河北省邯郸市2024届中考数学最后一模试卷含解析

河北省邯郸市名校2024年中考数学最后一模试卷

考生须知：

1.全卷分选择题和非选择题两部分，全部在答题纸上作答。选择题必须用2B铅笔填涂；非选择题的答案必须用黑色

字迹的钢笔或答字笔写在“答题纸”相应位置上。

2.请用黑色字迹的钢笔或答字笔在“答题纸”上先填写姓名和准考证号。

3.保持卡面清洁，不要折叠，不要弄破、弄皱，在草稿纸、试题卷上答题无效。

一、选择题（每小题只有一个正确答案，每小题3分，满分30分）

1.某射击选手10次射击成绩统计结果如下表，这10次成绩的众数、中位数分别是（）

成绩（环）78910

次数1432

A.8、8B.8,8.5C.8、9D.8、10

2.如图，“赵爽弦图”是由四个全等的直角三角形与中间一个小正方形拼成的一个大正方形，大正方形与小正方形的边

长之比是2：1,若随机在大正方形及其内部区域投针，则针孔扎到小正方形（阴影部分）的概率是（）

A.0.2B.0.25C.0.4D.0.5

3.如图所示，二次函数y=ax?+bx+c（a^O）的图象经过点（-1,2）,且与x轴交点的横坐标分别为xi、X2,其中-2

<X1<-1,0<X2<l.下列结论：

@4a-2b+c<0；®2a-b<0；③abcVO；@b2+8a<4ac.

其中正确的结论有（）

A.1个B.2个C.3个D.4个

x<—1

4.把不等式组，的解集表示在数轴上，下列选项正确的是（）

x<l

A-对方于3士B.多二13"

C3^0I2PD--HofTs）

5.如图，PB切。O于点B,PO交。O于点E,延长PO交。O于点A,连结AB,0O的半径OD±AB于点C,BP=6,

D.273

6.如图，将Rt/ABC绕直角项点C顺时针旋转90。，得到连接AA*若Nl=20。，则NB的度数是（）

A.70°B.65°C.60°D.55°

7.如图，。0中，弦BC与半径OA相交于点D,连接AB,OC,若NA=60。，ZADC=85°,则NC的度数是（）

A

A.25°B.27.5°C.30°D.35°

8.如图，已知直线，i：-2x+4与直线L：y=kx+b（原0）在第一象限交于点若直线b与x轴的交点为A（-2,

0）,则k的取值范围是（）

-2<*<0C.0<*<4D.0<*<2

9.如图图形中,可以看作中心对称图形的是（）

10.地球平均半径约等于6400000米，6400000用科学记数法表示为（）

A.64x105B.6.4xl05C.6.4xl06D.6.4xl07

二、填空题（共7小题，每小题3分，满分21分）

11.如图，点A,B,C在。。上，四边形Q48C是平行四边形，于点E,交。。于点O,则N8AZ>=,

12.如图，AC、BD为圆O的两条垂直的直径，动点P从圆心O出发，沿线段0C_昂_线段DO的路线作匀速运动.设

运动时间为t秒，NAPB的度数为y度，则下列图象中表示y与t的函数关系最恰当的是（）

13.如图，直线y=J§x,点Ai坐标为（1,0）,过点Ai作x轴的垂线交直线于点Bi,以原点。为圆心，OBi长为半

径画弧交x轴于点A2；再过点A2作x轴的垂线交直线于点B2,以原点O为圆心,OB2长为半径画弧交x轴于点A3,…,

按照此做法进行下去，点A8的坐标为

14.如图，△ABC中，AD是中线，BC=8,ZB=ZDAC,则线段AC的长为

15.已知2-g是一元二次方程4x+c=0的一个根，则方程的另一个根是.

16.一个不透明的布袋里装有5个红球，2个白球，3个黄球，它们除颜色外其余都相同，从袋中任意摸出2个球，都

是黄球的概率为—.

X+wj2n7

17.若关于x的方程一7+7—=2的解是正数，则m的取值范围是

x—22—x

三、解答题（共7小题，满分69分）

18.（10分）如图，以△ABC的边AB为直径的。O分别交BC、AC于F、G,且G是人尸的中点，过点G作DELBC,

垂足为E,交BA的延长线于点D

（1）求证：DE是的。O切线；

（2）若AB=6,BG=4,求BE的长；

（3）若AB=6,CE=1.2,请直接写出AD的长.

19.（5分）如图1,ZS4C的余切值为2,AB=245,点D是线段AB上的一动点（点D不与点A、B重合），以点

D为顶点的正方形。跳‘G的另两个顶点E、F都在射线AC上，且点F在点E的右侧，联结BG,并延长BG,交射

线EC于点P.

（1）点D在运动时，下列的线段和角中，是始终保持不变的量（填序号）；

①AF；②EP；③BP；④/BDG；⑤NG4C；⑥ZBPA；

（2）设正方形的边长为x,线段AP的长为y,求y与x之间的函数关系式，并写出定义域；

（3）如果A//G与AAFG相似，但面积不相等，求此时正方形的边长.

20.（8分）在平面直角坐标系xOy中，点M的坐标为（七,弘），点N的坐标为（乙,%），且石/々，X=%，我们

规定：如果存在点P,使AMNP是以线段MN为直角边的等腰直角三角形，那么称点尸为点M、N的“和谐点”.

(1)已知点A的坐标为(1,3),

①若点8的坐标为(3,3),在直线A3的上方，存在点A,3的“和谐点”C,直接写出点C的坐标；

②点C在直线*=5上，且点C为点A,3的“和谐点”，求直线AC的表达式.

(2)。。的半径为r,点£)(1,4)为点E(l,2)、网以功的“和谐点”，且。E=2,若使得ADEF与。。有交点,画

出示意图直接写出半径r的取值范围.

21.(10分)“绿水青山就是金山银山”的理念已融入人们的日常生活中，因此，越来越多的人喜欢骑自行车出行.某

自行车店在销售某型号自行车时，以高出进价的50%标价.已知按标价九折销售该型号自行车8辆与将标价直降100

元销售7辆获利相同.求该型号自行车的进价和标价分别是多少元？若该型号自行车的进价不变，按(1)中的标价出

售，该店平均每月可售出51辆；若每辆自行车每降价20元，每月可多售出3辆，求该型号自行车降价多少元时，每

月获利最大？最大利润是多少？

22.(10分)(1)计算:(-2)-2+-cos60°-(73-2)°；

2

(2)化简：(a-4)2。+1.

aa

23.(12分)如图，点A,B,C,D在同一条直线上，点E,F分别在直线AD的两侧，且AE=DF,ZA=ZD,AB=DC.

(1)求证：四边形BFCE是平行四边形；

(2)若AD=10,DC=3,ZEBD=60°,则BE=_时，四边形BFCE是菱形.

如图1,在有一个“凹角NA1A1A3””边形A1A2A3A4……4中（”为大于3的整数），NAIAM3=

NA1+NA3+NA4+NA5+NA6+..........+N4--4）xl80°.

验证如图2,在有一个“凹角的四边形45CD中，证明：ZABC=ZA+ZC+ZP.证明3,在有一个“凹角NA5C”

的六边形A3COE尸中，证明；NABCuNA+NC+NO+NE+NP-SGO。.

延伸如图4,在有两个连续“凹角AiA2A3和NA2A344”的四边形AM2A3A4……4中（"为大于4的整数）,

NAIA2A3+NA2A3A4=NAI+NA4+NA5+NA6.....+NA〃-(〃-)xl80°.

参考答案

一、选择题（每小题只有一个正确答案，每小题3分，满分30分）

1、B

【解题分析】

根据众数和中位数的概念求解.

【题目详解】

由表可知，8环出现次数最多，有4次，所以众数为8环；

这10个数据的中位数为第5、6个数据的平均数，即中位数为*=8.5（环），

故选：B.

【题目点拨】

本题考查了众数和中位数的知识，一组数据中出现次数最多的数据叫做众数；将一组数据按照从小到大（或从大到小）

的顺序排列，如果数据的个数是奇数，则处于中间位置的数就是这组数据的中位数；如果这组数据的个数是偶数，则

中间两个数据的平均数就是这组数据的中位数.

2、B

【解题分析】

设大正方形边长为2,则小正方形边长为1,所以大正方形面积为4,小正方形面积为1,则针孔扎到小正方形（阴影

部分）的概率是0.1.

【题目详解】

解：设大正方形边长为2,则小正方形边长为1,

因为面积比是相似比的平方，

所以大正方形面积为4,小正方形面积为1,

则针孔扎到小正方形（阴影部分）的概率是-=0.25；

4

故选：B.

【题目点拨】

本题考查了概率公式：如果一个事件有n种可能，而且这些事件的可能性相同，其中事件A出现m种结果，那么事

件A的概率P（A）=一.

n

3、C

【解题分析】

首先根据抛物线的开口方向可得到抛物线交y轴于正半轴，则c>0,而抛物线与％轴的交点中，-2VxiV-l、

b

0<X2<l说明抛物线的对称轴在-1〜0之间，即*=->1,可根据这些条件以及函数图象上一些特殊点的坐标

2a

来进行判断

【题目详解】

b

由图知：抛物线的开口向下，则a<0；抛物线的对称轴*=——>-1,且c>0；

2a

①由图可得：当x=-2时，y<0,即4a-2b+cV0,故①正确；

b

②已知x=——>-1,且aVO,所以2a-b<0,故②正确；

2a

③抛物线对称轴位于y轴的左侧，则a、b同号，又c>0,故abc>0,所以③不正确；

④由于抛物线的对称轴大于-1,所以抛物线的顶点纵坐标应该大于2,即：处也>2,由于a<0,所以4ac-b2V

8a,即b2+8a>4ac,故④正确；

因此正确的结论是①②④.

故选：C.

【题目点拨】

本题主要考查对二次函数图象与系数的关系，抛物线与X轴的交点，二次函数图象上点的坐标特征等知识点的理解和

掌握，能根据图象确定与系数有关的式子的正负是解此题的关键.

4、C

【解题分析】

求得不等式组的解集为xV-1,所以C是正确的.

【题目详解】

解：不等式组的解集为xV-L

故选C.

【题目点拨】

本题考查了不等式问题，在表示解集时吟“，的”要用实心圆点表示；“<”，“>”要用空心圆点表示.

5、C

【解题分析】

连接OB,根据切线的性质与三角函数得到NPOB=60。，OB=OD=2g,再根据等腰三角形的性质与三角函数得到OC

的长，即可得到CD的长.

【题目详解】

解：如图，连接OB,

；PB切。O于点B,

/.ZOBP=90o,

VBP=6,ZP=30°,

.•.ZPOB=60°,OD=OB=BPtan30°=6x

,-,OA=OB,

.\ZOAB=ZOBA=30o,

VOD±AB,

ZOCB=90°,

•,.ZOBC=30°,

贝！IOC」OB=5

2

，CD=G

故选：c.

【题目点拨】

本题主要考查切线的性质与锐角的三角函数，解此题的关键在于利用切线的性质得到相关线段与角度的值，再根据圆

和等腰三角形的性质求解即可.

6、B

【解题分析】

根据图形旋转的性质得AC=A，C,NACA，=90。，ZB=ZA,B,C,从而得NAAC=45。，结合Nl=20。，即可求解.

【题目详解】

•.•将Rt/ABC绕直角项点C顺时针旋转90°,得到AA,BC,

/.AC=A,C,NACA，=90。，NB=NABC,

ZAArC=45°,

VZ1=2O°,

，NB'A'C=45°-20°=25°,

.,.ZA,B,C=90°-25o=65°,

/.ZB=65°.

故选B.

【题目点拨】

本题主要考查旋转的性质，等腰三角形和直角三角形的性质，掌握等腰三角形和直角三角形的性质定理，是解题的关

键.

7、D

【解题分析】

分析：直接利用三角形外角的性质以及邻补角的关系得出NB以及NODC度数，再利用圆周角定理以及三角形内角和

定理得出答案.

详解：•.•/A=60°,NADC=85°,

.,.ZB=85°-60°=25°,ZCDO=95°,

.,.ZAOC=2ZB=50°,

.,.ZC=180o-95°-50o=35°

故选D.

点睛：此题主要考查了圆周角定理以及三角形内角和定理等知识，正确得出NAOC度数是解题关键.

8、D

【解题分析】

解：•..直线h与x轴的交点为A(-1,0),

A—2k

x----------

y=-2x+4k+2

:.-lk+b=O,:.\解得:

y-kx+2k8k

y-

-k+2

,直线h：y=-lx+4与直线h：y=kx+b(k/0)的交点在第一象限,

解得OVkCL

故选D.

【题目点拨】

两条直线相交或平行问题；一次函数图象上点的坐标特征.

9、D

【解题分析】

根据把一个图形绕某一点旋转180。，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形就叫做中心对称图形,

这个点叫做对称中心进行分析即可.

【题目详解】

解：A、不是中心对称图形，故此选项不合题意；

B、不是中心对称图形，故此选项不合题意；

C、不是中心对称图形，故此选项不合题意；

D、是中心对称图形，故此选项符合题意；

故选D.

【题目点拨】

此题主要考查了中心对称图形，关键掌握中心对称图形定义.

10、C

【解题分析】

由科学记数法的表示形式为axion的形式，其中lW|a|＜10,n为整数.确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点

移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同.当原数绝对值＞1时，n是正数；当原数的绝对值＜1时，n是

负数.

【题目详解】

解：6400000=6.4x106,

故选c.

点睛：此题考查了科学记数法的表示方法.科学记数法的表示形式为axion的形式，其中iqa|<10,n为整数，表示

时关键要正确确定a的值以及n的值.

二、填空题（共7小题，每小题3分，满分21分）

11、15

【解题分析】

根据圆的基本性质得出四边形OABC为菱形，NAOB=60。,然后根据同弧所对的圆心角与圆周角之间的关系得出答案.

【题目详解】

解：TOABC为平行四边形，OA=OC=OB,

二四边形OABC为菱形，/AOB=60。，

VOD±AB,

:.ZBOD=30°,

.,.ZBAD=30%2=15°.

故答案为：15.

【题目点拨】

本题主要考查的是圆的基本性质问题，属于基础题型.根据题意得出四边形OABC为菱形是解题的关键.

12、C.

【解题分析】

分析:根据动点P在OC上运动时，ZAPB逐渐减小，当P在的上运动时，ZAPB不变，当P在DO上运动时，ZAPB

逐渐增大，即可得出答案.

解答：解：当动点P在OC上运动时，NAPB逐渐减小；

当P在包上运动时，NAPB不变；

当P在DO上运动时，NAPB逐渐增大.

故选C.

13、（128,0）

【解题分析】

•.•点Ai坐标为（1,0）,且BiAiLx轴，；.Bi的横坐标为1,将其横坐标代入直线解析式就可以求出Bi的坐标，就可

以求出AiBi的值，OAi的值，根据锐角三角函数值就可以求出NxOB3的度数，从而求出OBi的值，就可以求出OA?

值，同理可以求出OB2、OB3…，从而寻找出点A2、A3…的坐标规律，最后求出A8的坐标.

【题目详解】

点a坐标为(1,0),

=1

•44，x轴

•••点片的横坐标为1,且点片在直线上

y=73

・.4(1,后

=A/3

在用AA150中由勾股定理，得

OB]=2

sinNO3]A=；

/0与4=30°

/。8出=N。82Al=N。83A==NOB"A'i=30

%=。4=2,4(2,0),

在RtAA,B2O中，OB2=20A,=4

OA3=4,A(4,0).

.•.04=8,?OA-="T4尸(2.

=2-1=128.

二人=(128,0).

故答案为(128,0).

【题目点拨】

本题是一道一次函数的综合试题，也是一道规律试题，考查了直角三角形的性质，特别是30°所对的直角边等于斜边的一

半的运用，点的坐标与函数图象的关系.

14、4及

【解题分析】

已知BC=8,AD是中线，可得CD=4,在ACBA和ACAD中，由NB=NDAC,ZC=ZC,可判

ArCD

定ACBAs/XCAD,根据相似三角形的性质可得—=—,即可得AC2=CD・BC=4X8=32,解得

nCAC

AC=4"

15、2+73

【解题分析】

通过观察原方程可知，常数项是一未知数，而一次项系数为常数，因此可用两根之和公式进行计算，将2-若代入计

算即可.

【题目详解】

设方程的另一根为XI,

又；x=2-括，由根与系数关系，得XI+2-6=4,解得XI=2+G.

故答案为：2+6

【题目点拨】

解决此类题目时要认真审题，确定好各系数的数值与正负，然后适当选择一个根与系数的关系式求解.

16、』

10

【解题分析】

让黄球的个数除以球的总个数即为所求的概率.

【题目详解】

3

解：因为一共10个球，其中3个黄球，所以从袋中任意摸出2个球是黄球的概率是历.

3

故答案为：—.

【题目点拨】

本题考查了概率的基本计算，用到的知识点为：概率等于所求情况数与总情况数之比.

17、m<4且m#2

【解题分析】

X+YYI

解方程...-+-=2得x=4-m,由已知可得x>0且x・2#0,贝!|有4-m>0且4・m・2r0,解得：m<4且m#2.

x-22-x

三、解答题(共7小题，满分69分)

Q

18、(1)证明见解析；(1)|；(3)1.

【解题分析】

(1)要证明DE是的。O切线，证明OG_LDE即可；

(1)先证明△GBAs^EBG,即可得出照=整，根据已知条件即可求出BE；

BGBE

(3)先证明△AGBgZkCGB,得出BC=AB=6,BE=4.8再根据OG〃BE得出空=空，即可计算出AD.

BEDB

【题目详解】

证明：(1)如图，连接OG,GB,

；G是弧AF的中点,

/.ZGBF=ZGBA,

VOB=OG,

/.ZOBG=ZOGB,

/.ZGBF=ZOGB,

；.OG〃BC,

.\ZOGD=ZGEB,

VDE1CB,

.\ZGEB=90°,

.,.ZOGD=90°,

即OGLDE且G为半径外端，

；.DE为。O切线；

(1)；AB为。O直径，

.•.ZAGB=90°,

；.NAGB=NGEB,且NGBA=NGBE,

/.△GBA^AEBG,

.ABBG

••一,

BGBE

.BG2428

AB63

(3)AD=1,根据SAS可知△AGB义ZiCGB,

贝！IBC=AB=6,

；.BE=4.8,

VOG/7BE,

OGDO3DA+3

/.——=——，即an一=-------,

BEDB4.8DA+6

解得：AD=1.

【题目点拨】

本题考查了相似三角形与全等三角形的判定与性质与切线的性质，解题的关键是熟练的掌握相似三角形与全等三角形

的判定与性质与切线的性质.

9Y75

19、(1)④⑤；(2)y=——(1„%<2)；(3)—或一.

2-x54

【解题分析】

(1)作于M,交。G于N,如图，利用三角函数的定义得到&丝=2,设5M=/,则40=2%利用

BM

勾股定理得(2。2+产=(2石)2,解得，=2,即3M=2,AM=4,设正方形的边长为x,则A£=2x,AF=3x,

GF1

由于tanNG4F=—=-,则可判断NG4b为定值；再利用DG//AP得到NQG=4AC,则可判断N3DG为

AF3

定值；在RtABMP中，利用勾股定理和三角函数可判断在变化，N3PM在变化，PF在变化；

(2)易得四边形。矶W为矩形，则==证明AQGsAfiAR,利用相似比可得到y与x的关系式；

(3)由于NAFG=ZPFG=90°，A/¥G与AAFG相似，且面积不相等，利用相似比得到PF=gx,讨论：当点P

在点F点右侧时，则AP=；x,所以二一=；%,当点P在点F点左侧时，则AP=：x,所以^=；x,然

32-x332-x3

后分别解方程即可得到正方形的边长.

【题目详解】

(1)如图，作于M,交DG于N,

在RtAABM中，VcotABAC==2,

BM

设BM=t,则AM=2t,

AM2+BM2=AB2>

...(2/)2+/=(2行)2,解得，=2,

:.BM=2,AM^4,

设正方形的边长为x,

AP

在RtAAD£中，Vcot/DAE--2,

DE

:.AE=2x,

：.AF=3x,

在RtAG4/中，tanNGAF==—=—

AF3x3

为定值；

'：DG//AP,

:.ZBDG=NBAC,

.••N3QG为定值；

在RtAfiMP中，PB=V22-PM2-

而在变化，

，Pfi在变化，在变化，

，。户在变化，

所以N3DG和/G4c是始终保持不变的量；

故答案为：④⑤

(2)VMN±AP,DEFG是正方形,

...四边形。£MN为矩形，

NM=DE=x,

'：DG//AP,

：.NBDG^ABAP,

.DGBN

y=-----(L,x<2)

2-x

(3)•••NAFG=NPFG=90°，"PG与AAFG相似，且面积不相等,

.GFPF„xPF

..=,即n—=,

AFGF3xx

：.PF=-X

39

当点P在点F点右侧时，AP=AF+PF=-%+3x=-x,

33

.lx10

••--------X9

2-x3

7

解得X=1,

1Q

当点P在点F点左侧时，AP=AF—PF=3x—x=—x,

33

2x8

..----=~x,

2-x3

解得x=2,

4

【题目点拨】

本题考查了相似形综合题：熟练掌握锐角三角函数的定义、正方形的性质和相似三角形的判定与性质.

20、(1)①点C坐标为或C'(3,5)；②y=x+2或y=-x+3；(2)2<r<JI7或逐<rVJI7

【解题分析】

(1)①根据“和谐点”的定义即可解决问题；

②首先求出点C坐标，再利用待定系数法即可解决问题；

(2)分两种情形画出图形即可解决问题.

【题目详解】

观察图象可知满足条件的点C坐标为C(1,5)或。(3,5)；

②如图2.

•••△A3C为等腰直角三角形，・・・5C=3,・・・G(5,7)或C2(5,-1).

k+b=3k=]k+b=3

设直线AC的表达式为y=h+灰际0),当G(5,7)时，<,c，.・・y=x+2,当C2(5,-1)时,<

5左+Z?=7b=25k+b=-l9

k=-l

,：.y=-x+3.

Z?=4

综上所述：直线AC的表达式是y=x+2或y=-x+3.

(2)分两种情况讨论:

①当点方在点£左侧时:

连接OD.则O£>=jF+42=后,.-.2<r<Vn.

②当点歹在点E右侧时：

连接OE,OD.

VE(1,2),D(1,3),；.OE=&+22=5如正+42=#7,V5<r<717.

综上所述：2<r<JI7或

【题目点拨】

本题考查了一次函数综合题、圆的有关知识、等腰直角三角形的判定和性质、“和谐点”的定义等知识，解题的关键是

理解题意，灵活运用所学知识解决问题，学会用分类讨论的首先思考问题，属于中考压轴题.

21、(1)进价为1000元，标价为1500元；(2)该型号自行车降价80元出售每月获利最大，最大利润是26460元.

【解题分析】

分析：(1)设进价为x元，则标价是1.5x元，根据关键语句：按标价九折销售该型号自行车8辆的利润是1.5xx0.9x8-8x,

将标价直降100元销售7辆获利是(1.5x-100)x7-7x,根据利润相等可得方程1.5xx0.9x8-8x=(1.5x-100)x7-7x,再

解方程即可得到进价，进而得到标价；

(2)设该型号自行车降价a元，利润为w元，利用销售量x每辆自行车的利润=总利润列出函数关系式，再利用配方

法求最值即可.

详解：(1)设进价为x元，则标价是L5x元，由题意得：

1.5xx0.9x8-8x=(1.5x-100)x7-7x,

解得：x=1000,

1.5x1000=1500(元)，

答：进价为1000元，标价为1500元；

(2)设该型号自行车降价a元，利润为w元，由题意得：

a

w=(51+——x3)(1500-1000-a),

20

3

=-——(a-80)2+26460,

20

3

■:--<0,

20

:.当a=80时,w最大=26460,

答：该型号自行车降价80元出售每月获利最大，最大利润是26460元.

点睛：此题主要考查了二次函数的应用，以及元一次方程的应用，关键是正确理解题意，根据已知得出w与a的关系

式，进而求出最值.

【解题分析】

（1）根据负整数指