福建省重点中学2025届高一数学第二学期期末联考模拟试题含解析

福建省重点中学2025届高一数学第二学期期末联考模拟试题注意事项：1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号、考场号和座位号填写在试题卷和答题卡上。用2B铅笔将试卷类型（B）填涂在答题卡相应位置上。将条形码粘贴在答题卡右上角"条形码粘贴处"。2．作答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案。答案不能答在试题卷上。3．非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新答案；不准使用铅笔和涂改液。不按以上要求作答无效。4．考生必须保证答题卡的整洁。考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回。一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每个小题给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的1．无穷数列1,3,6,10，…的通项公式为（）A． B．C． D．2．已知底面边长为1，侧棱长为2的正四棱柱的各顶点均在同一个球面上，则该球的体积为（）A． B． C． D．3．设等差数列{an}的前n项和为Sn．若a1+a3＝6，S4＝16，则a4＝（）A．6 B．7 C．8 D．94．从装有2个白球和2个黑球的口袋内任取两个球，那么互斥而不对立的事件是A．至少有一个黑球与都是黑球 B．至少有一个黑球与至少有一个白球C．恰好有一个黑球与恰好有两个黑球 D．至少有一个黑球与都是白球5．在长方体中，，，则异面直线与所成角的余弦值为（）A． B．C． D．6．已知，且，则（）A． B． C． D．7．四边形，，，，则的外接圆与的内切圆的公共弦长（）A． B． C． D．8．关于x的不等式ax－b>0的解集是，则关于x的不等式SKIPIF1<0≤0的解集是()A．(－∞，－1]∪[2，＋∞)B．[－1,2]C．[1,2]D．(，1]∪[2，)9．设，是两个不同的平面，，是两条不同的直线，且，（）A．若，则 B．若，则C．若，则 D．若，则10．已知，则比多了几项（）A．1 B． C． D．二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分。11．某产品生产厂家的市场部在对4家商场进行调研时，获得该产品售价（单位：元）和销售量（单位：件）之间的四组数据如下表，为决策产品的市场指导价，用最小二乘法求得销售量与售价之间的线性回归方程，那么方程中的值为___________.售价44.55.56销售量121110912．已知等差数列满足，则____________．13．已知是边长为的等边三角形，为边上（含端点）的动点，则的取值范围是_______.14．已知，且，则_____.15．已知，，两圆和只有一条公切线，则的最小值为________16．一组数据2，4，5，，7，9的众数是2，则这组数据的中位数是_________.三、解答题：本大题共5小题，共70分。解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17．已知数列an满足an+1=2an（1）求证:数列bn（2）求数列an的前n项和为S18．某地合作农场的果园进入盛果期，果农利用互联网电商渠道销售苹果，苹果单果直径不同则单价不同，为了更好的销售，现从该合作农场果园的苹果树上随机摘下了50个苹果测量其直径，经统计，其单果直径分布在区间内（单位：)，统计的茎叶图如图所示：（Ⅰ)按分层抽样的方法从单果直径落在，的苹果中随机抽取6个，则从，的苹果中各抽取几个？（Ⅱ)从（Ⅰ)中选出的6个苹果中随机抽取2个，求这两个苹果单果直径均在内的概率；（Ⅲ)以此茎叶图中单果直径出现的频率代表概率，若该合作农场的果园有20万个苹果约5万千克待出售，某电商提出两种收购方案：方案：所有苹果均以5.5元/千克收购；方案：按苹果单果直径大小分3类装箱收购，每箱装25个苹果，定价收购方式为：单果直径在内按35元/箱收购，在内按45元/箱收购，在内按55元/箱收购.包装箱与分拣装箱费用为5元/箱（该费用由合作农场承担).请你通过计算为该合作农场推荐收益最好的方案.19．某体育老师随机调查了100名同学，询问他们最喜欢的球类运动，统计数据如表所示.已知最喜欢足球的人数等于最喜欢排球和最喜欢羽毛球的人数之和.最喜欢的球类运动足球篮球排球乒乓球羽毛球网球人数a201015b5（1）求的值；（2）将足球、篮球、排球统称为“大球”，将乒乓球、羽毛球、网球统称为“小球”.现按照喜欢大、小球的人数用分层抽样的方式从调查的同学中抽取5人，再从这5人中任选2人，求这2人中至少有一人喜欢小球的概率.20．设函数和都是定义在集合上的函数，对于任意的，都有成立，称函数与在上互为“互换函数”．（1）函数与在上互为“互换函数”，求集合；（2）若函数（且）与在集合上互为“互换函数”，求证：；（3）函数与在集合且上互为“互换函数”，当时,，且在上是偶函数,求函数在集合上的解析式．21．某种汽车,购车费用是10万元,每年使用的保险费和汽油费为万元,年维修费第一年为万元,以后逐年递增万元,问这种汽车使用多少年时,它的年平均费用最少?

参考答案一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每个小题给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的1、C【解析】试题分析：由累加法得:,分别相加得,,故选C.考点：数列的通项公式.2、C【解析】

根据题意可知所求的球为正四棱柱的外接球，根据正四棱柱的特点利用勾股定理可求得外接球半径，代入球的体积公式求得结果.【详解】由题意可知所求的球为正四棱柱的外接球底面正方形对角线长为：外接球半径外接球体积本题正确选项：【点睛】本题考查正棱柱外接球体积的求解问题，关键是能够根据正棱柱的特点确定球心位置，从而利用勾股定理求得外接球半径.3、B【解析】

利用等差数列的性质对已知条件进行化简，由此求得的值.【详解】依题意，解得.故选：B【点睛】本小题主要考查等差中项的性质，属于基础题.4、C【解析】

列举每个事件所包含的基本事件，结合互斥事件和对立事件的定义，依次验证即可【详解】对于A：事件：“至少有一个黑球”与事件：“都是黑球”可以同时发生，如：两个都是黑球，∴这两个事件不是互斥事件，∴A不正确对于B：事件：“至少有一个黑球”与事件：“至少有一个白球”可以同时发生，如：一个白球一个黑球，∴B不正确对于C：事件：“恰好有一个黑球”与事件：“恰有两个黑球”不能同时发生，但从口袋中任取两个球时还有可能是两个都是白球，∴两个事件是互斥事件但不是对立事件，∴C正确对于D：事件：“至少有一个黑球”与“都是白球”不能同时发生，但一定会有一个发生，∴这两个事件是对立事件，∴D不正确故选C．【点睛】本题考查互斥事件与对立事件．首先要求理解互斥事件和对立事件的定义，理解互斥事件与对立事件的联系与区别．同时要能够准确列举某一事件所包含的基本事件．属简单题5、C【解析】

画出长方体,将平移至,则,则即为异面直线与所成角,由余弦定理即可求解.【详解】根据题意,画出长方体如下图所示:将平移至,则即为异面直线与所成角,,由余弦定理可得故选:C【点睛】本题考查了长方体中异面直线的夹角求法,余弦定理在解三角形中的应用,属于基础题.6、A【解析】

根据，，利用平方关系得到，再利用商数关系得到，最后用两和的正切求解.【详解】因为，，所以，所以，所以．故选：A【点睛】本题主要考查了同角三角函数基本关系式和两角和的正切公式，还考查了运算求解的能力，属于中档题.7、C【解析】

以为坐标原点，以为轴，轴建立平面直角坐标系，求出的外接圆与的内切圆的方程，两圆方程相减可得公共弦所在直线方程，求出弦心距，进而可得公共弦长.【详解】解：以为坐标原点，以为轴，轴建立平面直角坐标系，过作交于点，则，故，则为等边三角形，故，的外接圆方程为，①的内切圆方程为，②①-②得两圆的公共弦所在直线方程为:,的外接圆圆心到公共弦的距离为，公共弦长为，故答案为：C.【点睛】本题考查两圆公共弦长的求解，关键是要求出两圆的公共弦所在直线方程，将两圆方程作差即可得到，是中档题.8、A【解析】试题分析：因为关于x的不等式ax－b>0的解集是，所以，从而SKIPIF1<0≤0可化为SKIPIF1<0，解得，关于x的不等式SKIPIF1<0≤0的解集是(－∞，－1]∪[2，＋∞)，选A。考点：本题主要考查一元一次不等式、一元二次不等式的解法。点评：简单题，从已知出发，首先确定a,b的关系，并进一步确定一元二次不等式的解集。9、A【解析】试题分析：由面面垂直的判定定理：如果一个平面经过另一平面的一条垂线，则两面垂直，可得，可得考点：空间线面平行垂直的判定与性质10、D【解析】

由写出，比较两个等式得多了几项.【详解】由题意，则，那么：，又比多了项.故选：D.【点睛】本题考查对函数的理解和带值计算问题，属于基础题.二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分。11、17.5【解析】

计算，根据回归直线方程必过样本中心点即可求得.【详解】根据表格数据：；，根据回归直线过点，则可得.故答案为：.【点睛】本题考查线性回归直线方程的性质：即回归直线经过样本中心点.12、9【解析】

利用等差数列下标性质求解即可【详解】由等差数列的性质可知，，则．所以.故答案为：9【点睛】本题考查等差数列的性质，熟记性质是关键，是基础题13、【解析】

取的中点为坐标原点，、所在直线分别为轴、轴建立平面直角坐标系，设点的坐标为，其中，利用数量积的坐标运算将转化为有关的一次函数的值域问题，可得出的取值范围.【详解】如下图所示：取的中点为坐标原点，、所在直线分别为轴、轴建立平面直角坐标系，则点、、，设点，其中，，，，因此，的取值范围是，故答案为.【点睛】本题考查平面向量数量积的取值范围，可以利用基底向量法以及坐标法求解，在建系时应充分利用对称性来建系，另外就是注意将动点所在的直线变为坐标轴，可简化运算，考查运算求解能力，属于中等题.14、【解析】

首先根据已知条件求得的值，平方后利用同角三角函数的基本关系式求得的值.【详解】由得，两边平方并化简得，由于，所以.而，由于，所以【点睛】本小题主要考查同角三角函数的基本关系式，考查两角和的正弦公式，考查化归与转化的数学思想方法，属于基础题.15、9【解析】

两圆只有一条公切线，可以判断两圆是内切关系，可以得到一个等式，结合这个等式，可以求出的最小值.【详解】，圆心为，半径为2；，圆心为，半径为1.因为两圆只有一条公切线，所以两圆是内切关系，即，于是有（当且仅当取等号），因此的最小值为9.【点睛】本题考查了圆与圆的位置关系，考查了基本不等式的应用，考查了数学运算能力.16、【解析】

根据众数的定义求出的值，再根据中位数的定义进行求解即可.【详解】因为一组数据2，4，5，，7，9的众数是2，所以，这一组数据从小到大排列为：2，2，4，5，7，9，因此这一组数据的中位数为：.故答案为：【点睛】本题考查了众数和中位数的定义，属于基础题.三、解答题：本大题共5小题，共70分。解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17、(1)证明见解析；(2)S【解析】

（1）计算得到bn+1bn（2）根据（1）知an【详解】(1)因为bn+1b所以数列bn(2)因为bn=aSn【点睛】本题考查了等比数列的证明，分组求和，意在考查学生的计算能力和对于数列方法的灵活运用.18、（Ⅰ)4个；（Ⅱ)；（Ⅲ）方案是【解析】

（Ⅰ）单果直径落在，，，的苹果个数分别为6，12，分层抽样的方法从单果直径落在，，，的苹果中随机抽取6个，单果直径落在，，，的苹果分别抽取2个和4个；（Ⅱ）从这6个苹果中随机抽取2个，基本事件总数，这两个苹果单果直径均在，内包含的基本事件个数，由此能求出这两个苹果单果直径均在，内的概率；（Ⅲ）分别求出按方案与方案该合作农场收益，比较大小得结论．【详解】（Ⅰ)由茎叶图可知，单果直径落在，的苹果分别为6个，12个，依题意知抽样比为，所以单果直径落在的苹果抽取个数为个，单果直径落在的苹果抽取个数为个（Ⅱ）记单果直径落在的苹果为，，记单果直径落在的苹果为，若从这6个苹果中随机抽取2个，则所有可能结果为：，，，，，，，，，，，，，，，即基本事件的总数为15个.这两个苹果单果直径均落在内包含的基本事件个数为6个，所以这两个苹果单果直径均落在内的概率为.（Ⅲ）按方案：该合作农场收益为：（万元）；按方案：依题意可知合作农场的果园共有万箱，即8000箱苹果，则该合作农场收益为：元，即为31.36万元因为，所以为该合作农场推荐收益最好的方案是.【点睛】本题考查概率、最佳方案的确定，考查茎叶图等基础知识，考查运算求解能力，是中档题．19、（1）；（2）【解析】

（1）根据最喜欢足球的人数等于最喜欢排球和最喜欢羽毛球的人数之和，以及总人数列方程组求解；（2）利用分层抽样，抽取的5人中，3人喜欢大球，2人喜欢小球，根据古典概型求解概率.【详解】（1）由题最喜欢足球的人数等于最喜欢排球和最喜欢羽毛球的人数之和，所以，解得：，所以；（2）由题可得：喜欢大球的60人，喜欢小球的40人，按照分层抽样抽取5人，其中喜欢大球的3人记为，喜欢小球的2人记为，从中任取2人，情况为:共10种，这两人中，至少一人喜欢