2024年中考数学一轮复习考点06 分式方程（精讲）（解析版）29

考点06.分式方程（精讲）【命题趋势】分式方程考查内容以分式方程解法、分式方程含参问题、分式方程的应用题为主，既有单独考查，也有和一次函数、二次函数结合考察，年年考查，分值为10分左右，预计2024年各地中考还将继续考查分式方程解法、分式方程含参问题（较难）、分式方程的应用题，为避免丢分，学生应扎实掌握。【知识清单】1：解分式方程（☆☆）1）分式方程的概念：分母中含有未知数的方程叫做分式方程．注意：“分母中含有未知数”是分式方程与整式方程的根本区别，是判定一个方程为分式方程的依据。2）分式方程的解法（1）解分式方程的基本思路是将分式方程化为整式方程，具体做法是去分母，即方程两边同乘以各分式的最简公分母．（2）解分式方程的步骤：①找最简公分母，当分母是多项式时，先分解因式；②去分母，方程两边都乘最简公分母，约去分母，化为整式方程；③解整式方程；④验根．3）增根在方程变形时，有时可能产生不适合原方程的根，这种根叫做方程的增根。由于可能产生增根，所以解分式方程要验根，其方法是将根代入最简公分母中，使最简公分母为零的根是增根，否则是原方程的根．注意：增根虽然不是方程的根，但它是分式方程去分母后变形而成的整式方程的根。若这个整式方程本身无解，当然原分式方程就一定无解。2：分式方程的应用（☆☆☆）1）列分式方程解应用题的一般步骤：①审题（找等量关系）；②设未知数；③列分式方程；④解分式方程；⑤检验（一验分式方程，二验实际问题）；⑥答。2）分式方程的应用主要涉及工程问题，有工作量问题、行程问题、利润问题等。每个问题中涉及到三个量的关系，如：工作时间＝，时间＝，总利润=单件利润×销售量，利润率=利润÷成本×100%等。【易错点归纳】1.解分式方程过程中，易错点有：①去分母时要把方程两边的式子作为一个整体，记得不要漏乘整式项；②忘记验根，最后的结果还要代回方程的最简公分母中，只有最简公分母不是零的解才是原方程的解。2.分式方程有增根与无解并非是同一个概念。分式方程无解，需分类讨论：可能是解为增根，也可能是去分母后的整式方程无解。【核心考点】核心考点1.解分式方程例1：（2023·山东淄博·统考中考真题）已知是方程的解，那么实数的值为（

）A． B．2 C． D．4【答案】B【分析】将代入方程，即可求解．【详解】解：将代入方程，得解得：故选：B．【点睛】本题考查分式方程的解，解题的关键是将代入原方程中得到关于的方程．变式1．（2023上·河南开封·九年级统考期末）下列方程中是分式方程的是（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】根据分式方程的定义判断即可．【详解】解：A，B，D选项中的方程，分母中不含未知数，所以不是分式方程，故不符合题意；C选项方程中的分母中含未知数，是分式方程，故符合题意；故选：C．【点睛】本题考查了分式方程的定义，掌握分母中含有未知数的方程叫做分式方程是解题的关键．变式2．（2023·四川成都·统考二模）若关于x的分式方程的解为，则m的值为（

）A．1 B．2 C．3 D．5【答案】A【分析】解分式方程，根据方程的解为，即可求解．【详解】解：，方程两边同时乘以得：，解得，且，方程的解为，，即，故选：A．【点睛】本题考查了解分式方程，将分式方程化为整式方程是解题的关键．例2：（2023·福建·统考一模）下列解分式方程的步骤中，错误的是（

）A．找最简公分母：B．去分母：C．计算方程的根：D．验根：当时，方程成立【答案】D【分析】由解分式方程的步骤即可选择．【详解】该分式方程的最简公分母是，故A正确，不符合题意．分式两边同时乘以，得：，故B正确，不符合题意．由B选项即可得出，故C正确，不符合题意．当时，，故该分式方程无解．故D错误，符合题意．故选D．【点睛】本题考查解分式方程，掌握解分式方程的步骤是解答本题的关键．变式1．（2023·山西晋中·校联考模拟预测）分式方程的解是（

）A． B． C．无解 D．【答案】C【分析】先去分母，将分式方程化为整式方程求解，再进行检验即可．【详解】解：，去分母，得：，去括号，得：，移项合并，得：，检验，当时，，即是原分式方程的增根，∴原分式方程解．故选：C．【点睛】本题主要考查了解分式，解题的关键是掌握解分式方程的方法和步骤．变式2．（2023·上海·统考中考真题）在分式方程中，设，可得到关于y的整式方程为（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】设，则原方程可变形为，再化为整式方程即可得出答案.【详解】解：设，则原方程可变形为，即；故选：D.【点睛】本题考查了利用换元法解方程，正确变形是关键，注意最后要化为整式方程.变式3．（2023·山西·统考中考真题）解方程：．【答案】【分析】去分母化为整式方程，求出方程的根并检验即可得出答案．【详解】解：原方程可化为．方程两边同乘，得．解得．检验：当时，．∴原方程的解是．【点睛】本题考查了分式方程的解法，熟练掌握解分式方程的方法是解题关键．变式4．（2023·浙江嘉兴·统考中考真题）小丁和小迪分别解方程过程如下：小丁：解：去分母，得去括号，得合并同类项，得解得∴原方程的解是小迪：解：去分母，得去括号得合并同类项得解得经检验，是方程的增根，原方程无解你认为小丁和小迪的解法是否正确？若正确，请在框内打“√”；若错误，请在框内打“×”，并写出你的解答过程．【答案】都错误，见解析【分析】根据解分式方程的步骤判断小丁和小迪的解法是否正确，再正确解方程即可．【详解】小丁和小迪的解法都错误；解：去分母，得，去括号，得，解得，，经检验：是方程的解．【点睛】本题考查分式方程的解法，熟练掌握解分式方程的步骤是解题的关键．例3：（2023·山东日照·统考中考真题）若关于的方程解为正数，则的取值范围是（

）A． B． C．且 D．且【答案】D【分析】将分式方程化为整式方程解得，根据方程的解是正数，可得，即可求出的取值范围．【详解】解：∵方程的解为正数，且分母不等于0∴，∴，且故选：D．【点睛】此题考查了解分式方程，根据分式方程的解的情况求参数，解不等式，将方程化为整式方程求出整式方程的解，列出不等式是解答此类问题的关键．变式1．（2023·黑龙江·统考中考真题）已知关于x的分式方程的解是非负数，则的取值范围是（

）A． B． C．且 D．且【答案】C【分析】解分式方程求出，然后根据解是非负数以及解不是增根得出关于m的不等式组，求解即可．【详解】解：分式方程去分母得：，解得：，∵分式方程的解是非负数，∴，且，∴且，故选：C．【点睛】本题考查了解分式方程，解一元一次不等式组，正确得出关于m的不等式组是解题的关键．变式2．（2023·山东·统考一模）关于x的分式方程解的情况，下列说法正确的是（

)．A．若，则此方程无解 B．若，则此方程无解C．若方程的解为负数，则 D．若，则方程的解为正数【答案】BC【分析】先按照一般步骤解方程，用含有a的代数式表示x，然后根据x的取值讨论a的范围，即可作出判断．【详解】解：A、当a=0时，原分式方程为，解得：x=2，当x=2时，x-1≠0，∴原分式方程的解为x=2，故本选项错误，不符合题意；B、，去分母得：，当a=1时，该方程无解，∴原分式方程无解；当a=-1时，原分式方程为，解得：x=1，当x=1时，x-1=0，∴x=1是增根，原分式方程无解；∴若，则此方程无解，故本选项正确，符合题意；C、，去分母得：，解得：，∵方程的解为负数，∴x＜0且x-1≠0，∴且，解得：，故本选项正确，符合题意；D、若方程的解为正数，∴，且，解得：且a≠-1，∴当且a≠-1时，方程的解为正数，故本选项错误，不符合题意；故选：BC【点睛】考查分式方程的解，解题关键是要掌握方程的解的定义，使方程成立的未知数的值叫做方程的解．例4：（2023·广东广州·校联考模拟预测）若关于的分式方程有增根，则的值为（

）A．1 B．2 C． D．0【答案】C【分析】增根是化为整式方程后产生的不适合分式方程的根．所以应先确定增根的可能值，让最简公分母，得到，然后代入化为整式方程的方程算出的值．【详解】解：方程两边都乘，得，原方程有增根，最简公分母，解得：，当时，，故选：C．【点睛】本题考查根据分式方程解的情况求值．注意计算的准确性．变式1．（2023上·河南安阳·九年级校考期末）若分式方程有增根，则m的值为（）A．1 B． C．2 D．【答案】B【分析】先化分式方程为整式方程，令分母，代入整式方程计算m的值．【详解】因为，去分母得：，解得：因为分式方程有增根，所以，即：是方程增根，所以，故选B．【点睛】本题考查了分式方程的增根问题，解题的关键是熟练掌握分式方程中关于增根的解题方法．例5：（2022·四川遂宁·统考中考真题）若关于x的方程无解，则m的值为（

）A．0 B．4或6 C．6 D．0或4【答案】D【分析】先将分时方程化为整式方程，再根据方程无解的情况分类讨论，当时，当时，或，进行计算即可．【详解】方程两边同乘，得，整理得，原方程无解，当时，；当时，或，此时，，解得或，当时，无解；当时，，解得；综上，m的值为0或4；故选：D．【点睛】本题考查了分式方程无解的情况，即分式方程有增根，分两种情况，分别是最简公分母为0和化成的整式方程无解，熟练掌握知识点是解题的关键．变式1．（2023·河北沧州·校考模拟预测）“若关于的方程无解，求的值．”尖尖和丹丹的做法如下（如图1和图2）：

下列说法正确的是（

）A．尖尖对，丹丹错B．尖尖错，丹丹对C．两人都错D．两人的答案合起来才对【答案】D【分析】根据分式方程无解情况①去分母后方程无解，②解出的解是增根，两类讨论即可得到答案；【详解】解：由题意可得，去分母可得，，移项合并同类项得，，当时，即时方程无解，当时，即时，，∵方程无解，即是方程的增根，可得：，解得：，∴，解得：，故选D；【点睛】本题考查分式方程无解的情况，解题的关键是熟练掌握分式方程无解情况①去分母后方程无解，②解出的解是增根．例6：（2023·重庆渝中·校考一模）若关于的不等式组无解，且关于的分式方程有整数解，则满足条件的所有整数的和为（

）A．10 B．12 C．16 D．14【答案】B【分析】先求得不等式组中各不等式的解集，根据不等式组无解可求得的取值范围，然后求得分式方程的解，根据解为整数，且，即可求得满足条件的所有整数的值．【详解】解不等式，得．解不等式，得．因为关于的不等式组无解，可得．解得．解关于的分式方程，得．∵为整数，，,∴或或．∴满足条件的所有整数的和．故选：B．【点睛】本题主要考查解一元一次不等式组和解分式方程，牢记解一元一次不等式组和解分式方程的步骤是解题的关键．变式1．（2021·四川达州市·中考真题）若分式方程的解为整数，则整数___________．【答案】【分析】直接移项后通分合并同类项，化简、用来表示，再根据解为整数来确定的值．【详解】解：，整理得：若分式方程的解为整数，为整数，当时，解得：，经检验：成立；当时，解得：，经检验：分母为0没有意义，故舍去；综上:，故答案是：．【点睛】本题考查了分式方程，解题的关键是：化简分式方程，最终用来表示，再根据解为整数来确定的值，易错点，容易忽略对根的检验．变式2．（2023·广西九年级课时练习）若关于x的方程(a+1)x2+(2a﹣3)x+a﹣2＝0有两个不相等的实根，且关于x的方程的解为整数，则满足条件的所有整数a的和是_____．【答案】2【分析】关于一元二次方程（a+1）x2+（2a-3）x+a-2=0利用一元二次方程的定义和判别式的意义得到a＜且a≠-1，再解分式方程得到，接着利用分式方程的解为整数得到a=0，2，-1，3，5，-3，然后确定满足条件的a的值，从而得到满足条件的所有整数a的和．【详解】∵关于x的方程(a+1)x2+(2a﹣3)x+a﹣2＝0有两个不相等的实根，∴a+1≠0且△＝(2a﹣3)2﹣4(a+1)×(a﹣2)＞0，解得a＜且a≠﹣1．把关于x的方程去分母得ax﹣1﹣x＝3，解得∵x≠﹣1，∴，解得a≠﹣3，∵(a≠﹣3)为整数，∴a﹣1＝±1，±2，±4，∴a＝0，2，﹣1，3，5，﹣3，而a＜且a≠﹣1且a≠﹣3，∴a的值为0，2，∴满足条件的所有整数a的和是2．故答案是：2．【点睛】本题考查根的判别式：一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的根与△=b2-4ac有如下关系：当△＞0时，方程有两个不相等的两个实数根；当△=0时，方程有两个相等的两个实数根；当△＜0时，方程无实数根．核心考点2.分式方程的应用例7：（2023·辽宁丹东·统考中考真题）“畅通交通，扮靓城市”，某市在道路提升改造中，将一座长度为36米的桥梁进行重新改造．为了尽快通车，某施工队在实际施工时，每天工作效率比原计划提高了，结果提前2天成功地完成了大桥的改造任务，那么该施工队原计划每天改造多少米?【答案】施工队原计划每天改造6米．【分析】设施工队原计划每天改造米，根据提前2天成功地完成了大桥的改造任务得：，解方程并检验可得答案．【详解】解：设施工队原计划每天改造米，根据题意得：，解得，经检验，是原方程的解，答：施工队原计划每天改造6米．【点睛】本题考查分式方程的应用，解题的关键是读懂题意，找到等量关系列出分式方程．变式1．（2023·山东淄博·统考中考真题）为贯彻落实习近平总书记关于黄河流域生态保护和高质量发展的重要讲话精神，某学校组织初一、初二两个年级学生到黄河岸边开展植树造林活动．已知初一植树棵与初二植树棵所用的时间相同，两个年级平均每小时共植树棵．求初一年级平均每小时植树多少棵？设初一年级平均每小时植树棵，则下面所列方程中正确的是（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】根据初一植树棵与初二植树棵所用的时间相同列式求解即可得到答案．【详解】解：由题意可得，，故选：D；【点睛】本题考查分式方程解决应用问题，解题的关键是找到等量关系式．变式2．（2023·广东河源·统考三模）某工程队承接了60万平方米的绿化工程，由于情况有变，…．设原计划每天绿化的面积为x万平方米，列方程为，根据方程可知省略的部分是（）A．实际工作时每天的工作效率比原计划提高了，结果提前30天完成了这一任务B．实际工作时每天的工作效率比原计划提高了，结果延误30天完成了这一任务C．实际工作时每天的工作效率比原计划降低了，结果延误30天完成了这一任务D．实际工作时每天的工作效率比原计划降低了，结果提前30天完成了这一任务【答案】C【分析】本题考查了分式方程的应用，根据给定的分式方程，找出省略的条件是解题的关键．根据工作时间=工作总量÷工作效率结合所列分式方程，即可找出省略的条件，此题得解．【详解】解：设原计划每天绿化的面积为x万平方米，∵所列分式方程为，∴为实际工作时间，为原计划工作时间，∴省略条件：实际工作时每天的工作效率比原计划降低了，结果延误30天完成了这一任务．故选：C．变式3．（2023·福建漳州·统考一模）某村要修建一条长为1200米的水泥路面村道，现有两支施工队前来应聘，村委会派出相关人员了解这两支施工队的情况，获得如下信息．信息一：甲队单独施工完成工程比乙队单独施工完成工程多用10天；信息二：乙队每天施工的数量是甲队每天施工的数量的倍．(1)根据以上信息，求甲、乙两支施工队每天分别修多少米道路？(2)村委会将工程交给乙队，要求25天内完成．几天后因乙队接到抢险任务，经村委会同意，就将余下工程交给甲队．那么在转交给甲队之前乙队至少要施工多少天，才能按照村委会要求按时完成？【答案】(1)甲施工队每天修40米道路，乙施工队每天修60米道路；(2)在转交给甲队之前乙队至少要施工10天，才能按照村委会要求按时完成．【分析】（1）设甲施工队每天修x米道路，则乙施工队每天修米道路，利用工作时间工作总量工作效率，结合甲队单独施工完成工程比乙队单独施工完成工程多用10天，可列出关于x的分式方程，解之经检验后，可得出甲施工队每天修路的长度，再将其代入中，即可求出乙施工队每天修路的长度；（2）设在转交给甲队之前乙队施工y天，根据要求25天内完成修路任务，可列出关于y的一元一次不等式，解之取其中的最小值，即可得出结论．【详解】（1）解：设甲施工队每天修x米道路，则乙施工队每天修米道路，根据题意得：，解得：，经检验，是所列方程的解，且符合题意，．答：甲施工队每天修40米道路，乙施工队每天修60米道路；（2）设在转交给甲队之前乙队施工y天，根据题意得：，解得：，∴y的最小值为10．答：在转交给甲队之前乙队至少要施工10天，才能按照村委会要求按时完成．【点睛】本题考查了分式方程的应用以及一元一次不等式的应用，解题的关键是：（1）找准等量关系，正确列出分式方程；（2）根据各数量之间的关系，正确列出一元一次不等式．例8：（2023·广东湛江·统考三模）某周日，珂铭和小雪从新天地小区门口同时出发，沿同一条路线去离该小区米的少年宫参加活动，为响应节能环保，绿色出行的号召，两人步行，已知珂铭的速度是小雪的速度的倍，结果珂铭比小雪早6分钟到达．(1)求小雪的速度；(2)活动结束后返回，珂铭与小雪的速度均与原来相同，若小雪计划比珂铭至少提前6分钟回到小区，则小雪至少要比珂铭提前多长时间出发？【答案】(1)小雪的速度是米/分钟(2)小雪至少要比珂铭提前出发12分钟【分析】本题考查了分式方程的应用，一元一次不等式的应用；（1）设小雪的速度是米/分钟，则珂铭速度是米/分钟，根据“珂铭比小雪早6分钟到达”列出方程，解方程并检验后即可得到答案；（2）求出珂铭与小雪全程所用的时间，根据“小雪计划比珂铭至少提前6分钟回到小区”列出不等式，解不等式即可得到答案．【详解】（1）解：设小雪的速度是米/分钟，则珂铭速度是米/分钟，依题意得：，解得：，经检验是原方程的解，答：小雪的速度是米/分钟．（2）由（1）可知，珂铭速度是（米/分钟），珂铭全程用的时间是（分钟），小雪全程用的时间是（分钟），设小雪比珂铭提前a分钟出发，根据题意得，，解得，答：小雪至少要比珂铭提前出发分钟．变式1．（2023·青海·统考中考真题）为了缅怀革命先烈，传承红色精神，青海省某学校九年级师生在清明节期间前往距离学校的烈士陵园扫墓.一部分师生骑自行车先走，过了后，其余师生乘汽车出发，结果他们同时到达；已知汽车的速度是骑车师生速度的2倍，设骑车师生的速度为.根据题意，下列方程正确的是（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】根据题意可直接进行求解．【详解】解：由题意得：；故选：B．【点睛】本题主要考查分式方程的应用，解题的关键是理解题意．变式2．（2023·辽宁辽阳·统考三模）小明和小丽约定周末在学校门口集合，乘大巴车一起去本溪水洞游玩，但由于小明有事，在小丽出发半小时后小明才到达校门口，然后小明立即乘出租车追赶，已知出租车的速度是大巴车的倍，追赶上大巴车后继续前行，结果比小丽提前到达本溪水洞，已知学校到本溪水洞的距离为，设大巴车的速度为，根据题意，所列方程正确的是（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】设大巴车的速度为，则出租车的速度是，根据所用的时间，即可列出分式方程．【详解】解：设大巴车的速度为，则出租车的速度是，根据题意得：，故选：C．【点睛】本题考查了分式方程的应用，解题的关键是理解题意，找到题目中蕴含的相等关系，并依据相等关系列出方程．变式3．（2022·四川自贡·统考中考真题）学校师生去距学校45千米的吴玉章故居开展研学活动，骑行爱好者张老师骑自行车先行2小时后，其余师生乘汽车出发，结果同时到达；已知汽车速度是自行车速度的3倍，求张老师骑车的速度．【答案】张老师骑车的速度为千米/小时【分析】实际应用题的解题步骤“设、列、解、答”，根据问题设未知数，找到题中等量关系张老师先走2小时，结果同时达到列分式方程，求解即可．【详解】解：设张老师骑车的速度为千米/小时，则汽车速度是千米/小时，根据题意得：，解之得，经检验是分式方程的解，答：张老师骑车的速度为千米/小时．【点睛】本题考查分式方程解实际应用题，根据问题设未知数，读懂题意，找到等量关系列出分式方程是解决问题的关键．例9：（2023·江苏盐城·统考中考真题）某校举行“二十大知识学习竞赛”活动，老师让班长小华到商店购买笔记本作为奖品．甲、乙两家商店每本硬面笔记本比软面笔记本都贵3元（单价均为整数）．(1)若班长小华在甲商店购买，他发现用240元购买硬面笔记本与用195元购买软面笔记本的数量相同，求甲商店硬面笔记本的单价．(2)若班长小华在乙商店购买硬面笔记本，乙商店给出了硬面笔记本的优惠条件（软面笔记本单价不变）：一次购买的数量少于30本，按原价售出；不少于30本按软面笔记本的单价售出．班长小华打算购买本硬面笔记本（为正整数），他发现再多购买5本的费用恰好与按原价购买的费用相同，求乙商店硬面笔记本的原价．【答案】(1)甲商店硬面笔记本的单价为16元；(2)乙商店硬面笔记本的原价18元【分析】（1）根据“硬面笔记本数量=软面笔记本数量”列出分式方程，求解检验即可；（2）设乙商店硬面笔记本的原价为a元，则软面笔记本的单价为元，由再多购买5本的费用恰好与按原价购买的费用相同可得，再根据且m，均为正整数，即可求解．【详解】（1）解：设硬面笔记本的单价为x元，则软面笔记本的单价为元，根据题意得，解得，经检验，是原方程的根，且符合题意，故甲商店硬面笔记本的单价为16元；（2）设乙商店硬面笔记本的原价为a元，则软面笔记本的单价为元，由题意可得，解得，根据题意得，解得，为正整数，，，，，，分别代入，可得，，，，，由单价均为整数可得，故乙商店硬面笔记本的原价18元．【点睛】本题考查了分式方程的应用以及二元一次方程的应用，解题的关键是找准等量关系，正确列出相应方程．变式1.（2023·广东湛江·统考三模）“五一”期间，我市某商场举行促销活动，活动期间规定：商场内所有商品按标价的出售；同时，当顾客在该商场消费满一定金额后，按如下方案获得相应金额的奖券：根据促销方法，顾客在该商场购物可获得双重优惠．例如，购买标价为450元的商品，则消费金额为（元），获得优惠额为：（元）．设购买商品的优惠率．试问：消费金额p（元）的范围…获得奖券金额（元）3060100130…(1)购买一件标价为800元的商品，顾客得到的优惠率是多少？(2)若一顾客购买了一套西装，得到的优惠率为，已知该套西装的标价高于7