2024高考数学压轴题-新高考第19题分类练习（原卷）

压轴题大招新高考第19题冲刺2024高考数学【突破压轴型】(原

卷)

题型探究

【题型一】数列新定义题

【题型二】函数与导数压轴题

【题型三】集合新定义题

【题型四】解析几何

【题型五】向量

【题型六】概率与统计

各个击破

【题型一】数列新定义题

【知识回顾】

1.$口与a门的关系'=『1'n=1'

ISn—Sn-i，n>2.

2,等差数列

(1)递推公式：an+ian=d(n£N*)或anani=d(n22,n£N*)

(2)中项性质：a,A,b成等差数列=2A=a+b=A=—.

(3)通项公式：an=ai+(nl)d.

(4)前n项和：已知首项、末项与项数，则S,二W

已知首项、公差与项数，则S1g+若，.

3.等比数列

递推公式：陋工q（neN*）或Aq（n22,nGN*）,

anan-l

通项公式：a「ad".

中项性质：在等比数列｛aj中，若k+l=m+n（k,1,m,nGN*）,则3,^=8,^.特别地,若m+n=2r

（m,n,reN*）,则％aiaR

,ai（1-qn）z.0

前n项和公式：已知首项、公比与项数，Sn=i-qWJ，,

.na［（q=1）

已知首项、末项与公比s0=尸-q-'

I网色=1）

L（2024•吉林白山•二模）已知数列｛与｝的前"项和为S’,，若数列｛&｝满足：①数列｛%｝项

N

数有限为N；②s.=o；③Z同=1，则称数列｛%｝为"N阶可控摇摆数列”.

1=1

⑴若等比数列｛%｝（1V〃W1O）为"10阶可控摇摆数列"，求｛%｝的通项公式；

（2）若等差数列｛。"｝（14，区2%根eN*）为"2"阶可控摇摆数列"，且,求数列｛《｝的

通项公式；

N

⑶已知数列｛%｝为"N阶可控摇摆数列"，且存在1<m<N,使得£同=2s1n，探究:数列｛S,,｝

Z=1

能否为"N阶可控摇摆数列"，若能，请给出证明过程；若不能，请说明理由.

2.（2024•全国•模拟预测）设满足以下两个条件的有穷数列%,的,…,。“为〃（"=2,3,4,…）阶"曼

德拉数列J

①%+%+%+…+/=0；（2）|a1|+|a2|+|a3|+---+|a„|=1.

⑴若某2M左eN*）阶"曼德拉数列”是等比数歹U,求该数列的通项。“（1”42左，用左，”表示）；

（2）若某2人+1化eN*）阶"曼德拉数列”是等差数列，求该数列的通项。“（1W”42左+1,用左,〃

表示）；

⑶记"阶"曼德拉数列的前左项和为其（左=1,2,3广.,〃），若存在加e｛1,2,3,…㈤,使

》,=(，试问：数列｛sj(i=1,2,3,…川能否为”阶“曼德拉数列"？若能，求出所有这样的数

列；若不能，请说明理由.

3.(2024•天津•一模)若某类数列｛(｝满足&>2,且%wO"(〃eN*),则称这个

an-\

数列｛%｝为"G型数列

2n+1

⑴若数列｛氏｝满足%=3,ana„+1=3,求生，%的值并证明：数列｛%｝是"G型数列"；

(2)若数列｛%｝的各项均为正整数，且％=1,｛。"｝为"G型数列"，记数列｛2｝为等

比数列，公比9为正整数，当｛"｝不是"G型数列"时，

(i)求数列｛%,｝的通项公式；

(ii)求证：2-----<-AneN).

t=iakak+l12

4.(2023•上海杨浦•模拟预测)设y=是定义域为R的函数，如果对任意的毛、

X2€1<(无产％)，|/(尤1)-/(工2)|<|再72|均成立，则称尸f(x)是"平缓函数

⑴若工(x)=I/(x)=sinx,试判断了=工(尤)和y=K(x)是否为"平缓函数"？并说明理

x~+1

由；(参考公式:x>0时，sinxcx恒成立)

(2)若函数y=〃x)是"平缓函数"，且>=/(x)是以1为周期的周期函数，证明:对任意的公、

ZeR,均有|/(%)-/仇)|<$

⑶设y=g(x)为定义在R上函数，且存在正常数4>1使得函数y=4g(x)为“平缓函数

现定义数列｛%｝满足:网=0,无“=g(x,i)(〃=2,3,4,...),试证明:对任意的正整数

【题型二】函数与导数压轴题

【知识回顾】

1.指数均值不等式与对数均值不等式

指数均值不等式：对于实数a,b,定义为a,b的指数平均数，则

a—2(当且仅当a=b时，等号成立)

对数均值不等式：对于a,b两个正数的对数平均线，则有

Ina-lnb2(当且仅当a=b时，等号成立)

2.微分中值定理

定理1：(罗尔定理)如果函数满足以下条件

⑴在闭区间河上连续，⑵在开区间(a,b)内可导，⑶/⑷=/(b),

则在内至少存在一个点。使得

/隹)=0

定理2：(拉格朗日中值定理)如果/Xx)满足以下条件

(1)在闭区间［a,连续，⑵在开区间伍⑷内可导，

则在(凡人)内至少存在一个点。使得

b-a

定理3：(柯西中值定理)如果八x)、g(x)满足以下条件

(1)在闭区间［a,“连续，⑵在开区间(a,6)内可导，且g(x)/0,

则在(a,b)内至少存在一点。使得

f(b)-f(a)f皤)

g(b)-g(a)g'(^)

【注意】(1)以上3个中值定理，特别时拉格朗日中值定理建立了函数在区间上的变化(改

变量)与函数在该区间内一点处导数的关系，从而使我们能够利用导数来研究函数在区间

上的整体性态.

(2)罗尔定理是拉格朗日中值定理的特殊形式，柯西中值定理是拉格朗日中值定理的拓展

形式.

3.泰勒公式

泰勒（Taylor）公式的主要作用是用多项式逼近函数和近似计算，对应的分别时带有皮

亚诺余项的泰勒公式和带有拉格朗日余项的泰勒公式。

带有皮亚诺余项的泰勒公式:若函数/（X）在点与处存在直至n阶导数，则有

xxxxx+xx2n

/()=/(0)+f'(o)(~o)~~~(~o)+,,,+――皆^(x-Xo)"+O((x-x0))

2!n\

用得比较多的是在/=°时的特殊形式:

/(x)=/(0)+f\x}x+竽X2+--+X”+。(/)

它称为带有皮亚诺余项的麦克劳林公式.

4.常用的泰勒公式（带有皮亚诺余项）

V2/

xn

(1)e=1+xH----------1----------1------------Fo{x),

2!n\

fv5A2n-l

(2)sinx=x——+H---F(―I)71+。（钟）,

(2〃—1)!

Vv4

(3)cosx=1-二+二+…+(-1)〃

2!4!(2〃)！

工32

(4)tanx=x+x5+—Fo(x2/7),

fV3

/71n

(5)ln(l+x)=x--1-------------1--------1-(-1)---1-o{x),

23n

/八\a1a(a+l)2a(a—1)…(a—〃+1),、

(6)(1+x)=l+ca+-----%+•­­+-----------------xnn+o(xn),

2!n\

1

(7)----=1+x+x29+—\-xn+o(x〃)，

1-x

5.由泰勒公式，我们得到下列常用的不等式:

1___1

x2x

>l+x,e>l+x+—x(x>0),e>ex,ln(l+x)<x,Inx<x-l,vl+x<1+—,

X3X2X3

sinx<x<tanx[x>0),sinx>x--(x>0),cosx>1--,tanx>x+—(x>0).

6.高中常用的泰勒公式（麦克劳林公式）如下:

丫2Y3Y3

(l).ex=l+x+—+—+o(x3),(2).sinx=x--+o(x3)

2423

(3).cosx=1-+o(x4),(4).ln(l+x)=、-1+：+0(/方

(5).(1+x)。-\+ax+^———x2+o(12>⑹.——=1+x+x2+x3+o(x3).

2!1-x

7.切线放缩

1.指数放缩

xxx

(1)放缩成一次函数：e>x+l9e>ex,e>x9

(2)放缩成类反比例函数：ex<—(x<0),ex<--(%<0),

1-xX

⑶放缩成二次函数：>l+x+1x2(x>0),

2.对数放缩

(1)放缩成一次函数：Inx<x-l,ln(l+x)<x,lnx<x;

(2)放缩成二次函数:ln(l+x)<x-^-x2(-l<x<0),

Inx<x2-x,ln(l+x)>x-^-x2(x>0);

⑶放缩成类反比例函数：lux>l--,lnx>2('>1),

Xx+1

Inx<—―(0<x<1),ln(l+x)>%,

x+11+x

2x2x

ln(l+x)>-----(x>0)ln(l+x)<------(-1<x<0),

1+x,1+x

(4)放缩成对勾函数：lnx<，(x--)(x>l),lnx>—(x--)(0<x<l),

2x2x

Inx<Vx——-F=(%>l),lnx>Vx<X<1),

3.三角函数放缩

sinx<x<tanx(x>0),sinx>x--x2,l--x2<cosx<1--sin2x

4.指对放缩

-Inx>(x+1)-(x-1)=2

5.(2024•上海普陀・二模)对于函数y=/(x),xeA和y=g(x),xeD2,设口口鼻二。，

若入，/e。，且工产乙，皆有|/(X］)-"x2)m卜&)-g(x2)|(>0)成立，则称函数了=/(x)

与》=8(0"具有性质

⑴判断函数〃x)=/,x4,2］与gQ)=2x是否"具有性质〃⑵"，并说明理由；

(2)若函数/(尤)=2+f,无e(0」］与g(x)=L，具有性质"⑴”，求f的取值范围；

X

⑶若函数"X)=-*?+2出.*-3与>=g(x)"具有性质HQ)”,且函数y=g(x)在区间(0,+功上

X

存在两个零点X1,入2，求证X；+考>2.

6.(2024・上海杨浦・二模)函数了=/(x)、y=g(x)的定义域均为R,若对任意两个不同的

实数。，b,均有/(a)+g(6)>0或/(6)+g⑷>0成立，则称了=/(x)与y=g(x)为相关

函数对.

⑴判断函数;'(x)=x+l与g(x)=-x+1是否为相关函数对，并说明理由；

(2)已知/(尤)=/与g(x)=-x+左为相关函数对，求实数左的取值范围；

⑶已知函数了=〃x)与y=g(x)为相关函数对，且存在正实数对任意实数xeR,均有

W.求证：存在实数<〃)，使得对任意均有/'(x)+g(x”-弓^.

7.(2024•全国•模拟预测)已知函数

/(x)=(x-a)e-，-2x,g(x)=xe^x-eT_1-jx3+ax2-/(x),且/(x)在x=0处取得极

大值.

⑴求“的值与/（X）的单调区间.

（2）如图，若函数＞=/G）的图像在［。力］连续，试猜想拉格朗日中值定理，即一定存在

ce（a,6）,使得/'（c）=机，求加的表达式（用含。也/（。）,/（6）的式子表示）.

⑶利用这条性质证明：函数g（x）图像上任意两点的连线斜率不大于2一型.

4e

8.（2324高三下•山东荷泽•阶段练习）帕德近似是法国数学家亨利•帕德发明的用有理多项

式近似特定函数的方法.给定两个正整数加，〃，函数/（五）在尤=0处的何，司阶帕德近似定

义为：火（为=。：+}+二+：”产,且满足：/（0）=7?（0）,广⑼=R⑼，尸（0）=僧⑼，

……，”"）（。）=心?。），注：/（）=［-（川，D/（x）］',/4）（x）=r（x）］,

/（5）（X）=［/（4）（X）］,……

已知函数/（%）=ln（x+l）.

⑴求函数/（x）=ln（x+l）在x=0处的［1,1］阶帕德近似尺（x）,并求lnl.1的近似数（精确到

0.001）；

⑵在（1）的条件下：

①求证：苗*〈1;

②若“X）-哈+l＞（x）vi-cosx恒成立，求实数加的取值范围.

9.（2024•浙江宁波•二模）定义：对于定义在区间［见句上的函数，若存在实数ce（a,6）,使

得函数在区间上单调递增（递减），在区间6］上单调递减（递增），则称这个函数为

单峰函数且称c为最优点.已知定义在区间［凡句上的函数/（x）是以。为最优点的单峰函数，

在区间6）上选取关于区间的中心审对称的两个试验点外,乙，称使得

-/(c)|(i=l,2)较小的试验点答为好点(若相同，就任选其一)，另一个称为差点.容

易发现，最优点c与好点在差点的同一侧.我们以差点为分界点，把区间&句分成两部分，

并称好点所在的部分为存优区间，设存优区间为4］,再对区间［q,4］重复以上操作，可

以找到新的存优区间&也］，同理可依次找到存优区间&也］，&也］，…，满足

［a,可口［%，4］?口,4］2［名也］2［&也］2…，可使存优区间长度逐步减小.为了方便找到最

优点(或者接近最优点)，从第二次操作起，将前一次操作中的好点作为本次操作的一个试

验点，若每次操作后得到的存优区间长度与操作前区间的长度的比值为同一个常数。，则称

这样的操作是“优美的"，得到的每一个存优区间都称为优美存优区间，。称为优美存优区间

常数.对区间［应可进行〃次"优美的"操作，最后得到优美存优区间［%也］,令£”与二左，

b-a

我们可任取区间［。”也』内的一个实数作为最优点C的近似值，称之为/(X)在区间［。,用上精

度为£“的"合规近似值"，记作演，(川a,司).已知函数/(无)=(x+l)cosx-l,xe0,|-,函数

g(x)=sinx-ln(l+7i-x),xG兀.

⑴求证：函数/(%)是单峰函数；

(2)已知c为函数/(X)的最优点，d为函数g(x)的最优点.

(i)求证：c+d<n•,

(ii)求证：兀］-演［<0,彳j>d-c~~^-

注：>/2"414,6~1.732,石x2.236,V7®2.646.

10.(2324高二下•重庆•阶段练习)对于整系数方程/(x)=0,当x的最高次事大于等于3

时，求解难度较大.我们常采用试根的方法求解：若通过试根，找到方程的一个根不，则

f(x)=(x-xjg(x),若g(x)=o已经可以求解,则问题解决;否则，就对g(x)=o再一次

试根，分解因式，以此类推，直至问题解决.求根的过程中常用到有理根定理：如果整系数

方程。我"+%?1+…+叩+即=0@“W0)有有理根x=C,其中r、seZ,swO,(s/)=l,

那么H4,s|6.符号说明：对于整数加，"，(加,”)表示加，”的最大公约数；表示”是

加的倍数，即，*整除〃.

⑴过点尸(3,-1)作曲线y=x3-x的切线，借助有理根定理求切点横坐标；

(2)试证明有理根定理；

⑶若整数。，6不是3的倍数，且存在有理数x,使得2/+//+2〃*+]=0,求0,江

【题型三】集合新定义题

【知识回顾】(略)

11.(2024・北京顺义・二模)已知点集％={(再,％),(工2，%),一、(%,%)}("23)满足04玉，%,

x,.+Z.＜2(/=1,2,■.•,»).对于任意点集M,，若其非空子集/,2满足/c3=0,A^B=Mn,

则称集合对(43)为河"的一个优划分.对任意点集M,及其优划分(48),记/中所有点的

横坐标之和为X(/),3中所有点的纵坐标之和为y(3).

⑴写出M={0，1),(2,0),(0,2)}的一个优划分(48),使其满足刀(/)+丫(2)=3；

(2)对于任意点集AG，求证：存在出3的一个优划分(43),满足x(/)+y”)w3；

(3)对于任意点集M,,求证：存在M,的一个优划分(48),满足等且-.

12.(2024•浙江绍兴•二模)已知左eN*,集合X*=何x=2,。+2"+…+2',,0V"＜彳＜…气，其

中牌,…,”N}.

⑴求X2中最小的元素；

(2)设。=21+2^eX],6eX[,且a+beX-求b的值；

k+\人

⑶记4=Xm(2—,2“[,„eN\若集合4中的元素个数为，，求E声.

m=\乙

13.（2024•湖南益阳•模拟预测）我们知道，二维空间（平面）向量可用二元有序数组（％,出）

表示；三维空间向盘可用三元有序数组（%,。2，%）表示.一般地，"维空间向量用〃元有序数

组3，%…表示，其中小』=1,2,…,”）称为空间向量的第二个分量,左为这个分量的下

标.对于"（〃N3）维空间向量（％,出,,定义集合4（加）=招为=能,左=1,2,….记

/（㈤的元素的个数为»（加）|（约定空集的元素个数为0）.

⑴若空间向量3M4，%。6，。7，。8）=（6,3,2,5,3,7,5,5）,求/⑸及|/（5）|；

,111

⑵对于空间向量（％，生，…必）•若•+晒+…+两］="，求证：皿-{12…川，

若"j,则。户与；

⑶若空间向量（％,。2吗，的坐标满足力（。"2+%）={科，4=。2=1，当”23时，求证:

…>2an_lan.

14.（2024•全国•模拟预测）在平面直角坐标系中，两点尸（再,必）,。5,力）的"曼哈顿距离"

定义为卜「引+|%-%|，记为“PQH，如点尸（L-2）,0（-2,-4）的“曼哈顿距离"为5,记为

“尸01=5.

⑴若点尸（0,2）,M是满足||尸。||<2的动点。的集合，求点集”所占区域的面积；

（2）若动点?在直线>=》-2上，动点。在函数y=6、的图象上，求||尸。||的最小值；

（3）设点尸（。,6）,动点。在函数了=2尤2（尤©卜2,2］）的图象上，||尸。的最大值记为河（。,6）,

求M（a,6）的最小值.

15.（2024•湖南邵阳•二模）给定整数"23,由〃元实数集合P定义其随影数集

。={归-引|x,yeP,x»}.若min（0）=l,则称集合户为一个“元理想数集，并定义尸的理

数/为其中所有元素的绝对值之和.

(1)分别判断集合5={-2,-1,2,3},7={-0.3,-1.2,2.1,2.5}是不是理想数集；(结论不要求说明

理由)

(2)任取一个5元理想数集P,求证：|min(P)|+|max(P)|“；

⑶当尸={占,无2,…，尤202J取遍所有2024元理想数集时，求理数/的最小值.

注：由〃个实数组成的集合叫做〃元实数集合，max(P),min(P)分别表示数集P中的最大数

与最小数.

【题型四】解析几何

【知识回顾】

椭圆的标准方程

丫22I

f+f=1(。>力>0),a2=/+。2,。==J1--(0<e<1)

aba\a

双曲线的标准方程

—1(。>0,Z7>0),c2=a2b1———/1+勺,渐近线：±±上=0.

aba\aab

抛物线的标准方程

y2=2px(p>0),e=1,准线：x=-y

22

16.(2023・全国•模拟预测淀义:一般地，当2>0且小时，我们把方程X>6>0)

222

表示的椭圆C/称为椭圆・+/=1(。>6>0)的相似椭圆.已知椭圆C：亍+户1,椭圆Q

(2>0且义#1)是椭圆C的相似椭圆，点尸为椭圆C/上异于其左、右顶点的任意一

点.

⑴当4=2时，若与椭圆。有且只有一个公共点的直线4,4恰好相交于点尸，直线4,4的斜

率分别为左，门，求匕鱼的值；

(2)当％=e2(e为椭圆C的离心率)时，设直线尸必与椭圆C交于点48,直线尸N与椭圆C

交于点。,E,求|/同+|。回的值.

22

17.(2024•江苏南通•二模)在平面直角坐标系中，已知椭圆八二+与=1(。>6>0)的

ab

离心率为如，直线/与加目切，与圆。：％2+必=3/相交于/,8两点.当/垂直于X轴时,

3

|AB|=25/6.

⑴求「的方程；

(2)对于给定的点集M,N,若M中的每个点在N中都存在距离最小的点，且所有最小距离

的最大值存在，则记此最大值为♦(",").

(i)若M,N分别为线段与圆。上任意一点，尸为圆。上一点，当AP/8的面积最大

时,求d(MN)；

(近)若4(〃,£),d(N,M)均存在，记两者中的较大者为〃已知8(X,y),H(Y,Z),

〃(X,Z)均存在，证明：H(X,Z)+H(Y,Z)^H(X,Y).

18.(2024・湖南•二模)直线族是指具有某种共同性质的直线的全体，例如尤="+1表示过点

(1,0)的直线，直线的包络曲线定义为：直线族中的每一条直线都是该曲线上某点处的切线,

且该曲线上的每一点处的切线都是该直线族中的某条直线.

⑴若圆q:x2+y2=1是直线族皿x+即=l(m,neR)的包络曲线，求私”满足的关系式；

(2)若点尸(%,%)不在直线族：。：(2。-4)》+句，+(°-2)2=0(。€田的任意一条直线上，求为

的取值范围和直线族Q的包络曲线£;

⑶在(2)的条件下，过曲线E上45两点作曲线£的切线/J,其交点为P.已知点

若4SC三点不共线，探究/尸。/=/尸。8是否成立？请说明理由.

19.(2024•新疆乌鲁木齐•二模)在平面直角坐标系无。夕中，重新定义两点/(4%),川松力)

之间的"距离"为|/同=上-%|+|%|,我们把到两定点耳(~C,0),F2(C,0)(C>0)的"距离"

之和为常数的点的轨迹叫"椭圆

⑴求"椭圆”的方程;

（2）根据“椭圆”的方程，研究"椭圆”的范围、对称性，并说明理由；

（3）设c=l,a=2,作出"椭圆"的图形，设此"椭圆”的外接椭圆为C,C的左顶点为A,过且作

直线交C于两点，A/MN的外心为。，求证：直线与九W的斜率之积为定值.

【题型五】向量

【知识回顾】（略）

20.（2024•河南南阳•一模）在椭圆（双曲线）中，任意两条互相垂直的切线的交点都在同一个

圆上，该圆的圆心是椭圆（双曲线）的中心，半径等于椭圆（双曲线）长半轴（实半轴）与短半轴（虚

22

半轴）平方和（差）的算术平方根，则这个圆叫蒙日圆.已知椭圆E:=+与=\{a>b>0）的蒙日

ab

圆的面积为13兀，该椭圆的上顶点和下顶点分别为耳且上刃=2,设过点。（0,；]的直

线4与椭圆E交于43两点（不与心£两点重合）且直线，2：x+2y-6=0.

⑴证明：APX,的交点P在直线y=2上;

（2）求直线/片乃々/围成的三角形面积的最小值.

21.（2024•云南•模拟预测）三阶行列式是解决复杂代数运算的算法，其运算法则如下:

“3jk

bxb2b3=岫2c3+。2。3。13ble2一。3b2cl-Cl2ble3一砧3%.若万义6=乂Z],贝U称为

C\C2C3x2%

空间向量G与B的叉乘，其中万=x『+yj+z氏（x”M，Z[eR）,

b=x2l+y2j+z2k（x2,y2,z2eR）,{7，，，定}为单位正交基底.以O为坐标原点，分别以后的

方向为x轴、了轴、z轴的正方向建立空间直角坐标系，已知42是空间直角坐标系中异于。

的不同两点.

⑴①若/(0,2,1),8(-1,3,2),求。X丽;

②证明：04x03+08x04=0-

(2)记。03的面积为又皿，证明：

⑶问：(Ex砺了的几何意义表示以“03为底面、|ax砺|为高的三棱锥体积的多少倍？

22.(2324高二上•四川绵阳•阶段练习)空间中，两两互相垂直且有公共原点的三条数轴构

成直角坐标系，如果坐标系中有两条坐标轴不垂直，那么这样的坐标系称为"斜坐标系现

有一种空间斜坐标系，它任意两条数轴的夹角均为60。，我们将这种坐标系称为“斜60。坐标

系”.我们类比空间直角坐标系，定义"空间斜60。坐标系”下向量的斜60。坐标：后分别

为“斜60。坐标系”下三条数轴(x轴、V轴、z轴)正方向的单位向量，若向量力=行+讶+zE,

则力与有序实数组(x),z)相对应，称向量力的斜60。坐标为记作元=[x,y,z].

⑴若a=[1,2,3],=[-1,1,2],求1+3的斜60。坐标;

(2)在平行六面体ABCD-ABClDl中，4B=AD=2,A4=3,ABAD=NBA&=ADAA,=60°,

N为线段DC的中点.如图，以｛画石，石｝为基底建立"空间斜60。坐标系

①求丽的斜60。坐标；

②若孤=[2,-2,0],求万？与丽夹角的余弦值.

【题型六】概率统计

【知识回顾】

1.二项分布

1.一般地，在n重伯努利试验中，设每次试验中事件A发生的概率为p(O<p<l),用X表示

事件A发生的次数，则X的分布列为P(X=k)=Cy(lp)nk,k=0,1,2,…,n.如果随机

变量X的分布列具有上式的形式，则称随机变量X服从二项分布，记作X~B(n,p).

2.二项分布的期望与方差：一般地，如果X~B(n,p),那么E(X)=np,D(X)=np(lp).

2.超几何分布

1.一般地，假设一批产品共有N件，其中有M件次品.从N件产品中随机抽取n件

(不放回)，用X表示抽取的n件产品中的次品数，则X的分布列为P(X=k)=隼以，k=m,

LN

m+1,m+2,…，r.其中n,N,M£N*,MWN,nWN,m=max{0,nN+M},r=min{n,M}.如

果随机变量X的分布列具有上式的形式，那么称随机变量X服从超几何分布.

若随机变量X服从超几何分布，则其均值E(X)=霍.

2.若X服从参数为N,n,M的超几何分布，即)CH(N,n,M),则D(X)=^1黜斗粤

NZ(N-1)

3.正态分布

](x-U)2

1.正态曲线：函数f(x)=^=e--4，x£R.其中WR,。>0为参数.我们称f(x)为正态密度函

数，称它的图象为正态密度曲线，简称正态曲线.

2.正态分布：若随机变量X的概率分布密度函数为f(x),则称随机变量X服从正态分布，记

为X~N(R,。2).特别地，当[1=0,0=1时，称随机变量X服从标准正态分布.

23.(2024・广东广州•一模)某校开展科普知识团队接力闯关活动，该活动共有两关，每个团

队由〃(〃23,〃eN)位成员组成，成员按预先安排的顺序依次上场，具体规则如下：若某成

员第一关闯关成功，则该成员继续闯第二关，否则该成员结束闯关并由下一位成员接力去闯

第一关；若某成员第二关闯关成功，则该团队接力闯关活动结束，否则该成员结束闯关并由

下一位成员接力去闯第二关；当第二关闯关成功或所有成员全部上场参加了闯关，该团队接

力闯关活动结束.已知A团队每位成员闯过第一关和第二关的概率分别为:和;，且每位成

42

员闯关是否成功互不影响，每关结果也互不影响.

（1）若〃=3,用X表示A团队闯关活动结束时上场闯关的成员人数，求X的均值;

（2）记A团队第4（1V左V〃-1,左eN*）位成员上场且闯过第二关的概率为P2集合

卜eN*以〈高中元素的最小值为原，规定团队人数〃=耳+1,求〃.

24.（2024•山东潍坊•一模）若久〃是样本空间。上的两个离散型随机变量，则称4〃）是O

上的二维离散型随机变量或二维随机向量.设（,〃）的一切可能取值为。/=1,2,•••,

记P?’表示（知与）在。中出现的概率，其中Py=p七=%力=4）=尸四=《）n（〃=勺）］.

⑴将三个相同的小球等可能地放入编号为1,2,3的三个盒子中，记1号盒子中的小球个

数为九2号盒子中的小球个数为〃，贝是一个二维随机变量.

①写出该二维离散型随机变量信力）的所有可能取值；

②若（私〃）是①中的值，求尸（＜=〃?,〃="）（结果用加，"表示）；

（2）P佰=q）称为二维离散型随机变量（乙〃）关于4的边缘分布律或边际分布律，求证：

丁00,

P化=a）=EPg.

7=1

25.（2024•辽宁•一模）十七世纪至十八世纪的德国数学家莱布尼兹是世界上第一个提出二进

制记数法的人，用二进制记数只需数字0和1,对于整数可理解为逢二进一，例如：自然数

1在二进制中就表示为⑴2,2表示为（IO1,3表示为（I）,5表示为（IO）,发现若“eN+

aaa1

可表示为二进制表达式'k-\k）2，则"=o,2*+-2*HFak_x+ak,其中a。=1,

q=0或1（i=l,2,---k）.

⑴记…求证：S（8"+3）=S（4++3）；

（2）记/（〃）为整数〃的二进制表达式中的0的个数，如"2）=1,/⑶=0.

（i）求/（60）；

511

（ii）求±2/⑻（用数字作答）.

n=l

26.（2024•广东汕头•一模）2023年11月，我国教育部发布了《中小学实验教学基本目录》,

内容包括高中数学在内共有16个学科900多项实验与实践活动.我市某学校的数学老师组织

学生到“牛田洋”进行科学实践活动，在某种植番石榴的果园中，老师建议学生尝试去摘全园

最大的番石榴，规定只能摘一次，并且只可以向前走，不能回头.结果，学生小明两手空空

走出果园，因为他不知道前面是否有更大的，所以没有摘，走到前面时，又发觉总不及之前

见到的，最后什么也没摘到.假设小明在果园中一共会遇到〃颗番石榴（不妨设〃颗番石榴的

大小各不相同），最大的那颗番石榴出现在各个位置上的概率相等，为了尽可能在这些番石

榴中摘到那颗最大的，小明在老师的指导下采用了如下策略：不摘前人（14左<"）颗番石榴,

自第左+1颗开始，只要发现比他前面见过的番石榴大的，就摘这颗番石榴，否则就摘最后

一颗.设左=打，记该学生摘到那颗最大番石榴的概率为P.

⑴若w=4,左=2,求p；

⑵当"趋向于无穷大时，从理论的角度，求尸的最大值及P取最大值时/的值.

-111,〃、

（取一+---+•••+----=ln—）

k左+1n-1k

27.（2324高三上•浙江温州•期末）现有标号依次为1,2,…，〃的〃个盒子，标号为1号的

盒子里有2个红球和2个白球，其余盒子里都是1个红球和1个白球.现从1号盒子里取出

2个球放入2号盒子，再从2号盒子里取出2个球放入3号盒子，…，依次进行到从n-l号

盒子里取出2个球