2024届湖南省岳阳市平江县中考数学五模试卷含解析

2024学年湖南省岳阳市平江县中考数学五模试卷

注意事项：

1.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。

2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再

选涂其它答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效。

3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。

一、选择题（本大题共12个小题，每小题4分，共48分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.）

1.一个不透明的布袋里装有5个红球，2个白球，3个黄球，它们除颜色外其余都相同，从袋中任意摸出1个球，是

黄球的概率为（）

2.如图，正六边形A3C0E尸内接于O,M为E歹的中点，连接。拉，若。的半径为2,则的长度为（）

B.75

3.某广场上有一个形状是平行四边形的花坛（如图）,分别种有红、黄、蓝、绿、橙、紫6种颜色的花.如果有AB〃EF〃DC,

BC〃GH〃AD,那么下列说法错误的是（）

A.红花、绿花种植面积一定相等

B.紫花、橙花种植面积一定相等

C.红花、蓝花种植面积一定相等

D.蓝花、黄花种植面积一定相等

4.定义：如果一元二次方程”/+加+。=0（a/0）满足a+5+c=0,那么我们称这个方程为“和谐”方程；如果一元二次方

程依2+床+。=0（存0）满足a-Hc=0那么我们称这个方程为“美好”方程，如果一个一元二次方程既是“和谐”方程又是

“美好”方程，则下列结论正确的是（）

A.方有两个相等的实数根B.方程有一根等于0

C.方程两根之和等于0D.方程两根之积等于0

5.如图，将△ABC绕点A逆时针旋转一定角度，得至ibADE,若NCAE=65。，ZE=70°,MAD±BC,NBAC的度

6.已知关于x的一元二次方程2/—乙+3=0有两个相等的实根，则左的值为（）

A.±276B.±76C.2或3D.后或6

7.如图，AABC中，ZB=70°,则NBAC=30。，将AABC绕点C顺时针旋转得△EDC.当点B的对应点D恰好落

在AC上时，ZCAE的度数是（）

A.30°B.40°C.50°D.60°

8.-5的相反数是（）

11

A.5B.-C.Vr5D.--

9.如图，在RtAABC中，BC=2,ZBAC=30°,斜边AB的两个端点分别在相互垂直的射线OM,ON上滑动，下列

结论：

①若C,O两点关于AB对称，则OA=2A/L

②C,O两点距离的最大值为4；

③若AB平分CO,贝!|AB_LCO；

④斜边AB的中点D运动路径的长为加

其中正确的是（）

C

B

J

oAM

A.①②B.①②③C.①③④D.①②④

10.观察下列图形，其中既是轴对称图形，又是中心对称图形的是（）

A.B.C.D.0

11.下列判断正确的是（）

A.任意掷一枚质地均匀的硬币10次，一定有5次正面向上

B.天气预报说“明天的降水概率为40%”，表示明天有40%的时间都在降雨

C.“篮球队员在罚球线上投篮一次，投中”为随机事件

D.“a是实数，|a|KT是不可能事件

12.下列计算正确的是（）

A.x+x=x2B.xx=2xC.D.x3=x2

二、填空题：（本大题共6个小题，每小题4分，共24分.）

13.抛物线y=2/-1的顶点坐标是.

14.计算tan260°-2sin30°-0cos45。的结果为.

15.如图1,AB是半圆。的直径，正方形OPNM的对角线ON与AB垂直且相等，Q是OP的中点.一只机器甲虫从

点A出发匀速爬行，它先沿直径爬到点B,再沿半圆爬回到点A,一台微型记录仪记录了甲虫的爬行过程.设甲虫爬行

的时间为t,甲虫与微型记录仪之间的距离为y,表示y与t的函数关系的图象如图2所示，那么微型记录仪可能位于

图1中的（）

A.点MB.点NC.点PD.点Q

16.从0,0,n,3.14,6这五个数中随机抽取一个数，抽到有理数的概率是

17.不解方程，判断方程2-+3x-2=0的根的情况是.

3

18.如图，在平面直角坐标系中，点P的坐标为（0,4）,直线y=—x-3与x轴、y轴分别交于点A、B,点M是直

4

线AB上的一个动点，则PM的最小值为.

7x

三、解答题：（本大题共9个小题，共78分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.

12

19.（6分）已知C为线段A5上一点，关于X的两个方程5（x+1）=〃7与w（x+7"）=机的解分别为线段AG5C的

长，当加=2时，求线段A6的长；若C为线段A5的三等分点，求m的值.

20.（6分）如图，AB是。。的直径，C是弧AB的中点，弦CD与AB相交于E.

份C一

21.（6分）如图，吊车在水平地面上吊起货物时，吊绳BC与地面保持垂直，吊臂AB与水平线的夹角为64。，吊臂

底部A距地面1.5m.（计算结果精确到0.1m,参考数据sin64%0.90,cos64°~0.44,tan64°~2.05）

（1）当吊臂底部A与货物的水平距离AC为5m时，吊臂AB的长为m.

（2）如果该吊车吊臂的最大长度AD为20m,那么从地面上吊起货物的最大高度是多少？（吊钩的长度与货物的高度

忽略不计）

22.（8分）在“母亲节”期间，某校部分团员参加社会公益活动，准备购进一批许愿瓶进行

销售，并将所得利润捐给慈善机构.根据市场调查，这种许愿瓶一段时间内的销售量y（个）于销售单价x（元

/个）之间的对应关系如图所示.试判断y与x之间的函数关系，并求出函数关系式；若许愿瓶的进价为6元/个，按照

上述市场调查销售规律，求利润w（元）与销售单价x（元/个）之间的

函数关系式；若许愿瓶的进货成本不超过900元，要想获得最大利润，试求此时这种许愿瓶的销售单价，并求出

（个）

最大利润.

23.（8分）先化简，再选择一个你喜欢的数（要合适哦!）代入求值：

24.（10分）定义：如果把一条抛物线绕它的顶点旋转180。得到的抛物线我们称为原抛物线的“挛生抛物线”.

⑴求抛物线y=7-2x的“李生抛物线”的表达式；

⑵若抛物线y=*2-2x+c的顶点为O,与y轴交于点C,其“李生抛物线”与y轴交于点O,请判断△的形状，并

说明理由：

⑶已知抛物线y=/-2了-3与丫轴交于点。，与x轴正半轴的交点为A,那么是否在其“李生抛物线”上存在点P,在

y轴上存在点。，使以点A、C、尸、。为顶点的四边形为平行四边形？若存在，求出产点的坐标；若不存在，说明理

由.

25.（10分）平面直角坐标系xOy中（如图），已知抛物线y=ax?+bx+3与y轴相交于点C,与x轴正半轴相交于点A,

OA=OC,与x轴的另一个交点为B,对称轴是」直线x=L顶点为P.

（1）求这条抛物线的表达式和顶点P的坐标；

（2）抛物线的对称轴与x轴相交于点M,求NPMC的正切值七

（3）点Q在y轴上，且ABCQ与ACMP相似，求点Q的坐标.

4y

4-

3-

2-

1-

।।।iiii.

-3-2-101234x

26.（12分）如图二次函数的图象与x轴交于点4（—3,0）和3（1,0）两点，与V轴交于点C（0,3）,点C、。是二次函

数图象上的一对对称点，一次函数的图象经过3、D

求二次函数的解析式；写出使一次函数值大于二次函数值的X

的取值范围；若直线5。与y轴的交点为E点，连结AD、AE,求AADE的面积；

27.(12分)如图，在△ABC中，ZABC=90°,BD为AC边上的中线.

(1)按如下要求尺规作图，保留作图痕迹，标注相应的字母：过点C作直线CE,使CE_LBC于点C,交BD的延长

线于点E,连接AE；

(2)求证：四边形ABCE是矩形.

参考答案

一、选择题(本大题共12个小题，每小题4分，共48分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.)

1、A

【解题分析】

让黄球的个数除以球的总个数即为所求的概率.

【题目详解】

解：因为一共10个球，其中3个黄球，所以从袋中任意摸出1个球是黄球的概率是二.

故选:A.

【题目点拨】

本题考查概率的基本计算，用到的知识点为：概率等于所求情况数与总情况数之比.

2、A

【解题分析】

连接OM、OD、OF,由正六边形的性质和已知条件得出OMLOD,OM±EF,NMFO=60。，由三角函数求出OM,

再由勾股定理求出MD即可.

【题目详解】

连接OM、OD、OF,

•.,正六边形ABCDEF内接于。O,M为EF的中点，

AOMIOD,OM±EF,ZMFO=60°,

:.ZMOD=ZOMF=90°,

故选A.

【题目点拨】

本题考查了正多边形和圆、正六边形的性质、三角函数、勾股定理；熟练掌握正六边形的性质，由三角函数求出OM

是解决问题的关键.

3、C

【解题分析】

图中，线段GH和EF将大平行四边形ABCD分割成了四个小平行四边形，平行四边形的对角线平分该平行四边形的

面积，据此进行解答即可.

【题目详解】

解：由已知得题图中几个四边形均是平行四边形.又因为平行四边形的一条对角线将平行四边形分成两个全等的三角

形，即面积相等，故红花和绿花种植面积一样大，蓝花和黄花种植面积一样大，紫花和橙花种植面积一样大.

故选择C.

【题目点拨】

本题考查了平行四边形的定义以及性质，知道对角线平分平行四边形是解题关键.

4、C

【解题分析】

试题分析：根据已知得出方程a，+6x+c=0(存0)有两个根x=l和尤=-1,再判断即可.

解：I•把x=l代入方程ax2+Z>x+c=0得出：a+b+c=Q,

把x=-1代入方程ax2+bx+c=0得出a-b+c=O,

方程ax2+bx+c=0(a^O)有两个根x=l和x=T,

：.1+(-1)=0,

即只有选项C正确；选项A、B、D都错误；

故选C.

5、C

【解题分析】

试题分析：根据旋转的性质知，ZEAC=ZBAD=65°,ZC=ZE=70°.

如图，设ADJ_BC于点F.则NAFB=90。，

.•.在R3ABF中，ZB=90°-ZBAD=25°,

二在△ABC中，ZBAC=180°-ZB-ZC=180o-25o-70o=85°,

即/BAC的度数为85。.故选C.

考点：旋转的性质.

6、A

【解题分析】

根据方程有两个相等的实数根结合根的判别式即可得出关于k的方程，解之即可得出结论.

【题目详解】

•••方程2V-乙+3=0有两个相等的实根，

A=k2-4x2x3=k2-24=0,

解得：k=±2瓜

故选A.

【题目点拨】

本题考查了根的判别式，熟练掌握“当△=0时，方程有两个相等的两个实数根”是解题的关键.

7,C

【解题分析】

由三角形内角和定理可得NACB=80。，由旋转的性质可得AC=CE,NACE=NACB=80。，由等腰的性质可得

ZCAE=ZAEC=50°.

【题目详解】

VZB=70°,ZBAC=30°

，NACB=80°

•将△ABC绕点C顺时针旋转得△EDC.

；.AC=CE,NACE=NACB=80。

/.ZCAE=ZAEC=50°

故选C.

【题目点拨】

本题考查了旋转的性质，等腰三角形的性质，熟练运用旋转的性质是本题的关键.

8、A

【解题分析】

由相反数的定义：“只有符号不同的两个数互为相反数”可知-5的相反数是5.

故选A.

9、D

【解题分析】

分析：①先根据直角三角形30。的性质和勾股定理分别求AC和A5,由对称的性质可知：A5是。C的垂直平分线，所

以。4=AC=2品

②当OC经过A3的中点E时，OC最大，则C、。两点距离的最大值为4；

③如图2,当NA5O=30。时，易证四边形O4C5是矩形，此时45与CO互相平分，但所夹锐角为60。，明显不垂直，

或者根据四点共圆可知：A、C、B、。四点共圆，则A8为直径，由垂径定理相关推论：平分弦（不是直径）的直径

垂直于这条弦，但当这条弦也是直径时，即OC是直径时，与。C互相平分，但A3与OC不一定垂直；

④如图3,半径为2,圆心角为90。，根据弧长公式进行计算即可.

详解：在R3A3C中,=2,ZBAC=30°,

N

C

，

图1AM

；•AB=4,AC=A/42-22=273,

①若C.O两点关于A5对称，如图1,

.•.A5是OC的垂直平分线，

则。4=AC=273；

所以①正确；

②如图1,取4B的中点为E,连接OE、CE,

ZAOB=ZACB=90°,

：.OE=CE=-AB=2,

2

当OC经过点E时，0c最大，

则C.O两点距离的最大值为4；

所以②正确；

③如图2,当ZABO=30°吐NOBC=ZAOB=NACB=90°,

二四边形AOBC是矩形，

...AB与OC互相平分，

但45与OC的夹角为60°、120°,不垂直,

所以③不正确;

④如图3,斜边45的中点O运动路径是：以。为圆心，以2为半径的圆周的

所以④正确；

综上所述，本题正确的有：①②④；

故选D.

点睛：属于三角形的综合体，考查了直角三角形的性质，直角三角形斜边上中线的性质，轴对称的性质，弧长公式等，

熟练掌握直角三角形斜边的中线等于斜边的一半是解题的关键.

10、C

【解题分析】

根据轴对称图形与中心对称图形的概念求解.

【题目详解】

解：A、既不是轴对称图形，也不是中心对称图形.故本选项错误；

B、是轴对称图形，不是中心对称图形.故本选项错误；

C、是轴对称图形，也是中心对称图形.故本选项正确；

D、既不是轴对称图形，也不是中心对称图形.故本选项错误.

故选C.

【题目点拨】

本题考查了中心对称图形与轴对称图形的概念：轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分沿对称轴折叠后可重合;

中心对称图形是要寻找对称中心，旋转180度后与原图重合.

11、C

【解题分析】

直接利用概率的意义以及随机事件的定义分别分析得出答案.

【题目详解】

A、任意掷一枚质地均匀的硬币10次，一定有5次正面向上，错误；

B、天气预报说“明天的降水概率为40%”，表示明天有40%的时间都在降雨，错误；

C、“篮球队员在罚球线上投篮一次，投中”为随机事件，正确；

D、“a是实数，|a|KT是必然事件，故此选项错误.

故选C.

【题目点拨】

此题主要考查了概率的意义以及随机事件的定义，正确把握相关定义是解题关键.

12、D

【解题分析】

分析：根据合并同类项、同底数暴的乘法、嘉的乘方、同底数塞的除法的运算法则计算即可.

解答：解：A、x+x=2x,选项错误；

B、x?x=x2,选项错误；

C、（x2）3=x\选项错误；

D、正确.

故选D.

二、填空题：（本大题共6个小题，每小题4分，共24分.）

13、（0,-1）

【解题分析】

二抛物线丁=2彳2一1的顶点坐标是（°,」）,

故答案为（0,-1）.

14、1

【解题分析】

分别算三角函数，再化简即可.

【题目详解】

解：原式=（百广2*不-值身

22

=1.

【题目点拨】

本题考查掌握简单三角函数值，较基础.

15、D

【解题分析】

D.

试题分析：应用排他法分析求解：

若微型记录仪位于图1中的点M,AM最小，与图2不符，可排除A.

若微型记录仪位于图1中的点N,由于AN=BM,即甲虫从A到B时是对称的，与图2不符，可排除B.

若微型记录仪位于图1中的点P,由于甲虫从A到OP与圆弧的交点时甲虫与微型记录仪之间的距离y逐渐减小；甲

虫从OP与圆弧的交点到A时甲虫与微型记录仪之间的距离y逐渐增大，即y与t的函数关系的图象只有两个趋势，

与图2不符，可排除C.

故选D.

考点：1.动点问题的函数图象分析；2.排他法的应用.

16、3

5

【解题分析】

分析：

由题意可知，从0,0,大3.14,6这五个数中随机抽取一个数，共有5种等可能结果，其中是有理数的有3种，由

此即可得到所求概率了.

详解：

•••从0,兀，3.14,6这五个数中随机抽取一个数，共有5种等可能结果，其中有理数有0,3.14,6共3个，

3

...抽到有理数的概率是：

3

故答案为

点睛：知道“从0,0,43.14,6这五个数中随机抽取一个数，共有5种等可能结果”并能识别其中“0,3.14,6”是

有理数是解答本题的关键.

17、有两个不相等的实数根.

【解题分析】

分析：先求一元二次方程的判别式，由△与0的大小关系来判断方程根的情况.

详解：''a=l,b=3>,c=-2,

A=/_4ac=9+16=25>0,

一元二次方程有两个不相等的实数根.

故答案为有两个不相等的实数根.

点睛：考查一元二次方程依2+法+C=0（。wo）根的判别式A="—4ac,

当A=〃-4ac>0时，方程有两个不相等的实数根.

当A=^-4ac=0时，方程有两个相等的实数根.

当/=〃-4ac<0时，方程没有实数根.

28

18、

5

【解题分析】

认真审题，根据垂线段最短得出PM±AB时线段PM最短，分别求出PB、OB、、AB的长度，利用△PBM^AABO,

即可求出本题的答案

【题目详解】

解：如图，过点P作PMLAB,贝!|：NPMB=90。，

当PMLAB时，PM最短,

3

因为直线y=“x-3与x轴、y轴分别交于点A'B,

可得点A的坐标为（4,0）,点B的坐标为（0,-3）,

在RtAAOB中，AO=4,BO=3,AB="+42=5,

,."ZBMP=ZAOB=90o,ZB=ZB,PB=OP+OB=7,

.,.△PBM^AABO,

.PBPM

••=,

ABAO

7PM

即an：一=——，

54

所以可得：PM=y.

三、解答题：(本大题共9个小题，共78分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.

4

19、(1)AB=4；(2)机=—或1.

7

【解题分析】

(1)把m=2代入两个方程，解方程即可求出AC、BC的长，由C为线段AB上一点即可得AB的长；(2)分别解两

个方程可得BC=巴，AC=2m-l,根据。为线段AB的三等分点分别讨论C为线段AB靠近点A的三等分点和C

2

为线段AB靠近点B的三等分点两种情况，列关于m的方程即可求出m的值.

【题目详解】

1,2

(1)当m=2时，有］(x+l)=2,—(x+2)=2,

由方程;(x+l)=2,解得x=3,即AC=3.

由方程g(x+2)=2,解得x=l,即BC=1.

因为C为线段AB上一点，

所以AB=AC+BC=4.

(2)解方程g(x+l)=m,得x=2m—l,

即AC=2m—1.

解方程］(x+m)=m,得x=；,

即BC=%.

2

①当C为线段AB靠近点A的三等分点时，

m4

则BC=2AC,即j=2(2m—1),解得m=—.

②当C为线段AB靠近点B的三等分点时，

则AC=2BC,即2m—1=2?上，解得m=l.

2

4

综上可得，m=—或1.

7

【题目点拨】

本题考查一元一次方程的几何应用，注意讨论C点的位置，避免漏解是解题关键.

3

20、(1)见解析；(2)tanZAOD=-.

4

【解题分析】

(1)作DFLAB于F,连接OC,则△ODF是等腰直角三角形，得出OC=OD=&DF,由垂径定理得出NCOE=90。,

证明ADEFsaCEO得出型=空=，迦=后，即可得出结论;

CEDFDF

11EFEO1

(2)由题意得OE=—OA=—OC,同(1)DEF^ACEO,得出——=——=一，设。O的半径为2a(a>0),

22DFOC2

3相।68

则OD=2a,EO=a,设EF=x,则DF=2x,在RtZkODF中，由勾股定理求出x=-a,得出DF=,a,OF=EF+EO=-a,

由三角函数定义即可得出结果.

【题目详解】

(1)证明：作DF_LAB于F,连接OC,如图所示:

则NDFE=90。，

；NAOD=45。，

二AODF是等腰直角三角形,

/.OC=OD=72DF,

是弧AB的中点，

.\OC±AB,

AZCOE=90°,

VZDEF=ZCEO,

/.△DEF^ACEO,

.EDOC41DFf-

••----------=7z

CEDFDF

；.CE=0ED；

(2)如图所示：

；AE=EO,

11

,\OE=-OA=-OC,

22

同(1)得:，ADEF^ACEO,

.EF_EO_1

DF~OC~2f

设。O的半径为2a(a>0),则OD=2a,EO=a,

设EF=x,则DF=2x,

在RtAODF中，由勾股定理得：(2x)2+(x+a)2=(2a)2,

3

解得：x=-a,或*=-a(舍去)，

68

/.DF=-a,OF=EF+EO=-a,

55

DF3

AtanZAOD=—=—.

OF4

【题目点拨】

本题考查了等腰直角三角形的判定与性质、相似三角形的判定与性质、勾股定理、垂径定理、三角函数等知识，熟练

掌握相似三角形的判定与性质、勾股定理是关键.

21>(1)11.4；(2)19.5m.

【解题分析】

(1)根据直角三角形的性质和三角函数解答即可；

(2)过点D作DHL地面于H,利用直角三角形的性质和三角函数解答即可.

【题目详解】

解：(1)在RtAABC中，

VZBAC=64°,AC=5m,

AC

AAB=^7-54-0.44-11.4(m)；

故答案为：11.4；

(2)过点D作DHL地面于H,交水平线于点E,

；AD=20m,ZDAE=64°,EH=1.5m,

DE=sin64°xAD=20x0.9=：18(m),

即DH=DE+EH=18+1.5=19.5(m),

答：如果该吊车吊臂的最大长度AD为20m,那么从地面上吊起货物的最大高度是19.5m.

【题目点拨】

本题考查解直角三角形、锐角三角函数等知识，解题的关键是添加辅助线，构造直角三角形.

22、(1)y是x的一次函数，y=-30x+l(2)w=-30x2+780x-31(3)以3元/个的价格销售这批许愿瓶可获得最大

利润4元

【解题分析】

(1)观察可得该函数图象是一次函数，设出一次函数解析式，把其中两点代入即可求得该函数解析式，进而把其余两

点的横坐标代入看纵坐标是否与点的纵坐标相同.

(2)销售利润=每个许愿瓶的利润x销售量.

(3)根据进货成本可得自变量的取值，结合二次函数的关系式即可求得相应的最大利润.

【题目详解】

解：(l)y是x的一次函数，设丫=1«+1),

•.•图象过点(10,300),(12,240),

10k+b=300k=-30

《，解得〈.e.y=_30x+l.

12k+b=240b=600

当x=14时,y=180；当x=16时，y=120,

・•・点(14,180),(16,120)均在函数y=-30x+l图象上.

Ay与x之间的函数关系式为y=-30x4-1.

(2)Vw=(x-6)(-30x+l)=-30x2+780x-31,

•*.W与X之间的函数关系式为w=-30x2+780x—31.

(3)由题意得：6(-30x+l)<900,解得它3.

780

W=-30X2+780X-31图象对称轴为:=13.

2x(-30)

；a=-30V0,...抛物线开口向下，当它3时，w随x增大而减小.

当x=3时,w最大=4.

•••以3元/个的价格销售这批许愿瓶可获得最大利润4元.

23、1

【解题分析】解：〃

'V.Xxx

X+1X

=-------x------------------

X(X-l)(x+1)

1

~x-1

取泥=2时，原式=，=

~2-1~1

24、(1)y=-(x-1)2=-x2+2x-2;(2)等腰RtA,(3)Pl(3,-8),P2(-3,-20).

【解题分析】

(1)当抛物线绕其顶点旋转180。后，抛物线的顶点坐标不变，只是开口方向相反，则可根据顶点式写出旋转后的抛

物线解析式；

(2)可分别求出原抛物线和其“挛生抛物线”与y轴的交点坐标C、C,由点的坐标可知△DCC是等腰直角三角形；

(3)可求出A(3,0),C(0,-3),其“李生抛物线”为y=-x2+2x-5,当AC为对角线时，由中点坐标可知点P不存在,

当AC为边时，分两种情况可求得点P的坐标.

【题目详解】

(1)抛物线y=x2-2x化为顶点式为y=(x-1)2-1,顶点坐标为(1,-1),由于抛物线y=xZ2x绕其顶点旋转180。后抛

物线的顶点坐标不变，只是开口方向相反，

22

则所得抛物线解析式为y=-(x-1)-1=-X+2X-2；

(2)ADCC是等腰直角三角形，理由如下：

•抛物线y=x2-2x+c=(x-1)2+c-l,

二抛物线顶点为D的坐标为(1,c-1),与y轴的交点C的坐标为(0,c),

.•.其“李生抛物线”的解析式为y=_(X.D2+7,与y轴的交点C的坐标为(0,c-2),

/.CC'=c-(c-2)=2,

•••点D的横坐标为1,

.•.ZCDC'=90°,

由对称性质可知DC=DC,

△口(：(?是等腰直角三角形；

(3).抛物线y=x2-2x-3与y轴交于点C,与x轴正半轴的交点为A,

令x=0,y=-3,令y=0时，y=x2-2x-3,解得xi=-l,X2=3,

AC(0,-3),A(3,0),

Vy=x2-2x-3=(x-1)2-4,

.•.其“李生抛物线”的解析式为y=-(X-1)2-4=-X2+2X-5,

若A、C为平行四边形的对角线，

33

,其中点坐标为(不，

22

设P(a,-a2+2a-5),

,:A、C、P、Q为顶点的四边形为平行四边形，

AQ(0,a-3),

.a—3—a~+2a—5_3

•----------------------——，

22

化简得，a2+3a+5=0,△<0,方程无实数解，

,此时满足条件的点P不存在，

若AC为平行四边形的边，点P在y轴右侧，则AP〃CQ且AP=CQ,

•••点C和点Q在y轴上，

点P的横坐标为3,

把x=3代入“李生抛物线”的解析式y=-32+2x3-5=-9+6-5=-8,

APi(3,-8),

若AC为平行四边形的边，点P在y轴左侧，则AQ〃CP且AQ=CP,

点P的横坐标为-3,

把x=-3代入“学生抛物线”的解析式y=-9-6-5=-20,

：.P2(-3,-20)

二原抛物线的“李生抛物线”上存在点Pi(3,-8),P2(-3,-20),在y轴上存在点Q,使以点A、C、P、Q为顶点的

四边形为平行四边形.

【题目点拨】

本题是二次函数综合题型，主此题主要考查了根据二次函数的图象的变换求抛物线的解析式，解题的关键是求出旋转

后抛物线的顶点坐标以及确定出点P的位置，注意分情况讨论.

25、(1)(1,4)(2)(0,工)或(0,-1)

2

【解题分析】

试题分析：(1)先求得点C的坐标，再由OA=OC得到点A的坐标，再根据抛物线的对称性得到点B的坐标，利用

待定系数法求得解析式后再进行配方即可得到顶点坐标；

(2)由OC//PM,可得NPMC=NMCO,求tanZMCO即可；

(3)分情况进行讨论即可得.

试题解析：(1)当x=0时，抛物线y=ax?+bx+3=3,所以点C坐标为(0,3),/.OC=3,

•/OA=OC,.♦.OA=3,；.A(3,0),

,:A、B关于x=l对称,AB(-1,0),

■:A、B在抛物线y=ax?+bx+3上，

,9a+3b+3=0.a