2024年中考数学几何专项练习：最值问题之隐圆（解析版）

中考数学几何专项练习：最值问题之隐圆

一、填空题

1.如图，四边形ABCD中，ABCD,AC1BC,ZDAB=60,AD=QD=4,点加是四边形A3CD内

的一个动点，满足/AAm=90,贝!]面积的最小值为.

【答案】66-4

【分析】取AO的中点0,连接加，过点/作交2C的延长线于点E,过点。作。尸，3c于尸,

交CO于G,则OM+MEWO尸，通过计算得出当O,M,E三点共线时，ME有最小值，求出最小值即可.

【详解】解：如图，

取AD的中点。，连接31,过点M作〃ELBC交8C的延长线于点E,过点。作O尸，于尸，交CD于

G,贝!jOM+MENO尸，

ABCD,ZDAB=60,AD=CD=4,

ZADC=120。，

AD=CD,

：.ZDAC=30°,

ZC4B=30°,

ACIBC,

ZACS=90°

ZB=90°-30°=60°,

ZB=ZDAB,

，四边形ABC。为等腰梯形，

BC=AD=4,

ZAMD=9Q,AD=4fOA=OD,

OM=—AD=2,

2

•・•点M在以点。为圆心，2为半径的圆上，

AB//CD,

ZGCF=ZB=60°,

NDGO=NCGF=3。。,

OFX.BC,ACIBC,

/DOG=ADAC=30°=ZDGO,

••・0G=00=2,

OG=2OD-cos30°=273,GF=6,0F=3』,

•••MEiOF-OM=36-2,

.•.当O,M,E三点共线时，ME有最小值36-2,

•.M3C面积的最小值为=gx4x（3/一2）=6有一4.

【点睛】本题考查了解直角三角形、隐圆、直角三角形的性质等知识点，点”位置的确定是解题关键.

2.如图，点46的坐标分别为46,0）,3（0,6）,C为坐标平面内一点，2c=2后，〃为线段AC的中点,

连接O",当取最大值时，点〃的坐标为.

【答案】（4,4）

【分析】根据题意可知：点，在半径为2拒的。8上.在x轴上取叱。1=6,连接切，易证明。/是△力切

的中位线，即得出法!切，即当加最大时，切最大，由〃B,。三点共线时，即当。在的的延长线上

时，刎最大，根据勾股定理求出物的长，从而可求出切的长，最后即可求出利的最大值.

【详解】解：如图，：点C为坐标平面内一点，2c=20,

在。夕上，且半径为20，

在X轴上取勿=如=6,连接切,

。/是△/切的中位线，

；.0吟CD,

即当以最大时，切最大，而〃B,C三点共线时，即当C在龙的延长线上时，最大，

'：OB=OD^&,/6叱90°,

**•BD126A/2,

:・CA6叵+2近=8屈,且。(2,8),

：.0后三CD=4叵,即如的最大值为40，

:〃是/。的中点，则〃(4,4),

故答案为：(4,4).

【点睛】本题考查坐标和图形，三角形的中位线定理，勾股定理等知识.确定神为最大值时点。的位置是

解题关键，也是难点.

3.如图，在矩形ABCD中，AB=6,BC=8,点、E、歹分别是边AB、8c上的动点，且跖=4,点、G是EF

的中点，4G、CG,则四边形AGC。面积的最小值为.

【分析】首先连接/G过8作*L/C于〃，当G在初上时，三角形4CG面积取最小值，此时四边形力6切

面积取最小值，再连接加，知吩2,得到G点轨迹圆，该轨迹与图交点即为所求最小值时的G点，利用

面积法求出利6^的长，代入三角形面积公式求解即可.

【详解】解：连接AC,过8作3HLAC于

当G在初上时，△/CG面积取最小值，此时四边形/G。?面积取最小值，

四边形面积=三角形/CG面积+三角形/磬面积，

即四边形/G切面积=三角形/CG面积+24.

连接6G,由G是项中点，上4知，

打42,

故G在以B为圆心，3G为半径的圆弧上，圆弧交于G',此时四边形面积取最小值，如图所示,

AD

由勾股定理得：4M0,

B+三AB•BC,

.•.跳M.8,

G'H=2.8,

即四边形AGCD面积的最小值=,x10x2.8+24=38.

2

故答案为：38.

【点睛】本题考查了勾股定理及矩形中的与动点相关的最值问题，解题的关键是利用直角三角形斜边的直

线等于斜边的一半确定出G点的运动轨迹.

4.如图，在△/笈中，NC=90°,AC=8,46=10,。是47上一点，且切=3,£是a'边上一点，将△加F

沿龙折叠，使点C落在点户处，连接明则郎的最小值为.

A

F

【答案】3A/5-3/-3+3A/5

【分析】先由折叠判断出尸的运动轨迹是为以。为圆心，缪的长度为半径的圆，当反以尸共线且尸在反

2之间时哥'最小，根据勾股定理及圆的性质求出此时必、斯的长度即可.

【详解】解：由折叠知，尸点的运动轨迹为：以，为圆心，切的长度为半径的圆，如图所示，

可知，当点6、D、尸共线，且尸在6、，之间时，如取最小值，

'：ZC=90°,AC=8,AB=10,

：.BC=&,

在RtABCD中,由勾股定理得：阱Ja>2+Be，=勾2+62=3右，

BP-BD—DP-3y/s-3,

故答案为：375-3.

【点睛】本题考查了折叠的性质、圆的性质、勾股定理解直角三角形的知识，该题涉及的最值问题属于中

考常考题型，根据折叠确定出尸点运动轨迹是解题关键.

5.如图，已知ABC,外心为0,BC=18,44c=60。，分别以AB,AC为腰向形外作等腰直角三角形△ABD

与AACE,连接BE,C£>交于点尸，则OP的最小值是.

【答案】9-3^3

【分析】由△ABQ与"CE是等腰直角三角形，得至！JNSAD=NGLE=9O。，NDAC=NBAE,根据全等三

角形的性质得到NADC=/ABE,求得在以8c为直径的圆上，由ABC的外心为0,ZBAC=60°,得到

ZBOC=120°,如图，当PO15C时，OP的值最小，解直角三角形即可得到结论.

【详解】解：与小虑是等腰直角三角形，

..NR4D=/C4E=90°,

NDAC=NBAE,

在与/5AE中，

AD=AB

<ZDAC=NBAE,

AC=AE

DAC^^BAE(SAS),

:.ZADC=ZABE,

:./PDB+/PBD=90。,

:.ZDPB=90°,

.•.尸在以BC为直径的圆上，

ABC的外心为。，ZBAC=60°,

；.NBOC=120°,

如图，当PO13C时，0P的值最小,

3c=18,

：.BH=CH=9,OH=-OB

2

BH=y]OB2-OH2=^3OH

0/7=3A/3,PH=9,

OP=9-3y/3.

则OP的最小值是9-3g,

故答案为：9-3A/3.

【点睛】本题考查了三角形的外接圆与外心，全等三角形的判定和性质，等腰直角三角形的性质，正确的

作出辅助线是解题的关键.

6.如图，正方形483的边长为4,点£为边4?上一个动点，点尸在边切上，且线段第=4,点G为线段

则的最小值为.

【答案】5

【分析】因为，G=1■砂=2,所以G在以，为圆心，2为半径圆上运动，取〃=1,可证△碗从

而得出G/=gcG,然后根据三角形三边关系，得出6/是其最小值

【详解】解：如图,

:.DG=LEF=2,

2

...点G在以，为圆心，2为半径的圆上运动，

在切上截取0=1,连接G/,

.DI_DG_1

,•丽一百一万’

：.ZGDI=ZCDG,

:.丛GDIs丛CDG,

.IG=DI_1

"CG-DG2,

：.IG=-CG,

2

：.BG+-CG=BG+IG^BI,

2

...当8、G、/共线时，BG+^CG最，\、=BI,

在Rt△a7中，67=3,BC=4,

:.BI=5,

故答案是：5.

【点睛】本题考查了相似三角形的性质与判定，圆的概念，求得点G的运动轨迹是解题的关键.

7.如图，在锐角△26C中，AB=2,AC=&,N4BC=60°.，是平面内一动点，且/亚历=30°则3的

【答案】3-6/-屿+3

【分析】作8c于〃，证明△/田为等腰直角三角形，求得8信后+1,在8c上截取6%/户2,则△/6

为等边三角形，以。为圆心，2为半径作。。根据/加卢30°,可得点。在。。上运动，当如经过圆心。

时，切最小，其最小值为。。的直径减去宽的长.

【详解】解：如图，作AHLBC于H,

,:AB=2,A(=y/6,NA除60°,

2

A由y/AB2-BH2=4=V3>

CH^AC2—AH2=不(a)~一(6)=A/3，

；.△/纺为等腰直角三角形，

：.ZACB=^5°,

BOCmB生舟

在宽上截取63♦后2,则人为等边三角形，

以。为圆心，2为半径作。0,

9：ZADB=30°,

・••点〃在。。上运动，

当施经过圆心。时，切最小，

最小值为4-(指+1)=3-6.

故答案为：3-6.

【点睛】本题考查了勾股定理，含30度角的直角三角形的性质，等腰直角三角形的判定和性质，圆周角定

理.解题的关键是得出点〃在。。上运动.

8.如图，在四边形/反/中，ZBAD=ZBCD=^°,ZACD=30°,49=2,£是”的中点，连接龙，则线

段龙长度的最小值为.

【答案】V3-1

【分析】先判断出四边形/及/是圆内接四边形，得到吩30°，根据题意知点£在以bG为直径

的。户上，连接PD交OP于点、E,此时施长度取得最小值，证明/〃阱90°,利用含30度角的直角三角形

的性质求解即可.

【详解】解：掰氏/闾9=90°,

四边形/及刀是圆内接四边形，

ZACD=ZABD=30°,

AZADB^60°,

•・•/氏2,

:・BD=2AD=4,

分别取血、力〃的中点尺G,并连接我G,EF,EG,

IE是ZC的中点,

：.EF//BQEG//CD,

:・/AE六/ACB,ZAEG^ZACD,

：・/AEF+/AEG=/ACB+NAC庆,即/发G=90°,

・・・点£在以为直径的。尸上，如图：

当点£恰好在线段PD上,此时龙的长度取得最小值，

连接⑸，

■:F、G分别是46、4?的中点，

C.FG//BD,FG^^BD=2,

：.ZADB=ZAG^600,

\'PA=PG,

是等边三角形，

；./"信60°,

'：PUGFGA,且//说60°,

：.ZGPD=ZGD/^3Q°,

Z.ZAPD=90°,

PD=dAl"P曾=722-12=有，

•••庞长度的最小值为(石-1).

故答案为：(6-1).

【点睛】本题考查了圆周角定理，圆内接四边形的性质，等边三角形的判定和性质，含30度角的直角三角

形的性质，得到点£在以用为直径的。户上是解题的关键.

9.如图，点A,B的坐标分别为4(4,0),8(0,4),C为坐标平面内一动点，且BC=2,点M为线段AC的

中点，连接O",当AC取最大值时，点/的纵坐标为.

【答案】2+"

2

【分析】根据同圆的半径相等可知：点C在半径为2的。6上，通过画图可知，。在四的延长线上时，AC

最大，根据中点坐标公式可得结论.

【详解】解：如图，,••点C为坐标平面内一点，6信2,

；工在。8上，且半径为2,

Ay

bo\E力—

...当C在的延长线上时，/C最大，

过点。作aax轴，

•.•点A,B的坐标分别为4(4,0),5(0,4),

OA=OB=4,

ZBO4=90°,

/.△BOA是等腰直角三角形，

/.ZA=45°,AB=S#+OB。=4后，

AC=BC+AB=2+4>/2.

轴，

.CZM是等腰直角三角形，

/.CD=AD,

CD2+AD2^AC2,即2c£)2=(2+4A/可，

解得：CD=0+4，

点的纵坐标为亚+4，

:点/为线段AC的中点，

点/的纵坐标为变+2.

2

故答案为：立+2.

2

【点睛】本题考查了坐标和图形的性质，动点线段最值问题，勾股定理等知识，确定为最大值时点C的

位置是解题的关键.

10.如图，正方形ABCD,边长为4,点尸和点0在正方形的边上运动，且尸0=4,若点尸从点8出发沿B-C-AA

的路线向点/运动，到点力停止运动；点0从点/出发，沿/一夕一一。的路线向点。运动，到达点。停止

运动.它们同时出发，且运动速度相同，则在运动过程中闾的中点。所经过的路径长为.

【答案】37

【详解】解：画出点。运动的轨迹，如图虚线部分,

3

则点户从6到4的运动过程中，放的中点。所经过的路线长等于2万x2x：=3m,

故答案为：31t.

11.如图，Rt丛ABC中,//位=90°,/CAB=60°,46=4,点户是6c边上的动点，过点c作直线记的垂

线，垂足为0,当点尸从点C运动到点8时，点0的运动路径长为.

A

27r

【答案】y

【详解】解：,CAQLCQ,

：.ZAQC=9Q°,

当点户从点C运动到点6时，点。的运动的轨迹是以AC为直径的半圆上，路径是120度的弧长,

在中，'：AB=^,ZB=30°,

：.AC=-AB=2,

2

・,•点0的运动路径长为胃袅=］兀

lol)3

12.如图，AABC为等边三角形,AB=2,若尸为△/%内一动点，且满足/为方二//夕，则点尸运动的路

径长为.

【详解】解：・・・△/比是等边三角形,

ZABC=ZBAC=60°,AC=AB=2,

APAB=AACP,

：.ZPAaZACP=60°,

：.ZAPC=120°，

，点月的运动轨迹是AC，如图所示：

连接OA.0C,作于D,

贝（JAD=CD=-AC=1,

2

〈AEC所对的圆心角=2N胫C=240。，

ODLAC,

：.0D=^AD=B,物=2勿=亚，

323

19n273

・・・AC的长为尸上工=速兀；

180~~9~

故答案为：生81t.

9

13.如图，在RtA46C中，NAC5=90°,N6=30°,A8=4,，是勿上一动点，连接A9,过点。作废_L4?

于E,过点£作EFLAB交8c于点F,则CF的最大值是.

【答案】W

3

【分析】如图，取然的中点。，连接第0F,延长也交于7.证明必=g/C=l,推出点£的在以。

为圆心，1为半径的圆上运动，推出当“与。。相切时，CF的值最大.

【详解】解：如图，取〃的中点。，连接第OF,延长也交股于7.

,：ZACB=90°,AB=4,/B=30°,

：.ZCAB=60°,AC=；A8=2,

・・,CELAD,

：.ZAEC=9Q°,

,:AO=OC=\,

：.OE=^AC=1,

・・・点£在以。为圆心，1为半径的圆上运动，

・••当”与。。相切时，〃的值最大，

・・,直线阴直线厮都是。〃的切线，

：.FC=FE,

:・/FCE=/FEC,

9：ZCAE+ZACE=90°,ZACE+ZECF=9Q°,

:・/CAE=/FCE,

Y/CER/AET=9G°,ZAET+ZEAT=90°,

:./FEC=/EAT,

：.ZCAE=ZEAT=30°,

VCF=FE,OC=OE,

：.OFIEC,

■:ADLCE,

•・•OF//AD,

:・/COF=/CAD=3G°,

••・6F=%・tan30°

3

・・・CF的最大值为电.

3

故答案为：息.

3

【点睛】本题主要考查直角三角形30°角的性质，直线与圆的位置关系，线段的垂直平分线的性质等知识,

解决本题的关键是发现点£在以。为圆心，1为半径的圆上运动，推出当a与。。相切时，第'的值最大.

14.如图，Rt^ABC中，AB1BC,AB=6,BC=4,P是ABC内部的一个动点，且满足NR4B+NPBA=90",

则线段CP长的最小值为.

【答案】2：

【分析】首先证明点P在以AB为直径的。。上，连接0C与。。交于点P,此时PC最小，利用勾股定理求出

OC即可解决问题.

【详解】VZPAB+ZPBA=90°

二ZAPB=90°

...点P在以AB为直径的弧上（P在△ABC内）

设以AB为直径的圆心为点0,如图

接0C,交于点P,此时的PC最短

VAB=6,

.\0B=3

VBC=4

OC=ylOB2+BC2=732+42=5

.•.PC=5-3=2

【点睛】此题考查了三角形与圆的综合题，重点是发现满足什么条件时PC有最小值.关于三点共线的最短

距离是中考偏好考的考点之一，此类问题借助图形进行理解，发现点。的位置是关键.

15.如图，在矩形5中，/庐4,/氏6,£是/8边的中点，户是线段8c上的动点，将△酶'沿舟所在直

线折叠得到△曲F,连接月D,则月，的最小值是.

D

EB'

BF

［答案］2710-2.

【分析】如图所示，点日在以£为圆心防为半径的圆上运动，当以B、£共线时，E2的值最小，根据

勾股定理求出理，根据折叠的性质可知月后止2,即可求出F7Z

【详解】如图所示点月在以£为圆心成为半径的圆上运动，当心B、£共线时，月，的值最小，根据折

叠的性质，丛EB—丛EBF,庐/欧凡EB=EB.

是4?边的中点，43=4,：,A^EB=2.

-：AD=6,:.DE=d©S=2而,:.BD=2屈一2.

故答案为2碗-2.

【点睛】本题考查了折叠的性质、全等三角形的判定与性质、两点之间线段最短的综合运用；确定点S在

何位置时，月〃的值最小是解决问题的关键.

16.如图，在矩形ABCD中，AB=8,BC=5,P是矩形内部一动点，且满足NPAB=/PBC,则线段CP的最小值

是.

【答案】而-4.

【分析】连接0C与圆0交于点P,先证明点P在以AB为直径的圆0上，再利用勾股定理求出0C即可.

【详解】

VZABC=90°,

AZABP+ZPBC=90°,

VZPAB=ZPBC,

AZBAP+ZABP=90°,

/.ZAPB=90°,

,-.OP=OA=OB（直角三角形斜边中线等于斜边一半），

...点P在以AB为直径的。0上，连接0C交。0于点P,此时PC最小,

\•在矩形ABCD中,AB=8,BC=5,

在RT4BC0中，Z0BC=-90°，BC=5,0B=4,

•*-oc=7BO2+BC2=741，

.\PC=OC-OP=V41-4.

，PC最小值为历-4.

故答案为向-4.

【点睛】本题考查了点与圆的的位置关系、圆周角定理及最短路径等知识，会求圆外一点到圆的最大距离

和最小距离是解题的关键.

二、解答题

17.如图，在正方形ABCD中，点£在直线AD右侧，且A£=l,以为边作正方形DEFG,射线"'与

边3C交于点〃，连接ME、MG.

⑴如图1,求证：ME=MG；

(2)若正方形ABCD的边长为4,

MN

①如图2,当G、a〃三点共线时，设EF与BC交于点、N,求"的值;

EM

②如图3,取AD中点户，连接尸尸，求尸尸长度的最大值.

【答案】(1)见解析

⑵①丝H②当RB、尸三点共线时，件有最大值为26+&

EM4

【分析】(1)对角线D尸是正方形DEfG的对称轴，即可得ME=MG；

(2)①当G、C,〃三点共线时，根据,D4E，,Z)CG,DCG^,GFN,△AWFs&wGO进而即可求得空

MN

的值；

②连接BD,班1,证明—ADES_BDR,求出相似比，求出2尸=夜，当P、B、尸三点共线时，即可求出最大

值.

图1

:对角线。尸是正方形DEFG的对称轴,

：.ME=MG；

(2)如图2,

①当G、a〃三点共线时,

VAD=DC,DE=DG

・；乌OCG(HL),

Y2NGFIDGC90?,

1GDCIDGC90?,

：・？NGF?GDC,

又•：？GDCGFN,

・•・DCGsGFN,

又,：/XMNFs^MGD,DG=GF,

,MN_MN_NF_NF_AE_1

**EM-MG-PG-GF-AD-4

②如图3,

G

ZADE+ZEDB=ZBDF+ZEDF=45°

Z\ADEs/\BDF,

.BFBDV2

"AE~AD~1'

,/AE^l,

BF=血;

在RtABP中，

BP=2A/5,

当只B、户三点共线时，

件有最大值：2君+应.

【点睛】本题考查了正方形的性质，相似三角形的性质，掌握相似三角形的性质与判定是解题的关键.

18.已知,平面直角坐标系中有一个边长为6的正方形OABC,M为线段OC上的动点，将*AOM沿直线AM

对折，使。点落在。处.

(1)如图①，当N。4M=30。时,求点。'的坐标;

(2)如图②，连接C。'，当C。〃40时.

①求点Af的坐标;

②连接OB,求△AO'M与AO3重叠部分的面积;

(3)当点M在线段OC(不包括端点)上运动时，请直接写出线段O'C的取值范围.

【答案】⑴叫3月,3).

⑵①㈣3,0),②宁.

(3)60-6?COC6.

【分析】(1)如图，连接。。幺交AM于Q,过。作Q^VAOC于N,由对折可得：

AO^AO^6,OM=OM,2OAM30??。如0,证明？。40互60?,VOAO是等边三角形，可得

?OtoN30?,再利用三角函数可得答案；

(2)①利用平行线的性质证明OM=。姒=CM=3,从而可得答案；②如图，连接。8,交AM于Q,交47

于P,过。作QD〃OA交AO'于。过OELOC于区再分别求解的坐标，利用函数解析式与三

角形的面积公式可得答案；

(3)如图，由对折可得AO=AO火则O'在以A为圆心，AO为半径的08上运动，与。,8不重合，连接AC,

交OB于Q，当Q,。,重合时，co'取得最小值，从而可得答案.

【详解】(1)解：如图，连接。。玄交4W于Q,过。作Q^AOC于N,

由对折可得：AO=AO^6,OM=OM,?OAM30??O^AM,

\OO诔AM,OQ=OQ,

\?OAO^60?,VOA(9是等边三角形,

\OO^=AO=6,

Q?AOM90?,

\?OMQ90?30?60?,

QAMAOO^,

\?OtoN30?,

\ON=6。加=3后

(2)①QAM〃。吐

\1AMO彳AAfO=?MO匕而？AMO

\IMO'tC1MCO,

\MO^=MC,

\OM=(W=CA7=3,

\M(3,0).

②如图，连接。民交AM于Q,交于P,过。作交49'于。过OE_LOC于区

OR

=2=tanNO'CE=——

CE

设CE=%,则ME=3-x,O组-2x,

\32=(3-X)2+(2X)2,

解得：x=|,(不符合题意的根舍去)

1924

\Ote=2x=—,OE=6-x=—,

55

'。攀'葭'而A(0,6),

2412

设AO'为y=区+6,贝U左+6

3

解得：左=—

4

3

AO'为y=——x+6,

同理可得：AM为y=-2x+6,0B为y=x，

、jy=_2x+6\x=2

解得：L9即Q(20，

"%=2

所以覆=2,%=-1?26=小即礴4

4Z微N

・•.△AO'M与AO3重叠部分的面积为:

6H33

7T

(3)如图，由对折可得4。=49玄

...O'在以A为圆心，49为半径的OB上运动，与8不重合,

连接AG交OB于Q，

当Q,oC重合时，C。’取得最小值，

此时4C=+6?=6点,AQ=AO=6,

\COC=60-6,

所以CO'的取值范围为：6>/2-6?CO06.

【点睛】本题考查的是正方形的性质，等边三角形的判定与性质，轴对称的性质，一次函数的几何应用，

圆的基本性质，锐角三角函数的应用，熟练的利用一次函数的性质解决几何图形面积问题，利用圆的基本

性质求解线段长度的最小值是解本题的关键.

19.如图，抛物线y=一2ax-3a(a为常数，a<0)与x轴分别交于48两点(点/在点6的左侧)，

与y轴交于点G豆OB=OC.

备用图

⑴求a的值；

(2)点，是该抛物线的顶点，点、P(m,而是第三象限内抛物线上的一个点，分别连接M、BC、CD、BP,当

/PBA=NCBD时,求0的值；

(3)点4为坐标平面内一点，DK=2,点〃为线段欹的中点，连接4K当阳最大时，求点"的坐标.

【答案】(1)-1

⑵-g

卬0,6旧+134旧+52、

⑷-------，-------)

【分析】(1)先求得AB,C点的坐标，进而根据03=OC即可求得。的值；

(2)过点P作PE_Lx轴于点E,证明△BCD是直角三角形，进而BC4.3EP,根据相似的性质列出比

例式进而代入点P的坐标解方程即可；

(3)接80,取3。的中点Q,连接QM,根据题意，点K在以。为圆心，2为半径的圆上，则M在以。为

~22

圆心，1为半径的圆上运动，根据点与圆的距离求最值，进而求得的解析式为>=]%+],根据AM〃OK,

设直线QK的解析式为y=将点。代入求得5,进而设K(加彳机+段)，根据DK=2,进而根据勾

股定理列出方程解方程求解即可.

【详解】(1)y=ax2-2ax-3a=a(x2—2x—3)=a(x—3)(x+l)

令,=。，解得玉=T，%2=3

令1=0,y=-3。

抛物线y=2〃x-3。(a为常数，a<0)与X轴分别交于4夕两点(点力在点刀的左侧)，与p轴交

于点C,

「•抛物线与1轴的交点为4—1,0),3(3,0)C(0,-3«)

:.OB=3

OB=OC

:.OC=3

C(0,3)

—3a=3

解得a=-l

(2)如图，过点/"作?石，了轴于点E,

,y=-x2+2x+3=-（x-l）2+4

B（3,0）,C（3,0）

:.CD=Vl2+12=6,BC=A/32+32=372,BD=7（3-l）2+42=26

:.CD2+BC2=20,BD2=20

：.CD2^BC2=BD2

.•.△3CD是直角三角形，且N3CD=90。

PELAB

:./PEB=NPCD=90。

又ZPBA=ZCBD

BCD^BEP

.CDBC

,PE-BE

P(加，用在抛物线y=-f+2x+3上，

/.n=-m2+2m+3

/.PE=—n=m2—2m—3,BE=3—m

...A/2372

m2-2m-33-m

整理得(3："+4)(〃L3)=0

4

解得叫=-§,色=3(舍)

尸(m,〃)在第三象限，

m<0

4

:.m=——

3

(3)如图，连接5。，取3。的中点。，连接。加,

•QM是25DK的中位线

:.QM=^DK=1

根据题意点K在以。为圆心，2为半径的圆上,

则M在以。为圆心，1为半径的圆上运动，

当A,Q,M三点共线，且M在AQ的延长线上时，AM最大，如图,

3(3,0),。(1,4)

，。(与，^^)即。(2,2)

A(-1,0),0(2,2)

设直线AM的解析式为>=履+d,代入点A(-l,0),e(2,2),

(O=-k+d

即［2=2k+d

k=-

解得;3

b=-

3

・・・直线AM的解析式为丫=2(+(2

DK//QM

2

设直线DK的解析式为y=+b

.£>(1,4)

.•.4=2+6

3

解得匕=与

210

贝UOK的解析式为y=

2Io

设点K(%,§加+可)(旭>0),

£>(1,4),0K=2

2

(m—l)2+当用_4I=22

33

解得上地誉'七中(舍去)

6V13+13

/.m=-----------

13

,210_26-713+13104屈+52

,•Z72-\——X---------------------H"--------------------

33313313

-6如+134万+52、

K(------------，-------)

【点睛】本题考查了二次函数综合运用，点与圆的距离求最值问题，相似三角形的性质与判定，正确的添

加辅助线并熟练掌握以上知识是解题的关键.

20.问题发现：

(1)正方形/阅9和正方形//1G如图①放置，羔=4,4£=2.5,则变=___________.