概数课后习题答案参考

随机事件及其概率1.1随机事件习题1试说明随机试验应具有的三个特点．习题2将一枚均匀的硬币抛两次，事件A，B，C分别表示“第一次出现正面”，“两次出现同一面”，“至少有一次出现正面”，试写出样本空间及事件A，B，C中的样本点.现习题91.2随机事件的概率1.3古典概型现习题3现习题4现习题5现习题6现习题7现习题8现习题9现习题101.4条件概率习题3空现习题41.5事件的独立性现习题6现习题7现习题8总习题1习题3.证明下列等式：习题4.现习题5习题6.习题7习题8习题9习题10习题11现习题12习题13习题14习题15习题16习题17习题18习题19习题20习题21习题22现习题23现习题24第二章随机变量及其分布2.1随机变量习题1随机变量的特征是什么？解答：①随机变量是定义在样本空间上的一个实值函数.②随机变量的取值是随机的，事先或试验前不知道取哪个值.③随机变量取特定值的概率大小是确定的.习题2试述随机变量的分类.解答：①若随机变量X的所有可能取值能够一一列举出来，则称X为离散型随机变量；否则称为非离散型随机变量.②若X的可能值不能一一列出，但可在一段连续区间上取值，则称X为连续型随机变量.习题3盒中装有大小相同的球10个，编号为0,1,2,⋯,9,

从中任取1个，观察号码是“小于5”，“等于5”，“大于5”的情况，试定义一个随机变量来表达上述随机试验结果，并写出该随机变量取每一个特定值的概率.2.2离散型随机变量及其概率分布习题1设随机变量X服从参数为λ的泊松分布，且P{X=1}=P{X=2},求λ.习题2设随机变量X的分布律为

P{X=k}=k15,k=1,2,3,4,5,试求(1)P{12<X<52;

(2)P{1≤X≤3};

(3)P{X>3}.习题3一袋中装有5只球，编号为1,2,3,4,5.在袋中同时取3只，以X表示取出的3只球中的最大号码，写出随机变量X的分布律.习题4(空)习题5某加油站替出租车公司代营出租汽车业务，每出租一辆汽车，可从出租公司得到3元.因代营业务，每天加油站要多付给职工服务费60元，设每天出租汽车数X是一个随机变量，它的概率分布如下：X10203040pi0.150.250.450.15求因代营业务得到的收入大于当天的额外支出费用的概率.习题6设自动生产线在调整以后出现废品的概率为p=0.1,

当生产过程中出现废品时立即进行调整，X代表在两次调整之间生产的合格品数，试求：(1)X的概率分布；(2)P{X≥5};(3)在两次调整之间能以0.6的概率保证生产的合格品数不少于多少?习题7设某运动员投篮命中的概率为0.6,求他一次投篮时，投篮命中的概率分布.习题8某种产品共10件，其中有3件次品，现从中任取3件，求取出的3件产品中次品的概率分布.习题9一批产品共10件，其中有7件正品，3件次品，每次从这批产品中任取一件，取出的产品仍放回去，求直至取到正品为止所需次数X的概率分布.习题10纺织厂女工照顾800个纺绽，每一纺锭在某一段时间τ内断头的概率为0.005,在τ这段时间内断头次数不大于2的概率.习题11设书籍上每页的印刷错误的个数X服从泊松分布，经统计发现在某本书上，有一个印刷错误与有两个印刷错误的页数相同，求任意检验4页，每页上都没有印刷错误的概率.2.3随机变量的分布函数习题1.解答：离散.由于F(x)是一个阶梯函数，故知X是一个离散型随机变量.习题2习题3已知离散型随机变量X的概率分布为P{X=1}=0.3,P{X=3}=0.5,P{X=5}=0.2,试写出X的分布函数F(x)，并画出图形.习题4习题5习题6在区间[0,a]上任意投掷一个质点，以X表示这个质点的坐标.设这个质点落在[0,a]中任意小区间内的概率与这个小区间的长度成正比例，试求X的分布函数.2.4连续型随机变量及其概率密度习题1习题2习题3习题4习题5设一个汽车站上，某路公共汽车每5分钟有一辆车到达，设乘客在5分钟内任一时间到达是等可能的，试计算在车站候车的10位乘客中只有1位等待时间超过4分钟的概率.习题6习题7(空)习题8习题9习题10习题112.5随机变量函数的分布习题1习题2

习题3习题4习题5习题6总习题二1、2、3、4、5、6、7、8、9、10、11、12、13、14、15、16、17、18、19、20、第三章多维随机变量及其分布3.1二维随机变量及其分布1、2、⑴⑵⑶3、⑴⑵⑶4、5、6、7、8、9、3.2条件分布与随机变量的独立性1、2、3、4、5、6、7、3.3二维随机变量函数的分布1、2、7、4、复习总结与总习题解答1、2、3、4、5、6、7、8、9、10、11、12、13、14、（空）15、16、17、第四章随机变量的数字特征4.1数学期望1、2、3、45、6、7、8、9、10、11、4.2方差1、2、3、4、5、6、7、8、4.3协方差与相关系数1、2、3、4、5、6、7、8、4.4大数定理与中心极限定理1、2、3、4、5、6、7、8、9、10、11、总习题四解答1、2、3、4、5、6、X表示每件产品的利润，则X取-2,10,求每件产品的平均利润，即X的数学期望.E(X)=-2×0.1+10×0.9=8.8.7、8、9、10、11、12、13、14、15、故cov(X,Y)=0.16、17、18、19、20、21、22、23、24、25、第五章数理统计的基础知识5.1数理统计的基本概念习题1已知总体X服从[0,λ]上的均匀分布(λ未知),X1,X2,⋯,Xn为X的样本，则().(A)1/n∑i=1nXi-λ2是一个统计量；(B)1/n∑i=1nXi-E(X)是一个统计量；(C)X1+X2是一个统计量；(D)1/n∑i=1nXi^2-D(X)是一个统计量.解答：应选(C).由统计量的定义：样本的任一不含总体分布未知参数的函数称为该样本的统计量.(A)(B)(D)中均含未知参数.习题2观察一个连续型随机变量，抽到100株“豫农一号”玉米的穗位(单位：cm),得到如下表中所列的数据.按区间[70,80),[80,90),⋯,[150,160),将100个数据分成9个组，列出分组数据计表(包括频率和累积频率),并画出频率累积的直方图.解答：分组数据统计表组序号123456789组限组中值组频率组频率%累计频率%70~807533380~9085991290~10095131325100~110105161641110~120115262667120~130125202087130~1401357794140~1501454498150~16015522100频率直方图见图(a),累积频率直方图见图(b).习题3测得20个毛坯重量(单位：g),列成如下简表：毛坯重量185187192195200202205206频数11111211毛坯重量207208210214215216218227频数21112121将其按区间[183.5,192.5),⋯,[219.5,228.5)组，列出分组统计表，并画出频率直方图.解答：分组统计表见表组序号12345组限183.5,∼192.5192.5,∼201.5201.5,∼210.5210.5,∼219.5219.5,∼228.5组中值188197206215224组频数32861组频率/%151040305频率直方图见下图习题4某地区抽样调查200个居民户的月人均收入，得如下统计资料：月人均收入(百元)5-66-77-88-99-1010-1111-12合计户数18357624191414200求样本容量n,样本均值X¯，样本方差S^2.解答：对于抽到的每个居民户调查均收入，可见n=200.这里，没有给出原始数据，而是给出了整理过的资料(频率分布),我们首先计算各组的“组中值”，然后计算X¯和S2的近似值：月人均收入(百元)5-66-77-88-99-1010-1111-12合计组中值ak5.56.57.58.59.510.511.5-户数fk18357624191414200X¯=1n∑kakfk=1200(5.5×18+⋯+11.5×14)=7.945,S2≈1n-1∑k(ak-X¯)2fk=1n-1∑kak2fk-X¯2=1199(5.52×18+⋯+11.52×14)-7.945≈66.0402-63.123025=2.917175.习题5设总体X服从二项分布B(10,3100),X1,X2,⋯,Xn为来自总体的简单随机样本，X¯=1n∑i=1nXi与Sn2=1n∑i=1n(Xi-X¯)2分别表示样本均值和样本二阶中心矩，试求E(X¯),E(S2).解答：由X∼B(10,3100),得E(X)=10×3100=310,D(X)=10×3100×97100=2911000,所以E(X¯)=E(X)=310,E(S2)=n-1nD(X)=291(n-1)1000n.习题6设某商店100天销售电视机的情况有如下统计资料日售出台数k23456合计天数fk2030102515100求样本容量n,经验分布函数Fn(x).解答：(1)样本容量n=100;(2)经验分布函数Fn(x)={0,x<20.20,2≤x<30.50,3≤x<40.60,4≤x<50.85,5≤x<61,x≥6.习题7设总体X的分布函数为F(x),概率密度为f(x),X1,X2,⋯,Xn为来自总体X的一个样本，记X(1)=min1≤i≤n(Xi),X(n)=max1≤i≤n(Xi),试求X(1)和X(n)各自的分布函数和概率密度.解答：设X(1)的分布函数和概率密度分别为F1(x)和f1(x),X(n)的分布函数和概率密度分别为Fn(x)和fn(x),则Fn(X)=P{X(n)≤x}=P{X1≤x,⋯,X(n)≤x}=P{X1≤x}P{X2≤x}⋯P{Xn≤x}=[F(x)]n,fn(x)=F′n(x)=n[F(x)]n-1f(x),F1(x)=P{X(1)≤x}=1-P{X(1)>x}=1-P{X1>x,X2>x,⋯,Xn>x}=1-P{X1>x}P{X2>x}⋯P{Xn>x}=1-[1-P{X1≤x}][1-P{X2≤x}]⋯[1-P{Xn≤x}]=1-[1-F(x)]n,F′1(x)=f1(x)=n[1-F(x)]n-1f(x).习题8设总体X服从指数分布e(λ),X1,X2是容量为2的样本，求X(1)，X(2)的概率密度.解答：f(x)={λe-λx,x>00,其它,F(x)={1-e-λx,x>00,x≥0,X(2)的概率密度为f(2)(x)=2F(x)f(x)={2λe-λx(1-e-λx),x>00,其它,又X(1)的概率密度为f(1)(x)=2[1-F(x)]f(x)={2λe-2λx,x>00,其它.习题9设电子元件的寿命时间X(单位：h)服从参数λ=0.0015的指数分布，今独立测试n=6元件，记录它们的失效时间，求：(1)没有元件在800h之前失效的概率；(2)没有元件最后超过3000h的概率.解答：(1)总体X的概率密度f(x)={(0.0015)e-0.0015x,x>00,其它,分布函数F(x)={1-e-0.0015x,x>00,其它,{没有元件在800h前失效}={最小顺序统计量X(1)>800},有P{X(1)>800}=[P{X>800}]6=[1-F(800)]6=exp(-0.0015×800×6)=exp(-7.2)≈0.000747.(2){没有元件最后超过3000h}={最大顺序统计量X(6)<3000}P{X(6)<3000}=[P{X<3000}]6=[F(3000)]6=[1-exp{-0.0015×3000}]6=[1-exp{-4.5}]6≈0.93517.习题10设总体X任意，期望为μ,方差为σ2,若至少要以95%的概率保证∣X¯-μ∣<0.1σ,问样本容量n应取多大？解答：因当n很大时，X¯-N(μ,σ2n),于是P{∣X¯-μ∣<0.1σ}=P{μ-0.1σ<X¯<μ+0.1σ}≈Φ(0.1σσ/n)-Φ(-0.1σσ/n)=2Φ(0.1n)-1≥0.95,则Φ(0.1n)≥0.975,查表得Φ(1.96)=0.975,因Φ(x)非减，故0.1n≥1.96,n≥384.16,故样本容量至少取385才能满足要求.5.2常用统计分布习题1对于给定的正数a(0<a<1),设za,χa2(n),ta(n),Fa(n1,n2)分别是标准正态分布，χ2(n),t(n),F(n1,n2)分布的上a分位点，则下面的结论中不正确的是().(A)z1-a(n)=-za(n);(B)χ1-a2(n)=-χa2(n);(C)t1-a(n)=-ta(n);(D)F1-a(n1,n2)=1Fa(n2,n1).解答：应选(B).因为标准正态分布和t分布的密度函数图形都有是关于y轴对称的，而χ2分布的密度大于等于零，所以(A)和(C)是对的.(B)是错的.对于F分布，若F∼F(n1,n2),则1-a=P{F>F1-a(n1,n2)}=P{1F<1F1-a(n1,n2)=1-P{1F>1F1-a(n1,n2)由于1F∼F(n2,n1),所以P{1F>1F1-a(n1,n2)=P{1F>Fa(n2,n1)=a,即F1-a(n1,n2)=1Fa(n2,n1).故(D)也是对的.习题2(1)2.设总体X∼N(0,1),X1,X2,⋯,Xn为简单随机样本，问下列各统计量服从什么分布?(1)X1-X2X32+X42;解答：因为Xi∼N(0,1),i=1,2,⋯,n,所以：X1-X2∼N(0,2),X1-X22∼N(0,1),X32+X42∼χ2(2),故X1-X2X32+X42=(X1-X2)/2X32+X422∼t(2).习题2(2)2.设总体X∼N(0,1),X1,X2,⋯,Xn为简单随机样本，问下列各统计量服从什么分布?(2)n-1X1X22+X32+⋯+Xn2;解答：因为Xi∼N(0,1),∑i=2nXi2∼χ2(n-1),所以n-1X1X22+X32+⋯+Xn2=X1∑i=2nXi2/(n-1)∼t(n-1).习题2(3)2.设总体X∼N(0,1),X1,X2,⋯,Xn为简单随机样本，问下列各统计量服从什么分布?(3)(n3-1)∑i=13Xi2/∑i=4nXi2.解答：因为∑i=13Xi2∼χ2(3),∑i=4nXi2∼χ2(n-3),所以：(n3-1)∑i=13Xi2/∑i=4nXi2=∑i=13Xi2/3∑i=4nXi2/(n-3)∼F(3,n-3).习题3设X1,X2,X3,X4是取自正态总体X∼N(0,22)的简单随机样本，且Y=a(X1-2X2)2+b(3X3-4X4)2,则a=?,b=?时，统计量Y服从χ2分布，其自由度是多少？解答：解法一Y=[a(X1-2X2)]2+[b(3X3-4X4)]2,令Y1=a(X1-2X2),Y2=b(3X3-4X4),则Y=Y12+Y22,为使Y∼χ2(2),必有Y1∼N(0,1),Y2∼N(0,1),因而E(Y1)=0,D(Y1)=1,E(Y2)=0,D(Y2)=1,注意到D(X1)=D(X2)=D(X3)=D(X4)=4,由D(Y1)=D[a(X1-2X2)]=aD(X1-X2)=a(D(X1)+22D(X2))=a(4+4×4)=20a=1,D(Y2)=D[b(3X3-4X4)]=bD(3X3-4X4)=b(9D(X3)+16D(X4))=b(4×9+16×4)=100b=1,分别得a=120,b=1100.这时Y∼χ2(2),自由度为n=2.解法二因Xi∼N(0,22)且相互独立，知X1-2X2=X1+(-2)X2∼N(0,20),3X3-4X4=3X3+(-4)X4∼N(0,100),故X1-2X220∼N(0,1),3X3-4X4100∼N(0,1),为使Y=(X1-2X21/a)2+(3X3-4X41/b)2∼χ2(2),必有X1-2X21/a∼N(0,1),3X3-4X41/b∼N(0,1),与上面两个服从标准正态分布的随机变量比较即是1a=20,1b=100,即a=120,b=1100.习题4设随机变量X和Y相互独立且都服从正态分布N(0,32).X1,X2,⋯,X9和Y1,Y2,⋯,Y9是分别取自总体X和Y的简单随机样本，试证统计量T=X1+X2+⋯+X9Y12+Y22+⋯+Y92服从自由度为9的t分布.解答：首先将Xi,Yi分别除以3,使之化为标准正态.令X′i=Xi3,Y′i=Yi3,i=1,2,⋯,9,则X′i∼N(0,1),Y′i∼N(0,1);再令X′=X′1+X′2+⋯+X′9,则X′∼N(0,9),X′3∼N(0,1),Y′2=Y′12+Y′22+⋯+Y′92,Y′2∼χ2(9).因此T=X1+X2+⋯+X9Y12+Y22+⋯+Y92=X1′+X2′+⋯+X9′Y′12+Y′22+⋯+Y′92=X′Y′2=X′/3Y′2/9∼t(9),注意到X′,Y′2相互独立.习题5设总体X∼N(0,4),而X1,X2,⋯,X15为取自该总体的样本，问随机变量Y=X12+X22+⋯+X1022(X112+X122+⋯+X152)服从什么分布？参数为多少？解答：因为Xi2∼N(0,1),故Xi24∼χ2(1),i=1,2,⋯,15,而X1,X2,⋯,X15独立，故X12+X22+⋯+X1024∼χ2(10),X112+X122+⋯+X1524∼χ2(5),所以X12+X22+⋯+X1024/10X112+X122+⋯+X1524/5=X12+X22+⋯+X1022(X112+X122+⋯+X152)=Y习题6证明：若随机变量X服从F(n1,n2)的分布，则(1)Y=1X服从F(n2,n1)分布；(2)并由此证明F1-α(n1,n2)=1Fα(n2,n1).解答：(1)因随机变量X服从F(n1,n2),故可设X=U/n1V/n2,其中U服从χ2(n1),V服从χ2(n2),且U与V相互独立，设1X=V/n2U/n1,由F分布之定义知Y=1x=V/n2U/n1,服从F(n2,n1).(2)由上侧α分位数和定义知P{X≥F1-α(n1,n2)}=1-α,P{1X≤1F1-α(n1,n2)=1-α,即P{Y≤1F1-α(n1,n2)=1-α,1-P{Y>1F1-α(n1,n2)=1-α,故P{Y>1F1-α(n1,n2)=α,而P{Y≥Fα(n2,n1)}=α.又Y为连续型随机变量，故P{Y≥1F1-α(n1,n2)=α,从而Fα(n2,n1)=1F1-α(n1,n2),即F1-α(n1,n2)=1Fα(n2,n1).习题7查表求标准正态分布的上侧分位数：u0.4,u0.2,u0.1与u0.05.解答：u0.4=0.253,u0.2=0.8416,u0.1=1.28,u0.05=1.65.习题8查表求χ2分布的上侧分位数：χ0.952(5),χ0.052(5),χ0.992(10)与χ0.012(10).解答：1.145,11.071,2.558,23.209.习题9查表求F分布的上侧分位数：F0.95(4,6),F0.975(3,7)与F0.99(5,5).解答：0.1623,0.0684,0.0912.习题10查表求t分布的下侧分位数：t0.05(3),t0.01(5),t0.10(7)与t0.005(10).解答：2.353,3.365,1.415,3.169.5.3抽样分布习题1已知离散型均匀总体X,其分布律为X246Pi1/31/31/3取大小为n=54的样本，求：(1)样本平均数X¯落于4.1到4.4之间的概率；(2)样本均值X¯超过4.5的概率.解答：μ=E(X)=13×(2+4+6)=4,σ2=E(X2)-[E(X)]2=13×(22+42+66)-42=83,所以μX¯=μ=4,σX¯2=σ2n=8/354=481,σX¯=29.令Z=X¯-42/9,则n充分大时，Z∼近似N(0,1).(1)P{4.1<X¯<4.4}=P{4.1-42/9<Z<4.4-42/9≈Φ(1.8)-Φ(0.45)=0.9641-0.6736=0.2905.(2)P{X¯>4.5}=P{Z>4.5-42/9=1-P{Z≤2.25}≈1-Φ(2.25)=1-0.9878=0.0122.习题2设总体X服从正态分布N(10,32),X1,X2,⋯,X6是它的一组样本，设X¯=16∑i=16Xi.(1)写出X¯所服从的分布；(2)求X¯>11的概率.解答：(1)X¯∼N(10,326),即X¯∼N(10,32).(2)P{X¯>11}=1-P{X¯≤11}=1-Φ(11-1032)≈1-Φ(0,8165)≈1-Φ(0.82)=0.2061.习题3设X1,X2,⋯,Xn是总体X的样本，X¯=1n∑i=1nXi,分别按总体服从下列指定分布求E(X¯),D(X¯).(1)X服从0-1分布b(1,p);(2)*X服从二项分布b(m,p);(3)X服从泊松分布P(λ);(4)X服从均匀分布U[a,b];(5)X服从指数分布e(λ).解答：(1)由题意，X的分布律为：P{X=k}=Pk(1-P)1-k(k=0,1).E(X)=p,D(X)=p(1-p).所以E(X¯)=E(1n∑i=1nXi)=1n∑i=1nE(Xi)=1n⋅np=p,D(X¯)=D(1n∑i=1nXi)=1n2∑i=1nD(X1)=1n2⋅np(1-p)=1np(1-p).(2)由题意，X的分布律为：P{X=k}=CmkPk(1-p)m-k(k=0,1,2,⋯,m).同(1)可得E(X¯)=mp,D(X¯)=1nmp(1-p).(3)由题意，X的分布律为：P{X=k}=λkk!e-λ(λ>0,k=0,1,2,⋯).E(X)=λ,D(X)=λ.同(1)可得E(X¯)=λ,D(X¯)=1nλ.(4)由E(X)=a+b2,D(X)=(b-a)212,同(1)可得E(X¯)=a+b2,D(X¯)=(b-a)212n.(5)由E(X)=1λ,D(X)=1λ2,同(1)可得D(X¯)=1λ,D(X¯)=1nλ2.习题4某厂生产的搅拌机平均寿命为5年，标准差为1年，假设这些搅拌机的寿命近似服从正态分布，求：（1）容量为9的随机样本平均寿命落在4.4年和5.2年之间的概率；（2）容量为9的随机样本平均寿命小于6年的概率。解答：（1）由题意知X¯∼N(5,1n),n=9，则标准化变量Z=X¯-51/9=X¯-51/3∼N(0,1).而P{4.4<X¯<5.2}=P{4.4-51/3<X¯-51/3<5.2-51/3=P{-1.8<Z<0.6}≈Φ(0.6)-Φ(-1.8)=0.7257-0.0359=0.6898（2）P{X¯<6}=P{X¯-51/3<6-51/3=P{Z<3}≈Φ(3)=0.9987.习题5设X1,X2,⋯,X16及Y1,Y2,⋯,Y25分别是两个独立总体N(0,16)和N(1,9)的样本，以X¯和Y¯分别表示两个样本均值，求P{∣X¯-Y¯∣>1}.解答：X¯∼N(0,1616)，Y¯∼N(1,925)，X¯-Y¯∼N(-1,1+925)，即X¯-Y¯∼N(-1,3425)．标准化变量X¯-Y¯，令Z=X¯-Y¯34/5∼N(0,1)，所以P{∣X¯-Y¯∣>1}=1-P{∣X¯-Y¯∣≤1}=1-P{-1≤X¯-Y¯≤1}=1-P{0≤X¯-Y¯+134/5≤234/5≈1-Φ(1.715)+Φ(0)=1-0.9569+0.5=0.5431．习题6假设总体X服从正态分布N(20,32),样本X1,⋯,X25来自总体X,计算P{∑i=116Xi-∑i=1725Xi≤182.解答：令Y1=∑i=116Xi,Y2=∑i=1725Xi,由于X1,⋯,X25相互独立同正态分布N(20,32),因此有Y1与Y2相互独立，且Y1∼N(320,122),Y2∼N(180,92),Y1-Y2∼N(140,152),{∑i=116Xi-∑i=1725Xi≤182=P{Y1-Y2≤182},=P{Y1-Y2-14015≤2.8≈Φ(2.8)=0.997.习题7从一正态总体中抽取容量为n=16的样本，假定样本均值与总体均值之差的绝对值大于2的概率为0.01,试求总体的标准差.解答：设总体X∼N(μ,σ2),样本均值为X¯,则有X¯-μσ/n=X¯-μσ/4∼N(0,1).因为P{∣X¯-μ∣>2}=P{∣X¯-μσ/4∣>8σ=2P{Z>8σ=2[1-Φ(8σ)]=0.01,所以Φ(8σ)=0.995.查标准正态分布表，得8σ=2.575,从而σ=82.575=3.11.习题8设在总体N(μ,σ2)中抽取一容量为16的样本，这里μ,σ2均为未知.(1)求P{S2/σ2≤2.041},其中S2为样本方差；(2)求D(S2).解答：(1)因为是正态总体，根据正态总体下的统计量分布可知(n-1)S2σ2∼χ2(n-1).这里n=16,于是P{S2/σ2≤2.041}=P(15S2σ2≤15×2.041)=1-P{15S2σ2>30.615(查χ2分布表可得)=1-0.01=0.99.(2)因为(n-1)S2σ2∼χ2(n-1),又知D((n-1)S2σ2)=2(n-1),所以D(S2)=σ4(n-1)2D((n-1)S2σ2)=σ4(n-1)2⋅2(n-1)=2n-1σ4=215σ4(因为n=16).习题9设总体X∼N(μ,16),X1,X2,⋯,X10为取自该总体的样本，已知P{S2>a}=0.1,求常数a.解答：因为(n-1)S2σ2∼χ2(n-1),n=10,σ=4,所以P{S2>a}=P{9S216>916a=0.1.查自由度为9的χ2分布表得，916a=14.684,所以a≈26.105.习题10设X1,X2,⋯,Xn和Y1,Y2,⋯,Yn分别取自正态总体X∼N(μ1,σ2)和Y∼N(μ2,σ2)且相互独立，问以下统计量服从什么分布？(1)(n-1)(S12+S22)σ2;(2)n[(X¯-Y¯)-(μ2-σ2)]2S12+S22.解答：(1)由(n-1)S12σ2∼χ2(n-1),(n-1)S22σ2∼χ2(n-1),由χ2(n)的可加性(n-1)(S12+S22)σ2∼χ(2(n-1)).(2)X¯-Y¯∼N(μ1-μ2,2σ2n),标准化后(X¯-Y¯)-(μ1-μ2)σ2n∼N(0,1),故有[(X¯-Y¯)-(μ1-μ2)]22σ2n∼χ2(1),又由(n-1)(S12+S22)σ2∼χ2(2n-2),注意F分布定义[(X¯-Y¯)-(μ1-μ2)]21n2σ2/1(n-1)(S12+S22)σ2/2(n-1)=n[(X¯-Y¯)-(μ1-μ2)]2S1习题11分别从方差为20和35的正态总体中抽取容量为8和10的两个样本，求第一个样本方差不小于第二个样本方差的两倍的概率.解答：用S12和S22分别表示两个样本方差，由定理知F=S12/σ12S22/σ22=S12/20S22/35=1.75S12S22∼F(8-1,10-1)=F(7,9).又设事件A={S12≥2S22},下面求P{S12≥2S22},因P{S12≥2S22}=P{S12S22≥2=P{S12/20S22/35≥2×3520=P{F≥3.5}.查F分布表得到自由度为n1=7,n2=9的F分布上α分布点Fα(n1=7,n2=9)有如下数值：F0.05(7,9)=3.29,F0.025(7,9)=4.20,因而F0.05(7,9)=3.29<3.5<F0.025(7,9)=4.20,即事件A的概率介于0.025和0.05之间，故0.025≤P{S12≥2S22}≤0.05.总习题解答习题1设总体X服从泊松分布.一个容量为10的样本值为1,2,4,3,3,4,5,6,4,8,计算样本均值，样本方差和经验分布函数.解答：样本的频率分布为x¯=4,s2=3.6.经验分布函数为F10(x)={0,x<11/10,1≤x<22/10,2≤x<34/10,3≤x<47/10,4≤x<58/10,5≤x<69/10,6≤x<71,x≥8.习题2A厂生产的某产种电器的使用寿命服从指数分布，参数λ未知.为此，抽查了n件电器，测量其使用寿命，试确定本问题的总体、样本及样本的分布.解答：总体是这种电器的使用寿命，其概率密度为f(x)={λe-λx,x>00,x≤0(λ未知),样本X1,X2,⋯,Xn是n件某种电器的使用寿命，抽到的n件电器的使用寿命是样本的一组观察值.样本X1,X2,⋯,Xn相互独立，来自同一总体X,所以样本的联合密度为f(x1,x2,⋯,xn)={λne-λ(x1+x2+⋯+xn),x1,x2,⋯,xn>00,其它.习题3设总体X在区间[a,b]上服从均匀分布，求：(1)来自X的简单随机样本X1,X2,⋯,Xn的密度f(x1,x2,⋯,xn);(2)Y=max{X1,X2,⋯,Xn}的密度fY(x);Z=min{X1,X2,⋯,Xn}的密度fZ(x).解答：(1)X的密度为f(x)={1b-a,x∈(a,b)0,其它,由于X1,X2,⋯,Xn独立且与X同分布，所以有f(x1,x2,⋯,xn)=∏i=1nf(xi)={1(b-a)n,a≤x1≤⋯≤xn≤b0,其它.(2)由题设X在[a,b]上服从均匀分布，其分布函数为F(x)={0,x<ax-ab-a,x∈[a,b]1,x>b,由Y=max{X1,X2,⋯,Xn}及Z=min{X1,X2,⋯,Xn}分布函数的定义FY(x)=[F(x)]n,FZ(x)=1-[1-F(x)]n,于是有fY(x)=nFn-1(x)f(x)=n(x-a)n-1(b-a)n,x∈[a,b],fZ(x)=n[1-Fn-1(x)]n-1⋅f(x)=n(b-x)n-1(b-a)n,x∈[a,b].习题4在天平上重复称一重量为a的物品，假设各次称量的结果相互独立，且服从正态分布N(a,0.2).若以X¯表示n次称量结果的算术平均值，求使P{∣X¯-a∣<0.1}≥0.95成立的称量次数n的最小值.解答：因为X¯=1n∑i=1nXi∼N(a,(0.2)2n),所以X¯-a0.2/n∼N(0,1),故P{∣X¯-a∣<0.1}=P{∣X¯-a0.2/n∣<0.10.2/n=2Φ(n2)-1≥0.95,即Φ(n2)≥0.975,查正态分布表得n2≥1.96,所以n≥15.37,即n=16.习题5设总体X∼N(20,3),从X中抽取两个样本X1,X2,⋯,X10和Y1,Y2,⋯,X15,求概率P{∣X¯-Y¯∣>0.3}.解答：因为X1,X2,⋯,X10和Y1,Y2,⋯,Y15独立同分布，所以X¯∼N(20,310),Y¯∼N(20,0.2),于是X¯-Y¯∼N(0,0.5).P{∣X¯-Y¯∣>0.3}=P{∣X¯-Y¯∣/0.5>0.3/0.5}=1-P{∣X¯-Y¯∣/0.5≤0.3/0.5}=2[1-Φ(0.3/0.5)]=2[1-0.6628]=0.6744(查正态分布表).习题6设总体X∼N(μ,σ2),假如要以0.9606的概率保证偏差∣X¯-μ∣<0.1,试问：当σ2=0.25时，样本容量n应取多大？解答：P{∣X¯-μ∣<0.1}=0.9606,即P{∣X¯-μ∣<0.1}=P{∣X¯-μ0.25/n∣<0.10.25/n=2Φ(0.1n0.25)-1=0.9606,⇒Φ(0.1n0.25)=0.9803⇒n5=2.06⇒n≈106.P{∣X¯-μ∣<0.1}=0.9606,即P{∣X¯-μ∣<0.1}=P{∣X¯-μ0.25/n∣<0.10.25/n.习题7设X1¯和X2¯分别为来自正态总体N(μ,σ2)的容量为n的两个简单随机样本X11,X12,⋯,X1n和X21,X22,⋯,X2n的均值，试确定n,使两个子样的均值之差超过σ的概率小于0.05.解答：Xi¯∼N(μ,σ2n)(i=1,2),且X1¯和X2¯相互独立，故有X1¯-X2¯∼N(0,2σ2n),从而X1¯-X2¯σ/2/n∼N(0,1),P(∣X1¯-X2¯∣>σ)=P{∣X1¯-X2¯∣σ2/n>n2=2Φ(-n2)=2[1-Φ(n2)]<0.05,故Φ(n2)>0.975,查正态分布表n2≥1.96,所以n>7.68,即取n=8.习题8设总体X∼f(x)={∣x∣,∣x∣<10,其它，X1,X2,⋯,X50为取自X的一个样本，试求：(1)X¯的数学期望与方差；(2)S2的数学期望；(3)P{∣X¯∣>0.02}.解答：μ=E(X)=∫-11x∣x∣dx=0,σ2=D(X)=E(X2)-[E(X)]2=E(X2)=∫-11x2∣x∣dx=12.(1)X¯=1n∑i=1nXi(n=50)⇒E(X¯)=E(1n∑i=1nXi)=1n∑i=1nE(Xi)=0,D(X¯)=σ2n=12n=1100;(2)E(S2)=[1n-1∑i=1n(Xi-X¯)2]=1n-1E[∑i=1n(Xi-X¯)2]=1n-1E(∑i=1nXi2-nX¯2)=1n-1(∑i=1nD(X1)-nD(X¯))=1n-1(n⋅12-n⋅12n)=12;(3)P{∣X¯∣>0.02}=1-P{∣X¯∣≤0.02}=1-P{∣X¯-μD(X¯)∣≤0.02-μD(X¯)=1-P≥{∣X1/10∣≤0.2=2[1-Φ(0.2)]=0.8414.习题9从一正态总体中抽取容量为10的样本，设样本均值与总体均值之差的绝对值在4以上的概率为0.02,求总体的标准差.解答：由于X¯∼N(μ,σ2n),故有0.02=P{∣X¯-μ∣≥4}=P{∣X¯-μσ/n∣≥4σ/n≈2(1-Φ(4σ/n))≈2(1-Φ(12.65σ)),Φ(12.65σ)=0.99,即有12.65σ=u0.01=2.33,解得σ≈5.43.习题10设X1,⋯,Xn是取自总体X的样本，X¯,S2分别为样本均值与样本方差，假定μ=E(X),σ2=D(X)均存在，试求E(X¯),D(X¯),E(S2).解答：E(X¯)=1n∑i=1nE(Xi)=1n∑i=1nE(X)=μ,D(X¯)=1n2∑i=1nD(Xi)=1n2∑i=1nD(X)=σ2n,E(S2)=E(1n-1(∑i=1nXi2-nX¯2))=1n-1(∑i=1nE(Xi2)-nE(X¯2))=1n-1(∑i=1nE(X2)-nE(X¯2))=1n-1(∑i=1n(μ2+σ2)-n(μ2+(σ2n)))=σ2.注：本题证明了对于任何存在均值μ与方差σ2的总体分布，均有E(X¯)=μ,E(S2)=σ2.习题11设总体X服从正态分布N(μ,σ2)(σ>0),从总体中抽取简单随机样本X1,⋯,X2n(n≥2),其样本均值为X¯=12n∑i=12nXi,求统计量Y=∑i=1n(Xi+Xn+i-2X¯)2的数学期望.解答：注意到Xi+Xn+i相互独立，同分布N(2μ,2σ2),则它们可认为是取自同一正态总体N(2μ,2σ2)的样本，其样本均值为1n∑i=1n(Xi+Xn+i)=1n∑i=12nXi=2X¯.如果记Zi=Xi+Xn+i,i=1,⋯,n,即Zi(i=1,⋯,n)是取自N(2μ,2σ2)的样本，且Yn-1=1n-1∑i=1n(Xi+Xn+i-2X¯)2=S2(Z),则有E(S2(Z))=1n-1E(Y)=2σ2,所以E(Y)=2(n-1)σ2.习题12设有k个正态总体Xi∼N(μi,σ2),从第i个总体中抽取容量为ni的样本Xi1,Xi2,⋯,Xini,且各组样本间相互独立，记Xi¯=1n∑j=1niXij(i=1,2,⋯,k),n=n1+n2+⋯+nk,求W=1σ2∑i=1k∑j=1ni(Xij-Xi¯)2的分布.解答：因为∑j=1ni(Xij-Xi¯)2σ2=(ni-1)Si2σ2∼χ2(ni-1),且(ni-1)Si2σ2(i=1,2,⋯,k)相互独立，故W=1σ2∑i=1k∑j=1ni(Xij-Xi¯)2=∑i=1k(ni-1)Si2σ2∼χ2(∑i=1k(ni-1)),而∑i=1k(ni-1)=∑i=1kni-k=n-k,故W=1σ2∑i=1k∑j=1ni(Xij-Xi¯)2∼χ2(n-k).习题13已知X∼t(n),求证X2∼F(1,n).解答：设X=U/Yn,其中U∼N(0,1),Y∼χ2(n).且U与Y相互独立，于是，U2∼χ2(1),且U2与Y也相互独立，所以X2=U2/(Yn).根据F变量的构成模式知，X2应服从F(1,n)分布.习题14设X1,X2,⋯,X9是取自正态总体X∼N(μ,σ2)的样本，且Y1=16(X1+X2+⋯+X6),Y2=13(X7+X8+X9),S2=12∑i=79(Xi-Y2)2,求证Z=2(Y1-Y2)S∼t(2).解答：易知Y1=16(X1+X2+⋯+X6)∼N(μ,σ26),Y2=13(X7+X8+⋯+X9)∼N(μ,σ23),且Y1与Y2独立，故Y1-Y2∼N(0,σ22),又2S2σ2=∑i=79(Xi-Y2)2/σ2∼χ2(2),Y1-Y2与2S2σ2独立，从而(Y1-Y2)/σ22S2σ2/2=2(Y1-Y2)S=Z∼t(2).习题15设X1,⋯,Xn,Xn+1是取自正态总体X∼N(μ,σ2)的样本，Xn¯=1n∑i=1nXi,Sn=1n-1∑i=1n(Xi-Xn¯)2,试确定统计量nn+1⋅Xn+1-Xn¯Sn的分布.解答：将统计量改写成下列形式：nn+1⋅Xn+1-Xn¯Sn=(Xn+1-Xn¯)/1+1nσ(n-1)Sn2σ2/(n-1)(*)由于Xn+1与Xi(i=1,⋯,n)相互独立，Xn¯=1n∑i=1nXi∼N(μ,σ2n),Xn+1∼N(μ,σ2),所以Xn+1-Xn¯∼N(0,(1+1n)σ2),从而(Xn+1-Xn¯)/(1+1nσ)∼N(0,1),注意到Xn¯与Sn2相互独立，Xn+1也与Sn2相互独立，且(n-1)Sn2σ2∼χ2(n-1),故由(*)式即得nn+1⋅Xn+1-Xn¯Sn∼t(n-1).习题16假设X1,X2,⋯,X9是来自总体X∼N(0,22)的简单随机样本，求系数a,b,c,使Q=a(X1+X2)2+b(X3+X4+X5)2+c(X6+X7+X8+X9)2服从χ2分布，并求其自由度.解答：由于X1,X2,⋯,X9相互独立且取自总体X∼N(0,22),由正态分布的线性运算性质有X1+X2∼N(0,8),X3+X4+X5∼N(0,12),X6+X7+X8+X9∼N(0,16),于是，由χ2=χ12+⋯+χk2有Q=(X1+X2)28+(X3+X4+X5)212+(X6+X7+X8+X9)216∼χ2(3),故a=1/8,b=1/12,c=1/16,自由度为3.习题17(1)17.从总体X∼N(μ,σ2)中抽取容量为16的样本.在下列情况下分别求X¯与μ之差的绝对值小于2的概率：(1)已知σ2=25;解答：由σ=5,U统计量(X¯-μ)/σn∼N(0,1),P{∣X¯-μ∣<2}=P{∣X¯-μ∣/σn<2/516=P{∣U∣<1.6}=2Φ(1.6)-1=0.8904.习题17(2)17.从总体X∼N(μ,σ2)中抽取容量为16的样本.在下列情况下分别求X¯与μ之差的绝对值小于2的概率：(2)σ2未知，但s2=20.8.解答：由T统计量(X¯-μ)/Sn∼t(n-1),P{∣X¯-μ∣<2}=P{∣X¯-μ∣/Sn<2/20.816=P{∣T∣<1.76}=1-2×0.05=0.90.习题18(1)18.设X1,X2,⋯,X10取自正态总体N(0,0.32),试求(1)P{∑i=110Xi2>1.44;解答：由∑i=1n(Xi-μ)2σ2∼χ2(n)题中μ=0,因此P{∑i=110Xi2>1.44=P{∑i=110Xi2(0.3)2>1.44(0.3)2=P{χ2(10)>16}=0.1.习题19(1)设总体X具有方差σ12=400,总体Y具有方差σ22=900,两总体的均值相等，分别自这两个总体取容量为400的样本，设两样本独立，分别记样本均值为X¯,Y,¯试利用切比雪夫不等式估计k,使得P{∣X¯-Y¯∣<k}≥0.99.(2)设在(1)中总体X和Y均为正态变量，求k.解答：(1)由题设E(X¯-Y¯)=E(X¯)-E(Y¯)=0,D(X¯-Y¯)=D(X¯)+D(Y¯)=400400+900400=134(由两样本的独立性).由切比雪夫不等式P{∣X¯-Y¯∣<k}≥1-1k2×134,按题意应有1-1k2×134=0.99,解得k=18.028.(2)由题设X,Y均为正态变量，故有X¯-Y¯∼N(0,134).因此P{∣X¯-Y¯∣<k}=P{∣X¯-Y¯∣13/4<k13/4=P{-k13/4<X¯-Y¯13/4<k13/4=Φ(k13/4)-Φ(-k13/4)=2Φ(k13/4)-1,要使2Φ(k13/4)-1≥0.99,即Φ(k13/4)≥0.995=Φ(2.58),k13/4≥2.58,k≥4.651.习题20假设随机变量F服从分布F(5,10),求λ的值使其满足P{F≥λ}=0.95.解答：一般书中给出的F分布表，给出P{F≥λ}=α的α值只有α=0.01,α=0.05等几个较小的值，而现α=0.95,不能直接查F表得到λ,但是注意到P{F≥λ}=0.95,并且P{F≤λ}=P{F-1≤λ-1}=0.05,而F-1∼F(10,5),因此可查表得1λ=F0.05(10,5)=4.74,λ≈0.21.习题21设X1,X2,⋯,Xn是总体X∼N(μ,σ2)的一个样本，证明：E[∑i=1n(Xi-X¯)2]2=(n2-1)σ4.解答：因为χ2=∑i=1n(Xi-X¯)2/σ2∼χ2(n-1),E(χ2)=n-1,D(χ2)=2(n-1),所以E[∑i=1n(Xi-X¯)2]2=σ4E[∑i=1n(Xi-X¯)2/σ2]2=σ4E[χ2]2=σ4[D(χ2)+[E(χ2)]2]=σ4[2(n-1)+(n-1)2]=(n2-1)σ4.第六章参数估计6.1点估计问题概述习题1总体X在区间[0,θ]上均匀分布，X1,X2,⋯,Xn是它的样本，则下列估计量θ是θ的一致估计是().(A)θ=Xn;(B)θ=2Xn;(C)θ=X¯=1n∑i=1nXi;(D)θ=Max{X1,X2,⋯,Xn}.解答：应选(D).由一致估计的定义，对任意ɛ>0,P(∣Max{X1,X2,⋯,Xn}-θ∣<ɛ)=P(-ɛ+θ<Max{X1,X2,⋯,Xn}<ɛ+θ)=F(ɛ+θ)-F(-ɛ+θ).因为FX(x)={0,x<0xθ,0≤x≤θ1,x>θ,及F(x)=FMax{X1,X2,⋯,Xn}(x)=FX1(x)FX2(x)⋯FXn(x),所以F(ɛ+θ)=1,F(-ɛ+θ)=P(Max{X1,X2,⋯,Xn}<-ɛ+θ)=(1-xθ)n,故P(∣Max{X1,X2,⋯,Xn}-θ∣<ɛ)=1-(1-xθ)n→1(n→+∞).习题2设σ是总体X的标准差，X1,X2,⋯,Xn是它的样本，则样本标准差S是总体标准差σ的().(A)矩估计量；(B)最大似然估计量；(C)无偏估计量；(D)相合估计量.解答：应选(D).因为，总体标准差σ的矩估计量和最大似然估计量都是未修正的样本标准差；样本方差是总体方差的无偏估计，但是样本标准差不是总体标准差的无偏估计.可见，样本标准差S是总体标准差σ的相合估计量.习题3设总体X的数学期望为μ,X1,X2,⋯,Xn是来自X的样本，a1,a2,⋯,an是任意常数，验证(∑i=1naiXi)/∑i=1nai(∑i=1nai≠0)是μ的无偏估计量.解答：E(X)=μ,E(∑i=1naiXi∑i=1nai)=1∑i=1nai⋅∑i=1naiE(Xi)(E(Xi)=E(X)=μ)=μ∑i=1nai∑i=1n=μ,综上所证，可知∑i=1naiXi∑i=1nai是μ的无偏估计量.习题4设θ是参数θ的无偏估计，且有D(θ)>0,试证θ2=(θ)2不是θ2的无偏估计.解答：因为D(θ)=E(θ2)-[E(θ)]2,所以E(θ2)=D(θ)+[E(θ)]2=θ2+D(θ)>θ2,故(θ)2不是θ2的无偏估计.习题5设X1,X2,⋯,Xn是来自参数为λ的泊松分布的简单随机样本，试求λ2的无偏估计量.解答：因X服从参数为λ的泊松分布，故D(X)=λ,E(X2)=D(X)+[E(X)]2=λ+λ2=E(X)+λ2,于是E(X2)-E(X)=λ2,即E(X2-X)=λ2.用样本矩A2=1n∑i=1nXi2,A1=X¯代替相应的总体矩E(X2),E(X),便得λ2的无偏估计量λ2=A2-A1=1n∑i=1nXi2-X¯.习题6设X1,X2,⋯,Xn为来自参数为n,p的二项分布总体，试求p2的无偏估计量.解答：因总体X∼b(n,p),故E(X)=np,E(X2)=D(X)+[E(X)]2=np(1-p)+n2p2=np+n(n-1)p2=E(X)+n(n-1)p2,E(X2)-E(X)n(-1)=E[1n(n-1)(X2-X)]=p2,于是，用样本矩A2,A1分别代替相应的总体矩E(X2),E(X),便得p2的无偏估计量p2=A2-A1n(n-1)=1n2(n-1)∑i=1n(Xi2-Xi).习题7设总体X服从均值为θ的指数分布，其概率密度为f(x;θ)={1θe-xθ,x>00,x≤0,其中参数θ>0未知.又设X1,X2,⋯,Xn是来自该总体的样本，试证：X¯和n(min(X1,X2,⋯,Xn))都是θ的无偏估计量，并比较哪个更有效.解答：因为E(X)=θ,而E(X¯)=E(X),所以E(X¯)=θ,X¯是θ的无偏估计量.设Z=min(X1,X2,⋯,Xn),因为FX(x)={0,x≤01-e-xθ,x>0,FZ(x)=1-[1-FX(x)]n={1-e-nxθ,x>00,x≤0,所以fZ(x)={nθe-nxθ,x>00,x≤0,这是参数为nθ的指数分布，故知E(Z)=θn,而E(nZ)=E[n(min(X1,X2,⋯,Xn)]=θ,所以nZ也是θ的无偏估计.现比较它们的方差大小.由于D(X)=θ2,故D(X¯)=θ2n.又由于D(Z)=(θn)2,故有D(nZ)=n2D(Z)=n2⋅θ2n2=θ2.当n>1时，D(nZ)>D(X¯),故X¯较nZ有效.习题8设总体X服从正态分布N(m,1),X1,X2是总体X的子样，试验证m1=23X1+13X2,m2=14X1+34X2,m3=12X1+12X2,都是m的无偏估计量；并问哪一个估计量的方差最小?解答：因为X服从N(m,1),有E(Xi)=m,D(Xi)=1(i=1,2),得E(m1)=E(23X1+13X2)=23E(X1)+13E(X2)=23m+13m=m,D(m1)=D(23X1+13X2)=49D(X1)+19D(X2)=49+19=59,同理可得：E(m2)=m,D(m2)=58,E(m3)=m,D(m3)=12.所以，m1,m2,m3都是m的无偏估计量，并且在m1,m2,m3中，以m3的方差为最小.习题9设有k台仪器.已知用第i台仪器测量时，测定值总体的标准差为σi(i=1,2,⋯,k),用这些仪器独立地对某一物理量θ各观察一次，分别得到X1,X2,⋯,Xk.设仪器都没有系统误差，即E(Xi)=θ(i=1,2,⋯,k),问a1,a2,⋯,ak应取何值，方能使用θ=∑i=1kaiXi估计θ时，θ是无偏的，并且D(θ)最小？解答：因为E(Xi)=θ(i=1,2,⋯,k),故E(θ)=E(∑i=1kaiXi)=∑i=1kaiE(Xi)=θ∑i=1kai,欲使E(θ)=θ,则要∑i=1kai=1.因此，当∑i=1kai=1时，θ=∑i=1kaiXi为θ的无偏估计,D(θ)=∑i=1kai2σi2,要在∑i=1kai=1的条件下D(θ)最小，采用拉格朗日乘数法.令L(a1,a2,⋯,ak)=D(θ)+λ(1-∑i=1kai)=∑i=1kai2σi2+λ(1-∑i=1kai),{∂L∂ai=0,i=1,2,⋯,k∑i=1kai=1,即2aiσi2-λ=0,ai=λ2i2;又因∑i=1kai=1,所以λ∑i=1k12σi2=1,记∑i=1k1σi2=1σ02,所以λ=2σ02,于是ai=σ02σi2(i=1,2,⋯,k),故当ai=σ02σi2(i=1,2,⋯,k)时，θ=∑i=1kaiXi是θ的无偏估计，且方差最小.习题6.2点估计的常用方法习题1设X1,X2,⋯,Xn为总体的一个样本，x1,x2,⋯,xn为一相应的样本值，求下述各总体的密度函数或分布律中的未知参数的矩估计量和估计值及最大似然估计量．f(x)={θcθx-(θ+1),x>c0,其它,其中c>0为已知，θ>1,θ为未知参数.(2)f(x)={θxθ-1,0≤x≤10,其它,其中θ>0,θ为未知参数.(3)P{X=x}=(mx)px(1-p)m-x,其中x=0,1,2,⋯,m,0<p<1,p为未知参数.解答：(1)E(X)=∫c+∞x⋅θcθx-(θ+1)dx=θcθ∫c+∞x-θdx=θcθ-1，解出θ=E(X)E(X)-c，令X¯=E(X)，于是θ=X¯X¯-c为矩估计量，θ的矩估计值为θ=x¯x¯-c，其中x¯=1n∑i=1nxi．另外，似然函数为L(θ)=∏i=1nf(xi;θ)=θncnθ(∏i=1nxi)-(θ+1)，xi>c，对数似然函数为lnL(θ)=nlnθ+nθlnc-(θ+1)∑i=1nlnxi，对lnL(θ)求导，并令其为零，得dlnL(θ)dθ=nθ+nlnc-∑i=1nlnxi=0，解方程得θ=n∑i=1nlnxi-nlnc，故参数的最大似然估计量为θ=n∑i=1nlnXi-nlnc．(2)E(X)=∫01x⋅θxθ-1dx=θθ+1，以X¯作为E(X)的矩估计，则θ的矩估计由X¯=θθ+1解出，得θ=(X¯1-X¯)2，θ的矩估计值为θ=(x¯1-x¯)2，其中x¯=1n∑i=1nxi为样本均值的观测值．另外，似然函数为L(θ)=∏i=1nf(xi;θ)=θn/2(∏i=1nxi)θ-1，0≤xi≤1，对数似然函数为lnL(θ)=n2lnθ+(θ-1)∑i=1nlnxi，对lnL(θ)求导，并令其为零，得dlnL(θ)dθ=n2θ+12θ∑i=1nlnxi=0，解方程得θ=(-n∑i=1nlnxi)2，故参数的最大似然估计量为θ=(n∑i=1nlnXi)2．(3)X∼b(m,p)，E(X)=mp，以X¯作为E(X)的矩估计，即X¯=E(X)，则参数p的矩估计为p=1mX¯=1m⋅1n∑i=1nXi，p的矩估计值为p=1mx¯=1m⋅1n∑i=1nxi．另外，似然函数为L(θ)=∏i=1nf(xi;θ)=(∏i=1nCmxi)p∑i=1nxi(1-p)∑i=1n(m-xi)，xi=0,1,⋯,m，对数似然函数为lnL(θ)=∑i=1nlnCmxi+(∑i=1nxi)lnp+(∑i=1n(m-xi))ln(1-p)，对lnL(θ)求导，并令其为零，得dlnL(θ)dθ=1p∑i=1nxi-11-p∑i=1n(m-xi)=0，解方程得p=1mn∑i=1nxi，故参数的最大似然估计量为p=1mn∑i=1nXi=1mX¯．习题2设总体X服从均匀分布U[0,θ],它的密度函数为f(x;θ)={1θ,0≤x≤θ0,其它,求未知参数θ的矩估计量；(2)当样本观察值为0.3,0.8,0.27,0.35,0.62,0.55时，求θ的矩估计值.解答：(1)因为E(X)=∫-∞+∞xf(x;θ)dx=1θ∫0θxdx=θ2,令E(X)=1n∑i=1nXi,即θ2=X¯,所以θ=2X¯.(2)由所给样本的观察值算得x¯=16∑i=16xi=16(0.3+0.8+0.27+0.35+0.62+0.55)=0.4817,所以θ=2x¯=0.9634.习题3设总体X以等概率1θ取值1,2,⋯,θ,求未知参数θ的矩估计量.解答：由E(X)=1×1θ+2×1θ+⋯+θ×1θ=1+θ2=1n∑i=1nXi=X¯,得θ的矩估计为θ=2X¯-1.习题4一批产品中含有废品，从中随机地抽取60件，发现废品4件，试用矩估计法估计这批产品的废品率.解答：设p为抽得废品的概率,1-p为抽得正品的概率(放回抽取).为了估计p,引入随机变量Xi={1,第i次抽取到的是废品0,第i次抽取到的是正品,于是P{Xi=1}=p,P{Xi=0}=1-p=q,其中i=1,2,⋯,60,且E(Xi)=p,故对于样本X1,X2,⋯,X60的一个观测值x1,x2,⋯,x60,由矩估计法得p的估计值为p=160∑i=160xi=460=115,即这批产品的废品率为115.习题5设总体X具有分布律X123piθ22θ(1-θ)(1-θ)2其中θ(0<θ<1)为未知参数.已知取得了样本值x1=1,x2=2,x3=1,试求θ的矩估计值和最大似然估计值.解答：E(X)=1×θ2+2×2θ(1-θ)+3×(1-θ)2=3-2θ,x¯=1/3×(1+2+1)=4/3.因为E(X)=X¯,所以θ=(3-x¯)/2=5/6为矩估计值,L(θ)=∏i=13P{Xi=xi}=P{X1=1}P{X2=2}P{X3=1}=θ4⋅2θ⋅(1-θ)=2θ5(1-θ),lnL(θ)=ln2+5lnθ+ln(1-θ),对θ求导,并令导数为零dlnLdθ=5θ-11-θ=0,得θL=56.习题6(1)设X1,X2,⋯,Xn来自总体X的一个样本,且X∼π(λ),求P{X=0}的最大似然估计.(2)某铁路局证实一个扳道员五年内所引起的严重事故的次数服从泊松分布，求一个扳道员在五年内未引起严重事故的概率p的最大似然估计，使用下面122个观察值统计情况.下表中，r表示一扳道员某五年中引起严重事故的次数，s表示观察到的扳道员人数.r012345sr444221942解答：(1)已知，λ的最大似然估计为λL=X¯.因此⌢P{X=0}=e-λL=e-X¯.(2)设X为一个扳道员在五年内引起的严重事故的次数，X服从参数为λ的泊松分布，样本容量n=122.算得样本均值为x¯=1122×∑r=05r⋯r=1122×(0×44+1×42+2×21+3×9+4×4+5×2)≈1.123,因此P{X=0}=e-x¯=e-1.123≈0.3253.习题6.3置信区间习题1对参数的一种区间估计及一组观察值(x1,x2,⋯,xn)来说,下列结论中正确的是().(A)置信度越大,对参数取值范围估计越准确;(B)置信度越大,置信区间越长;(C)置信度越大,置信区间越短;(D)置信度大小与置信区间有长度无关.解答：应选(B).置信度越大，置信区间包含真值的概率就越大，置信区间的长度就越大，对未知参数的估计精度越低.反之，对参数的估计精度越高，置信区间的长度越小，它包含真值的概率就越低,置信度就越小.习题2设(θ1,θ2)是参数θ的置信度为1-α的区间估计，则以下结论正确的是().(A)参数θ落在区间(θ1,θ2)之内的概率为1-α;(B)参数θ落在区间(θ1,θ2)之外的概率为α;(C)区间(θ1,θ2)包含参数θ的概率为1-α;(D)对不同的样本观察值，区间(θ1,θ2)的长度相同.解答：应先(C).由于θ1,θ2都是统计量，即(θ1,θ2)是随机区间，而θ是一个客观存在的未知常数，故(A),(B)不正确.习题3设总体的期望μ和方差σ2均存在，如何求μ的置信度为1-α的置信区间？解答：先从总体中抽取一容量为n的样本X1,X2,⋯,Xn.根据中心极限定理，知U=X¯-μσ/n→N(0,1)(n→∞).(1)当σ2已知时，则近似得到μ的置信度为1-α的置信区间为(X¯-uα/2σn,X¯+uα/2σn).(2)当σ2未知时，用σ2的无偏估计S2代替σ2,这里仍有X¯-μS/n→N(0,1)(n→∞),于是得到μ的1-α的置信区间为(X¯-uα/2Sn,X¯+uα/2Sn),一般要求n≥30才能使用上述公式，称为大样本区间估计.习题4某总体的标准差σ=3cm,从中抽取40个个体，其样本平均数x¯=642cm,试给出总体期望值μ的95%的置信上、下限(即置信区间的上、下限).解答：因为n=40属于大样本情形，所以X¯近似服从N(μ,σ2n)的正态分布，于是μ的95%的置信区间近似为(X¯±σnuα/2),这里x¯=642,σ=3,n=40≈6.32,uα/2=1.96,从而(x¯±σnuα/2)=(642±340×1.96)≈(642±0.93),故μ的95%的置信上限为642.93,下限为641.07.习题5某商店为了了解居民对某种商品的需要，调查了100家住户，得出每户每月平均需求量为10kg,方差为9，如果这个商店供应10000户，试就居民对该种商品的平均需求量进行区间估计(α=0.01),并依此考虑最少要准备多少这种商品才能以0.99的概率满足需求？解答：因为n=100属于大样本问题，所以X¯近似服从N(μ,σ2/n),于是μ的99%的置信区间近似为(X¯±Snuα/2),而x¯=10,s=3,n=100,uα/2=2.58,所以(x¯±snuα/2)=(10±3100×2.58)=(10±0.774)=(9.226,10.774).由此可知最少要准备10.774×10000=107740(kg)这种商品，才能以0.99的概率满足需求.习题6观测了100棵“豫农一号”玉米穗位，经整理后得下表(组限不包括上限):分组编号12345组限70∼8080∼9090∼100100∼110110∼120组中值758595105115频数391316