初三数学思想方法与新题型解析 人教版

初三数学思想方法与新题型解析

本周教学内容：数学思想方法与新题型解析

二.重点、难点：

数学思想反映着数学概念、原理及规律的联系和本质，是形成数学能力、数学意识的桥梁,

是灵活运用数学知识、技能、方法的关键。在解综合题时，尤其需要用数学思想来统帅，分析、

探求解题的思路，优化解题的过程，验证所得的结论。

在初中数学中常用的数学思想有方程思想、数形结合思想、转化思想和分类讨论思想。

(-)方程思想

在初中数学中，我们学习了许多类型的方程和方程组的解法。例如，一元一次方程、一元

二次方程，可化为一元一次方程、一元二次方程的分式方程的解法，二元一次方程组、三元一

次方程组的解法，以及二元二次方程组的解法等，所以我们如果能把实际问题或数学问题转化

成解上述方程或方程组，问题就容易解决了。

所谓方程思想，就是从分析问题的数量关系入手，通过设定未知数，把问题中的已知量与

未知量的数量关系，转化为方程或方程组等数学模型，然后利用方程的理论或方法，使问题得

到解决。用方程思想分析、处理问题，思路清晰，灵活、简便。

1.方程思想的最基本观点一一几个未知数，列几个独立的方程

我们知道在一般情况下，几个未知数在几个独立的方程的制约下有确定的解。在涉及数量

关系的问题中，用这一基本思想来分析、处理，能较为容易地找到解题途径。

例1.已知：X1、X2是关于X的方程x2+2x+n?=0的两个实数根，且X；—X：=2,

求m的值。

分析：本题中涉及三个未知数x2>m,需列出三个方程，题目中已给出了一个关于

X：X2的方程x：-x；=2,那么只需再找出两个关于X］、x2和m的方程即可。

A=4-4m2>0①

x।+x2———2(2)

解法1依题意，得｛'

X|X2=n?③

x：-x：=2④

④十②，得X1—X2=-1⑤

②+⑤，得X1=--

3I

把代入②，得X2=_=

22

/.m2=x,x=—3

'294

•*6

.•m=i—

2

又当m=±——时，△=4-4m：!>0

2

.•.01=±四为所求

2

说明：一般地，有几个未知数，则需列几个方程。

例2.如图，在直角三角形ABC中，NC=90P,AD是AABC的角平分线,DE〃CA,已知CD=12,

BD=15,求AE、BE的长。

分析：题目要求AE、BE这两个未知数的值，由于DE〃CA,并且DC=12,BD=15,容易得到

ppRD15

——=——=—，得到关于BE、EA的一个方程。而题目中有两个未知数，还需要再建立一个

EADC12

关于BE、EA的方程。

由条件易知，AABC和AEBD都是直角三角形，由AD是角平分线和DE//CA可以证明AE=ED,

这样就把AE、EB集中在RtAEDB中，用勾股定理可再列一个方程。

解：:AD是AABC的角平分线

ZCAD=ZDAB

DE//CA

ZADE=ZCAD

ZADE=ZDAE

DE=AE

设AE为x,BE为y,那么DE=x

DE//CA

.AECD

,BE-BD

•••ZC=90°

ZEDB=90°

BD2+DE2=BE2

即225+x?=y2(2)

解由(1)、(2)组成的方程组，得

IXj=20x2=-20

[%=25（舍去）

y2=-25

AE=20,BE=25

2.方程思想解题的核心一一构造方程，沟通已知与未知的联系

用方程思想解题的核心是揭示题目中隐含的等量关系，设未知数、构造方程，沟通已知与

未知的联系，从而使问题得到解决。

例3.已知：如图,DB是半圆0的直径,A为BD延长线上一点,AC与半圆0相切于点E,CB，AB,

若AD=2遥，AE：EC=2：1,求。0半径。

分析：题目的条件给我们提供了许多等量关系。已知CB垂直直径DB,可知CB是。0的切

线，于是有CE=CB；由切割线定理得AE?=AD•AB；在RtAABC中，由勾股定理得

AC2=AB2+BC\

题目又给出了两条线段的比AE：EC=2：1,则可设未知数，寻找等量关系，构造方程。

若设CE=CB=x,则根据上面的等量关系易得AE=2x,AC=3x,AB=2，^x。以

AE2=AD-AB为等量关系构造方程：

(2x)2=2庭.2缶

解得X=2Q

.♦.AB=4跖DB=26

。。半径为遥

解略

问：题目要求。0半径，能否直接设所求量为未知数呢？这时，应以哪个等量关系来构造

易解的方程，从而求出半径的长呢？

进一步分析可以看到，由CE=CB,AE：EC=2：1,可知CB：AC=1：3,即

sinA=—。连结0E(如图)，则OE_LAC。

3

设OE=OD=m,则AO=2遥+m

OF1m2

在RtAAEO中,sinA=—=-,把它作为等量关系构造方程:

AO325/6+m3

解得m=遥，从而求出半径长为几。

说明：从本例的两种不同解法可看到，列方程的关键是寻求等量关系。

在几何计算题中，常利用几何中的定理、公式，如勾股定理、切割线定理、相交弦定理、

三角函数关系式等作为等量关系来构造方程，或利用图形中某些位置关系所隐含的等量关系（线

段和差、面积和差、相似三角形对应边成比例）等构造方程。

下面我们把此例的已知条件稍加变化，分析如何寻找等量关系构造方程求解。

例4.如图，DB是半圆0的直径，A为BD延长线上一点，AC与半圆0相切于点E,CB1AB。

若AE：EC=2：hDE+BE=4+272,求AABC的面积。

分析：要求AABC的面积，只要求出AB、BC的长即可。题目中给出了线段比，可利用比

值设未知数，把其它线段用此未知数表示出来，寻找等量关系，构造方程。此题解法很多，仅

举其中一种解法。

简解：可证CB为半圆。的切线，CE=CB

设CE=CB=x,则AE=2x

由勾股定理得AB=2血'x,由切割线定理得AD=0x

/.DB=V2x

2

过E作EFLAB于F,可得EF=-x

3

nB

在RtADEB中，DE•BE=EF-BD=^—x2

3

BD2=DE2+BE2=(DE+BE)2-2DE-BE

(V2x)2=(4+2V2)2-2•半x?

解得x=2V3

AB=476,BC=273,SAABC=12V2

说明：此例是利用勾股定理作为等量关系构造方程的。

由以上儿例可以看出，设未知数一般是所求的量是什么，就设什么为未知数。当所求的量

不易直接求出时，要根据题目的特点，选择便于把条件、结论结合起来的未知量用字母表示为

未知数，这样解题比较方便。

例5.已知：在AABC中，AD为NBAC的平分线，以C为圆心，CD为半径的半圆交BC的延

长线于点E,交AD于点F,交AE于点M,且NB=NCAE,FE：FD=4：3。

(1)求证：AF=DF；

(2)求NAED的余弦值;

(3)如果BD=10,求AABC的面积。

分析：(1)略；(2)要求NAED的余弦值，首先要使NAED为一个直角三角形的内角，

所以可连DM,构造RtADME,也可过点A作ANLBE于点N,构造RtAANE。无论利用哪个

直角三角形，都需知该直角三角形中两条边的长。题目给出了线段比，可利用比例设未知数，

再把其它线段用此未知数表示出来。这时就需利用几何中的定理或图形的性质为等量关系，构

造方程。本题的解法很多，仅举其中四种解法。(3)利用BD=10,可求出所设未知数的值，易

求出AABC的面积。

(1)证明：:AD平分NBAC

ZBAD=ZDAC

•••ZB=ZCAE

ZBAD+NB=ZDAC+ZCAE

ZADE=ZBAD+ZB

ZADE=ZDAE

EA=ED

•••DE是半圆C的直径

ZDFE=90°

AF=DE

(2)解法一：连结DM(如图2)

•••DE是半圆C的直径

.-.ZDME=9()P

vFE：FD=4：3

可设FE=4x,贝ljFD=3x

由勾股定理，得DE=5x

；.AE=DE=5X,AF=FD=3x

由切割线定理的推论，得AF•AD=AM•AE

3x(3x+3x)=AM,5x

AM=—x

5

1Q7

ME=AE-AM=5x--x=-x

55

在RtADME中

7

ME

cosZAED11=2_

DE5x25

解法二：同解法一得AE=DE=5x,AF=DF=3x

在RtAAMD和RtAEMD中（如图2）

由勾股定理，WAD2-AM2=DE2-ME2

/.(3x+3x)2-AM2=(5x)2-ME2(1)

又AM+ME=AE=5x(2)

7

解⑴(2)联立的方程组，得ME=《x

7

MF7X7

在RtADME中，cosZAED=——="=一

DE5x25

解法三：如图3,过A点作AN1BE于N

在RtADFE中

vFE：FD=4：3

可设FE=4x,则FD=3x

由勾股定理，得DE=5x

/.AE=DE=5x,AF=FD=3x

SAADE

■r△AD匕=-2AD-EF=-2DE-AN

...AD•EF=DE•AN

，(3x+3x)•4x=5x•AN

AN=—x

5

7

由勾股定理，得EN=《x

7

EN_5X__7

cosZAED

AE25

图3

解法四：同解法三，得AE=DE=5x,AF=DF=3x

•••ZADN=ZEDF

RtAADN~RtAEDF

DNAD

-DF-ED

,_D_N___6_x

3x5x

DN=—x

5

1Q-7

EN=DE—DN=5x---x=-x

55

,EN7

cosNAED=-----

AE25

(3)解法一：如图1

•.•NCAE=NB,NAEC=NBEA

ACAE~AABE

5

AECE2X1

,BE-AE2

..BE=2AE=2DE

3

BD=DE,BC=-DE

2

5x=10,x=2

331

2

■1•SAABC=-SAADE=-X-AD-EF=18x=72

解法二：如图3,在ACAE和AABE中

vZCAE=ZB,ZAEC=ZBEA

ACAE~AABE

AECE

,BE-AE

AE2=BE•CE

(5x)2=(10+5x)•-x

解得x=2

.•・ANTXT

55

BC=BD+DC=10+』x2=15

2

/.SAABr=-BC,AN」xl5x史=72

AABC225

说明：此例是用方程思想解几何问题的典型题目。第（2）问中解法一是利用切割线定理为

等量关系构造方程；解法二是利用勾股定理为等量关系构造方程组；解法三是利用同一三角形

面积为等量关系构造方程；解法四是利用相似三角形对应边成比例构造方程。可见，方程思想

的运用是解本题的关键。

例6.如图，AB为半圆0的直径，C为0B上一点，且0C：CB=1：3,过C点作CD1AB交半

圆于D点，过D点作半圆0的切线交AB延长线于E点，若BE=12

（1）求0B的长;

（2）在弧BD上任取一点P（P与B、D不重合），连结EP并延长与弧AD交于点F,设PC=x,

EF=y,求y与x之间的函数关系式，并指出自变量x的取值范围。

分析：第（1）问是求线段的长，由于题目中给出了两条线段长度的比，所以可以设未知数,

利用图形的几何性质构造方程来求解。第（2）问涉及研究线段与线段函数关系的问题，线段作

为变量，解题的关键是用几何定理揭示它们之间的等量关系，列出方程后，再化为函数解析式。

实质上还是构造方程，利用方程思想解题。

解：（1）连结0D,设0C=a,则BC=3a,0D=0B=4a

•••DE为半圆O的切线

OD1DE

又：DC1AB

RtAOCD~RtAODE

可得OD?=OC•OE

即(4a)2=a•(4a+12)

解得a1=1,a20(舍去)

OB=4a=4

(2)连结OF

RtADCE~RtAODE

,即DE?=OE•CE

OEDE

由切割线定理可得DE?=PE•EF

ppOP

..PE•EF=OE•CE,即一=——

CEFE

又NCEP=ZFEO

ACEP~AFEO

PCEC刖x15

OFEF4y

60

；•y=一

x

当P取B点时，PC最短，此时PC=3

当P取D点时，PC最长，此时PC=V1^

.•.x的取值范围是3<x

说明：此例是利用相似三角形对应边成比例的性质为等量关系，列出方程后，再化为函数

解析式的。特别要注意用图形的几何性质来确定自变量的取值范围。

方程思想也可解决某些证明题。我们来看下面的例题。

例7.如图，。。卜交于A、B两点，DT切。于T,交。于D、M,且M为DT的中点。

BA的延长线交DT于C。

求证：CT=2CMo

r

B

证明：设CM=a,CT=x

•.•CT是。。2的切线，CAB是（DO2的割线

CT2=CA•CB

vCAB.CMD是。01的割线

CM•CD=CA•CB

CT2=CM•CD

•••M是DT的中点

CD=CM+DM=CM+CM+CT=2CM+CT

CT2=CM（2CM+CT）

即x?=a（2a+x）

得x?-ax-2a2=0

x=2a,x=-a（不合题意，舍去）

CT=2CM

可以看到，方程思想是初中数学中的一个重要的数学思想，在解题中有广泛的应用。利用

方程思想解题，要善于从题目中挖掘等量关系，能够根据题目的特点选择恰当的未知数，注意

保证方程的个数与未知数的个数相同。

（二）数形结合思想

数学是研究现实世界空间形式和数量关系的科学。“数”与“形”是数学中的两个最基本

的概念，每一个几何图形中都蕴含着一定的数量关系；而数量关系又常常可以通过几何图形做

出直观的反映和描述，所以数形结合也就成为研究数学问题的重要思想方法。

数形结合的思想，就是把问题中的数量关系和空间形式结合起来加以考察的思想。在解题

方法上，“数”与“形”相互转化，从而使问题化难为易、化繁为简，达到解决问题的目的。

1.以形助数一一通过几何图形，使数量关系直观化、形象化，从而寻找解题的途径

例1.在正方形ABCD中，A、B、C的坐标分别是（1,2）、（-2,1）、（-1,-2）,求点D

的坐标。

分析：依题意画图，可看到点A、点C关于原点0成中心对称，所以。应是正方形ABCD的

中心。根据正方形性质可知，点D应与点B关于原点0对称，已知点B坐标为（-2,1）,利用

关于坐标原点对称的两点坐标之间关系，可确定点D坐标（2,-1）。

解略•

说明：平面直角坐标系建立了平面上的点与有序实数对之间的一一对应关系，为数形结合

创造了条件。本题就是利用直角坐标系，把“数”转化为“形”，以形助数，由两点之间的特

殊位置关系得到两点之间的数量关系。

例2.选择题：若NA为锐角，则sinA+cosA的值()

A.大于1B.等于1C.小于1D.不能确定

分析：可构造直角三角形，根据锐角三角函数的定义及三角形中边之间的关系进行判断。

构造RtAABC,NC=90。(如图)，则有

,/a+b>c

sinA+cosA>1

应选A

说明：本题是把数量关系通过构造的直角三角形使之明显化，从而得到解题途径。

22

例3.二次函数丫［=ax-2bx+c^0y2=(a+l)x-2(b+2)x+c+3在同一坐标系中的

图象如图。

(1)哪个函数的图象过B、C、D三点？

(2)若BO=AO,BC=DC,且点B、C的横坐标分别是1、3,求这两个函数的解析式。

分析：借助函数的图象研究函数的性质，是一种很重要的方法。观察图象，过A、B、C三

点的抛物线开口向下，则相应二次函数解析式中二次项系数应小于零，而过B、C、D三点的抛

物线开口向上，则相应二次函数解析式中二次项系数应大于零，所以只要判断a与a+1哪个大

于零即可。因为a+l〉a,易得出丫2经过B、C、D三点。利用抛物线的对称性确定》的对称轴为

x=0,y2的对称轴经过C点，则可推出D点坐标。再利用图象上点的坐标应满足函数解析式,

则可构造关于a、c的方程组，求出待定系数的值。

解：(1):a+lAa,又由图象可知a+1与a异号

.,.a+l>0

丫2=9+1八2-23+2〃+©+3的图象开口向上

.•.丫2的图象经过B、C、D三点

(2)v|BO|HAO|

・•»的对称轴*=-3=0

12a

b=0

•/B(1,0)、C(3,y)

又|BC|=|DC|

，y2的对称轴经过C点，且D(5,0)

将B(1,0)代入yj得a+c=0(1)

将D(5,0)代入丫2,得25a+c+8=0(2)

1

a=——

3

解(1)、(2)得

1

c=-

I3

1122)J

/.y.=——x2+-,y=—x-4x4-3—

1332393

说明：观察图形主要是观察图形的形状、大小、位置关系等，寻找图形中蕴含的数量关系,

运用推理或计算得出结论。这是数形结合分析、解决问题的一个重要方面。

例4.设二次函数y=x2—(k—3)x+k+4的图象与x轴交于点Alx［，0),B(x2,0)

(x1<x2),P点在y轴上(非原点)，已知NPAB与NPBA都是锐角。

(1)求k的取值范围；

(2)比较线段PA、PB的长度的大小；

(3)当NPAB+NPBA=90"时，求P点的坐标(用含k的式子表示)

分析：(1)解决本题的关键是依据题目的已知条件正确地绘制草图，确定A、B两点的大

致位置。由P点在y轴上，且NPAB、NPBA都是锐角，确定抛物线与x轴的两个交点A、B必

c

须在原点的两侧(如图)，转化为与函数相应的二次方程的两根异号，则一=k+4<0。

a

(2)观察图形，由图形的几何性质知，线段PA、PB长度的大小取决于A、B两点到0点距

离的大小，则转化为判断相应的二次方程两根中正根的绝对值大还是负根的绝对值大。利用函

数所对应的一元二次方程根与系数的关系即可判断出来。

(3)利用RtAPAO〜RtABPO,求出OP长，即可得出P点坐标。

解：(1);NPAB与NPBA均为锐角，点P在y轴上

:.A、B两点必在原点的两侧

X]•x2<0,此时必有△>()

/.k+4<0

k<-4

(2)设P点坐标为(0,y)

vXj+x2=k-3<0

」.区|>%|,即x；>x；

,/PA=Jx；+y2，PB=Jx；+y2

PA>PB

(3)NPAB+NPBA=90。

ZAPB=90°

AAOP~APOB

OP2=OA-OB

即y?=|xj••X2l=|k+4]=-(k+4)

y=±7-k-4

.♦.点P的坐标为(0,V-k-4)或(0,-V-k-4)

说明：由本例看到，二次函数解析式中的系数与二次函数图象的形状及在坐标系中的位置

相互制约。正确地画出图象，把二次函数的问题转化为二次方程的问题是解决这类问题的典型

方法，它体现了数形结合及转化的数学思想。

例5.已知:关于X的方程x2—2mx+3m=0的两个实数根是X1,x2,且（x1一x21=16。

如果关于x的另一个方程X?-2mx+6m-9=0的两个实数根都在

X]和X2之间，求m的值。

分析：本题是已知一元二次方程的两个实数根所满足的条件，求方程中待定系数的值的题

目。常规的解法是由第一个方程两根满足的条件，利用根与系数的关系，建立关于待定系数m

的方程，求出用的值。再把m的值代入第二个方程，并求出其根，检验其两根是否都在第一个

方程的两根之间，从而确定m的值。（参看解法一）

我们可以换个角度，以形助数来考虑这个问题。关于x的方程X?-2mx+3m=0（1）有

两个不等实数根马、x2（因为（X|—X2）2=16*0）,即抛物线％=x2-2mx+3m与x

轴有两个交点，且两交点为A（X1,0）>B（x2,0）,不妨设X]<x2。方程

x2-2mx+6m-9=0（2）也有两个实数根，对应的抛物线y2=x?-2mx+6m-9与x轴

也有两个交点或唯一公共点，设两交点为C（x/，0）、D（x2',0）。x,'<x2'o我们可以

看到，这两条抛物线形状相同，开口方向相同（由于二次项系数相同），且对称轴也相同，都

是直线x=m。由于方程⑵的两根xj、X2’都在X：X2之间，即抛物线丫2与x轴的两个交点C、

D（或C、D重合）在抛物线9与x轴的两个交点A、B之间，以形助数，在坐标系中画出这两

条抛物线的示意图（如图），看到只要满足抛物线丫2的判别式20,且抛物线丫2在y轴上

截距大于抛物线丫1在y轴上截距即可，很易确定m的取值。（参看解法二）

解法一：X2是方程X?-2mx+3m=0⑴的两个实数根

/.Xj+x2=2m,Xj•x2=3m

2

v(x1-x2)=16

2

/.(X,+x2)-4XjX2=16

4m2-12m=16

解得叫=-1,m2=4

(I)当m=—l时，

方程(1)为X2+2X—3=0

=

••X]=-3，x21

方.程x?-2mx+6m-9=0(2)为x?+2x-15=0

，=

1・xJ=-5,x23

・・・-5、3不在-3和1之间

，m=-l不合题意，舍去

(II)当m=4时，

方程(1)为X?-8x4-12=0

x।—2,x—6

方程⑵为x2-8x+15=0

x,'=3,x2'=5

,/2<3<5<6,即X]<x/<X2'<x?

方程(2)的两根都在方程⑴的两根之间

m=4

综合(I)(II),m=4

解法二：同解法一，得叫=-1,m2=4

•.•方程X?-2mx+3m=0⑴与方程x?-2mx+6m-9=0(2)都有两个实数根，

且方程(2)的两根在方程(1)的两根X,和xz之间。

/.抛物线y1=X?-2mx+3m与x轴有两个交点，抛物线y?=x?-2mx+6m-9与x

轴有交点

•••抛物线力与丫2形状相同，开口方向同且对称轴也相同

△、-4m2-4(6m-9)=4(m-3))>0

/.只要，-

6m-9>3m

解不等式组，得m>3

取m=4

说明：由以上几例看到，正确地绘图对于题意的理解、思路的探求、方法的选择、结论的

判定都有重要的作用，要善于把作图与计算结合起来，充分发挥图形的作用。

2.以数解形一一挖掘几何图形中的数量关系，用代数方法解儿何问题

例6.如图，在矩形ABCD中，EF是BD的垂直平分线，己知BD=20,EF=15,求矩形ABCD的

周长。

分析：要求矩形的周长，则需先求出矩形的长和宽。可把长、宽分别设为两个未知数，根

据图形中线段的位置关系，利用相似三角形的性质和勾股定理转化为线段间的数量关系，构造

方程组用代数方法求解。

解：在矩形ABCD中，设长AB=x,宽BC=y,因为EF是BD的垂直平分线

根据题意RtADAB~RtAEOB

ABOB

'AD-OE

20

"y153)

T

在RtAABD中，由勾股定理可得AB?+AD?=BD2

即x?+y2=202(2)

解⑴、(2)联立的方程组，得

x.=16fx,=-16

,■(舍去)

%=12民=-12

矩形周长为56

例7.如图，有一块三角形土地，它的底边BC=100米，高AH=80米，某单位要沿着底边BC

修一座底面是矩形DEFG的大楼。当这个大楼地基面积最大时，这个矩形的长和宽各是多少？

分析：这个实际问题抽象为数学问题后是一个平面几何问题，即求三角形内接矩形面积最

大时，矩形的边长。

进一步观察图形可以看到，当矩形的长（或宽）变化时，矩形DEFG的面积也随之而变化，

但当内接矩形的长（或宽）一确定，矩形的面积也随之而确定。可见，内接矩形的面积是这个

矩形长（或宽）的函数。于是问题就转化为建立函数关系式并求函数何时取得最值的代数问题。

解：设矩形DEFG的宽DE为x米，则AM=（80-X）米

DG//BC

AADG~AABC

DGAM

,BC-AH

•_D_G___8__0_-_x_

■-WO-80

DG=100--X

4

，S矩形=DE-DG=x（100-jx）=-|x2+100x

（0<x<80）

.•.当x=—B=40时（40在0<x<80范围内）

2a

S最大=2000

当地基面积最大时，矩形的长为50米，宽为40米。

说明：在几何图形中建立函数关系式是数形结合的典型例题。在这类问题中，常运用相似

形的性质定理、勾股定理、圆的有关定理、面积关系等建立量与量的函数关系式。

3.依形判数，以数助形，结合具体问题，灵活进行数形转化

数量关系体现了图形的内在性质，把握数量关系和相应图形的特征是进行数与形相互转化

的关键。

例8.如图，AB是半圆0的直径，CD1AB于D,C在半圆上，设NCOD=6。

DB

求证：tan2—=

2AD

nn

分析：解本题的关键是寻找一，表示出tan—。由已知NC0B=6,且NCOB为圆周角，要

22

想办法利用这个角。根据图形的几何性质，连AC、BC,圆心角NA的度数等于所对弧上圆心角

NCOB度数的一半，所以NA=H,tanZA=-=—O问题就转化为证一二=——。利

22ACAC2AD

用两对直角三角形相似，对应边成比例则很易证得。

证明：连结AC、BC

•••AB是半圆O的直径

ZACB=90°

•••ZCOB=0

10

ZA=-ZCOB=-

22

在RtAACB中，tanZA=tan-=——

2AC

3=史:

2AC2

•/CD1AB

RtAACD~RtAABC

ACAD

AB-AC

AC2=AD•AB

同理BC?=BD•AB

BC2BD-ABDB6DB

——-=------------=——，BHPntan2-=——

AC2AD•ABAD2AD

例9.如图，二次函数y=x2+bx+c的图象与x轴只有一个公共点P,与y轴交点为Q。过

Q点的直线y=2x+m与X轴交于点A,与这个二次函数的图象交于另一点B。若

SABPQ=3SAAPQ，求这个二次函数的解析式。

分析：本题为函数与平面几何的综合题，要确定二次函数的解析式，就需要构造关于待定

系数b、C的方程组，求出b、C的值。如何利用题目给出的众多条件呢？

(1)以数助形，求出图象上关键点的坐标。

二次函数图象与y轴交点Q的坐标为(0,c)

又直线y=2x+m过点Q

m=c。

y=x-+bx+c

联立v

y=2x+c

解得B点坐标为(2-b,4-2b+c)

(2)依形判数，利用函数图象，结合几何图形的性质，构建关于b、c的方程组。

作BCLx轴于C,显然有BC=4—2b+c

乂,S&BPQ=3SAAPQ

-Q-4。

一°AABP-f°AAPQ

AAPQ与AAPB等底(AP)而不等高

•■•SAAPB:SAAPQ=4：1=BC：OQ

又OQ=c(c>0)

(4-2b+c)：c=4：1

即2b+3c—4=0(1)

又­/抛物线y=x?+bx+c与x轴只有一个交点

A=b2-4c=0(2)

(3)数形结合，得出结论

44

解(1)、(2)联立的方程组，可得瓦=一，b,=-4。但检验知，3=—时，抛物线顶点

33

在y轴左侧，不合题意，舍去。

/.b=-4,c=4

二次函数解析式为y=x2-4x+4

说明：依形判数，以数助形是解函数型综合题时重要的思想方法。此题用待定系数法求函

数解析式时，根据图形的几何性质寻找待定系数所满足的条件，列方程或方程组来求解。解题

时还必须根据题目条件对结果进行检验，舍去不合题意的解，如本例中根据抛物线顶点在y轴

h4

右侧知——〉0,由已知得a=l>0,所以b<0,因而舍去瓦=一。

2a3

例10.己知：如图，把矩形纸片0ABC放入直角坐标系xOy中，使0A、0C分别落在x轴、y

轴的正半轴上，连结AC。将AABC沿AC翻折，点B落在该坐标平面内，设这个落点为D,CD

交x轴于点E.如果CE=5,OC、0E的长是关于x的方程x2+(1!1-1〃+12=0的两个根，并

且OOOEo

(1)求点1)的坐标；

(2)如果点F是AC中点，判断点(8,-20)是否在过D、F两点的直线上，并说明理由。

解:⑴••♦OC、OE的长是关于x的方程X?+(m-l)x+12=0的两个根，且OOOE,

OC•OE=12(1)

在RtACOE中，由勾股定理得OC?+OE?=CE2

又CE=5

OC2+OE2=25(2)

•••OC>OE>0

OC=4

解⑴、(2)得<

OE=3

当OC=4,OE=3时，m=-6,符合题意

..OC=4,OE=3

△ABC沿AC翻折后，点B的落点为点D

过D点作DG，x轴于G,DH，y轴于H

ZBCA=ZACD

•••矩形OABC中，CB//OA

ZBCA=ZCAE

ZCAE=ZACD

EC=EA

可证RtACOEMRtAADE

ED=3,AD=4,EA=5

在RtAADE中，DG•AE=ED•AD

ED•AD12

DG=-----------=—

AE5

在ACHD中，OE//HD

CE_OE

''CD-HD

由己知条件可知D点是第四象限的点

.••点D的坐标是（言74，-y12）

（2）・.吓点是AC的中点

.•.点F的坐标是（4,2）

设过D、F两点的直线的解析式为丫=1«+6

4k+b=2

•,•'24,」12

55

I

解得2

b=24

.•.过D、F两点的直线的解析式为y=-，x+24

,/x=8,y=-20满足上述解析式

.•.点（8,-20）在D、F两点确定的直线上

（答题时间：40分钟）

一.填空

1.一个角的外角是它的三倍，则这个角的度数为。

2.一个等腰三角形的周长是16cm,底边上的高是4cm,则腰长为

3.AABC是一块锐角三角形余料，边BC=120mm,高AD=80mm,要把它加工成正方形零件，

使正方形的一边在BC上，其余两顶点分别在AB、AC上，则这个正方形的边长为mm。

4.已知：AABC中AB=5,AC=6,BC=7,点D、E分别在AB、AC±,DE//BC,且AADE的周

长与四边形BCED的周长相等，则DE的长为。

5.矩形ABCD的对角线BD=10,AABC的内切圆半彳仝为2,则矩形两边长为_

6.在直角坐标系xoy中，点P到x轴距离为3,到y轴距离为2,则P点坐标为。

7.己知a、b互为相反数，且a>b,那么a的倒数与b的倒数的大小关系为—。

8.已知a>0,b<0,且a+b〈0,那么实数a,b,-a,Ib|的大小关系为（用号

连接）。