2023-2024学年山东省梁山一中、嘉祥一中高一下数学期末达标检测试题含解析

2023-2024学年山东省梁山一中、嘉祥一中高一下数学期末达标检测试题注意事项:1．答题前，考生先将自己的姓名、准考证号码填写清楚，将条形码准确粘贴在条形码区域内。2．答题时请按要求用笔。3．请按照题号顺序在答题卡各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸、试卷上答题无效。4．作图可先使用铅笔画出，确定后必须用黑色字迹的签字笔描黑。5．保持卡面清洁，不要折暴、不要弄破、弄皱，不准使用涂改液、修正带、刮纸刀。一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每个小题给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的1．设，过定点的动直线和过定点的动直线交于点，则的最大值是（）A． B． C． D．2．如果直线l过点（2，1），且在y轴上的截距的取值范围为（﹣1，2），那么l的斜率k的取值范围是（）A．（，1） B．（﹣1，1）C．（﹣∞，）∪（1，+∞） D．（﹣∞，﹣1）∪（1，+∞）3．为了了解我校今年准备报考飞行员的学生的体重情况，将所得的数据整理后，画出了频率分布直方图（如图），已知图中从左到右的前3个小组的频率之比为，第2小组的频数为12，则抽取的学生总人数是（）A．24 B．48 C．56 D．644．已知函数在一个周期内的图象如图所示.则的图象，可由函数的图象怎样变换而来（纵坐标不变）（）A．先把各点的横坐标缩短到原来的倍，再向左平移个单位B．先把各点的横坐标缩短到原来的倍，再向右平移个单位C．先把各点的横坐标伸长到原来的2倍，再向左平移个单位D．先把各点的横坐标伸长到原来的2倍，再向右平移个单位5．边长为的正方形中，点是的中点，点是的中点，将分别沿折起，使两点重合于，则直线与平面所成角的正弦值为（）A． B． C． D．6．一个几何体的三视图如图所示，则这个几何体的表面积为（）A．13+5 B．11+5 C．7．设是内任意一点，表示的面积，记，定义，已知，是的重心，则（）A．点在内 B．点在内C．点在内 D．点与点重合8．若,则（）A． B． C． D．9．在正方体中，直线与平面所成角的正弦值为（）A． B． C． D．10．若双曲线的中心为原点，是双曲线的焦点，过的直线与双曲线相交于，两点，且的中点为，则双曲线的方程为（）A． B． C． D．二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分。11．在等差数列中，已知，，则________.12．在一个不透明的布袋中，红色，黑色，白色的玻璃球共有40个，除颜色外其他完全相同，小明通过多次摸球试验后发现其中摸到红色球，黑色球的频率稳定在15%和45%，则口袋中白色球的个数可能是_________个.13．已知向量，若，则_______14．点与点关于直线对称，则直线的方程为______．15．在三棱锥中，，，，作交于，则与平面所成角的正弦值是________.16．已知六棱锥的底面是正六边形，平面，.则下列命题中正确的有_____．(填序号)①PB⊥AD；②平面PAB⊥平面PAE；③BC∥平面PAE；④直线PD与平面ABC所成的角为45°.三、解答题：本大题共5小题，共70分。解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17．已知向量，.求：（1）；（2）与的夹角的余弦值；（3）求的值使与为平行向量.18．设一元二次不等式的解集为．（Ⅰ）当时，求；（Ⅱ）当时,求的取值范围．19．习主席说：“绿水青山就是金山银山”.某地相应号召，投入资金进行生态环境建设，并以此发展旅游产业，根据规划，2018年投入1000万元，以后每年投入将比上一年减少，本年度当地旅游业收入估计为500万元，由于该项建设对旅游业的促进作用，预计今后的旅游业收入每年会比上一年增加.（1）设年内（2018年为第一年）总投入为万元，旅游业总收入为万元，写出、的表达式；（2）至少到哪一年，旅游业的总收入才能超过总投入.（参考数据：，，）20．函数在同一个周期内，当时，取最大值1，当时，取最小值-1．（1）求函数的单调递减区间．（2）若函数满足方程，求在内的所有实数根之和．21．如图，在四棱锥中，，底面为平行四边形，平面．（）求证：平面；（）若，，，求三棱锥的体积；（）设平面平面直线，试判断与的位置关系，并证明．

参考答案一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每个小题给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的1、A【解析】

由题意知两直线互相垂直，根据直线分别求出定点与定点，再利用基本不等式，即可得出答案。【详解】直线过定点，直线过定点,又因直线与直线互相垂直，即即，当且仅当时取等号故选A【点睛】本题考查直线位置关系，考查基本不等式，属于中档题。2、A【解析】

利用直线的斜率公式，求出当直线经过点时，直线经过点时的斜率，即可得到结论.【详解】设要求直线的斜率为，当直线经过点时，斜率为，当直线经过点时，斜率为，故所求直线的斜率为.故选：A.【点睛】本题主要考查直线的斜率公式，属于基础题．3、B【解析】

根据频率分布直方图可知从左到右的前3个小组的频率之和，再根据频率之比可求出第二组频率，结合频数即可求解.【详解】由直方图可知，从左到右的前3个小组的频率之和为，又前3个小组的频率之比为，所以第二组的频率为，所以学生总数，故选B.【点睛】本题主要考查了频率分布直方图，频率，频数，总体，属于中档题.4、B【解析】

根据图象可知，根据周期为知，过点求得，函数解析式，比较解析式，根据图像变换规律即可求解.【详解】由在一个周期内的图象可得,，解得，图象过点，代入解析式得，因为，所以，故，因为，将函数图象上点的横坐标变为原来的得，再向右平移个单位得的图象，故选B.【点睛】本题主要考查了由部分图像求解析式，图象变换规律，属于中档题.5、D【解析】

在正方形中连接，交于点，根据正方形的性质，在折叠图中平面，得到，从而平面，面平面，则是在平面上的射影，找到直线与平面所所成的角.然后在直角三角中求解.【详解】如图所示：在正方形中连接，交于点，在折叠图，连接，因为，所以平面，所以，又因为，所以平面，又因为平面，所以平面，则是在平面上的射影，所以即为所求.因为故选：D【点睛】本题主要考查了折叠图问题，还考查了推理论证和空间想象的能力，属于中档题.6、B【解析】

三视图可看成由一个长1宽2高1的长方体和以2和1为直角边的三角形为底面高为1的三棱柱组合而成．【详解】几何体可看成由一个长1宽2高1的长方体和以2和1为直角边的三角形为底面高为1的三棱柱组合而成S=【点睛】已知三视图，求原几何体的表面积或体积是高考必考内容，主要考查空间想象能力，需要熟练掌握常见的几何体的三视图，会识别出简单的组合体．7、A【解析】解：由已知得，f（P）=（λ1，λ2，λ3）中的三个坐标分别为P分△ABC所得三个三角形的高与△ABC的高的比值，∵f（Q）=（1/2，1/3，1/6）∴P离线段AB的距离最近，故点Q在△GAB内由分析知，应选A．8、A【解析】试题分析：，故选A.考点：两角和与差的正切公式．9、C【解析】

由题，连接，设其交平面于点易知平面，即（或其补角）为与平面所成的角，再利用等体积法求得AO的长度，即可求得的长度，可得结果.【详解】设正方体的边长为1，如图，连接，设其交平面于点，则易知，，又，所以平面，即得平面.在三棱锥中，由等体积法知，，即，解得，所以.连接，则（或其补角）为与平面所成的角.在中，.故选C.【点睛】本题考查了立体几何中线面角的求法，作出线面角是解题的关键，求高的长度会用到等体积法，属于中档题.10、B【解析】由题可知，直线：，设，，得，又，解得，所以双曲线方程为，故选B。二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分。11、-16【解析】

设等差数列的公差为，利用通项公式求出即可.【详解】设等差数列的公差为，得，则.故答案为【点睛】本题考查了等差数列通项公式的应用，属于基础题.12、16【解析】

根据红色球和黑色球的频率稳定值，计算红色球和黑色球的个数，从而得到白色球的个数.【详解】根据概率是频率的稳定值的意义，红色球的个数为个；黑色球的个数为个；故白色球的个数为4个.故答案为：16.【点睛】本题考查概率和频率之间的关系：概率是频率的稳定值.13、【解析】

由题意利用两个向量垂直的性质，两个向量的数量积公式，求得的值．【详解】因为向量，若，∴，则.故答案为：1．【点睛】本题主要考查两个向量垂直的坐标运算，属于基础题．14、【解析】

根据和关于直线对称可得直线和直线垂直且中点在直线上，从而可求得直线的斜率，利用点斜式可得直线方程.【详解】由，得：且中点坐标为和关于直线对称且在上的方程为：，即：本题正确结果：【点睛】本题考查根据两点关于直线对称求解直线方程的问题，关键是明确两点关于直线对称则连线与对称轴垂直，且中点必在对称轴上，属于常考题型.15、【解析】

取中点,中点,易得面,再求出到平面的距离,进而求解再得出到平面的距离.从而算得与平面所成角的正弦值即可.【详解】如图,取中点,中点,连接.因为,,所以.因为,,所以.在中,余弦定理可得.在中,余弦定理可得,故.在中,,且面.故到面的距离.到面的距离.又因为,所以,所以,所以,故到面的距离.故与平面所成角的正弦值是故答案为：【点睛】本题主要考查了空间中线面垂直的性质与运用,同时也考查了余弦定理在三角形中求线段与角度正余弦值的方法,需要根据题意找到点到面的距离求解,再求出线面的夹角.属于难题.16、②④【解析】

利用题中条件，逐一分析答案，通过排除和筛选，得到正确答案．【详解】∵AD与PB在平面的射影AB不垂直，∴①不成立；∵PA⊥平面ABC，∴PA⊥AB，在正六边形ABCDEF中，AB⊥AE，PAAE=A，∴AB⊥平面PAE，且AB面PAB，∴平面PAB⊥平面PAE，故②成立；∵BC∥AD∥平面PAD，平面PAD平面PAE=PA，∴直线BC∥平面PAE也不成立，即③不成立．在Rt△PAD中，PA＝AD＝2AB，∴∠PDA＝45°，故④成立．故答案为②④．【点睛】本题考查命题真假的判断，解题时要注意直线与平面成的角、直线与平面垂直的性质的合理运用，属于中档题．三、解答题：本大题共5小题，共70分。解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17、（1）5（2）（3）【解析】

(1)利用向量坐标运算法则,先求出向量的坐标,再求模;(2)利用两个向量的数量积的定义和公式,则可求出与的夹角的余弦值;(3)利用两个向量共线的性质,求出的值.【详解】(1)向量,,,;(2)设与的夹角为,∵,,,所以,即与的夹角的余弦值为;(3)由题可得:,∵与为平行向量,∴,解得,即满足使与为平行向量.【点睛】本题主要考查向量的坐标运算,涉及向量的模,数量积,共线等相关知识,属于基础题.18、（Ⅰ）（Ⅱ）【解析】

（Ⅰ）将代入得到关于的不等式，结合一元二次方程解一元二次不等式可求得集合；（Ⅱ）解集为即不等式恒成立，求解时结合与之对应的二次函数考虑可得到需满足的条件解不等式求的取值范围.【详解】（Ⅰ）当时，原不等式为：解方程得．（Ⅱ）由，即不等式的解集为R，则.19、（1），；（2）2022年【解析】

（1）根据题意，知每年投入资金和旅游业收入是等比数列，根据等比数列的前n项和公式，即可求解；（2）根据（1）中解析式，列出不等式，令，化简不等式，即可求解.【详解】解：（1）2018年投入为1000万元，第年投入为万元，所以，年内的总投入为.2018年旅游业收入为500万元，第年旅游业收入为万元，所以，年内的旅游业总收入为.（2）设至少经讨年，旅游业的总收入才能超讨总投入，由此得，即，令，代入上式得，解得或（舍去），即，不等式两边取常用对数，，即.∴∴至少到2022年，旅游业的总收入才能超过总投入.【点睛】本题考查等比数列求和公式，转化法解指数不等式，考查数学建模思想方法，考查计算能力，属于中等题型.20、（1），；（2）．【解析】

（1）先求出周期得，由最高点坐标可求得，然后由正弦函数的单调性得结论；（2）由直线与的图象交点的对称性可得．【详解】（1）由题意，∴，又，，，由得，∴，令得，∴单调减区间是，；（2）在含有三个周期，如图，的图象与在上有六个交点，前面两个交点关于直线对称，中间两个关于直线对称，最后两个关于直线对称，∴所求六个根的和为．【点睛】