2022年全国高考乙卷数学(文科)数学试题(后附答案解析)

2022年普通高等学校招生全国统一考试

文科数学

注意事项：

1.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上.

2.回答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号框涂黑.如

需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号框，回答非选择题时，将答案写在答题卡上.

写在本试卷上无效.

3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回.

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项

是符合题目要求的.

1.集合M={2,4,6,8』0},N={x[—l<x<6},则MPlN=()

A{2,4}B.{2,4,6}C.{2,4,6,8)D.{2,4,6,8,10}

2.设（l+2i）a+b=2i,其中a,b为实数，则（）

A.a==-1B.a=1,6=1C.a=—1,6=1D.a=-=-1

rr

3.已知向量1=(2,l)Z=(—2,4),贝UQ—b(

A.2B.3C.4D.5

4.分别统计了甲、乙两位同学16周的各周课外体育运动时长（单位：h）,得如下茎叶图:

甲乙

615.

85306.3

75327.46

64218.12256666

429.0238

10.1

则下列结论中错误的是（）

A.甲同学周课外体育运动时长的样本中位数为7.4

B.乙同学周课外体育运动时长的样本平均数大于8

C.甲同学周课外体育运动时长大于8的概率的估计值大于0.4

D.乙同学周课外体育运动时长大于8的概率的估计值大于0.6

'x+y..2,

5.若x,y满足约束条件<x+2y”4,则z=2x-y的最大值是()

A.-2B.4C.8D.12

6.设/为抛物线C:/=4x的焦点，点/在c上，点5(3,0),若尸卜忸尸则()

A.2B.2&C.3D.3亚

8.如图是下列四个函数中的某个函数在区间［-3,3］的大致图像，则该函数是()

3

A-x3+3xX-X2xcosx2sHiX

BC.y=­z-------D.y=—^------

A.尸FT->=2

X+1x+lx+1

9.在正方体488-z0G2中，E,b分别为48,8。的中点，贝IJ(

A.平面片£E，平面ADAB.平面片所，平面4aD

C,平面耳£///平面Z/CD,平面用£尸//平面4G。

10.已知等比数列｛%,｝的前3项和为168,%=42,则％,=()

A.14B.12C.6D.3

11.函数/(x)=cosx+(x+l)sinx+l在区间［0,2兀］的最小值、最大值分别为()

71713兀兀兀兀-3兀兀.

A.---,-B.----,-C.--->—F2D.----,—F2

22222222

12.已知球。的半径为1,四棱锥的顶点为。，底面的四个顶点均在球。的球面上，则当该四棱锥的体积

最大时，其高为()

二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.

13.记S”为等差数列｛%｝的前〃项和.若2s3=3邑+6,则公差4=.

14.从甲、乙等5名同学中随机选3名参加社区服务工作，则甲、乙都入选的概率为.

15.过四点(0,0),(4,0),(-1,1),(4,2)中的三点的一个圆的方程为.

16.若/(x)=ln。+」一+b是奇函数，则口=___,b=______.

1JC

三、解答题：共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.第17〜21题为必考题，每

个试题考生都必须作答.第22、23题为选考题，考生根据要求作答.

17.记4/台。的内角/,B,C的对边分别为a,b,c,已知sinCsin(Z-B)=sin8sin(C-/).

(1)若Z=23,求C；

（2）证明：2a2=b2+c2

18.如图，四面体48CD中，ADLCD,AD=CD,ZADB=ZBDC,E为NC的中点.

(1)证明：平面RE。_L平面/CD；

(2)设45=5。=2,ACS=60。，点尸在上，当△4FC的面积最小时，求三棱锥E—A5C的体

积.

19.某地经过多年的环境治理，已将荒山改造成了绿水青山.为估计一林区某种树木的总材积量，随机选取

了10棵这种树木，测量每棵树的根部横截面积(单位：m2)和材积量(单位：m3)＞得到如下数据：

样本号i12345678910总和

根部横截面积

0.040.060.040080.080.050.050.070.070.060.6

王

材积量力0.250.400.220540.510.340.360460.420.403.9

101010

并计算得=038,=L6158,=02474.

i=li=li=l

(1)估计该林区这种树木平均一棵的根部横截面积与平均一棵的材积量；

(2)求该林区这种树木的根部横截面积与材积量的样本相关系数(精确到0.01)；

(3)现测量了该林区所有这种树木的根部横截面积，并得到所有这种树木的根部横截面积总和为186m2.已

知树木的材积量与其根部横截面积近似成正比.利用以上数据给出该林区这种树木的总材积量的估计值.

£(不一初(乂一页)_____

附：相关系数7-^=,51.896、1.377.

茂『方

Vi=li=l

20.已知函数/(x)=ax--((7+1)Inx.

x

(1)当1=0时，求/(%)的最大值；

(2)若4%)恰有一个零点，求。的取值范围.

21.已知椭圆£的中心为坐标原点，对称轴为x轴、y轴，且过2(0,-2),«|,-11两点.

(1)求£的方程；

(2)设过点P(l,-2)的直线交£于跖N两点，过M且平行于x轴的直线与线段交于点T,点〃满足

MT=TH-证明：直线"N过定点.

(二)选考题：共10分.请考生在第22、23题中选定一题作答，并用2B铅笔在答题卡上将

所选题目对应的题号方框涂黑.按所涂题号进行评分，不涂、多涂均按所答第一题评分；多

答按所答第一题评分.

［选修4T：坐标系与参数方程］

JQ——~\/3cos2t

22.在直角坐标系X0中，曲线。的参数方程为＜，(/为参数)，以坐标原点为极点，x轴正

y=2sint

.71

半轴为极轴建立极坐标系，已知直线/的极坐标方程为「sin^+―+加

\37

(1)写出/的直角坐标方程；

(2)若/与。有公共点，求冽的取值范围.

［选修4—5：不等式选讲］

333

23.已知。，6,c都是正数，且1+我+衿=1，证明:

,1

(1)abc<—；

9

ab1

(2)-——+----+-——«-7=;

b+ca+ca+blyjabc

2022年普通高等学校招生全国统一考试

文科数学

注意事项：

1.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上.

2.回答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号框涂黑.如

需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号框，回答非选择题时，将答案写在答题卡上.

写在本试卷上无效.

3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回.

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项

是符合题目要求的.

l.集合M={2,4,6,8』0},N={x[-l<x<6},则MPlN=()

A.{2,4}B.{2,4,6}C.{2,4,6,8}D.{2,4,6,8,10}

【答案】A

【解析】

【分析】根据集合的交集运算即可解出.

【详解】因为凶={2,4,6,8,10},N={x\-l<x<6},所以M「N={2,4}.

故选：A.

2.设(l+2i)a+b=2i,其中为实数，则()

A.a=l,b=-1B,a=l,b=1C,a=-i,b=1D.a=-l,b=-1

【答案】A

【解析】

【分析】根据复数代数形式的运算法则以及复数相等的概念即可解出.

【详解】因为a,biR,(a+b)+2ai=2i,所以a+6=0,2a=2,解得：a=l,b=-l.

故选：A.

i'i'

3.已知向量£=(2,1)1=(—2,4),a-b()

A.2B.3C.4D.5

【答案】D

【解析】

I'I'

【分析】先求得£-5,然后求得a-6.

【详解】因为Z—3=（2/）—（―2,4）=（4,—3）,所以忖_囚=,42+（—3『=5.

故选：D

4.分别统计了甲、乙两位同学16周的各周课外体育运动时长（单位：h）,得如下茎叶图:

甲乙

615.

85306.3

75327.46

64218.12256666

429.0238

10.1

则下列结论中错误的是（）

A.甲同学周课外体育运动时长的样本中位数为7.4

B.乙同学周课外体育运动时长的样本平均数大于8

C.甲同学周课外体育运动时长大于8的概率的估计值大于0.4

D,乙同学周课外体育运动时长大于8的概率的估计值大于0.6

【答案】C

【解析】

【分析】结合茎叶图、中位数、平均数、古典概型等知识确定正确答案.

73+75

【详解】对于A选项，甲同学周课外体育运动时长的样本中位数为二——-=7.4,A选项结论正确.

2

对于B选项，乙同学课外体育运动时长的样本平均数为：

6.3+7.4+7.6+8.1+8.2+8.2+8.5+8.6+8.6+8.6+8.6+9.0+9.2+9.3+9.8+10.1。。

------------------------------------------------------------------------------------------------------------=8.50625>8

16

B选项结论正确.

对于C选项，甲同学周课外体育运动时长大于8的概率的估计值9=0.375<0.4,

16

C选项结论错误.

13

对于D选项，乙同学周课外体育运动时长大于8的概率的估计值一=0.8125>0.6,

16

D选项结论正确.

故选：C

x+y..2,

5.若x,y满足约束条件<x+2y”4,则z=2x-y的最大值是（）

y..o,

A.-2B.4C.8D.12

【答案】C

【解析】

【分析】作出可行域，数形结合即可得解.

【详解】由题意作出可行域，如图阴影部分所示,

转化目标函数z=2x-y为歹=2x-z,

上下平移直线y=2x-z,可得当直线过点(4,0)时，直线截距最小，z最大，

所以Zmax=2X4—0=8.

故选：C.

6.设厂为抛物线C:「=4x的焦点，点/在C上，点5(3,0),若以司=忸尸|,则|/刈=()

A.2B.2V2C.3D.34

【答案】B

【解析】

【分析】根据抛物线上的点到焦点和准线的距离相等，从而求得点A的横坐标，进而求得点A坐标，即可

得到答案.

【详解】由题意得，尸(1,0),则以司=归刊=2,

即点A到准线x=-1的距离为2,所以点A的横坐标为-1+2=1,

不妨设点A在x轴上方，代入得，4(1,2),

所以|48|二'（3-1）2+（0_21=272.

故选：B

C.5D.6

【答案】B

【解析】

【分析】根据框图循环计算即可.

【详解】执行第一次循环，b=b+2a=l+2=3,

a—b—ci—3—1=2,〃—YI1=2,

J32

-2=->0.01；

a4

执行第二次循环，b=b+2a=3+4=7,

a=b—a=Q—2=5,n=n+\=3,

72

二2-2=—>0,01；

a25

执行第三次循环，b=b+2a=7+10=17,

a=6—a=17—5=12,〃=〃+1=4,

1721

7—7-2=<0.01,此时输出〃=4.

a122144

故选：B

8.如图是下列四个函数中的某个函数在区间［-3,3］的大致图像，则该函数是()

3

-x3+3xX-X2xcosx_2sinx

A.B.歹二C.y=­z----D.

y=x2+lx2+lx2+lx2+1

【答案】A

【解析】

【分析】由函数图像的特征结合函数的性质逐项排除即可得解.

3_

【详解】设/(x)==M,则/(1)=0,故排除B;

X+1

\2xcosx,当卜寸，

设g)=FF0<COSX<1,

所以MX)=2X；OSX<^^V],故排除c；

X+1X+1

设g(x)=m^F，则g(3)=胃F〉0,故排除D.

故选：A.

9.在正方体/BCD-44G2中，E,尸分别为45,BC的中点，贝！|()

A.平面片防，平面ADAB,平面31M，平面4aD

C,平面g£F//平面Z/CD.平面4即//平面4CQ

【答案】A

【解析】

【分析】证明跖，平面ADQ,即可判断A；如图，以点。为原点，建立空间直角坐标系，设48=2,

分别求出平面用斯，A.BD,4G。的法向量，根据法向量的位置关系，即可判断BCD.

【详解】解：在正方体中，

/C_L且DD[1平面ABCD,

又斯U平面/BCD,所以防

因为瓦尸分别为48,5。的中点，

所以斯||/C,所以EFJ.AD,

又BDCDD[=D,

所以斯，平面ADQ,

又斯u平面片EE,

所以平面用防，平面,故A正确；

如图，以点。为原点，建立空间直角坐标系，设45=2,

则与(2,2,2),£(2,1,0),尸(1,2,0),8(2,2,0),4(2,0,2),2(2,0,0),。(0,2,0),

G（0,2,2）,

则定=（—1,1,0）,函=（0,1,2）,丽=（2,2,0）,可=（2,0,2）,

怒=（0,0,2）,4=（—2,2,0）,而=（-2,2,0）,

设平面户的法向量为加=(占,必,21),

m-EF=f+必=0

则有《可取石=(2,2,—1),

m•EB]=必+24=0

同理可得平面4台。的法向量为，=(1,-1,-1),

平面Z/C的法向量为0=(1,1,0),

平面46。的法向量为Z=(1,1,-1)，

则加=2—2+1=1。0,

所以平面用£厂与平面4AD不垂直，故B错误;

一3

因为加与〃2不平行，

所以平面用EE与平面Z/C不平行，故C错误;

因为加与马不平行，

所以平面与平面4CQ不平行，故D错误,

故选：A.

10.已知等比数列｛4｝的前3项和为168,a2-a5=42,则/=（）

A.14B.12C.6D.3

【答案】D

【解析】

【分析】设等比数列｛4｝的公比为q,qw0,易得9/1,根据题意求出首项与公比，再根据等比数列的通

项即可得解.

【详解】解：设等比数列｛4｝的公比为以

若q=l,则与-。5=°，与题意矛盾,

所以q丰1,

%(1-q')=96

则n,〈ai.+a2^+a3.=---1------=168,解,73得Z„＜1,

q——

A

a2-a5-a{q-a1q=42I2

所以4=-3.

故选：D.

11.函数/(x)=cosx+(x+l)sinx+l在区间［0,2兀］的最小值、最大值分别为()

兀兀3兀兀兀兀c3兀兀「

A.——,一B.----C.——,-+2D.----,-+2

22222222

【答案】D

【解析】

【分析】利用导数求得/(X)的单调区间，从而判断出/(x)在区间［0,2可上的最小值和最大值.

【详解】/"(x)=-sinx+sinx+(x+l)cosx=(x+l)COSX,

所以/(X)在区间和1万271］

上/'(x)>0,即/(x)单调递增;

在区间上/'(x)<0,即/(x)单调递减,

又/(。)=〃2加2,小三+2,/但卜一「+1.1=卷,

所以/(x)在区间［0,2可上的最小值为-,，最大值为］+2.

故选：D

12.已知球。的半径为1,四棱锥的顶点为。，底面的四个顶点均在球。的球面上，则当该四棱锥的体积

最大时，其高为()

A.-B.yC.—D.—

3232

【答案】C

【解析】

【分析】先证明当四棱锥的顶点。到底面/BCD所在小圆距离一定时，底面/BCD面积最大值为步，进而

得到四棱锥体积表达式，再利用均值定理去求四棱锥体积的最大值，从而得到当该四棱锥的体积最大时其

高的值.

【详解】设该四棱锥底面为四边形四边形/BCD所在小圆半径为r,

设四边形/BCD对角线夹角为。，

111,

则=~-AC-BD-sma<—AC-BD<-2r-2r=2r2

ABCD222

(当且仅当四边形ABCD为正方形时等号成立)

即当四棱锥的顶点0到底面ABCD所在小圆距离一定时，底面ABCD面积最大值为Tr2

又/+/=1

〈包"+八2/13

则v_=--2r2-h=\/r2-r2-2h~

oABCD33一行K3,~zT

当且仅当r2=2后即〃=9时等号成立,

故选：C

二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.

13.记5"为等差数列｛%｝的前〃项和.若2s3=3邑+6,则公差"=.

【答案】2

【解析】

【分析】转化条件为2(%+2d)=2%+d+6,即可得解.

【详解】由2s3=35*2+6可得2(囚+4+2)=3(%+%)+6,化简得2a③=%+&+6,

即2(%+2d)=2%+d+6,解得d=2.

故答案为：2.

14.从甲、乙等5名同学中随机选3名参加社区服务工作，则甲、乙都入选的概率为.

3

【答案】一##0.3

10

【解析】

【分析】根据古典概型计算即可

【详解】从5名同学中随机选3名的方法数为C；=10

3

甲、乙都入选的方法数为C；=3,所以甲、乙都入选的概率P=—

10

...3

故答案为：—

10

15.过四点(0,0),(4,0),(-1,1),(4,2)中的三点的一个圆的方程为.

［答案］(x_2『+(y_3)2=］3或(x—2)2+(y_l)2=5或L-|"|=y或

2

X--+("1)2=3

【解析】

【分析】设圆的方程为一+/+m+与+尸=0,根据所选点的坐标，得到方程组，解得即可;

【详解】解：依题意设圆的方程为一+/+.+协+尸=0,

F=0F=Q

若过(0,0),(4,0),(-1,1),贝116+4。+尸=0,解得<

D=—4,

l+l-D+E+F=0E=-6

所以圆的方程为V+/一以—67=0,即(x_2『+(y_3)2=13；

F=QF=0

若过（0,0）,（4,0）,（4,2）,则＜16+4。+尸=0,解得■D=—4,

16+4+4D+2E+尸=0E=-2

所以圆的方程为V+/-4x-2y=0,即(x_2『+(y_l)2=5；

F=0

F=0

若过（0,0）,（4,2）,（-1,1）,则《l+l—D+E+F=0,解得vD=--

3

16+4+4D+2E+F=0

-14

E二----

13

所以圆的方程为》2+了2_|》_：了=0,即[x—g]+^-165

~9；

'16

r----

‘1+1—。+£+尸=05

若过（-1,1）,（4,0）,（4,2）,则＜16+4。+尸=0,解得■D」

5

16+4+4D+2E+F=0

E=-2

所以圆的方程为/+/——2169

■7-y=°>即+"T)一三；

:吟或

故答案为：（x-2『+（y—3『=13或（x-2『+（y-1）2=5或x-1+[y7

X.|*DY

16.若/(x)=ln——+b是奇函数，则。=_____,b=____.

1-X

【答案】①.—；②.In2.

2

【解析】

【分析】根据奇函数的定义即可求出.

【详解】因为函数/(x)=Ina+4+6为奇函数，所以其定义域关于原点对称.

1-X

由a+’NO可得，(1—x)(a+l—ax)wO,所以》=四=—1,解得：a=—L即函数的定义域为

1-xa2

(-oo,-l)u(-l,l)u(l,+oo),再由/(O)=O可得，b=ln2.即/(x)=ln-工+-^—+ln2=ln,

21—x11—x|

在定义域内满足/(-x)=-/(X),符合题意.

故答案为：-L；in2.

2

三、解答题：共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.第17〜21题为必考题，每

个试题考生都必须作答.第22、23题为选考题，考生根据要求作答.

17.记A/BC的内角/,B,C的对边分别为a,b,c,已知sinCsin(Z-8)=sin8sin(C-/).

(1)若2=23,求C；

(2)证明：2a2=/+。2

5兀

【答案】(1)

O

(2)证明见解析.

【解析】

【分析】(1)根据题意可得，sinC=sin(C-Z),再结合三角形内角和定理即可解出；

(2)由题意利用两角差的正弦公式展开得

sinC(sincos5-cosZsinB)=sin8(sinCcosA-cosCsinA),再根据正弦定理，余弦定理化简即可

证出.

【小问1详解】

由Z=28,sinCsin(Z-8)=sin8sin(C-Z)可得，sinCsinB=sin5sin(C-74),而0<8<2，

所以sinBe(O,l),即有sinC=sin(C—Z)〉O,而0<C<兀,0<C-Z<兀，显然CwC-Z,所以,

5兀

。+。一4=兀，而4=25,A+B+C=TI,所以C=—.

8

【小问2详解】

由sinCsin(4-5)=sinBsin(。一/)可得，

sinC(sin/cos8-cos4sin5)=sinB(sinCcosA-cosCsin),再由正弦定理可得，

accosB-bccosA=bccosA-abcosC,然后根据余弦定理可知，

+c2-b2)-^b2+c2-a2)=^b2+c2-a2)-^(a2+b2-c2),化简得：

2a2=b2+c^故原等式成立.

18.如图，四面体/BCD中，==£为/C的中点.

（1）证明：平面5£Z）_L平面/CD；

（2）设45=50=2,408=60°,点尸在8。上，当△4FC的面积最小时，求三棱锥E—A8C的体

积.

【答案】（1）证明详见解析

⑵走

4

【解析】

【分析】（1）通过证明/C，平面来证得平面平面ZCO.

（2）首先判断出三角形4FC的面积最小时E点的位置，然后求得/到平面48c的距离，从而求得三棱

锥尸—的体积.

【小问1详解】

由于4D=CD,E是/C的中点，所以

AD=CD

由于<8£»=B£>,所以△ADBMACDB,

ZADB=ZCDB

所以4B=CB,故/CLBD,

由于DEcBD=D,DE,BD1平面BED,

所以/CL平面，

由于/Cu平面/CD,所以平面BED，平面/CD.

【小问2详解】

依题意4B=BD=BC=2,ZACB=60°,三角形48C是等边三角形,

所以4c=2,4E=CE=1,BE=K，

由于ND=CD,LCD,所以三角形/CD是等腰直角三角形，所以。£=1

DE2+BE1=BD2<所以DE工BE,

由于/Cc8E=E,ZC,B£u平面所以。平面

由于AADB三ACDB,所以NFB4=NFBC,

BF=BF

由于24=NESC,所以AFB4三AFBC,

AB=CB

所以4F=C7，所以EELZC,

由于S.”c=；.NC-E7"所以当E尸最短时，三角形4FC的面积最小值.

过E作斯，AD,垂足为E，

ii/?

在RtZkBEQ中，—BEDE=—BDEF,解得所=组

222

13

=-,BF=2-DF=-

22

BD4.

FHBF_3

过F作FHLBE,垂足为H,则FH//DE,所以切，平面/BC,且——

DEBD~4

3

所以FH=—

4

所以/43C=--^ABC-FH=-X-X2XS/3X-=—

r-ADC3AHOC32"*44

19.某地经过多年的环境治理，已将荒山改造成了绿水青山.为估计一林区某种树木的总材积量，随机选取

了10棵这种树木，测量每棵树的根部横截面积（单位：m2）和材积量（单位：tn?），得到如下数据：

样本号i12345678910总和

根部横截面积

0.040.060.040.080.080.050.050.070.070.060.6

王

材积量Z-0.250.400.220.540.510.340.360.460.420.403.9

101010

并计算得=0-038,2＞；=L6158,渊=0.2474.

i=li=li=l

（1）估计该林区这种树木平均一棵的根部横截面积与平均一棵的材积量；

（2）求该林区这种树木的根部横截面积与材积量的样本相关系数（精确到0.01）；

（3）现测量了该林区所有这种树木的根部横截面积，并得到所有这种树木的根部横截面积总和为186m2,已

知树木的材积量与其根部横截面积近似成正比.利用以上数据给出该林区这种树木的总材积量的估计值.

£（%-初（％—贡）____

附：相关系数尸=1曰^_,J1.896»1.377.

Vi=li=l

【答案】⑴0.06m2；0.39m3

（2）0.97

（3）1209m3

【解析】

【分析】（1）计算出样本的一棵根部横截面积的平均值及一棵材积量平均值，即可估计该林区这种树木平

均一棵的根部横截面积与平均一棵的材积量；

（2）代入题给相关系数公式去计算即可求得样本的相关系数值；

（3）依据树木的材积量与其根部横截面积近似成正比，列方程即可求得该林区这种树木的总材积量的估计

值.

【小问1详解】

样本中10棵这种树木的根部横截面积的平均值元="=0.06

10

样本中10棵这种树木的材积量的平均值歹3=9三=0.39

据此可估计该林区这种树木平均一棵的根部横截面积为0.06m2，

平均一棵的材积量为0.39m3

【小问2详解】

1010

Z（玉-可（乂-刃»戊-1吁

r=ho"

\£（玉-可苣（乂-4

Vi=li=l

0.2474-10x0.06x0.39―0-01340.0134

7(0.038-10X0.062)(1.6158-10X0.392)V0.00018960.01377

则rx0.97

【小问3详解】

设该林区这种树木的总材积量的估计值为Ym3，

又已知树木的材积量与其根部横截面积近似成正比,

可得行？=F，解之得y=1209m3.

则该林区这种树木的总材积量估计为1209m3

20.已知函数/（x）=ax-L-（a+l）lnx.

x

（1）当。=0时，求/⑸的最大值；

（2）若/（x）恰有一个零点，求a的取值范围.

【答案】（1）-1

（2）（0,+oo）

【解析】

【分析】（1）由导数确定函数的单调性，即可得解;

(2)求导得/，(同=色匚芈S二D,按照aVO、0<a<1及〃>1结合导数讨论函数的单调性，求得函数

JC

的极值，即可得解.

【小问1详解】

当a=0时，/(x)=---lnx,x>0,则/'(》)=二_工=二，

XJCXX

当xe(O,l)时，*(x)>0,/(x)单调递增；

当xe(l,+co)时，/叫)〈0,/(x)单调递减；

所以〃X)max=〃l)=T；

【小问2详解】

/(x)=tzx---(«+l)lnx,x>0,则r(x)=4+(axl),(xl),

XXXX

当aVO时，ax-l<0,所以当xe(O,l)时，/0(x)>0,/(x)单调递增；

当xe(l,+s)时，/0(x)<0,/(x)单调递减；

所以/(x)max=/(l)=a—1<0,此时函数无零点，不合题意；

当0<a<l时，->1,在(0,1),1L+s］上，/^(x)>0,/(x)单调递增；

a\aJ

在11,£|上，/小)〈0，/(x)单调递减；

又/⑴="-1<0,当x趋近正无穷大时，/(x)趋近于正无穷大，

所以/(X)仅在有唯一零点，符合题意；

当0=1时，/，“(一)2所以/(x)单调递增，又/⑴=4—1=0,

X

所以/(X)有唯一零点，符合题意；

当a>l时，：<1,在1o,£|,(l,+s)上，f^x)>0,/(x)单调递增；

在上，f^x)<0,/(x)单调递减；此时,(1)="—

=

X/f—j1-cin+«(o+l)lntz,当〃趋近正无穷大时，/(二]趋近负无穷，

\aJa\aJ

所以/(X)在,j有一个零点，在无零点，

所以/(x)有唯一零点，符合题意；

综上，°的取值范围为(0,+8).

【点睛】关键点点睛：解决本题的关键是利用导数研究函数的极值与单调性，把函数零点问题转化为函数

的单调性与极值的问题.

21.已知椭圆£的中心为坐标原点，对称轴为x轴、y轴，且过/(O,-2),B[:-11两点.

(1)求E的方程；

(2)设过点P0,-2)的直线交£于跖N两点，过M且平行于x轴的直线与线段交于点T,点〃满足

MT=TH-证明：直线"N过定点.

22

【答案】(1)±+±=1

43

(2)(0,-2)

【解析】

【分析】(1)将给定点代入设出的方程求解即可；

(2)设出直线方程，与椭圆C的方程联立，分情况讨论斜率是否存在，即可得解.

【小问1详解】

解：设椭圆E的方程为加X?+犯2=1,过,

4〃二1

则＜9，解得m=g,n=一，

14

22

所以椭圆E的方程为：±+±=1.

43

【小问2详解】

32

^(0,-2)?5(-,-1),所以+2=

22

①若过点P（l「2）的直线斜率不存在，直线x=1.代入土+匕=1,

34

可得.（1,也），N（1,—弛），代入N5方程y=gx—2,可得

由说=丽得到H（2V6+5,令一）.求得HN方程:

过点（0,-2）.

②若过点尸（1,-2）的直线斜率存在，设依—y—（左+2）=0,M（X],yJ,N（X2,丹）.

点一,一（左+2）=0

联立X22，得（3左2+4）x2—6左（2+左）x+3左（左+4）=0,

—+—v=1

34

_6左（2+左）—8（2+4）

…=玉」丁

可得《

3k（4+k）4（4+4k-2k2）

x,x=——；----

1223左2+4

口一24后.

且%=3左2+小）

y=yi

联立2c，可得+3,y）,H（3y+6-x,y）.

y=-x-2llll

3

可求得此时HN:y-y2=--今二%——（x-x2）,

3必+o-xl-x2