山东省菏泽市2024届高三年级下册模拟预测数学试题（三）（含答案与解析）

山东省荷泽市2024届高三下学期模拟预测卷(三)

数学试题

本试卷满分150分，考试时间120分钟

注意事项：

1.答题前，考生先将自己的姓名、准考证号码、考场号、座位号填写清楚，将条形码准确粘贴在

考生信息条形码粘贴区.

2.选择题必须使用2B铅笔填涂；非选择题必须使用0.5毫米黑色字迹的签字笔书写，字体工

整、笔迹清楚.

3.请按照题号顺序在答题卡各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效；在革

稿纸、试卷上答题无效.

4.作图可先使用铅笔画出，确定后必须用黑色字迹的签字笔描黑.

5.保持卡面清洁，不要折叠，不要弄破、弄皱，不准使用涂改液、修正带、刮纸刀.

一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是

符合题目要求的.

sin2cr

1.若tana=2,则cosZa—sin?］的值为()

4244

A.--B.-C.-D.-

7397

5

2.已知函数/(%)是定义在R上的奇函数，当xNO时，f(x)=-x-3x+a-l9则/(—〃)的值为

()

A.1B.2C.3D.4

3.已知圆台。1。2的母线长为4,下底面圆的半径是上底面圆的半径的3倍，轴截面周长为16,则该圆台

的表面积为()

A.24兀B.25兀C.26兀D.27兀

4.已知S“为等差数列｛4｝的前几项和，67]=-21,$7=九，则S”的最小值为()

A.-99B.-100C.-110D.-121

22

5.已知尸(c,0)为双曲线C：__乙=1(。>0,%>0)的右焦点，直线x=c与。的两条渐近线分别

/柠

交于A,3两点，。为坐标原点，Q钻是面积为4的直角三角形，则C的方程为（）

6.在4ABe中，内角A,3,C所对的边分别为a,b,c,且^^_q=（ca）sinC,延长台。至点

sinAsinA

D,使得3C=CD,若AD=2百,A3=2,则。=（）

A1B.y/3C.2D.3

7.盒中有4个大小相同的小球，其中2个红球、2个白球，第一次在盒中随机摸出2个小球，记下颜色后

放回，第二次在盒中也随机摸出2个小球，记下颜色后放回.设事件A="两次均未摸出红球”，事件3=

“两次均未摸出白球"，事件C="第一次摸出的两个球中有红球”，事件。="第二次摸出的两个球中有白

球”，则（）

A.A与B相互独立B.A与。相互独立

C.3与C相互独立D.。与。相互独立

8.在三棱锥D—ABC中，43=2,4。=3。,4。，3。/211/4。3=¥，£为48的中点，且直线

OE与平面ABC所成角的余弦值为巫，则三棱锥。一ABC的外接球的表面积为（）

4

A24兀B.36兀C.4071D.48兀

二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目

要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.

9.某灯具配件厂生产了一种塑胶配件，该厂质检人员某日随机抽取了100个该配件的质量指标值（单位：

分）作为一个样本，得到如下所示的频率分布直方图，则（同一组中的数据用该组区间的中点值作代表）

（）

A.m=0.030

B.样本质量指标值的平均数为75

C.样本质量指标值的众数小于其平均数

D.样本质量指标值的第75百分位数为85

10.已知z满足|z+i2-i3|=|z|,且z在复平面内对应的点为则()

A.x-y-l=0B.x+y+l=Qc.忖的最小值为日D.|z|的最小值为g

11.已知函数/(x)=cos[ox+7}0〉O),则()

A.若/(X)图象向右平移;个单位长度后与/(X)的图象重合，则。的最小值为1

B.若/(%)图象向左平移:个单位长度后得到函数y=sinox的图象，则。的最小值为5

C.若函数|/(到的最小正周期为:，则切=4

D.当。=1时，若/(%)的图象向右平移:个单位长度后得到函数g(x)的图象，则方程

|g(x)|+其田=1有无穷多个解

三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.

'x+2]

12.己知集合4=%工40卜B={x|log2x>a},若81做蜀，则°的取值范围是.

/、x2+2x,x<0,/、

13.已知函数/(x)={1若曲线丁=/(九)与直线尸依恰有2个公共点，则。的取值范

In11—%),0<x<1,

围是.

14.已知抛物线。：黄=8%,点P在。的准线上，过C的焦点尸的直线与C相交于A,3两点，则的

最小值为，若为等边三角形，则卜.

四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.

15.已知函数/(%)=

⑴讨论"％)的最值;

ke"一x

⑵若a=l,且/'(x)W竺-求左的取值范围.

16.如图，在四棱锥P—ABCD中，AB=BC=DC=DA=AP=PD,pc=PB=yflAB.

AB

(1)证明：平面e4D_L平面A3CD；

(2)在棱尸C上是否存在点E,使得平面AEB与平面BCE夹角的正弦值为应？若存在，求四的

7EC

值；若不存在，请说明理由.

17.2024年7月26日至8月11日将在法国巴黎举行夏季奥运会.为了普及奥运知识，M大学举办了一次奥

运知识竞赛，竞赛分为初赛与决赛，初赛通过后才能参加决赛

(1)初赛从6道题中任选2题作答，2题均答对则进入决赛.已知这6道题中小王能答对其中4道题，记小

王在初赛中答对的题目个数为X,求X的数学期望以及小王在已经答对一题的前提下，仍未进入决赛的

概率；

(2)M大学为鼓励大学生踊跃参赛并取得佳绩，对进入决赛的参赛大学生给予一定的奖励.奖励规则如

下：已进入决赛的参赛大学生允许连续抽奖3次，中奖1次奖励120元，中奖2次奖励180元，中奖3次

奖励360元，若3次均未中奖，则只奖励60元.假定每次抽奖中奖的概率均为〃[()＜，＜(],且每次是否

中奖相互独立.

(i)记一名进入决赛的大学生恰好中奖1次的概率为/'(0)，求/(夕)的极大值；

(ii)M大学数学系共有9名大学生进入了决赛，若这9名大学生获得总奖金的期望值不小于1120元，

试求此时。的取值范围.

18.己知鸟的其中两个顶点为E(—1,0),月(1,0),点。为△尸片鸟的重心，边尸耳，P鸟上的两条

中线的长度之和为3亚，记点。的轨迹为曲线C.

(1)求。的方程；

(2)过点工作斜率存在且不为0的直线4与C相交于A8两点，过原点。且与直线/1垂直的直线4与C

相交于两点，记四边形AMBN的面积为S,求助Yt的取值范围.

S

19.对于相/eN*,seN,/不是10的整数倍，且"z=Z0',则称机为s级十全十美数.已知数列｛4｝

满足：«i=8,4=4。，〃"+2=5”,+1-6a”.

(1)若｛见+i—妨/为等比数列，求左；

(2)求在%,a2,a3,%024中，3级十全十美数的个数.

参考答案

一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是

符合题目要求的.

1若tana=2,贝ijcos2cr—sin21的值为（

【答案】A

【解析】

【分析】由倍角公式可得一--巴丁=-Ic，根据题意结合齐次式问题分析求解.

cos2cr-sincrcoscr-2sin%

sin2。2sincrcoscif2tan。4

【详解】由题意可得:

cos2cif-sin26Zcos2df-2sin2crl-2tan2cif1-87

故选：A.

2.已知函数〃力是定义在R上的奇函数，当无20时，f(x)=-x5-3x+a-l,则的值为

【答案】D

【解析】

【分析】由奇函数性质可求得。的值，结合/(-a)=-/(a)计算即可.

【详解】由题意得，函数/(刈为奇函数，且定义域为R,

由奇函数的性质得，/(0)=a-l=0,解得a=l,经过检验符合题意,

所以当x»0时，/(x)=-x5-3x,

所以/(—a)=—/(a)=—/(1)=—(―1—3)=4.

故选：D.

3.已知圆台日。2的母线长为4,下底面圆的半径是上底面圆的半径的3倍，轴截面周长为16,则该圆台

的表面积为()

A.24兀B.2571C.26兀D.27兀

【答案】C

【解析】

【分析】作出圆台的轴截面，利用其周长和两底面圆半径的关系列方程，求出「，代入公式，即可求得圆台

的表面积.

如图，作出圆台的轴截面A3DC,设上底面圆。|的半径为「，则下底面圆。2的半径是3厂，

故轴截面周长为16=4+4+2厂+6厂，解得r=1,

所以上、下底面圆的面积分别为兀，9TI,圆台侧面积8侧=兀(1+3)*4=16兀，

所以圆台的表面积为71+971+1671=26兀.

故选:C.

4.已知S“为等差数列｛4｝的前几项和，=-21,S7=S]5,则r的最小值为()

A.-99B.-100C.-110D.-121

【答案】D

【解析】

【分析】设｛4｝的公差为d,根据题意列出方程组，求得d=2,得至I]=2〃—23和S“=〃2—22〃，进

而求得答案.

【详解】设｛4｝的公差为d,因为q=-21,$7=515,

%=—21

可得《7x6,15x14,，解得1=2，所以。“=2〃-23,

7qH———a=15axH------a

nx(n-l),

可得S"=-21〃+———^x2=rr-22n,

2

当〃<11时，an<0；当〃212时，an>0,

所以当"=n时，S”取得的最小值席=1俨一22x11=—121.

故选：D.

22

__21

5.已知歹（c,0）为双曲线C:=1（。＞0,〃＞0）的右焦点，直线x=c与。的两条渐近线分别

交于A,B两点，。为坐标原点，Q43是面积为4的直角三角形，则C的方程为（）

222222

A.X2-y2-1B.土-2L=iC.二-匕=1D.土-2L=i

224442

【答案】B

【解析】

【分析】根据给定条件，结合双曲线的对称性求出渐近线方程，再结合给定面积计算得解.

【详解】由」Q钻为直角三角形，及双曲线的对称性知05,

则C的渐近线方程为^=土尤，即。=＞，由Q43的面积为4,得工x2cxc=4,解得c=2,

2

5^a2+b2—(?—4<因此a=b=A/2,

22

所以C的方程为±-±=1.

22

6.在二ABC中，内角A,5c所对的边分别为a,b,c,且史巴O—吧C,延长8。至点

sinAsinA

D,使得BC=CD,若A£>=20,AB=2,则。=（）

A.1B.73C.2D.3

【答案】C

【解析】

1兀

【分析】根据题意，利用正弦定理求得力+°2_尸=45再由余弦定理，得到COSB=—,求得2=均,

23

再△A3。中，由余弦定理，列出方程，即可求解.

n

【详解】因为-―"）"C,可得bsin5=asinA+（c-a）sinC,

sinAsinA

由正弦定理得Z?2=a?+（。-Q）。，gpa2+c2_b2=acj

所以COSB=4+L—"=上£_=）,又因为0<5<兀，所以B=

laclac23

如图所示，由3Z）=2a,且AD=26，AB=2,

QJT

在/\ABD中，由余弦定理得AD^=4+（2a）—2x2x2axcos—=4+4-GL~—4a=12,

解得a=2或a=-1（负值舍去）.

故选：C.

7.盒中有4个大小相同的小球，其中2个红球、2个白球，第一次在盒中随机摸出2个小球，记下颜色后

放回，第二次在盒中也随机摸出2个小球，记下颜色后放回.设事件4="两次均未摸出红球”，事件3=

“两次均未摸出白球"，事件C="第一次摸出的两个球中有红球”，事件。="第二次摸出的两个球中有白

球”，则（）

A.A与B相互独立B.A与。相互独立

C.2与C相互独立D.C与。相互独立

【答案】D

【解析】

【分析】根据相互独立事件的定义依次分析即可.

「2021「2021

【详解】依题意得P（A）=^y=去，P（8）=”=京，P（AB）=0WP（A）P（6）,故A项错

C4c436C4c436

误;

P（C）=C^^=|,P（AC）=O^P（A）P（C）,故B项错误;

C46

C2C21

产如）=南=犷尸⑻尸◎故c项错误;

C20

P(D)=L^=|>P(CD)=+++_=P(C)P(D)故D

36

项正确.

故选：D.

8.在三棱锥D—ABC中，45=2,4。=5。,4。，3。/211/4。3=¥，石为48的中点，且直线

OE与平面ABC所成角的余弦值为士，则三棱锥D—ABC的外接球的表面积为（）

4

A.24兀B.36兀C.40兀D.48兀

【答案】B

【解析】

【分析】由直角三角形性质可得E为©AB。的外心，结合球体性质可知OEL平面ABC,由等腰三角形性

质可知△A3。的外心b在OE上且石户，A3,进而可得直线OE与平面ABC所成角与/。石尸互余，结

合正弦定理可得|E4|,勾股定理可得I斯进而可得|OE|、|。4|,结合球的表面积公式计算即可.

【详解】如图，设球心为。，△ABZ）的外接圆圆心为尸，连接OE,OA所,0”E4,FB,FD,

因为NACB=90,E为A3的中点，AB=2,所以E4=E5=1,E为的外心,

由，/为的外心，得REE三点共线，且石尸_LAB.

由题意得OEJ■平面ABC,ABu面ABC,则OE_LAB,

故直线DE与平面ABC所成角为ZOEF的余角,

所以sin/OEF=边。，所以cos/OEF=d=~

4OE4

在△AB。中，由题设可得A5=2,NAZ>5=30,

2I--------------广

由正弦定理得FA=FB=FD=----------=2,EF=yJFA2—E尺=#),

2sin30

EFI-

所以OE=--------------=2y/2,

cos/OEF

所以在RtAOE4中，OA=yJOE2+E^=3-

所以球。的表面积S=4兀・。42=36兀.

故选：B.

二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目

要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.

9.某灯具配件厂生产了一种塑胶配件，该厂质检人员某日随机抽取了100个该配件的质量指标值（单位：

分）作为一个样本，得到如下所示的频率分布直方图，则（同一组中的数据用该组区间的中点值作代表）

（）

A.m=0.030

B.样本质量指标值的平均数为75

C.样本质量指标值的众数小于其平均数

D.样本质量指标值的第75百分位数为85

【答案】ACD

【解析】

【分析】运用频率分布直方图中所有频率之和为1及平均数、众数、百分位数公式计算即可.

【详解】对于A项，由题意知(0.010+0.015+^+0.035+0.010)x10=1,解得m=0.030,故A项正

确；

对于B项，样本质量指标值的平均数为55x0.1+65x0.15+75x0.35+85x0.3+95x0.1=76.5，故B

项错误；

对于C项，样本质量指标值的众数是四处=75<76.5,故C项正确；

2

对于D项，前3组的频率之和为(0.010+0.015+0.035)x10=0.60,前4组的频率之和为

0.60+0.030x10=0.90,

故第75百分位数位于第4组，设其为

则(7-80)X0.030+0.60=0.75,解得t=85,

即第75百分位数为85,故D项正确.

故选：ACD项

10.已知z满足|z+i2-i3|=|z|,且z在复平面内对应的点为则()

【答案】AC

【解析】

【分析】根据复数的模的公式结合已知求出了，y的关系，即可判断AB；根据羽y的关系结合复数的模的公

式即可判断CD.

【详解】由题意可得Z=x+yi,贝！］|x—l+(y+l)i|=|x+,

所以小-炉+6+吁=商+/,整理得y—1=。，故A项正确，B项错误；

目=yjx2+y2-^x2+(x-l)2=\j2x2-2x+1,

当x时，忖取得最小值,，故C项正确，D项错误.

故选：AC.

11.已知函数/(x)=cos10x+；J(o〉O),则()

A.若/(%)的图象向右平移;个单位长度后与/(%)的图象重合，则。的最小值为1

B.若/(%)的图象向左平移:个单位长度后得到函数y=sinox的图象，则。的最小值为5

C.若函数的最小正周期为:，则①=4

D.当。=1时，若"X)的图象向右平移:个单位长度后得到函数g(x)的图象，则方程

以(口+吊田=1有无穷多个解

【答案】BC

【解析】

【分析】对于A,B,根据图象平移规则得到。取值，再由keZ,即可得到口的最值；对于C,根据函

数的最小正周期求解即可；对于D,先求出g(x)的解析式，再对方程进行换元化简，讨论即可得到方程解

的个数.

・、、，I一丁兀)71)71CDTI71\71

【详解】对于A项，因为/[x—]J=cos-+]=coslCOX---+—I=COSI—

所以=2kit,keZ,即69=—8左，keZ,又外＞0,所以刃最小值为8,故A项错误;

4

7am7i

对于B项，因为yfx+—j—cos0++1=cosa)x-\----F—=smcox,

(44

所以如+巴=—二+2版，kwZ,即。=—3+8左，左eZ,又。＞0,所以0的最小值为-3+8=5,故

442

B项正确.

对于C项，因为函数的最小正周期是/(%)的最小正周期的一半，所以/(x)的最小正周期为;，所

2冗71

以—=—,解得外二4,故C项正确.

32

对于D项，当0=1时，/(x)=cosx+^~,所以g(x)=/|x—"=cos|x-；+；|=cosx,方程

|g(x)|]

+g(国)=ICOSx|H---|=ICOSx|H——--=1

COS因cosx

令cosx=r，则M+』=1,当/4―1,0)时，一/+1=1,即口+〜心。，所以

tt2

(舍)或/=»■(舍)；

2

当时，，+；=1，即产7+1=0,无解.

综上，|g(x)|+—=l无解，故D项错误.

故选：BC.

三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.

，x+2］

12.已知集合A=x--<0LB={x|log2x>a},若则a的取值范围是.

【答案】［1,+8)

【解析】

【分析】求出集合A3,根据包含关系确定范围即可.

尤+2

【详解】由——<0,得—2<x<2,

%—2

所以A={x|-2Mx<2},则以A={x［x<-2或％22},

由logzXNa,得x22"，

又5c(44),所以2"22,

解得ail.

故答案为：［1,+℃).

x2+2x,x<0,,、

13.已知函数〃x)=<1/1、八1若曲线y=/(£)与直线y=就恰有2个公共点，则。的取值范

ln(l—xku<x<1,

围是

【答案】［—1,2)

【解析】

【分析】由导函数等求出函数单调性和切线方程，画出了(力的图象，数形结合得到答案.

【详解】当xVO时，/(x)=f+2x,其在1)上单调递减，在(—1,0)上单调递增，且/'(x)=2x+2,

贝"(0)=2；

当0<%<1时，/(x)=ln(l-x),/(%)=———<0,其在(0,1)上单调递减,且/'(0)=—1.

1-X

作出了(九)的图像，如图，易知a的取值范围是［—1,2).

故答案为：［—1,2)

14.已知抛物线C:/=8x,点「在。的准线上，过C的焦点尸的直线与C相交于A,8两点，贝ij|A邳的

最小值为，若为等边三角形，贝1AB卜.

【答案】①.8②.24

【解析】

【分析】设直线A5的方程及弦A5的中点联立直线A3的方程与抛物线方程可得芭+々及加坐标，

结合抛物线焦点弦公式可得|AB|,由等边三角形性质可知MLAB,即可设出直线PM的方程，结合点

P在准线上可得点尸坐标，再结合忱闾=三恒回及=8/+8计算即可.

【详解】由已知得/(2,0),准线方程为X=—2,设直线A5的方程为％=切+2,A&,%),

B(x2,y2),弦A3的中点”(％,%),如图所示，

x=my+2c

联立〈2o消去X并整理得V—8my—16=0,

y~=8x-

则为+%=&〃，yxy2=-16,

2

所以为+x2=m(y1+y2)+4=8m+4,

所以玉=%％=4nt2+2,%=%；%=4m,即M(4加2+2,4冽)，

所以|AB|=%+9+4=8m2+8.

故当机=0时，IA51mhi=8.

若/A5P为等边三角形，则mwO,如图所示，

则设直线的方程为y-4/72=一切（无-4加2—2）,即y^-mx+4m3+6m,

所以点尸（—2,4，/+8根），

X\PM\=^\AB\,

所以（47律2+4丫+（4m+4加3）2=|（8m2+8）2,解得加？=2,

所以1AB|=8m2+8=24.

故答案为：8；24.

四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.

15.已知函数=一电色］（。＞0）.

（1）讨论“％）的最值;

⑵若a=l,且/•（工）・竺ke"一一~求x左的取值范围.

X

【答案】（1）最小值为/［：］=l+lna,无最大值.

（2）j,+j

【解析】

【分析】（1）求得r（x）=竺匚，结合导数的符号，求得函数/（%）的单调区间，进而求得其最值；

（2）把不等式转化为左三三史!令丸⑺=」2+二灯子利用导数求得函数的单调性与最

ee

值，进而求得上的取值范围.

【小问1详解】

.解：因为/（x）=x［"@T的定义域为（0,+8）,可得/-1.

\XyXX

当a＞0时，令/'（x）=0,可得％=工；

a

当时，r（x）＜。，/（%）单调递减，

当xe\,+co1时，制x）＞0,"%）单调递增，

故当％时，/（“）取得极小值，也是最小值，且最小值为/［：］=l+lna,无最大值.

【小问2详解】

解：当。=1时，由可ke"得—x冗—ln%W竺ke，~—x

xx

2

蕨e4目7Y、?Fnn1\X+X—xlnX

整理得髭Nf+x-xinx，即左三-------------，

e%

令心）、—沙

e

(2x+l-lnx-l)er-(x2+(x-lnx)(l-x)

贝1h(x)=百二，

由⑴知,当。=1时，/(x)=x—Inx的最小值为/(1)=1>0,即九一lnx>0恒成立,

所以当xe(O,l)时，/«x)>0,〃(%)单调递增；

当x«l,+co)时,//(x)<0,M尤)单调递减.

2?

故当x=i时，可光）取得最大值爪1）=—,即左2—,

ee

故上的取值范围为一,+°0

e

【点睛】方法技巧：对于利用导数研究不等式的恒成立与有解问题的求解策略：

1、合理转化，根据题意转化为两个函数的最值之间的比较，列出不等式关系式求解；

2、构造新函数，利用导数研究函数的单调性，求出最值，从而求出参数的取值范围；

3、利用可分离变量，构造新函数，直接把问题转化为函数的最值问题.

4、根据恒成立或有解求解参数的取值时，一般涉及分离参数法，但压轴试题中很少碰到分离参数后构造

的新函数能直接求出最值点的情况，进行求解，若参变分离不易求解问题，就要考虑利用分类讨论法和放

缩法，注意恒成立与存在性问题的区别.

16.如图，在四棱锥P—ABCD中，AB=BC=DC=DA=AP=PD,pc=PB=V2AB.

（1）证明：平面八4DJ_平面A3CD；

。、万PE

（2）在棱PC上是否存在点E，使得平面AEB与平面BCE夹角的正弦值为工？若存在，求——的

7EC

值；若不存在，请说明理由.

【答案】（1）证明见解析

pp

（2）存在，——=1.

EC

【解析】

【分析】（1）通过。。，4尸证。。，平面口4。，即可证面面平行；

（2）通过建立空间直角坐标系，计算各点坐标，设——=2（2>0）得E点坐标，并计算平面AEB和平面

,£'C

BCE的法向量，根据向量垂直确定，再根据向量的夹角公式计算即可.

【小问1详解】

证明：因为48=笈。=/）。=加=”=?0,PC=PB=y[2AB>

所以=。。2,Ap2+Ag2=pB2）

所以。C,尸D,ABA,AP,

又AB=BC=DC=DA,

所以四边形ABCD为菱形，

所以ABDC,DCLAP,

又AP,切匚平面BID，

APPD=P,

所以£>C,平面B4。，

又。Cu平面ABC。，

所以平面E4DJ_平面A3CD

【小问2详解】

由（1）得。C,平面B4。，

因为D4u平面R4O,

所以。CJ.DA,

故四边形A3CD为正方形.

不妨设正方形ABCD的边长为2,

A£）的中点为。，连接P0.

因为E4。为等边三角形，

所以POLAD,

又POu平面B4。，

又平面上4。c平面ABCD=AD,

且平面PAD，平面ABCD,

所以PO1平面A3CD.

以。为坐标原点，OA，DC-。尸的方向分别为x,>,z轴的正方向,

建立如图所示的空间直角坐标系,

则P(0,0,73),4(1,0,0),5(1,2,0),C(-l,2,0).

假设存在点E,使得平面AEB与平面BCE夹角的正弦值为空■,

7

JL/1--

PE

由得PE=8EC，

EC

即（%，为，z（）—=九（一1—%,2——z。）

222

解得x=-

0l+i'y°-I+T,Z°=I7T

A2夭6)

所以E-

l+l'l+l'l+l7

V

"-1-22

所以AB=(O,2,O),BC=(-2,0,0),=(1,2,-73),BE=二五、

，

1+21+21+2?

设平面AEB的法向量为"=（七,%,zj,

n-AB=2y1=0,

则〃.3E=(T-2小-2%+岛=0

1+2

可取72=(6,0,1+2司.

设平面BCE的法向量为加=（%，％，z?），

m-BC=-2X2=0,

则

m-PB=%+2%-A/322二0

可取根=(0,指,2),

|2+42|

6,3+(1+22)2

解得4=1或；1=—2(舍去)，

所以在棱PC上存在点E,使得平面AEB与平面BCE夹角的正弦值为亚，

7

日PE1

且---=1.

EC

17.2024年7月26日至8月11日将在法国巴黎举行夏季奥运会.为了普及奥运知识，M大学举办了一次奥

运知识竞赛，竞赛分为初赛与决赛，初赛通过后才能参加决赛

(1)初赛从6道题中任选2题作答，2题均答对则进入决赛.已知这6道题中小王能答对其中4道题，记小

王在初赛中答对的题目个数为X，求X的数学期望以及小王在己经答对一题的前提下，仍未进入决赛的

概率；

(2)/大学为鼓励大学生踊跃参赛并取得佳绩，对进入决赛的参赛大学生给予一定的奖励.奖励规则如

下：已进入决赛的参赛大学生允许连续抽奖3次，中奖1次奖励120元，中奖2次奖励180元，中奖3次

奖励360元，若3次均未中奖，则只奖励60元.假定每次抽奖中奖的概率均为。且每次是否

中奖相互独立.

(i)记一名进入决赛的大学生恰好中奖1次的概率为/'(「)，求/(。)的极大值；

(ii)M大学数学系共有9名大学生进入了决赛，若这9名大学生获得的总奖金的期望值不小于1120元，

试求此时0的取值范围.

44

【答案】(1)E(X)=§，-

4「13)

(2)(i)一；(ii)

9134；

【解析】

【分析】(1)6道题中小王能答对4道，答错2道，结合超几何分布计算即可，再结合条件概率计算即可.

(2)由/(°)=3°3—6p2+30[o<°<：),运用导数研究其极大值即可.

(3)分析每名进入决赛的大学生获得的奖金的期望EC),解不等式9E(F)21120即可.

【小问1详解】

由题意知，X的可能取值为0』,2,

「0「21

则

P(x=o)=N15

P(X=1)=*C4C18

15

P"=2)=冷C2C°|2

故X的分布列为

X012

182

P

1515I

1Q24

则£(X)=0x—+lx—+2x—=一.

v7151553

记事件A：小王已经答对一题，事件3：小王未进入决赛,

(,、n(AB)C：C：4x24

则小王在已经答对一题的前提下，仍未进入决赛的概率4)=^^=m3IT-7

77(A)C4c2+C4

【小问2详解】

(i)由题意知，/(p)=C3J>(l-p)2=3p3-6p2+3pfo<p<-|

则r(p)=3(3p—l)(p—l),

令/'(P)=O，解得P=1■或P=1(舍)，

当时，/(p)>0,当pegj时，/，(p)<0,

所以/(夕)在区间［o，g)内单调递增，在区间［g，内单调递减,

所以当p=g时，/（夕）有极大值，且/（夕）的极大值为/[gj=:

（ii）由题可设每名进入决赛的大学生获得的奖金为随机变量y,

则Y的可能取值为60,120,180,360,

p（Y=60）=（1-p）3,

p（y=120）=C；p（l-p）2,

p（y=180）=C；p2（l—0）,

P（y=360）=/?3,

所以E(Y)=60(1-p)3+120C；p(l—p)2+180C；p2(l-p)+360p3=60(2p3+3p+l),

所以9E(y)2n20,

即540(2/+3.+1/1120,整理得2P3+3p——训,

i29

经观察可知p=3是方程2P3+3p—万=0的根,

229

因为2P2+耳0+§>0恒成立，

2911

所以由2P3+3〃—药20可得20,解得得

31口

又0<p<）,所以P的取值范围为3'4)

18.己知鸟的其中两个顶点为片（—1,0）,1（1,0）,点。为△「£心的重心，边PF-PK上的两条

中线的长度之和为3行，记点。的轨迹为曲线C.

（1）求C的方程；

（2）过点工作斜率存在且不为0的直线4与c相交于A,3两点，过原点。且与直线4垂直的直线4与c

相交于两点，记四边形AMBN的面积为S,求助Yt的取值范围.

S

2

【答案】⑴土应）

（2）（2后,80）

【解析】

【分析】（1）结合题意，根据重心的性质可得重心。到顶点耳（-1,0）,鸟。,。）距离之和为大于闺心|的定

值，根据椭圆的定义即可求出曲线C的方程；

（2）设出直线4的方程并与椭圆标准方程进行联立，进而用弦长公式表示出|/3|,再用所设斜率左表示出

M的坐标，进而表示出|又用，得到面积S的关系式，化简即可得到函数关系式，求值域即可.

【小问1详解】

因为点。为4心的重心，

△尸公鸟的边8上的两条中线长度之和为3行，

所以|QG|+|Q用=1义3应=2行＞|月月|,

故由椭圆的定义可知曲线。是以耳（-1,0）,乙（1,0）为焦点的椭圆（不包括长轴的端点）.

设a,dc分别为该椭圆的长半轴长、短半轴长、半焦距，

所以a=J5,c=l,所以b=l,

所以C的方程为］+V=i（xw土式）.

【小问2详解】

设直线4的方程为丁=左（％-1）（左。。）,4（%,%）,5（%,%），

y=k（x-l）,

联立《x22］整理得（2左2+1）/—4-X+2左2—2=0,

、2

止2k2-2

则为+%=

击工p/龙2-2^2+1

2k2-2_20（左2+i）

2尸+12k1+1

设出（如为），则&=一；，即5=一机,

XQK

代入椭圆方程得7+y：=1

c27k2

所以常工，则

,2

+1

所见"""L2

由对称性知|MV|=2QM,

又5=；仙邳.|政v|=|AB||OM|,

|MN『81OM|3