高考数学复习第六章　第四节　第1课时　余弦定理、正弦定理（导学案）

第四节解三角形第1课时余弦定理、正弦定理课程标准借助向量的运算,探索三角形边长与角度的关系,掌握余弦定理、正弦定理.1.余弦定理条件在△ABC中,三个角A,B,C所对的边分别是a,b,c内容a2=b2+c2-2bccosA;

b2=c2+a2-2cacosB;

c2=a2+b2-2abcosC

变形cosA=

b2+cosB=

c2+cosC=

a22.正弦定理条件在△ABC中,三个角A,B,C所对的边分别是a,b,c,R为外接圆半径内容asinA=

bsinB=

变形a=2RsinA,b=2RsinB,c=2RsinC;sinA=a2R,sinB=b2R,sinC点睛已知两边及一边的对角,利用正弦定理解三角形时,注意解的个数讨论,可能有一解、两解或无解.3.三角形常用面积公式(1)S=12a·ha(ha表示a边上的高)(2)S=12absinC=12acsinB=12bcsinA(3)S=12r(a+b+c)(r为内切圆半径)1.在△ABC中,两边之和大于第三边,两边之差小于第三边,A>B⇔a>b⇔sinA>sinB⇔cosA<cosB.2.(1)a∶b∶c=sinA∶sinB∶sinC;(2)a+b+教材改编结论应用易错易混1,2,63,541.(教材变式)已知△ABC中,A=π6,B=π4,a=1,则b等于 (A.2 B.1 C.3 D.2解析：选D.由正弦定理asinA=bsinB可得b=2.(教材变式)在△ABC中,a=2,b=3,C=60°,则c= ()A.2 B.6 C.7 D.19解析：选C.易知c=4+9-2×2×3×13.(结论1)已知△ABC的内角A,B,C的对边分别是a,b,c,则以下结论错误的是 ()A.bcosC+ccosB=aB.若a2+b2<c2,则△ABC为钝角三角形C.若sin2A=sin2B,则A=BD.若A>B,则sinA>sinB解析：选C.对于A选项,bcosC+ccosB=a⇔sinBcosC+sinCcosB=sinA⇔sin(B+C)=sinA,故正确;对于B选项,c2=a2+b2-2abcosC,当角C为钝角时,则a2+b2<c2,故正确;对于C选项,若sin2A=sin2B,则A=B或A+B=π2对于D选项,若A>B,则a>b,所以2RsinA>2RsinB,则sinA>sinB,故正确.4.(应用正弦定理漏解)在△ABC中,角A,B,C所对的各边分别为a,b,c,若a=1,b=2,A=30°,则B=.

解析：根据正弦定理asinA=sinB=bsinAa=2由于b=2>1=a,所以B=45°或B=135°.答案:45°或135°5.(结论2)在△ABC中,a,b,c分别是内角A,B,C的对边.已知A=π3,a=3,则b+c解析：根据正弦定理,得b+csinB+sinC答案:26.(教材提升)在△ABC中,角A,B,C的对边分别为a,b,c,且a=4,b=5,c=6,则cosA=,△ABC的面积为.

解析：依题意得cosA=b2+c所以sinA=1-cos所以△ABC的面积为12bcsinA=15答案:34【题型一】利用正、余弦定理解三角形[典例1](1)(2022·西安模拟)在△ABC中,a,b,c分别为内角A,B,C的对边,若A=π3,cosB=277,b=2,则a= A.3 B.5 C.3 D.7解析：选D.因为A=π3,cosB=277,b=2,所以sinB=217,由正弦定理得a=bsin(2)(多选题)下列对三角形解的个数的判断中正确的是 ()A.a=30,b=25,A=150°,有一解B.a=7,b=14,A=30°,有两解C.a=6,b=9,A=45°,有两解D.a=3,b=6,A=60°,无解解析：选AD.A:由正弦定理sinB=bsinAa=512,又0<B<B:由正弦定理sinB=bsinAa=1,又0<B<5π6,显然C:由正弦定理sinB=bsinAa=3D:由正弦定理sinB=bsinAa=62(3)(2023·成都模拟)已知△ABC的内角A,B,C所对的边分别为a,b,c,3sinAsinC=2sin2B,2sin2A+2sin2C=5sinAsinC.①求B;②若A>C,b=3,求a,A.解析：①由题意,得3ac=2b2,2a2+2c2=5ac.则2ac=43b2,a2+c2=52ac=53所以cosB=a2+c2-b22ac②将b=3代入①中式子,得ac=2,由2a2+2c2=5ac得,(2a-c)(a-2c)=0.当2a=c时,解得a=1,c=2;当a=2c时,解得c=1,a=2.又A>C,所以a>c,所以a=2,c=1.所以cosA=b2+c2-综上,a=2,A=π2【方法提炼】——自主完善,老师指导应用正弦、余弦定理的解题技巧(1)求边:利用正弦定理变形公式a=bsinAsinB等或余弦定理a2=b2+c2-2bc(2)求角:利用正弦定理变形公式sinA=asinBb等或余弦定理变形公式cosA=(3)利用式子的特点转化:如出现a2+b2-c2=λab的形式用余弦定理,等式两边是关于边或角的正弦的齐次式用正弦定理.1.(2021·全国甲卷)在△ABC中,已知B=120°,AC=19,AB=2,则BC= ()A.1 B.2 C.5 D.3解析：选D.设AB=c,AC=b,BC=a,结合余弦定理:b2=a2+c2-2accosB可得:19=a2+4-2×2×a×cos120°,即:a2+2a-15=0,解得a=3(a=-5舍去),故BC=3.2.已知△ABC的内角A,B,C所对的边分别为a,b,c,若bsin2A=asinB,且c=2b,则ab等于 (A.2 B.3 C.2 D.3解析：选D.由正弦定理及bsin2A=asinB,得2sinBsinAcosA=sinAsinB,又sinA≠0,sinB≠0,则cosA=12又c=2b,所以由余弦定理得a2=b2+c2-2bccosA=b2+4b2-4b2×12=3b2,得ab=3.(2022·衡阳模拟)如图,在△ABC中,A=π3,AC=8,点D在AB边上,且BD=2,cos∠BDC=1(1)求cos∠ACD;(2)求BC的长.解析：(1)由题图知∠ACD=∠BDC-∠A,因为cos∠BDC=17,所以sin∠BDC=437,所以cos∠ACD=cos(∠BDC-∠A)=cos∠BDC·cosπ3+sin∠BDC·sinπ3=17×12(2)由(1)可得sin∠ACD=33在△ACD中,利用正弦定理可得:ADsin∠ACD=ACsin∠CDA⇒AD=ACsin∠ACDsin∠CDA=8×3314437=3,在△ABC中,【加练备选】1.在△ABC中,若sinA∶sinB∶sinC=1∶3∶1,则B= ()A.30°B.60°C.120°D.150°解析：选C.设△ABC的角A,B,C所对的边分别为a,b,c.因为sinA∶sinB∶sinC=1∶3∶1,所以a∶b∶c=1∶3∶1.设a=x,则b=3x,c=x,由余弦定理可得cosB=a2+c2-b222.在△ABC中,角A,B,C的对边分别为a,b,c,若b=8,c=3,A=60°,则此三角形外接圆的半径R= ()A.823 B.1433 C.73解析：选D.因为b=8,c=3,A=60°,所以a2=b2+c2-2bccosA=64+9-2×8×3×12=49,所以a=7,所以此三角形外接圆的直径2R=asinA=732=143.在△ABC中,内角A,B,C所对的边分别为a,b,c,已知a-c=66b,sinB=6sinC.求cosA的值解析：在△ABC中,由bsinB=csin6sinC,可得b=6c,又由a-c=66b,得a=2c所以cosA=b2+c2-【题型二】利用正、余弦定理判断三角形形状[典例2]设△ABC的内角A,B,C所对的边分别为a,b,c,若bcosC+ccosB=asinA,则△ABC的形状为 ()A.直角三角形 B.锐角三角形C.钝角三角形 D.不确定解析：选A.方法一(化角为边):因为bcosC+ccosB=b·a2+b2-c22ab+c·a2+c2-b22ac=2a方法二(化边为角):因为bcosC+ccosB=asinA,所以sinBcosC+sinCcosB=sin2A,即sin(B+C)=sin2A,所以sinA=sin2A,故sinA=1,即A=π2,因此△ABC是直角三角形方法三(射影定理):bcosC+ccosB=a=asinA,所以sinA=1,故A=π2因此△ABC是直角三角形.[变式1]本例条件“bcosC+ccosB=asinA”改为“cosAcosB=ba=2”,试判断解析：因为cosAcosB=ba,由正弦定理得cosAcosB=sinBsinA,所以sin2A=sin2B.由ba=2,可知a≠b,所以A≠B.又A,B∈(0,π),所以2A=180°-2B[变式2]本例条件“bcosC+ccosB=asinA”改为“sinAsinB=ac,(b+c+a)(b+c-a)=3bc”,试判断解析：因为sinAsinB=ac,所以ab=又(b+c+a)(b+c-a)=3bc,所以b2+c2-a2=bc,所以cosA=b2+c2-因为A∈(0,π),所以A=π3所以△ABC是等边三角形.判定三角形形状的两种常用途径1.在△ABC中,a,b,c分别为内角A,B,C的对边,且2asinA=(2b+c)sinB+(2c+b)sinC.(1)求A的大小;(2)若sinB+sinC=1,试判断△ABC的形状.解析：(1)由已知,根据正弦定理得2a2=(2b+c)b+(2c+b)c,即a2=b2+c2+bc,由余弦定理得a2=b2+c2-2bccosA,故cosA=-12,又0<A<π,所以A=2π(2)由(1)得sin2A=sin2B+sin2C+sinBsinC=34又sinB+sinC=1,联立两式得sinB=sinC=12因为A为钝角,所以B,C为锐角,故B=C=π6所以△ABC是以A为顶角的等腰三角形.2.设△ABC的内角A,B,C所对的边分别为a,b,c,若acosA=bcosB=ccos解析：因为acosA=bcos根据正弦定理得sinAcosA=sinBcosB=sinC结合正切函数的单调性可知A=B=C,所以△ABC是等边三角形.【加练备选】在△ABC中,角A,B,C所对的边分别为a,b,c,若c<bcosA,则△ABC为 ()A.钝角三角形 B.直角三角形C.锐角三角形 D.等边三角形解析：选A.依题意得sinC<sinBcosA,所以sin(A+B)<sinBcosA,即cosBsinA+sinBcosA-sinBcosA<0,所以cosBsinA<0.又sinA>0,于是有cosB<0,B为钝角,△ABC是钝角三角形.【题型三】正、余弦定理的综合应用角度1与三角形面积有关的问题[典例3](2023·襄阳模拟)如图,在△ABC中,内角A,B,C的对边分别为a,b,c.已知b=3,c=6,sin2C=sinB,且AD为BC边上的中线,AE为∠BAC的平分线.(1)求cosC及线段BC的长;(2)求△ADE的面积.解析：(1)根据题意,sin2C=sinB⇒2sinCcosC=sinB,由正弦定理知:2ccosC=b,又b=3,c=6,所以cosC=b2c=又由cosC=a2+b解得a=6,即BC=6.(2)根据题意,因为AD为BC边上的中线,所以CD=12BC=3,因为AE平分∠BAC所以S△ABES△ACE故ABAC=BE可得CE=13BC=2,cosC=14,则sinC=所以S△ADE=S△ACD-S△ACE=12×3×3×154-12×3×2×15角度2最值或范围问题[典例4](2022·西安模拟)在锐角△ABC中,角A,B,C所对的边分别是a,b,c,且bsinB-asinA=2bsinA+π6-csinC.(1)求角A的大小;(2)求sinC·cosB的取值范围.解析：(1)bsinB-asinA=2bsinA+π6-csinC=2bsinAcosπ6+2bcosAsinπ6-csinC,由正弦定理得b2-a2=2bcsinAcosπ6+2bccosAsinπ6-c所以3bcsinA+bccosA=b2+c2-a2=2bccosA,3sinA=cosA,cosA≠0,所以tanA=33又A∈(0,π),所以A=π6(2)△ABC为锐角三角形,所以A+B=π6+B>π2,B>π3,即π3<sinCcosB=sin5π6-BcosB=sin5π6cosB-cos5π6sinBcosB=12cos2B+32sinBcosB=1+cos2B4+34sin2B=1232sin2B+12cos2B+14=12sin2B+π6+14则5π6<2B+π6<7π6,-12<sin2B+π6所以0<sinCcosB<12即sinCcosB的取值范围是0,12.1.求解三角形面积问题的方法技巧(1)若三角形中已知一个角(角的大小或该角的正、余弦值),结合题意求解这个角的两边或该角的两边之积,代入公式求面积.(2)若已知三角形的三边,可先求其中一个角的余弦值,再求其正弦值,代入公式求面积.总之,结合图形恰当选择面积公式是解题的关键.2.解三角形中的最值或范围问题的两种解法(1)将问题表示为边的形式,利用基本不等式求得最大值或最小值;(2)将问题用三角形某一个角的三角函数表示,利用三角函数的有界性,单调性再结合角的范围确定最值或范围.1.(2022·全国甲卷)已知△ABC中,点D在边BC上,∠ADB=120°,AD=2,CD=2BD.当ACAB取得最小值时,BD=解析：设CD=2BD=2m>0,则在△ABD中,AB2=BD2+AD2-2BD·ADcos∠ADB=m2+4+2m,在△ACD中,AC2=CD2+AD2-2CD·ADcos∠ADC=4m2+4-4m,所以AC2AB=4-12m+1=4-23,当且仅当m+1=3m+1即m=3-1时,等号成立,所以当ACAB取最小值时,BD=答案:3-12.在△ABC中,内角A,B,C所对的边分别为a,b,c,且-3cacos(1)求A;(2)若D为BC上一点,且BC=3BD=3AB,AD=3,求△ABC的面积.解析：(1)在△ABC中,因为-3cacosB所以由正弦定理得:-3sinCsinAcosB=sinsin(A+因为sinC≠0,cosB≠0,所以-3sinA=1cosA因为A∈(0,π),所以A=2π3(2)在△ABC中,因为BC=3BD=3AB,A=2π3,所以a=3c,由余弦定理得:a2=b2+c2-2bccosA,即b2+bc-2c2=0,解得b=c(b=-2c因为=+=+13=+13(-)=23+13,所以=23+132.即32=49c2+2×29bccos2π3+19b2,因为b=c,所以32=13c2,解得:c2所以△ABC的面积S△ABC=12bcsinA=12×27×32【加练备选】1.在①asin2C=4csinCcos2A2;②a2-c2=bc这两个条件中任取一个,补充在下面问题中,并解答补充完整的题目在△ABC中,角A,B,C所对的边分别为a,b,c,S为△ABC的面积,已知.

(1)求证:A=2C;(2)若2a=3c,且b=5,求S的值.解析：(1)若选择①,由asin2C=4csinCcos2A2得a·2sinCcosC=4c·sinC·1+cosA因为sinC≠0,所以a·cosC=c·(1+cosA),所以sinAcosC=sinC+sinCcosA,得sin(A-C)=sinC,因为0<A<π,0<C<π,所以-π<A-C<π,得A-C=C或A-C+C=π,即A=2C或A=π(舍去);若选择②,由a2-c2=bc及a2=b2+c2-2bccosA,得bc=b2-2bccosA,得c=b-2ccosA,由正弦定理