2024新高考押题预测模拟数学试卷3（新高考九省联考题型）（含答案解析）

2024年高考数学押题预测卷03

数学

（新高考九省联考题型）

（考试时间：120分钟试卷满分：150分）

注意事项:

1.本试卷分第I卷（选择题）和第n卷（非选择题）两部分。答卷前，考生务必将自己的

姓名、准考证号填写在答题卡上。

2.回答第I卷时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如

需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。写在本试卷上无效。

3.回答第II卷时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。

4.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。

一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目

要求的.

1.已知向量5=（2,2）,3=（1,x）,若Z//九则由=（）

A.1B.72C.^3D.2

2.已知集合/={—1,0,2},5={X|.X2<1）,则下列结论正确的是（）

A.A=BB.A^BC.A<JB=BD.Nc3={—1,0}

5r2v°’

3.已知。=吗，Z>=log031.5,c=l-I，则（）

A.b>c>aB.b>a>cC.c>a>bD.c>b>a

4.已知样本数据%,工2,…，X”的平均数为亍，贝I数据外,々，…，X”,元（）

A.与原数据的极差不同B.与原数据的中位数相同

C.与原数据的方差相同D.与原数据的平均数相同

兀

5.在梯形48CZ）中，AD3BC,NABC=—,BC=2AD=2AB=2,以下底5c所在直线为

2

轴，其余三边旋转一周形成的面围成一个几何体，则该几何体的体积为（）

271471571_

A.---B.---C.---D.27t

333

6.甲箱中有2个白球和4个黑球，乙箱中有4个白球和2个黑球.先从甲箱中随机取出一球放入乙箱中,

以4，4分别表示由甲箱中取出的是白球和黑球：再从乙箱中随机取出一球，以朦示从乙箱中取出

的是白球，则下列结论错误的是（）

51IQ

A.4，4互斥B.尸（⑶4）=亍C.—D.P（B）=——

7.已知函数/（x）的定义域为R,y=/（x）+ex是偶函数，y=/（x）-3e,是奇函数，则/（x）的

最小值为（）

B.2y[2C.26D.2e

8.双曲线G5-今=1（。>0力>0）的左、右焦点分别是4，F2,离心率为当,点尸⑸为）是加

右支上异于顶点的一点，过片作N与里的平分线的垂线，垂足是〃，若在一点雅足

币•瓦7=5,则75JC的两条渐近线距离之和为（）

A.272B.2省C.2逐D.2.76

二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部

选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.

9.已知复数二1，22是关于承方程*+&+1=0（-2<2<2乃€尺）的两根，则（）

A.^=z2B.

-2

C.目=闯=1D.若6=1,则二：=W=1

10.如图，点4瓦。是函数/（x）=sin（0x+e）（0>O）的图象与直线y=乎相邻的三个交点，且

D.若将函数〃x）的图象沿x轴平移夕个单位，得到一个偶函数的图像，则网的最小值为最

11.如图，正方体4BCD-44GA的棱长为2,点£是4弼中点，点？为侧面5CG4内（含边界）

一点，贝IJ（）

A.若4尸_1平面4G。，则点吗点麻合

B.以朋球心，等为半径的球面与截面NCR的交线的长度为空

C.若防棱比中点，则平面4即截正方体所得截面的面积为哈

D.若周直线44的距离与到平面C0AG的距离相等，则点邢J轨迹为一段圆弧

三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.

12.的展开式中的常数项为.(用数字作答).

13.在中，tanB=tanC=g,b=\,贝iJtan(5+C)=；a=.

14.己知点4为抛物线./=2x上一点(点/在第一象限)，点正为抛物线的焦点，准线为1,线段"的中

垂线交准线/于点〃交涮于点£(〃、雁//的两侧)，四边形40方力为菱形，若点A份别在边的、

EA上，DP=ADA>EQ=/JEA,若2X+〃=g,则而丽的最小值为,

tFA-^FE+卜Ed-T^OeR)的最小值为.

四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.

15.设/(x)=alnx+1--3.x+i,曲线y=/(x)在点(1J⑴)处取得极值.

2x2

0)求a；

(2)求函数的单调区间和极值.

16.如图，四棱锥忆-48co中，底面4BCD是边长为2的菱形，440=60°,平面烟)JL底面

ABCD.

(1)求证：AC17D；

⑵若UB=2,且四棱锥忆-/BCD的体积为2,求直线PC与平面匕48所成角的正弦值.

17.现有标号依次为1,2,〃的小盒子，标号为1号的盒子里有2个红球和2个白球，其余盒子里都

是1个红球和1个白球.现从1号盒子里取出2个球放入2号盒子，再从2号盒子里取出2个球放入3号盒

子，…，依次进行到从n-l号盒子里取出2个球放入〃号盒子为止.

(1)当〃=2时，求2号盒子里有2个红球的概率；

(2)当〃=3时，求3号盒子里的红球的个数J的分布列；

(3)记〃号盒子中红球的个数为X.,求X.的期望E(X“).

18.已知P为曲线C：工+匕=1(〃〉1)上任意一点，直线尸与圆％2+必=1相切，且分别与

4n

。交于两点，。为坐标原点.

(1)若丽.西为定值，求〃的值，并说明理由；

4

(2)若〃=—,求面积的取值范围.

3

19.在几何学常常需要考虑曲线的弯曲程度，为此我们需要刻画曲线的弯曲程度.考察如图所示的光

滑曲线ay=/（x）上的曲线段令，其弧长为演，当动点从4沿曲线段标运动到膜时，/点的切

线//也随着转动到6点的切线记这两条切线之间的夹角为（它等于。的倾斜角与。的倾斜角

之差）.显然，当弧长固定时，夹角越大，曲线的弯曲程度就越大：当夹角固定时，弧长越小则弯曲

程度越大，因此可以定义K二—为曲线段4的平均曲率：显然当醴接近人即加越小，僦越能

Asg

精确刻画曲线抽点力处的弯曲程度，因此定义与密（若极限存在）为曲线斑点

l+y'22

/处的曲率.（其中V,V'分别表示y=/（x）在点4处的一阶、二阶导数）

(1)求单位圆上圆心角为60°的圆弧的平均曲率:

=1在码

(2)求椭圆上+记处的曲率:

4,

,、2y/2\v"\,、

定义。"）=;---T为曲线y=/（x）的“柯西曲率”.已知在曲线/（X）=xlnx-2x上存在

（i+y）

两点产（网,/（演））和。（.*2，/G2）），且尸，。处的“柯西曲率”相同，求而"+强的取值范围.

2024年高考数学押题预测卷03

数学

（新高考九省联考题型）

（考试时间：120分钟试卷满分：150分）

注意事项：

1.本试卷分第I卷（选择题）和第n卷（非选择题）两部分。答卷前，考生务必将自己的

姓名、准考证号填写在答题卡上。

2.回答第I卷时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如

需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。写在本试卷上无效。

3.回答第II卷时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。

4.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。

一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目

要求的.

1.已知向量2=（2,2）,6=（1,x）,若Z/厉，则由=（）

A.1C.y/3D.2

【答案】B

【解析】向量a=(2,2),&=(l,x)»a//b,.,.2x=2,.,.x=l>

.-.|A|=V12+12=V2.

故选:B.

2.己知集合/={-1,0,2},5=<1},则下列结论正确的是（)

A.A=BB.A=BC.B-BD.Nc5={—1,0}

【答案】D

【解析】由题意可知：5={x|x2<l}={.Xr|-l<x<1}，

所以45之间没有包含关系，且/门5={-1,0},故ABC错误，D正确:

故选：D.

5r?V5

3.已知4=叱，Z>=log031.5,c=l-I，则()

A.b>c>aB.b>a>cC.c>a>bD.c>b>a

【答案】C

【解析】b-log031.5<log031=0,0=lnl<lng=4<lne=l,

1=乎>1，所以c>”瓦

故选：C

4.己知样本数据工1户2,…,X”的平均数为亍，则数据玉户2,…,X”,亍（)

A.与原数据的极差不同B.与原数据的中位数相同

C.与原数据的方差相同D.与原数据的平均数相同

【答案】D

【解析】由样本数据石,马,…,X”的平均数为亍，可得了=」（』+%+…+X.）,

n

对于数据占,32,…,天,亍，其平均数£=一一（再+%+…+X“+X）=X,

22

其方差s；=^-j（%1-x^+^x2-x^+---+{xn-X^+^x-x^=—^-5;

即两组数据的平均数相同，方差不同，可得C错误，D正确；

由极差定义，两组数据的最大值和最小值不变，则两组数据的极差相同，即A错误;

对于中位数，两组数据的中位数不一定相同，即B错误.

故选：D

7T

5.在梯形/BCD中，AD//BC,NABC=—,BC=2AD=2AB=2,以下底3C所在直线为轴,

2

其余三边旋转一周形成的面围成一个几何体，则该几何体的体积为（）

【答案】B

【解析】旋转后所得几何体为圆柱与一个同底的圆锥的组合体，如图所示:

其中圆柱与圆锥的底面半径都等于AB=1,

圆柱的高等于20=1,圆锥的高等于8C-40=1,

底面圆的面积为兀xF=兀，

171

圆锥的体积为一X兀Xl=一,圆柱的体积为兀义1=兀，

33

714兀

所以所得几何体的体积为兀+—=.

33

故选：B.

6.甲箱中有2个白球和4个黑球，乙箱中有4个白球和2个黑球.先从甲箱中随机取出一球放入乙箱中，

以4，a分别表示由甲箱中取出的是白球和黑球；再从乙箱中随机取出一球，以笈表示从乙箱中取出

的是白球，则下列结论错误的是（）

5113

A.4，4互斥B.P（冏4）=5C.尸（45）='D.尸（与二5

【答案】C

【解析】因为每次只取一球，故4，4是互斥的事件，故A正确；

由题意得尸（4）=［尸（4）=j尸（叫4）=：尸（叫4）=；

152413

P(5)=P(J15)+P(^)=-X-+?X-=-,故B,D均正确；

248

因为尸(45)==u,故C错误.

故选：C.

7.已知函数/(x)的定义域为R,y=/(x)+e，是偶函数，.y=/(x)-3e'是奇函数，则/(x)的最

小值为()

A.eB.242C.2百D.2e

【答案】B

【解析】

【分析】利用函数奇偶性的定义可求得函数〃x)的解析式，再利用基本不等式可求得了(x)的最小值.

【详解】因为函数y=〃x)+e，为偶函数，则/(-x)+eT=/(x)+e',即=e7—e',

①

又因为函数V=/(x)—3e，为奇函数，则〃—x)—3e-'=-〃x)+3ex,即

/(x)+/(-x)=3ex+3e-x,②

联立①②可得/(x)=ex+2e-x,

由基本不等式可得/(x)=ex+2e-x>2je'-2e-x=2夜,

当且仅当e'=2er时，即当x=5ln2时，等号成立，

2

故函数/(x)的最小值为

2217

8.双曲线G1―1=1(。>0,5>0)的左、右焦点分别是线，F2,离心率为三，点尸(再,%)是C

的右支上异于顶点的一点，过用作N4尸鸟的平分线的垂线，垂足是弘\MO\=y/2,若让一点搬

足币•可:=5,则理I］中J两条渐近线距离之和为()

A.20B.2百C.275D.276

【答案】A

【解析】设卡焦距为c,延长取0交尸耳「一点M由于，/是N与明的平分线，F.MLPM,

所以AN?写是等腰三角形，所以|「“目尸外且雇犯的中点.

根据双曲线的定义可知|期|—|「乙|=2。，即|町|二2。，由于超月片的中点,

所以加堤月的中位线，所以|MO|=g|g|=a=Vi,

又双曲线的离心率为Y6,所以c=6，b=l,

2

x2,

所以双曲线亦方程为—-y2=l.

2'

所以月(-7^,0),双曲线由J渐近线方程为x±J5y=0,

\u+y/2v\\II-42V\

设T(",v),7SJ两渐近线的距离之和为S,贝US=

由不可=（"-百）（〃+扬+"="2+I）-3=5,得"2+y2=8,

Y2〃2

又TltG----y1=1_t>则二—v2=1,Bpu2—2v2=2,解得〃？=6,v2=2,

22

所以|"|>亚»|,故S=/=20,即距离之和为2亚.

故选:A

二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部

选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.

9.已知复数:1/2是关于渊方程/+及+1=0（-2<6<2力€尺）的两根，贝IJ（）

B.二£我

Z2

C.HT二21=1D.若b=l,则zf=z；=1

【答案】ACD

-b±\/4-b2i

【解析】解：A=62-4<0x=----------，

则4=22，故/正确；

由选项何知，|二/=|二/=，今2+（3/）2=1,C正确:

由韦达定理得二1二2-1，

Z_二;一2_〃-2by/4-b2.

当bwO时，NR,故雁；

Z2

当b=l时，工=」+乌，刍=-；-冬，

12222

计算得二;=*与=3=£，

同理可得:；=：1=Z2>

结合照项可知二；=2/2=1,同理可得2；=1,故〃正确.

故选：ACD

10.如图，点4瓦。是函数/（x）=sin（0x+°）（0>O）的图象与直线y=立相邻的三个交点，且

B.

fITITI

C.函数/（X）在上单调递增

D.若将函数/（X）的图象沿X轴平移e个单位，得到一个偶函数的图像，则网的最小值为最

【答案】AD

【解析】令/（x）=sin（0x+°）='^得,7C_,„27r-f）

6+9=一+2内r或ox+夕=—+2划r,keZf

..,._,兀c77T-_27r_7

由图可知：cox.+6?=—+2^71,。工+°=—+2加1+2兀，cox-\-（p———+2ATT,

月333n

所以忸C|=XC—XB=4-弓+2兀］,|48|=XB—X/=-

3）co3

jr1/27rA

所以彳=忸。-|45|=一|--—+2n\,所以co=4,故A选项正确，

33）

所以/（x）=sin（4x+°）,由/卜国=0得5111'三+夕）=0,

~兀

所以一§+0=兀+2内r,kwZ,

47r

所以夕二三-+2版，keZ9

所以/（x）=$山（4》+年+2版卜sin（4x+与卜一sin（4x+W）,

■/491兀■］卜一仙.（万9兀+兀§、卜-1万，故B错误.

当代仁?时，4升六〔可,2兀+升

因为了=一5亩/在/6（5,2兀+］）为减函数，故/（X）在（己，；）上单调递减，故C错误：

（Q

将函数/（x）的图象沿x轴平移6个单位得g（x）二—sm4x+46+、,（6<0时向右平移，0>0

时向左平移），

g(x)为偶函数得4e+g=]+E,keZ,

所以夕=工+如，keZ,则冏的最小值为工，故D正确.

2441124

故选：AD.

11.如图，正方体4BCD-44GA的棱长为2,点£是,中点，点/为侧面5CG4内(含边界)

A.若4尸，平面4G。，则点尸与点踵合

B.以防球心，域为半径的球面与截面/皿的交线的长度为叵

33

C.若的棱员中点，则平面4中截正方体所得截面的面积为上叵

6

D.若闽直线44的距离与到平面a>4G的距离相等，则点邢j轨迹为一段圆弧

【答案】ABC

【解析】正方体ABCD-431GA中，8c人平面DCCR,DC】u平面DCCR,BC1DC「

正方形。CG4中，AC工DC〉

AC,5Cu平面BCR,D£cBC=C,则Z)G，平面5cz)i,

平面5CR,DCX1DXB,

同理，DA,1DXB,

z)4，z>Gu平面4G。，D&cDCi=D,平面4G。，

若点/不与底合，因为。1P_L平面4。。，则。1尸〃。0,与4尸0。田=2矛盾，

故当APJ_平面4G。时，点、P与踵合,故A正确；

DA=DC=DDX,AC=4D[=CDi，三棱锥。—4皿为正三棱锥,

故顶点胞底面NCR的射影为△4C4的中心片

连接掰由%-遂4=%TCD，得L』x2x2x2，xLx2近x2近乂昱DH,

3232

所以DH=4,因为球的半径为2匹，所以截面圆的半径2

V33忑‘

2

所以球面与截面4皿的交线是以明圆心，耳为半径的留在△NCQ内部部分,

如图所示，HV=」x2jIx也=逅，所以M'=2

323

Tt7T

HFRHMJMF"所以NMHF=一,同理，其余两弦所对圆心角也等于一,

22

所以球面与截面48】的交线的长度为2兀x[一3x1x[=率，故B正确：

对于C,过笈/的直线分别交加、比的延长线于点G,M,连接AM、Dfi,

分别交侧棱G。于点儿交侧棱44于点"连接丽场如图所示：

则截面为五边形D.HEPN,

GA=AE=EB=BP=PC=CM=\,GE=EP=PM=&，GM=30

D[G=D[M=也。2+DM?=5,HA=~,GH=^~，

33

GM3

cosADfiM=2=,故S0QGM,

DXG—726J26

_1/77V17_3>/17S_1r-vV13^7_V17

“i以S^GM-7'5/13x3V2x-.——--,SqEH-x>/2x——x—=-——

27Zb2Z372bo

所以五边形D】HEPN的面积s=SAAGA/-2SAG£ff=圭叵—2x叵=1故C正确:

266

因为4用_1平面5。4片，尸§1U平面5。。避1，

所以「用_LAXBX,点阕直线4片的距离即点隹ij点B］的距离，

因为平面BCC&1平面CDDG，故点同平面CDD1cl的距离为点闺CQ的距离,

由题意知点度IJ点用的距离等于点厚ijCQ的距离，

故点剧轨迹是以4为焦点，以CG为准线的抛物线在侧面3CG片内的部分，故D错误.

故选：ABC.

三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.

12.（4一：）的展开式中的常数项为.（用数字作答）.

=4(«户']=品(—2)产

故常数项为C；（—2）3=-672.

故答案为：-672.

13.在AABC中，tan_3=tanC=，b=1,则tan(3+C)=：

【答案】①.。V3

【解析】由tan3=tanC=走，5=Ce[o,-jL可得3=C==：

所以可得3+C=（,所以4=会,即tan（5+C）=JL

易知sin_5=L,sinA=>

22

由正弦定理可得。=垩且力=百；

sin5

故答案为：6,6

14.己知点/为抛物线上一点（点/在第一象限），点防抛物线的焦点，准线为1,线段"的中

垂线交准线/于点〃交谢于点£（〃、碓4砸两侧），四边形40所为菱形，若点人0）•别在边处、

EA上，DP^ADA，硬=画，若2九+//=（则而•而的最小值为，

tFA-^FE+卜"-在'"611）的最小值为.

【答案】①.3②.亘

2

【解析】对于第一个空：

因为四边形皿石为菱形，所以产，4D//M,又由抛物线的定义知，AD=AF,

所以乙小0=60°,乙4及=60°,/（；，°，

所以"的方程为7

_rr(1)

V=V3x3

由fI2J联立得，12x2-20x+3=0,得演=%2=二，

226

y=2ox

由分析知，*，0)，所以°[总向，*,0),喟,0),

53=(2,0),5F=(1,-73),荏=(2,0),或=(—1,百)，

FP=DP-DF=ADA-DF=(2A-l,y/3y匝=匠+匝=匠+庐=(2-〃,何),

又22+4=»,22=1_〃e[0,2],0V//M1所以,

222

——、,、,、<5Y.1「1]

"•/0=(2九_1)(2_〃)+3〃=|[一从一](2-〃)+3,=〃-一不4+3,,

1__

当4=5时，口尸。取最小值3.

对于第二个空：

成二（1/，而二（2,0）,扃—；赤=（/—；,后卜成—砺二,—2,何,

—►1—►

tFA—FE

4

表示的是点尸«,、用）到点尸和N（2,0）的距离之和,

尸«,、瓦）在直线y=瓜上，设N（2,0）关于直线y=瓜对称的点N\x0,y0）,

由•"一；3得卜二，所以叫-1,百），

%_尺。+2）尻=百'）

.22

|「尸|+|PN]=|「尸|+|PN[»|KV[=4，当且仅当此尸，尸三点共线时，等号成立.

故tFA--FE+卜成-而|的最小值为31

4112

四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.

13

15.设/(x)=alnx+——-x+1,曲线y=/(x)在点(1J(D)处取得极值.

2x2

(1)求马

(2)求函数/(x)的单调区间和极值.

【答案】(1)2(2)单调递减区间(0」)和(1，+°°),单调递增区间(L1),极大值为/(1)=0,极

33

小值为/(；)=2-21113.

【解析】(1)/(x)=alnxH-------x+1,贝!!1/'(x)=------------,

2x2x2x2

又广⑴=0,

故可得a—2=0,

解得4=2；

(2)由⑴可知，/(x)=21nx+-1---.r+1,八月=_3-1)，1),

2x22x

令/'(x)=0,解得不=：,x2=l,

又・••函数定义域为(0,+s),

故可得/(x)在区间(0,1)和(1,+8)单调递减，在区间(1,1)单调递增.

故/(x)的极大值为/⑴=0,/(x)的极小值为/(1)=2—2山3.

3

16.如图，四棱锥V-48CD中，底面4BCZ)是边长为2的菱形，440=60°，平面血＞_L底面

ABCD.

V

（1）求证：ACLVD-,

（2）若EB=2,且四棱锥P-48cD的体积为2,求直线FC与平面以5所成角的正弦值.

【答案】（1）证明见解析（2）叵

5

【解析】（1）平面如）_L底面4CD,平面FBDD底面45。）=助，

底面4BCZ）是边长为2的菱形，AC1BD,NCu底面4BCD,

则有力C_L平面烟），又切u平面血）,所以力C_L以）.

（2）底面45CD是边长为2的菱形，ABAD=60",

△BAD为等边三角形,BD=2,S^MD=x2x2xsin60°=>/3,

平面曲）_L底面4BCZ）,平面烟底面4BCD=3。，

过忆点作助的垂线，垂足为O,则阳_L底面45C。，

四棱锥V—48CD的体积为2,则工x2S“®・PO=』x2xJ=%>=2,

33

解得阳=石，则BO=-"=〃-3=1，

所以。为AD中点，即。为NC和AD交点，

AO=OC=yjAB2-BO2=^/4^T=^/3.

以。为原点，0403,。/所在直线分别为x,y,二轴，建立如图所示的空间直角坐标系，

则0（0,0,。），4（0,0,0）,5（0,1,0）,C（->/3,0,0）,r（0,0,V3）,

28=（-73,1,0）,西=倒,1,-百），PC=（-73,0,-73）,

设平面以3的一个法向量；?=（x,y,二），

AB-n=->/3x+”=0「/r\

则有〈一L,，令x=l，则"=百，2=1,即为=,

7

VBH=y-y/3z=0、

Y-6

76x75

所以直线VC与平面VAB所成角的正弦值为—

5

17.现有标号依次为1,2,〃的力b盒子，标号为1号的盒子里有2个红球和2个白球，其余盒子里都

是1个红球和1个白球.现从1号盒子里取出2个球放入2号盒子，再从2号盒子里取出2个球放入3号盒

子，…，依次进行到从n-l号盒子里取出2个球放入泻盒子为止.

（1）当〃=2时，求2号盒子里有2个红球的概率；

（2）当〃=3时，求3号盒子里的红球的个数4的分布列；

（3）记泻盒子中红球的个数为X”，求元的期望E（X“）.

2

【答案】（1）y（2）分布列见解析（3）E（X”）=2

dC42

【解析】⑴由题"J•知2号盒子里有2个红球的概率为尸=-^=］；

C43

（2）由题可知彳可取1,2,3,

GcC

ct

4+7

--clXX

ciee2cl

CI4c36

d

4cltc'7

--X+eX7

-rr

36

尸（右2）=1-尸（日）-尸恁=3）=*

1O

所以3号盒子里的红球的个数4的分布列为

123

7117

p

361836

（3）记a”」为第〃（〃上2）号盒子有三个红球和一个白球的概率，则q=3，

6

211

“.i为第〃（〃22）号盒子有两个红球和两个白球的概率，则可=三，与='，

318

则第〃（〃>2）号盒子有一个红球和三个白球的概率为1一4_1-4_1,

211

IL、"-l=§4-2+~an-2+-（1-Crn-2-^-2）（W23），

化解得如=：%+；,

o2

,731Q3、z31

得%一十，如卜

31/3、「31311

而与一丁二2A一=，则数列一三｝为等比数列,首项为&一==77，公比为:，

36IJ）5156

所以与二十UU、

〃515（6j

又由4一1=。“一2+：4〃一2求得：

o25

因此E（X”）=1x%+2x如+3x（1-%-如）=3-2%-%=2.

22

18.已知产为曲线。：二+匕=1（">1）上任意一点，直线与圆*2+/=1相切，且分别与

4n

C交于M,N两点、,O为坐标原点.

（1）若丽.而为定值，求"的值，并说明理由：

4.

（2）若〃=§，求面积的取值范围.

4

【答案】（1）〃=4或〃=§;⑵K1

【解析】⑴由题意设尸（再JJ，M（X2，%），

当直线尸M的斜率不为。时，直线尸x=〃V+Z,

因为直线与圆相切，所以d1,即加2+1=产，

x=〃少+f

22,可得：+4）y2+2m，ty+nt1_4〃=0,

联立L+J

4〃

所以A=（2mw/）2一4（加2〃+4）（〃/一4〃）>0,凶+y=-2nnit-4〃

2——7"力=—~了，

nrn+4nrn+4

4/一4〃，〃

玉々=（〃与+0（zw>2+0=/+〃"（必+%）+产=

m2n+4'

一47〃2〃+（4+〃片-4〃

所以。尸・OA/=再、2+必必97

nrn+4

（4-3〃）〃」+（4-3〃）

因为加2+1=尸，所以看超+必必

_|_4

4一3〃4-3/74

要使O尸・OM为定值，则,所以〃=4或〃=一,

n43

当直线PM的斜率为0时，

因为直线与圆相切，所以d=>|=l,即."=±1,

不妨取y二i,

y=1

22,44

联立《xv,可得/+二-4=0,所以XM2=--4

一+^—=1〃〃

.4n

4

所以怎马+匕％=-3+—，也符合上式.

n

4—.

(2)当"=一时，由(1)可知OPOM=0，OP±OM,

3

同理OP_LON,即M,O,N三点共线，

所以-

S4PMN—2SAPMO—|PA/|-

当直线尸河的斜率不为0时，由(1)可知：