CO=-AB=1,

2

NCOD=NCZ)O=72。

NOCD=180°-2x72°=36°

,ZC4D=ZOCD=36°,ZADC=ZCDO=72°,

:...ACD^COD

,ACCD

"'CO^OD

设OD=x,则AC=AD=l+x

1+x1

,,-----—

1X

解得》=避二1,X=座二1（舍去）

22

即。0=避二1

2

故答案为：1,避二1.

2

【点睛】本题考查了切线的性质，等腰三角形的性质与判定，相似三角形的性质与判定，综合运用以上知识结合

图形求解是解题的关键.

16.在平面直角坐标系中，点C和点。的坐标分别为（T-1）和（4,-1）,抛物线），=加X2-2/秋+2（加/0）与线段

CD只有一个公共点，则〃?的取值范围是.

3

【答案】加=3或根＜—

8

【分析】根据抛物线求出对称轴X=1,y轴的交点坐标为（。,2）,顶点坐标为（1,2-机），直线。。的表达式

y=-l,分两种情况讨论：当机＞0时，当加＜（）时，利用抛物线的性质可知，当时越大，则抛物线的开口越

小，即可求解.

—2）72

【详解】解：抛物线的对称轴为：x=-----=1,当x=（）时，y=2,故抛物线与y轴的交点坐标为（0,2）,顶

2m

点坐标为（1,2-m）,直线CQ的表达式丁=-1,

当加＞0时，且抛物线过点。（4,一1）时，

16〃?一8加+2=-1,解得，〃=—（舍去），

O

当相＞0,抛物线y=一2m+2（加。0）与线段CO只有一个公共点时，

即顶点在直线CD上，则2—加=-1,解得机=3,

当机＜0时，且抛物线过点。（4,一1）时，

3

16m-8m+2=-l,解得，〃=一：，

O

由抛物线的性质可知，当时越大，则抛物线的开口越小，且抛物线与线段co只有一个公共点，

网>f,且〃2<o,

3

解得m<一一,

8

综上所述，加的取值范围为加=3或机<一3,

8

故答案为m=3或加<一」.

8

【点睛】本题考查了二次函数的性质，理解对称轴的含义，熟练掌握二次函数的性质，巧妙运用分类讨论思想解

决问题是解题的关键.

三、解答题（本大题共8小题，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）

17.计算求解：

/1

（1）计算2sin45°—12-0|+-—

I3,

4x+y=5

（2）解方程组《x—ly°

——+-=2

23

【答案】⑴272-5

x=—\

(2)<

y=9

分析】（1）先去绝对值，算负整数指数幕，将特殊角三角函数值代入，再计算即可;

（2）直接解二元一次方程组即可.

【小问1详解】

原式=2X3£+后—2—3

2

=2>/2—5；

【小问2详解】

4x+y=5①

整理方程组得：〈

3x+2y=15②'

由①得：y=5-4x③，

将③代入②得：-5x=5,

解得：x=-\,

将x=-l代入③得：y=9,

则方程组得解为：\x=­cl.

y=9

【点睛】本题考查实数运算和解二元一次方程组，解答本题的关键是掌握各知识点的运算法则.

18.“一去紫台连朔漠，独留青冢向黄昏”，美丽的昭君博物院作为著名景区现已成为外地游客到呼和浩特市旅游

的打卡地.如图，为测量景区中一座雕像A8的高度，某数学兴趣小组在。处用测角仪测得雕像顶部A的仰角为

30。，测得底部B的俯角为10。.己知测角仪CO与水平地面垂直且高度为1米，求雕像A3的高.（用非特殊角

的三角函数及根式表示即可）

【答案］.米

3tan10°

【分析】过点。作CE_LA」B于£,则四边形CDBE是矩形，则CD=3£=1,在RtACE与RlEBC中,分

别表示出根据45=4石+石3即可求解.

【详解】如图，过点C作CELAB于E，则四边形CD6E是矩形,

二.CD=BE=1,

Rt.ACE中，tanZACE=—=tan30°=—.

CE3

AE=—CE>

3

EB

Rt£8C中，tanZECB=——=tan100,

EC

EB=CD=1

EB1

EC=

tan10°tan10°

V3+3

...AB=AE+EB米

3-tan10°

答：雕像AB的高为+3一米

3-tanl0°

【点睛】本题考查了解直角三角形的实际应用，掌握直角三角形中的边角关系是解题的关键.

19.某商场服装部为了调动营业员的积极性，决定实行目标管理，根据目标完成的情况对营业员进行适当的奖

励.为了确定一个适当的月销售目标，商场服装部统计了每位营业员在某月的销售额（单位：万元），数据如下：

17181613241527261819221716193230161516281532231714152727

1619,对这30个数据按组距3进行分组，并整理和分析如下：

频数分布表：

组

一二三四五七

别

销

售

额

13<x<1616<x<1919<x<2222<x<2525<x<2828<x<3131<x<34

/

万

元

频

61033ab2

数

数据分析表:

平均数众数中位数

20.3Cd

请根据以上信息解答下列问题：

(1)上表中。=,b=

(2)若想让一半左右的营业员都能达到销售目标，你认为月销售额定为多少合适？说明理由；

(3)若从第六组和第七组内随机选取两名营业员在表彰会上作为代表发言，请你直接写出这两名营业员在同一组

内的概率.

【答案】(1)4,2,16,18

(2)18,理由见解析

(3)-

3

【分析】(1)根据已知数据找出在25Wx<28,28Wx<31的频数即可求解，根据众数与中位数的定义即可求得

c,d的值：

(2)根据中位数的意义求解.

(3)根据列表法求概率求解.

【小问1详解】

解：将30个数据，从小到大排列如下，

13,14,15,15,15,15,16,16,16,16,16,17,17,17,18,18,19,19,19,22,23,24,26,27,

27,27,28,30,32,32,

在25Vx<28的数据为26,27,27,27,4个，故a=4,

在28Wx<31的数据为28,30,共2个，故8=2,

其中16出现了5次，次数最多，故c=16,

第15和第16个数据为18,故d=18,

故答案为：4,2,16,18.

【小问2详解】

18万元

理由：根据中位数为18万元，想让一半左右的营业员都能达到销售目标，你认为月销售额定为18万元合适,

【小问3详解】

设第六组两名营业员为A,B和第七组的两名营业员C,。，列表如下,

ABCD

AABACAD

BBABCBD

CCACBCD

DDADBDC

共有12种等可能结果，两名营业员在同一组内的情形有4种可能，

41

故两名营业员在同一组内概率为一=一.

123

【点睛】本题考查了频数分布表，中位数，众数，列表法求概率，掌握数据统计的方法以及求概率的方法是解题

的关键.

20.如图，在ABC中，AB=AC,以AB为直径的。。交于点交线段C4的延长线于点£,连接

BE.

(1)求证：BD=CD；

(2)若tanC=4，BD=4,求AE.

2

【答案】(1)证明见详解

⑵蛀~

5

【分析】(1)连接AO,由AB为直径可得再根据等腰三角形的三线合一性质即可证明结论.

(2)由(1)可得CD=4,BC=8,根据tanC=」即可求得AD=2,进而利用勾股定理即可求得AC,由AB为

2

。。的直径，得NBEC=NAOC=90。，/C为公共角，可得△ADCABEC,根据三角形相似的性质即可求得

CE,进而可求解.

【小问1详解】

证明：连接A。，如图所示:

A8为。。的直径，

J.ADLBC,

又；=

三角形ABC为等腰三角形，

.•・A0为BC的垂直平分线，

：.BD=CD.

【小问2详解】

由（1）可得8£>=C£>=4,

ADAD1

；.tanC=-----==—,BC=2BD=8,

CD42

AD—2，

在/^△4C£>中，

AC=y/AD2+CD2=V22+42=26-

又•:AB为。。的直径，

ZBEC=ZADC=90°,且NC=NC,

：./\ADCABEC，

.AC_CD2A/54

.........-------，即-----=----，

BCCE8CE

...CE=3叵，

5

C=增一2—哈

【点睛】

本题考查了三角形与圆的综合问题，考查了等腰三角形的判定及性质、圆周角定理、相似三角形的判定及性质、

锐角三角函数及勾股定理的应用，熟练掌握等腰三角形三线合一的性质及三角形相似对应边成比例的性质是解题

的关键.

21.如图，在平面直角坐标系中，一次函数％="+匕的图象与反比例函数—的图象交于A、3两点，且A

x

点的横坐标为1,过点8作轴，ADLBE1于点。，点是直线3月上i点，且AC=0C£）.

（2）根据图象，请直接写出不等式丘+b-一＜0的解集.

x

132

【答案】（1）%+%=一

22x

（2）或Ovxvl

【分析】（1）根据点C的坐标及点A点的横坐标，可求得CQ的长和点8的纵坐标，进而可求得AC的长，利用

勾股定理即可求得A。，进而点A的坐标，进而可求得反比例函数的解析式，进而可求得点8的坐标，再利用待定

系数法即可求得一次函数解析式.

iri

（2）变形不等式为依+。〈一，即必＜%，根据数形结合，找出反比例函数图象在一次函数图象上方的部分即

x

可求解.

【小问1详解】

解：且A点的横坐标为1,

AC£）=xc-xx=1-l=|,且%=—g,

：.AC=V2CD=工，

在用一ADC中，

...AD=VAC2-CD2='(^^)2—gf=1‘

51c

y------2,

A22

m

」•点A的坐标为(1,2)，且点A在反比例函数丫2=一的图象上，

x

m

.'.2=p解得机=2,

・••反比例函数的解析式为：%=2,

X

当丁=一,时，一二=一，解得x=-4,

22x

...点8的坐标为(—4,—g),

将A(1,2)和8(—4,—；)代入一次函数％=履+人得，

r1

2=k+bk=-

2

\1「解得；

—=-4k+b,3

2b--

12

13

一次函数的解析式为：必=一X+—.

22

【小问2详解】

由题意得，

mm

kx+b---<0,即kx+Z?v—即X<%，

xxf

只需反比例函数图象在一次函数图象上方即可，

由图可得