2025优化设计一轮课时规范练6　二次函数及其性质

课时规范练6二次函数及其性质一、基础巩固练1.(2024·辽宁沈阳模拟)已知二次函数y=ax2+bx+1图象的对称轴是直线x=1,并且通过点P(-1,7),则a,b的值分别是()A.2,4 B.-2,4 C.2,-4 D.-2,-42.(2024·山东潍坊模拟)已知二次函数f(x)=ax2+bx+c(a>0)的图象与x轴交点的横坐标为-5和3,则f(x)的单调递减区间为()A.(-∞,-1] B.[-1,+∞)C.(-∞,2] D.[2,+∞)3.(2024·山东泰安模拟)“c∈(-23,23)”是“∀x∈R,x2-cx+3≥0”成立的()A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件4.(2024·浙江金华联考)设函数f(x)=(12)

x2A.(-∞,-2] B.[-2,-1]C.[1,2] D.[2,+∞)5.(2024·安徽合肥模拟)已知函数f(x)=1ax2+bxA.-6 B.6 C.-3 D.36.(多选题)(2024·福建福州模拟)已知函数f(x+1)=2x+x-1,则()A.f(3)=9B.f(x)=2x2-3x(x≥0)C.f(x)的最小值为-1D.f(x)的图象与x轴有1个交点7.(2024·辽宁大连模拟)已知-1和2是二次函数f(x)的两个零点,且f(x)的最大值为94,则f(x)的解析式为f(x)=.8.(2024·安徽六安模拟)函数f(x)=4x-2×2x-3,x∈[0,2]的最小值是.

9.(2024·甘肃张掖模拟)已知函数f(x)=x2-2ax+a在[0,3]上的最小值为-2,则a的值为.

10.(2024·山西大同模拟)已知关于x的方程4-|x|-2-|x|+2-a=0有实根,则实数a的取值范围是.

二、综合提升练11.(2024·湖南长沙模拟)已知函数f(x)=log2x2·log2x8,若f(x1)=f(x2)(其中x1≠x2),则1xA.34 B.32 C.2 D12.(2024·河北邢台模拟)已知E(2,0),F(0,-2),点P在直线3x-y+1=0上移动,则|PE|2+|PF|2的最小值为.

13.(2024·江苏镇江模拟)已知g(x)=x2-2ax+1在[1,3]上的值域为[0,4].(1)求实数a的值;(2)若不等式g(2x)-k·4x≥0在x∈[1,+∞)内恒成立,求实数k的取值范围.

课时规范练6二次函数及其性质1.C解析∵y=ax2+bx+1(a≠0)图象的对称轴是直线x=1,∴-b2a=又图象过点P(-1,7),∴a-b+1=7,即a-b=6,②联立①②解得a=2,b=-4,故选C.2.A解析因为二次函数f(x)=ax2+bx+c(a>0)的图象与x轴交点的横坐标为-5和3,所以其图象的对称轴为直线x=-5+32=-1,又因为a>0,所以二次函数的单调递减区间为(-∞,-1],故选3.A解析由∀x∈R,x2-cx+3≥0可得Δ=c2-4×3≤0,解得-23≤c≤23,所以“∀x∈R,x2-cx+3≥0”等价于“c∈[-23,23]”,所以“c∈(-23,23)”可推出“∀x∈R,x2-cx+3≥0”,“∀x∈R,x2-cx+3≥0”不能推出“c∈(-23,23)”,所以“c∈(-23,23)”是“∀x∈R,x2-cx+3≥0”的充分不必要条件,故选A4.D解析令u=x2-2mx,则二次函数u=x2-2mx的图象开口向上,对称轴为直线x=m,因为y=(12)u在R上单调递减,函数f(x)=(12)

x2-2mx在(1,2)内单调递增,所以u=x2-2mx在(1,2)5.C解析由图象可知ax2+bx+c=a(x-2)(x-4),又由二次函数y=ax2+bx+c的对称性和图象知顶点为(3,1),所以a(3-2)(3-4)=1,解得a=-1,所以b=6,c=-8,则a+b+c=-3,故选C.6.ACD解析令t=x+1≥1,得x=t-1,则x=(t-1)2,得f(x+1)=f(t)=2t2-3t,故f(x)=2x2-3x,x∈[1,+∞),f(3)=9,A正确,B错误.因为f(x)=2x2-3x=2(x-34)2-98,所以f(x)在[1,+∞)内单调递增,f(x)min=f(1)=-1,令f(x)=0,解得x=0(舍去)或x=32,所以f(x)的图象与x轴只有1个交点,C正确,D正确,7.-x2+x+2解析因为-1和2是二次函数f(x)的两个零点,则直线x=12是f(x)图象的对称轴,又因为f(x)的最大值为94,所以设f(x)=a(x-12)2+94(a<0),由f(2)=0,得94a+94=0,解得a=-1,故f(x)=-(x-12)28.-4解析令t=2x,因为x∈[0,2],所以t∈[1,4],函数化为f(t)=t2-2t-3,因此当t=1时f(t)有最小值f(1)=-4.9.±2解析函数f(x)=x2-2ax+a图象的对称轴为直线x=a,当a≤0时,函数f(x)在[0,3]上单调递增,f(x)min=f(0)=a=-2,成立;当0<a<3时,函数f(x)=x2-2ax+a在[0,a]上单调递减,在(a,3]上单调递增,f(x)min=f(a)=-a2+a=-2,解得a=-1(舍去)或a=2,所以a=2;当a≥3时,f(x)在[0,3]上单调递减,f(x)min=f(3)=9-6a+a=-2,解得a=115,不成立,综上可知a=±210.[-3,0)解析由4-|x|-2-|x|+2-a=0可得(2-|x|)2-4·2-|x|=a,令t=2-|x|(0<t≤1),则a=t2-4t=(t-2)2-4,由于0<t≤1,所以-3≤(t-2)2-4<0,因此-3≤a<0,故实数a的取值范围是[-3,0).11.B解析∵f(x)=log2x2·log2x8=(log2x-1)(log2x-3)=(log2x)2-4log2x+3,由f(x1)=f(∴log2x1+log2x2=4,x1,x2>0,即x1·x2=16,∴1x1+9x2≥29x1x2=2×34=32,当且仅当1x12.9解析因为点P在直线3x-y+1=0上,所以可设点P的坐标为(a,3a+1),其中a∈R,所以|PE|2+|PF|2=(a-2)2+(3a+1)2+a2+(3a+3)2=20(a+12)2+9,故当a=-12时,|PE|2+|PF|2取得最小值13.解(1)g(x)的图象的对称轴为直线x=a.当a<1时,g(x)在[1,3]上的最小值g(1)=2-2a=0,a=1,不符合a<1,舍去;当1≤a≤3时,g(x)在[1,3]上的最小值g(a)=-a2+1=0,解得a=1或a=-1(舍去),∴g(3)=4,满足题意;当a>3时,g(x)在[1,3]上的最小值g(x)min=g(3)=10-6a=0,解得a=53,不满足题意.综上,a=1(2)由(1)知,g(x)=