2024年高中数学选修二第一章导数及其应用+高考模拟+答案

第一章导数及其应用

数学•选修22RJA

1.函数/(x)=exlnx的图象在点(1g))处的切线方程是()

A.y=2e(x-1)B.y=ex-1

C.y=e(x-1)D.y=x-e

l.C【解析】..(x)=eXlnx+|),..1户e.又/(1)=0,.'.所求的切线方程为尸e(%-1).

2.[2019河南郑州一中高二期中考试]已知曲线尸1-N、x轴与琏由在第一象限所围成的图形面积为S,曲线尸1-N、曲线

尸3N与评由在第一象限所围成的图形面积为“则会的值为（）

ABC.-D

i-l4l

答案

2.A【解析】由题意，知Sqi(1-N)dx=(吟■)|私=|•由l-N=3N,x>0,解得%=；,所以Si=/j(l-x2-3x2)dx=(x-^|-)|=

1所以*=［故选A.

3.已知函数/3)=必+%2-%ln4,对任意的%1,%2仁［0,1］,不等式火%1)夕%2)区。-2恒成立，则实数a的取值范围为()

A.[e2,+oo)B.[e,+oo)

C.[2,e]D.[e,e2]

3.A【解析】分析知心2.由于尸(%尸谟山q+2x-lntz=(tzx-l)lna+2%,所以当0<%<1时即函数/(%)在［0,1］上单调

递增，则当％三［0,1］时j/OOmaxyiAa+l-lna5700mhJ(O)=1，所以/(%)max：/(%)min=a-ln因为对任意的修沃仁［0,

4-2恒成立，所以〃-2*Ind即In位2,解得壮e2,所以实数a的取值范围为e,+8).故选A.

4.已知定义在R上的函数/⑴满足r(%)>Ax).若%1<孙则()

X1X2

A.e/(x2)>eXx1)

X1X2

B.e/(x2)<e/(x1)

C.ef吐/5)

D.e%%2)与眇2述%1)的大小关系不确定

答案

4.A【解析】因为广(%)>/(%),所WQ)外)>0,故可构造函数如尸券，则产⑴上%产"=f”®>0,即

函数F(%)在R上单调递增.又%iK,所以尸(巧)<小2),即答〈缪，故e久如2)>眇2义修).

5.已知/(%)=%3一3%,过点/(1Mx加片2)可作曲线y=/(%)的三条切线，则实数机的取值范围是()

A.(-l,l)B.(-2,3)

C.(-l,2)D.(-3,-2)

答案

5.D【解析】设切点为®3-3%)/3=3N-3,则切线方程为尸(3外3)(%力+户⑶，整理得尸(323)%-2户.把zt(l\)代入整

理得29-3/+加+3=0①.因为过点力可作三条切线，所以①有三个解记虱。=29-3户+加+3,则8")=6/2-6/=6*\1),所以当

右。时,极大值g(0尸加+3，当日时，极小值鼠1)=冽+2.要使g(。有三个零点,只需加+3>0且加+2<0,BP-3<m<-2.

6J2019吉林长春高二（下）期末联考］设函数代户毁旧,g（%户造若对任意的看,%2口。,+8）,不等式增驾学恒成立，则

XeK/Cnr-L

正数帕勺取值范围是（）

A.(l,+oo)B.[l,+oo)

C.(O,1)D.(O,1]

答案

6.B【解析】：对任意xgEQ+s）,不等式咚心富恒成立，，件%*勺粤盛.由g'Q尸吆畀=。得E.当

（0,l）,gQ）＞0,当XE（l,+8）ga）＜0「JQ0,../平］max=^=*令"%）=与二=0得"三O+舍去）.当％右（0$时/'（%）＜0,

当工右（打8M［罂就=与=冷.上今..色I,故选B.

匕/vIfVI.1.fvIfv/vI_1.

7J2018江苏苏州质检］已知函数危尸与g>0）,若危）为R上的单调函数，则实数q的取值范围是

7.（o,i］【解析】小尸殁若产=爷高滔，因为/（%）为R上的单调函数，所以ra）沙或r（%）或在R上恒

成立.又心0,所川⑴羽在R上恒成立，即叱24%+1出在心恒成立所明=4展.4折4如-1）现所以0〈空1,所以实现的

取值范围是（0,1］.'

8.若函数/3)=，-x在QlOd)上有最小值,则实数Q的取值范围为

8.[-2,1)【解析】/Q)=%2-l=a+l)a-l),到3>0得x<-1或x>1;令。)<0得-1<x<1，所以函数仆)的单调递增区间

为S-1)和(1,+8),单调递减区间为(-1,1),所以要使函数仆尸*在(见10-。2)上有最小值，只需『部:为即

a^3<=厂3;1=-2%<1,所以实数a的取值范围为［-2,1).

一CL—CLN——Ia2—Z

9.已知函娄娘%)=ln(%+：)-a%,其中a右R,且存0.

⑴讨论Q)的单调性；

⑵若直线尸回值在函数/⑴图象的上方，求。的取值范围;

(3)若存在-：<%1<0/2>。，使得A%l)y%2),求证：%1+%2>0

答案

9•【解析】(1)/(%)的定义域为(-：,+8),

fXx)=-^-tZ=—

J')x+-ax+1

a

①当a<0时/Q)>0-函数”)在G，+s)上是增函数

②当。>0时,在区间(*,0)上/'(%)>0；

在区间(0,+8)上/'(%)<0,

・・.加)在(±0)上是增函数，在(0,+与上是减函数.

⑵当4<0时,取%=63

贝次6-工尸1-4(6-工尸2-枇>0>46-1=碓-1),不符合题意

0fCL

当a>0时，令〃(x)=ax-火X),

问题转化为当3)>0恒成立时，求4的取值范围.

12a(%+或)

\ahf(x)=2a--j=

x+-ax+-a'

在区间(金4)上"(%)vo；在区间(会,+◎上〃(%)>o,

CLNCLNCL

「/(%)的最小值为〃(-/),

1111

..・只需〃(-白>0,即加•(妥)-ln(妥+3>0,

2a2a2aa

的取值范围为煦+8)

(3)由题意，知a>0.

构造函数烂0),

则g(x)=ln(^-x)-ln(x+^)+2«x,

1A1+2«=-2^。r支2<0,

「•g'a尸—I-

X--x+-X――^

aaaz

函数g(x)在区间G，0］上为减函数

1

■,•g(%i)>g(0)=0,

又/(%i)=/(%2),■,4-修)次%i)=/c%2).

由A%)在(。，+°°)上为减函数知%2>-%l，即修+%2>0.

10.某企业拟建造如图所示的容器(不计厚度，长度单位:m),其中容器的中间为圆柱形，左、右两端均为半球形按照设

计要求容器的容积为等nP,且£2尺假设该容器的建造费用仅与其表面积有关，已知圆柱形部分每平方米的建造费用

为3万元,半球形部分每平方米的建造费用为c(c>3)万元，该容器的总建造费用为j万元.

⑴写出y关于灭的函数表达式，并求该函数的定义域;

⑵求该容器的总建造费用最少时的灭的值.

10•【解析】⑴设容器的容积为匕由题意,知忆=兀"/+扣3.

43

又仁等，故七TU7—严尸_go4r

nr23r23

由于22/，因此0〈心2,

答案

所以尸2瓦;7x3+47ir2c=27irx|(|^-r)x3+4兀厂2c=4兀(c-2)-2/竽，其定义域为(0,2].

(2)由(1)得)/=8兀(。2)--啰=半>(户-台),0〈心2.

由于c>3,所以c-2>0.

当孙卫尸)时尸3咫令3咫贝师>0

c-2'c-2'c-2

所以/=丽(：22)(r-m)(r2+rm+m2).

①当0<刃<2,即c>；时，

若尸私则产0;若尸E(0,叫则_/<0;若尸E(私2),则卢0.

所以右加是该函数的极小值点，也是最小值点.

②当加N2,即3<c4时，若/e(0,2),则_/<0,函数单调递减.所以-2是该函数的最小值点.

综上所述当3〈匡时，总建造费用最少时『2;当村时，总建造费用最少时d2L.

227c—2

n.[2018河北冀州中学模考]设函娄娘%)=ln%+*2一2灰.

⑴当。=-3乃=1时,求函数”)的最大值；

(2)令/(%)=/(%)-*2+2为+晶0s3),其图象上存在一点尸(%0,g)使此处切线的斜率后;,求实数q的取值范围;

⑶当q=0,b=-；时，关于x的方程2Mx)=#有唯一实数解，求正数功的值.

答案

11•【解析】⑴依题意小)的定义域为(0,+8).

当。=-3,b=1时,/(x)=lnx-|x2-2x,

■/,/、1cc12

■■/(x)=--3x-2=--3-x---—-2x.

由尸(%)>0狷产+2晨1<°,/.0<^4

X>03

打Q）<0,得产产T>

（X>03

・.於）在（09上单调递增，在弓+8）上单调递减,

「式M的最大值为"》=ln3-|.

（2）易得厂（%户In%+*%三故/白）卡，

则有公尸（%。尸解W，

,,(~2%o+%O)min,X()三［亍引。

2

■.--1%o+x0=-|(x0-1)+I，

-,■当%0=3时广;%o+%o取得最小值-|,壮T，

答案

二实数。的取值范围是+8).

⑶当a=O,b=-；时尸Inx+x,

则关于%的方程2加(In%+%)=%2有唯一实数解.

当In%+%=0时，显然不符合题意.

111

■.■ln-+--l+-<O,ln1+1=1>0,

eee

「.方程In%+%=0的根X]£(：,1).

r2

当In%+%加时,2加—[有唯一解，此时。修.

1111I1

令G(%)=$，则G,a尸名奇2

令g(%)=21nx+x-1则g(%)=：+1>0,

.■.g(x)在(%i,+oo)上单调递增，而g(1尸0,

「.当XW时,g(%)<0,即GQ)<0;

当％e(1,+8)时,g(%)>0,即G(%)>0.

G(x)在(a,1)上单调递减，在(1,+8)上单调递增，

G(x)最小值=G(x)极小值=G(1)=1.

当了e(片,1)时,G(x)w(1,+◎,当Xw(1,+co)时,G(%)£(1,+co),

「.要使关于%的方程2MX)=%2有唯一实数解则2片1,即加V正数加的值为;.

12.[2019河南郑州一中高二期中考试]已知函数/㈤=ln(x-1)-左(%-1)+1(左右R).

⑴求函数信)的单调区间；

(2)若外)或在定义域内恒成立，求实数矩勺取值范围；

⑶证明号+苧+争…隹<宁(论2/RN*).

O1JI(•I-L1

12•【解析】(1)因为/(%尸111(%-1)孑。-1)+1(左右11),

所以/U)的定义域为(1,+◎/'(%尸三比

若狂0,贝如。)演〃)在(1,+8)上单调递增；

若Q0,贝夕(%)=±止一

当1<%<%1时/Q)>0,当%>；+1时/Q)<0.

K.K

综上，当后0时启)的单调递增区间为(1,+功；

当A0时小)的单调递增区间为(1J+1),单调递减区间为(，+1,+8).

K.K

⑵当任0时42)=1次＞0不符合题意；

当左乂时小)或恒成立，即^+l)=-ln仁0,解得行1.

K

综上,实数舶勺取值范围是［1,+8).

(3)由(2)知，当仁1时，有/(%)30在(1,+◎上恒成立，即ln(%-1)白-2在(1,+co)上恒成立.

令%-1=〃2(〃EN*,后2工得In即震＜宁,

E匚I、jn2In3In4Inn123n-1n2-n

所以三+—+甘+…+苗＜5+5+5+…]

24

1.[2019全国III卷文・7,5分]已知曲线尸e+%lnx在点(l,ae)处的切线方程为尸2x+b,则()

A.a=e,b=-1B.a=e,b=l

C.a=e]b=lD.a=e-i,b=-l

答案

1.D【解析】因为/=aex+lnx+l,所以ki=ae+l,所以切线方程为y-ae=(ae+l)(>l)，即尸(ae+l)x-l与切线方程尸

2x+b对照，可得2,解得，二故选口

2.[2017浙江卷7,4分]函数月(%)的导函娄妤=/'白)的图象如图所示,则函数产/(%)的图象可能

是()

答案

2.D【解析】根据题意，已知导函数的图象有三个零点，且每个零点的两边导函数值的符号相反，因此函数形)在这

些零点处取得极值排除A,B；记导函数/(%)的零点从左到右分别为占,%2,%3,又在(-31)上f所以函数”)在(-31)

上单调递减，排除C,故选D.

3J2017山东卷文TO,汾偌函数啾%）（e=2.71828…是自然对数的底数）街⑴的定义域上单调递增，则称函数/⑴具有M

性质.下列函数中具有M性质的是（）

A.7(%)=2B./(x)=x2

C.»=3-Dy(x)=cosx

3.A【解析】对于选项人〃）=2-』（%则叫x）=e，（|>=（凯.:平,...啾%）在R上单调递增,..加）=2嗔有M性质

对于选项3；/（%）=%2,啾%尸。\¥2,［啾%）［=8（%2+2%）,令8（%2+2%）〉0彳导%>0^^<_2；令8（%2+2%）<0彳导_2<%<0,「.函数漱%）在（-

8,-2）和（0,+8）上单调递增，在（-2,0）上单调递减,.,於）=%2不具有M性质.对于选项C〃）=3-x=（，则啾%户ex-（齐=（1,

".,0<［<1,「吵=（1在R上单调递减,..於）=3b不具有M性质.对于选项D〃Acosx,e^x）=evcosx,J/llJ［ey（x）］-ex（cosx-sin

x）N0在R上不恒成立，故e7（x）=excos%在R上不是单调递增的，所以/（x）=cos%不具有M性质.

4.[2017全国卷II理•n,5分]若%=-2是函数/(%)=(%2+办-1押-1的极值点，则/(%)的极小值为()

A.-lB.-2&3

C.5e-3D.1

答案

4.A【解析】因^/(%)=(%2+口%-1押-1,所'(x)=(2x+d)ox-x+(x1+ax-1)ex-i=[x2+(a+2)x+a-1]ex-1.

(N+ax-Db-i的极值点，所以Y=-2是X2+3+2)%+Q-1=O的根，所以q=_i,所以/<3=(%2+%-2卿/=(%+2)(%/)51.令了'(%)>0,解得

%<-2或X>1,令"%)<0,解得所以/(%)在(-8,-2)上单调递增,在(-2,1)上单调递减,在(1,+8)上单调递增,所以当%=1

时2y(%)取得极小值，目/(%)极小值=/(D=-1,故选A.

5J2019天津卷理8,5分]已知公区设函数/(%)=『2一竺+2笠4I若关于%的不等式/⑴NO在R上恒成立，则q的取值范

I**41/l/Cl11»<Az,**Az

围为()

A.[0,l]B.[0,2]C.[0,e]D.[l,e]

答案

5.C【解析】方法一当。=0时,不等式/⑴出恒成立排除D；当a=e时〃尸'一"+Ze：]1,当烂1时〃)=蝗_

2ex+2e的最小值为/(1)=1>0,满足心)沙;当%>1时，由_/(x)=%-eln%,可得f(%)=1-=易得信)在不处取得极/」'值(也是

最小值加e尸0满足伞)对排除A,B.故选C.

方法二若xSl2ax+2Q=(%-Q)2-Q2+2。，当时，可彳耿%)的最小值^/(。)=-。2+2。,^/(。)之0,解彳导owag2,故0二。01;当

Q1时，可得/(%)的最小值为AD=1NO,满足条件，所以介0.若%>1,由A%)=%-Hn几可得f(x)=l—=当旧时贝次%)

单调递增,故只需也)或显然成立;当a>l时，由八%)=0,可得%=。,易得AX)的最小值为户a-alna,令/⑷N0,解得0<aWe,故

1<age,所以芯e.综上逐的取值范围是[0,e].

6J2019北京卷理43,5分］设函数/（%）=y+gx（a为常数）.若/⑴为奇函数，则折；若外）是R上的增函数，则。的取值

范围是.

6.-1(-oo,0][解析]=7(%)为奇函数,...火-工尸十工),即e-x+aex=-ex-gx,.".([+a)e-x+(l+q)e尤=0,a=-1；,.HX)单调递

2x

增,•../'(%)=却31e「N0,e2x-a>0,空0,故a的取值范围是(-8,0].

7.[2019全国I卷文•13,5分]曲线产3(%2+%押在点(0,0)处的切线方程为.

7.y=3x【解析】因为y=3(N+x)巧所以/=3(%2+3%+1坪,所以久=0=3,故曲线产3(%2+%却在点(0,0)处的切线方程为y-

0=3(%-0),即y=3%.

8.[2019江苏卷•n,5分]在平面直角坐标系xOy中，点/在曲线y=lnx上,且该曲线在点4处的切线经过点（-e,-1）（e为自然对

数的底数），则点力的坐标是________-

答案

=

8.（e,l）【解析】设4（%o,ln%。）,又产（所以曲线尸In%在点力处的切线方程为y-lnx0^O%o）,将（£-1）代入得In

%o=—（-e-沏）化简得In劭=工解得x（）=e,则点Z的坐标是（e,l）.

%ox0

9.[2018全国I卷理T6,5分]已知函数/3)=25皿x+sin2%,贝心)的最小值是.

答案

9.~【解析】方法一因为/(x)=2sinx+sin2%,所1y/Q)=2cosx+2cos2x=4cos2x+2cosx-2=4(cosx-1)(cos%+l),由

22

/'(%)之0彳导:0cos,艮左右Z,由/'(x)0(\得-Igcos即2上九+兀》22左兀+三或2版-冗5%52痴1，左右Z,所以当x=

2H-1(左WZ)时段)取得最小值且/(%濡，2®-沪2sin(2hi?)+sin2(2加-)=-竽.

方法二因为/(x)=2sinx+sin2x=2sinx(l+cosx),

所以[/(%)]2=4sin2%(l+cosx)2=4(l-cosx)(l+cosx)3,

设cosX=1,贝W=4(14)(1+03(-l

所以/=4[-(1+炉+3(1)(1+明=4(1+。2(24),

所以当-1<Y时,_/>0；

答案

当*V1时，产0.

所以函数尸4（1-仇1+。3（_上二1）在（一《）上单调递增，在6,1）上单调递减,

所以当片;时Umax=?;当片±1时,Jmin=。.

所以og与，即g[/（%）]2号，所以一竽或土绍

所以危）的最小值为-孚

10J2018全国in卷理44,5分］曲线尸3+1押在点(0,1)处的切线的斜率为-2,则a=.

10.-3【解析】产3+1+0/由曲线在点。1)处的切线的斜率为2得/1产o=(ax+l+q)exL=o=l+a=-2,所以q=-3.

11.[2017天津卷文•10,5分]已知公此设函数益)=m111%的图象在点(15/(1))处的切线为/,则/在诵由上的截距为

答案

111【解析】因为所W(l)=a-l,X/(l)=a,所以切线/的方程为广。=。1)01)，令%或得y=L

12.[2019全国卷II文・21J2分]已知函数/(%)=(%-1)ln%-%-L证明:

(1»(%)存在唯一的极值点；

(2&)=0有且仅有两个实根，且两个实根互为倒数.

12.【证明】(1作)的定义域为(0,+8).

fr(x)=^^+lnx-l=ln%-：(2分)

因为y=ln%单调递增,单调递减，所以f。)单调递增.

XfU)=-l<0/，(2)=ln2-|=^^>0,

故存在唯一的%0右(1,2),使得r(%o)=O.(4分)

又当0<%<%0时/白尸。山)单调递减;当x>%o时/⑺知形)单调递增,

所以/⑴存在唯一的极值点(6分)

答案

(2)由⑴知/&)</⑴=2

X/(e2)=e2-3>0,

所以/3)=0在(%0,+g)内存在唯一的实根x=Q.(8分)

由a>%o>1彳导，l<x0-

又屋)=(工-1)山----1=^=0,

aaaaa

故:是/(x)=0在(O/o)内的唯一实根QI分)

综上人工尸。有且仅有两个实根,且两个实根互为倒数.(12分)

13.［2019北京卷理•19J3分］已知函数/(%尸93_%2+%.

4

⑴求曲线闫⑴的斜率为1的切线方程；

(2)当％c［-2,4］时，求证:%-6y%)口;

⑶设厂(工尸火力回+的色右玲,记尸(%)在区间［-2,4］上的最大值为M。).当M。)最小时，求。的值

答案

2x+l.（2分）

令f(x)=1,即；N-2x+1=1得%=0蜘=?(3分)

43

X/(0)=0/(所以曲线y=/(x)的斜率为1的切线方程是y=x与广，，即y=x与/=%—舞(4分)

(2)^g(x)=/(x)-x,xe[-2,4].

由g(%)=33-N彳导g«)4c2_2X

令或%尸0彳寻%=0蜘=*(6分)

答案

当%变化时一（%）£（%）的变化情况如下表:

(0,1)8

X-2(-2,0)0（沁4

3

g'a)+-+

-60640

g(x)~27

所以虱%）的最小值为-6,最大值为0.（9分）

故-64（%）式,即%-6#%）。.（10分）

（3）由（2）知,

当a<-3时,同（。）2尸（0）=庶（0）司=-4>3;

当q>-3时,改4）之下（-2）=依（-2）-4|=6+4>3;

当q=-3时,M（a）=3.

综上，当M3）最小时忻-3.（13分）

14.[2018浙江卷・22,15分]已知函数/(x)=y-lnx.

(1)若/(%)在尸屋2(%i分2)处导数相等，证明^X1)+/(X2)>8-81n2;

(2)若a03-41n2,证明:对于任意左>0,直线尸Ax+a与曲线y=/(x)有唯一公共点.

14.【证明】(1)函数/(%)的导函娄好。尸2(1分)

由/5月5)得2—；=/一｝,

因为%#%2,所以=*(3分)

v^l7X2Z

由基本不等式,得5，久1%2=

因为所以%I%2>256.(5分)

由题意，得尸V^Fln看+V^-ln%2=5月％1%2-出(%。2>

11

设g(%)二Vx-lnX,则g'(%尸乙(V^-4),

Z4-%

答案

X(0,16)16(16,+8)

g'(x)-0+

g(%)2-41n2/

所以g(x)在［256,+8)上单调递增,板(修%2)>虱256)=8-81112,gp>1)+/(x2)>8-81n2.(8分)

a1

(2)令加=e<同+©,〃=(•^^•)2+1,贝次加)-届-4>同+左-左-4之02/(〃)-切-4<〃(2—~-k)<n(l^-A：)<0,

k7TlTL7Tl

所以存在%ow(加⑼使/8))=仇+%

所以对于任意的aER及左E。+8),直线)dx+q与曲线"=/(%)有公共点.(10分)

西⑴士+、得久一0

设3尸口尸，则须尸y士=_g(2—l+a,其中四户争山上

答案

由⑴可知g(%)*(16).

又芯3-41n2,S(-g(x)-1+a<-g(16)-1+«=-3+41n2+«<0,

所以〃'(%)式)，即函数〃(%)在(0,+8)上单调递减，

因此方程/⑴-履-。=0至多有1个实根.

综上，当aS3-41n2时对于任意Q0,直线尸丘+q与曲线y=/(x)有唯一公共点.(15分)

15.[2017全国卷HI理-21,12分]已知函数/(%)=%-1-aln%.

(1)若求。的值；

(2)设加为整数，且对于任意正整数〃,(1+|)(1+妥)…(1+±)〈私求能的最小值

15•【解析】(1)/(%)的定义域为(0,+8).(1分)

①若。成,因为尸-万+aln2<0,所以不;两足题意;(2分)

②若a>0,由八%)=1-=知，当％£(0必)时/，(%)<0；当％三(d+8)时厂(%)>0.所以/(%)在(0,。)上单调递减，在上单调

递增.故i是/(%)在。+8)上的唯一最小值点(4分)

由于/(1尸0,所以当且仅当<2=1时〃20.

故4=1.(5分)

(2)由⑴知当XE(1,+8)时,x-1-In%>0.(7分)

令%=1+去得皿14)苔.(8分)

从而ln(1+|)+ln(l+刍+••*+ln(l+/)<；+…+/=11.

故(14(1+分(11分)

而（1号（1+今（1修）＞2,所以加的最小值为3（12分）

【方法总结】⑴在函数的所有问题中，函数的单调性是最基础的问题，若含有参数，一般需对参数进行讨论,从而确

定函数的单调性，再根据所求进行相应的判断与证明;（2）数列不等式的证明主要有两种思路:①通过函数的单调性得

到数列的单调性，从而解决问题;②对数列的不等关系进行放缩，直接证明.

16J2018天津卷文Q0,14分］设函数危)=(%-幻(%力)(5),其中九2<R,且％她是公差为用勺等差数列.

⑴若才2=0d1,求曲线问(%)在点(05A0))处的切线方程；

⑵若d=3,求/(%)的极值；

⑶若曲线)Rx)与直线产(%-切-6百有三个互异的公共点，求d的取值范围.

答案

16.【解析】⑴由已知，可得AX)=xO1)(%+1)=%3-%,故f(x)=3%2-1.因此/(0)=0/(0)=-1,又曲线y=")在点(0^0))处的切

线方程为y；/(0)=f(0)(%-0)，故所求切线方程为%+尸0.(3分)

(2)由已知可得/(%)=(%-/2+3)(%“2)(%-%2-3)=(%〃2)3-9(%-%2)=%3-3%2X2+(3考-9)%省+%2.

古”'(%)=3%2-6/2%+3,-9.令f(%)=0,解得%=松+百.(4分)

当%变化时/⑺小)的变化情况如下表：

X(-8+L+V3

rrV3(r2-V3j2V3)(r2+V3,-i-oo)

/'(%)+0-0+

■A%)/极大值极小值/

所以函数仆)的极大值为々2-遍)=(-四)3-9X(-旧)=6遍;函数”)的极小值为/(%2+四户(遮)3-9X四=-6痣(7分)

(3)曲线y=/(x)与直线尸(%W)-6V^有三个互异的公共点等价于关于%的方程(%42+4(%"2)(%力-4+(%-%2)+6W=。有三个互

异的实数解.

令片工力,可得“3+(1-理)〃+6百=0.(8分)

设函数g(x)=%3+(1-建)%+6遮,则曲线y=/(x)与直线尸-(%W)-6行有三个互异的公共点等价于函数尸g(x)有三个零点

g'(%)=3N+l-理.

当理01时g(x)谶此时g(%)在R上单调递增不合题意.

当6P>1时，令g'(%)=0,解得X[=--^~,X^dyj31,

易得,g(x)在(-31)上单调递增，在出刈上单调递减，在g+8)上单调递增,(10分)

____3

所以g(X)的极大值g(%l)=g(-巧三)=2"(；1"卜6遍>0,

9

答案

______3

g(%)的极小彳lg(%2)=g(当三尸-2回；1)2+6名(12分)

若g(%2巨。，由g(%)的单调性可知函数尸g(%)至多有两个零点，不合题意.

_3___

若g(%2)<0,即(理-1>>27,也就是止匕时|M>%2,g(|"|尸MI+6b>0,且-2|M<%i,g(-21M尸-6|"|3-2|M+6g<