2025届吉化第一高级中学高一数学第二学期期末预测试题含解析

2025届吉化第一高级中学高一数学第二学期期末预测试题注意事项1．考生要认真填写考场号和座位序号。2．试题所有答案必须填涂或书写在答题卡上，在试卷上作答无效。第一部分必须用2B铅笔作答；第二部分必须用黑色字迹的签字笔作答。3．考试结束后，考生须将试卷和答题卡放在桌面上，待监考员收回。一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每个小题给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的1．对一切实数，不等式恒成立.则的取值范围是（）A． B．C． D．2．的弧度数是（）A． B． C． D．3．已知为的三个内角的对边，，的面积为2，则的最小值为().A． B． C． D．4．设函数，若函数恰有两个零点，则实数的取值范围为（）A． B． C． D．5．已知是等差数列，且，，则（）A．-5 B．-11 C．-12 D．36．数列，…的一个通项公式是（）A．B．C．D．7．某兴趣小组合作制作了一个手工制品，并将其绘制成如图所示的三视图，其中侧视图中的圆的半径为3，则制作该手工制品表面积为（）A． B． C． D．8．在正方体中，直线与直线所成角是（）A． B． C． D．9．已知a=logA．a<b<c B．a<c<b C．c<a<b D．b<c<a10．如图，，是半径为2的圆周上的定点，为圆周上的动点且，，则图中阴影区域面积的最大值为（)A． B． C． D．二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分。11．已知在数列中，且，若，则数列的前项和为__________．12．如图，正方体ABCD﹣A1B1C1D1的棱长为1，M为B1C1中点，连接A1B，D1M，则异面直线A1B和D1M所成角的余弦值为________________________．13．函数的图像可由函数的图像至少向右平移________个单位长度得到．14．已知球为正四面体的外接球，，过点作球的截面，则截面面积的取值范围为____________________．15．若实数满足，，则__________．16．在中，已知M是AB边所在直线上一点，满足，则________.三、解答题：本大题共5小题，共70分。解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17．已知数列的首项，其前n项和为满足.（1）数列的通项公式；（2）设，求数列的前n项和表达式.18．已知向量，，.（1）求（2）若与垂直，求实数的值.19．已知函数的最小正周期为，且直线是其图象的一条对称轴．（1）求函数的解析式；（2）在中，角、、所对的边分别为、、，且，，若角满足，求的取值范围；（3）将函数的图象向右平移个单位，再将所得的图象上每一点的纵坐标不变，横坐标伸长为原来的倍后所得到的图象对应的函数记作，已知常数，，且函数在内恰有个零点，求常数与的值．20．已知，，函数.(1)求在区间上的最大值和最小值；(2)若函数在区间上是单调递增函数，求正数的取值范围.21．已知数列的前项和．（1）求数列通项公式；（2）令，求数列的前n项和.

参考答案一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每个小题给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的1、A【解析】

时，恒成立.时，原不等式等价于.由的最小值是2，可得，即.选A.2、B【解析】

由角度与弧度的关系转化．【详解】-150．故选：B.【点睛】本题考查角度与弧度的互化，解题关键是掌握关系式：．3、D【解析】

运用三角形面积公式和余弦定理，结合三角函数的辅助角公式和正弦型函数的值域最后可求出的最小值.【详解】因为，所以，即，令，可得，于是有，因此，即，所以的最小值为，故本题选D.【点睛】本题考查了余弦定理、三角形面积公式，考查了辅助角公式，考查了数学运算能力.4、A【解析】

首先注意到，是函数的一个零点.当时，将分离常数得到，构造函数，画出的图像，根据“函数与函数有一个交点”结合图像，求得的取值范围.【详解】解：由恰有两个零点，而当时，，即是函数的一个零点，故当时，必有一个零点，即函数与函数必有一个交点，利用单调性，作出函数图像如下所示，由图可知，要使函数与函数有一个交点，只需即可.故实数的取值范围是.故选：A.【点睛】本小题主要考查已知函数零点个数，求参数的取值范围，考查数形结合的数学思想方法，属于中档题.5、B【解析】

由是等差数列，求得，则可求【详解】∵是等差数列，设,∴故故选：B【点睛】本题考查等差数列的通项公式，考查计算能力，是基础题6、D【解析】试题分析：由题意得，可采用验证法，分别令，即可作出选择，只有满足题意，故选D．考点：归纳数列的通项公式．7、D【解析】

由三视图可知，得到该几何体是由两个圆锥组成的组合体，根据几何体的表面积公式，即可求解.【详解】由三视图可知，该几何体是由两个圆锥组成的组合体，其中圆锥的底面半径为3，高为4，所以几何体的表面为.选D.【点睛】本题考查了几何体的三视图及表面积的计算，在由三视图还原为空间几何体的实际形状时，要根据三视图的规则，空间几何体的可见轮廓线在三视图中为实线，不可见轮廓线在三视图中为虚线，求解以三视图为载体的空间几何体的表面积与体积的关键是由三视图确定直观图的形状以及直观图中线面的位置关系和数量关系，利用相应公式求解.8、B【解析】

直线与直线所成角为，为等边三角形，得到答案.【详解】如图所示：连接易知：直线与直线所成角为为等边三角形，夹角为故答案选B【点睛】本题考查了异面直线夹角，意在考查学生的空间想象能力.9、B【解析】

运用中间量0比较a , c【详解】a=log20.2<log21=0,【点睛】本题考查指数和对数大小的比较，渗透了直观想象和数学运算素养．采取中间变量法，利用转化与化归思想解题．10、D【解析】

由题意可得，要求阴影区域的面积的最大值，即为直线，运用扇形面积公式和三角形的面积公式，计算可得所求最大值．【详解】由题意可得，要求阴影区域的面积的最大值，即为直线，即有，到线段的距离为，，扇形的面积为，的面积为，，即有阴影区域的面积的最大值为．故选．【点睛】本题考查扇形面积公式和三角函数的恒等变换，考查化简运算能力，属于中档题．二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分。11、【解析】

根据递推关系式可证得数列为等差数列，利用等差数列通项公式求得，得到，进而求得；利用裂项相消法求得结果.【详解】由得：数列是首项为，公差为的等差数列，即：设前项和为本题正确结果：【点睛】本题考查根据递推关系式证明数列为等差数列、等差数列通项的求解、裂项相消法求数列的前项和；关键是能够通过通项公式的形式确定采用的求和方法，属于常考题型.12、.【解析】

连接、，取的中点，连接，可知，且是以为腰的等腰三角形，然后利用锐角三角函数可求出的值作为所求的答案．【详解】如下图所示：连接、，取的中点，连接，在正方体中，，则四边形为平行四边形，所以，则异面直线和所成的角为或其补角，易知，由勾股定理可得，，为的中点，则，在中，，因此，异面直线和所成角的余弦值为，故答案为．【点睛】本题考查异面直线所成角的余弦值的计算，求解异面直线所成的角一般利用平移直线法求解，遵循“一作、二证、三计算”，在计算时，一般利用锐角三角函数的定义或余弦定理求解，考查计算能力，属于中等题．13、【解析】试题分析：因为，所以函数的的图像可由函数的图像至少向右平移个单位长度得到．【考点】三角函数图像的平移变换、两角差的正弦公式【误区警示】在进行三角函数图像变换时，提倡“先平移，后伸缩”，但“先伸缩，后平移”也经常出现在题目中，所以也必须熟练掌握，无论是哪种变形，切记每一个变换总是对字母而言，即图像变换要看“变量”变化多少，而不是“角”变化多少．14、【解析】

在平面中，过圆内一点的弦长何时最长，何时最短，类比在空间中，过球内一点的球的大圆面积最大，与此大圆垂直的截面小圆面积最小.利用正四面体的性质及球的性质求正四面体外接球的半径、小圆半径，确定答案.【详解】因为正四面体棱长为AB=3，所以正四面体外接球半径R=.由球的性质，当过E及球心O时的截面为球的大圆，面积最大，最大面积为；当过E的截面与EO垂直时面积最小，取△BCD的中心，因为为正四面体，所以平面BCD,O在上，，所以,在三角形中，由,，,，由余弦定理在直角三角形中所以过E且与EO垂直的截面圆的半径r为，截面面积为.所以所求截面面积的范围是.【点睛】本题考查空间想象能力，逻辑推理能力，空间组合体的关系，正四面体、球的性质，考查计算能力，属于难题.15、【解析】

由反正弦函数的定义求解．【详解】∵，∴，，∴，∴．故答案为：．【点睛】本题考查反正弦函数，解题时注意反正弦函数的取值范围是，结合诱导公式求解．16、3【解析】

由M在AB边所在直线上，则，又，然后将，都化为，即可解出答案.【详解】因为M在直线AB上，所以可设，

可得，即，又，则由与不共线，所以，解得.故答案为：3【点睛】本题考查向量的减法和向量共线的利用，属于基础题.三、解答题：本大题共5小题，共70分。解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17、（1）；（2）【解析】

（1）根据等差数列性质,由可知为等差数列,结合首项与公差即可求得的表达式,由即可求得数列的通项公式;（2）代入数列的通项公式可得数列的通项公式.结合错位相减法,即可求得数列的前n项和.【详解】（1）由,可知是等差数列,其公差又,得,知首项为,得,即当时,有当,也满足此通项,故；（2）由（1）可知,所以可得由两式相减得整理得.【点睛】本题考查了等差数列通项公式的求法,的应用,错位相减法求数列的前n项和,属于中档题.18、(1)-44；(2)【解析】

（1）利用已知条件求出，然后由向量的数量积坐标表示即可求出．（2）利用向量的垂直数量积为0，列出方程，求解即可．【详解】（1）由题意得：，；（2）由与垂直得：，即，即，解得：.【点睛】本题主要考查向量的数量积的求法与应用．19、（1）；（2）；（3），.【解析】

（1）由函数的周期公式可求出的值，求出函数的对称轴方程，结合直线为一条对称轴结合的范围可得出的值，于此得出函数的解析式；（2）由得出，再由结合锐角三角函数得出，利用正弦定理以及内角和定理得出，由条件得出，于此可计算出的取值范围；（3）令，得，换元得出，得出方程，设该方程的两根为、，由韦达定理得出，分（ii）、；（ii），；（iii），三种情况讨论，计算出关于的方程在一个周期区间上的实根个数，结合已知条件得出与的值.【详解】（1）由三角函数的周期公式可得，，令，得，由于直线为函数的一条对称轴，所以，，得，由于，，则，因此，；（2），由三角形的内角和定理得，.，且，，.，由，得，由锐角三角函数的定义得，，由正弦定理得，，，，且，，，.，因此，的取值范围是；（3）将函数的图象向右平移个单位，得到函数，再将所得的图象上每一点的纵坐标不变，横坐标伸长为原来的倍后所得到的图象对应的函数为，，令，可得，令，得，，则关于的二次方程必有两不等实根、，则，则、异号，（i）当且时，则方程和在区间均有偶数个根，从而方程在也有偶数个根，不合乎题意；（ii）当，则，当时，只有一根，有两根，所以，关于的方程在上有三个根，由于，则方程在上有个根，由于方程在区间上只有一个根，在区间上无实解，方程在区间上无实数解，在区间上有两个根，因此，关于的方程在区间上有个根，在区间上有个根，不合乎题意；（iii）当时，则，当时，只有一根，有两根，所以，关于的方程在上有三个根，由于，则方程在上有个根，由于方程在区间上无实数根，在区间上只有一个实数根，方程在区间上有两个实数解，在区间上无实数解，因此，关于的方程在区间上有个根，在区间上有个根，此时，，得.综上所述：，.【点睛】本题考查利用三角函数的性质求三角函数的解析式，以及三角形中的取值范围问题，以及三角函数零点个数问题，同时也涉及了复合函数方程解的个数问题，考查分类讨论思想的应用，综合性较强，属于难题.20、（1）（2）【解析】

（1）利用向量的数量积化简即可得，再根据，求出的范围结合图像即可解决．（2）根据（1）求出，再根据正弦函数的单调性求出的单调区间即可．【详解】解：（1）