2024届广东省深圳市福田片区中考数学押题试卷含解析

2024学年广东省深圳市福田片区重点中学中考数学押题试卷

考生请注意：

1.答题前请将考场、试室号、座位号、考生号、姓名写在试卷密封线内，不得在试卷上作任何标记。

2.第一部分选择题每小题选出答案后，需将答案写在试卷指定的括号内，第二部分非选择题答案写在试卷题目指定的

位置上。

3.考生必须保证答题卡的整洁。考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回。

一、选择题(本大题共12个小题，每小题4分，共48分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.)

1.如图，在平面直角坐标系中，线段AB的端点坐标为A(-2,4),B(4,2),直线y=kx-2与线段AB有交点，则K的

值不可能是()

A.-5B.-2C.3D.5

2.二次函数丫=依2+加；+0(a/0)和正比例函数y=-的图象如图所示，则方程依2+(5+g)x+c=0(。邦)的两

根之和()

A.大于0B.等于0C.小于0D.不能确定

3.下列各式中，正确的是()

A.t5-t5=2t5B.t4+t2=t6C.t3-t4=t12D.t2-t3=t5

4.小王抛一枚质地均匀的硬币，连续抛4次，硬币均正面朝上落地，如果他再抛第5次，那么硬币正面朝上的概率为

()

111

A.1B.-C.一D.

245

5.如图，BC_LAE于点C,CD〃AB,NB=55。，则N1等于()

D.25°

6.下面的图形是轴对称图形，又是中心对称图形的有()

A.1个B.2个C.3个D.4个

7.如图，一段抛物线：y=-x(x-5)(03/5),记为Ci,它与x轴交于点O,Ai；将Ci绕点Ai旋转180。得C2,交

x轴于点A2；将C2绕点A2旋转180。得C3,交x轴于点A3；…如此进行下去，得到一“波浪线”，若点P(2018,m)

在此“波浪线”上，则m的值为()

A.4B.-4C.-6D.6

8.若一个正比例函数的图象经过A（3,-6）,B（m,-4）两点，则m的值为（）

A.2B.8C.-2D.-8

9.已知x=2-^,则代数式（7+44）x2+（2+^）x+出的值是（）

A.。B.@C2+小D.2-的

10.已知x-2y=3,那么代数式3-2x+4y的值是（）

A.-3B.0C.6D.9

11.如图，在正方形ABCD和正方形CEFG中，点D在CG上，BC=1,CE=3,连接AF交CG于M点，则FM=()

12.如图，A、B、C、D四个点均在。O上，NAOD=50。，AO〃DC,则NB的度数为()

二、填空题：(本大题共6个小题，每小题4分，共24分.)

13.计算(-2)*3+(-3)=.

15.函数>=互1中，自变量x的取值范围是

-x-2

16.化简：邪=.

17.计算(-3)+(-9)的结果为.

18.已知二次函数y=ax?+bx+c(a/0)的图象与x轴交于(xi,0),且-IVxiVO,对称轴x=l.如图所示，有下列

5个结论：①abc>0；②b<a+c；③4a+2b+c>0；®2c<3b；⑤a+b>m(am+b)(m丹的实数).其中所有结论正确

的是(填写番号).

三、解答题：(本大题共9个小题，共78分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.

19.(6分)如图，已知抛物线经过点A(-1,0),B(4,0),C(0,2)三点，点D与点C关于x轴对称，点P是

x轴上的一个动点，设点P的坐标为(m,0),过点P做x轴的垂线1交抛物线于点Q,交直线BD于点M.

(1)求该抛物线所表示的二次函数的表达式；

(2)已知点F(0,1),当点P在x轴上运动时，试求m为何值时，四边形DMQF是平行四边形？

(3)点P在线段AB运动过程中，是否存在点Q,使得以点B、Q、M为顶点的三角形与ABOD相似？若存在，求

出点Q的坐标；若不存在，请说明理由.

20.(6分)如图所示，在RtZvlBC中，NAGB=90°,

(1)用尺规在边BC上求作一点P,使八4=。5；(不写作法，保留作图痕迹)

(2)连接AP当£)8为多少度时，AP平分NC4B.

21.(6分)计算:(-2018)°-4sin45°+V8-21.

k

22.(8分)如图1,DOABC的边OC在y轴的正半轴上，OC=3,A(2,1),反比例函数y=—(x>0)的图象经过点

x

B.

(1)求点B的坐标和反比例函数的关系式；

(2)如图2,将线段OA延长交y=K(x>0)的图象于点D,过B,D的直线分别交x轴、y轴于E,F两点，①求

X

直线BD的解析式；②求线段ED的长度.

113

23.(8分)如图，在平面直角坐标系中，一次函数y=-耳“+2的图象交X轴于点P,二次函数y=-万好+^^帆的

图象与％轴的交点为(xi,0)、(X2,0),且再2+%2=17

(1)求二次函数的解析式和该二次函数图象的顶点的坐标.

131

(2)若二次函数y=-弓3+5浒,〃的图象与一次函数y=-的图象交于A、3两点(点A在点5的左侧)，在

x轴上是否存在点M,使得是以NA3M为直角的直角三角形？若存在，请求出点M的坐标；若不存在，请说

明理由.

24.(10分)已知抛物线y=ax?+bx+c.

(I)若抛物线的顶点为A(-2,-4),抛物线经过点B(-4,0)

①求该抛物线的解析式；

②连接AB,把AB所在直线沿y轴向上平移，使它经过原点O,得到直线1,点P是直线1上一动点.

设以点A,B,O,P为顶点的四边形的面积为S,点P的横坐标为x,当4+60WSW6+8及时，求x的取值范围;

(II)若a>0,c>l,当x=c时，y=0,当OVxVc时，y>0,试比较ac与1的大小，并说明理由.

25.(10分)某中学九(1)班为了了解全班学生喜欢球类活动的情况，采取全面调查的方法，从足球、乒乓球、篮球、

排球等四个方面调查了全班学生的兴趣爱好，根据调查的结果组建了4个兴趣小组，并绘制成如图所示的两幅不完整

的统计图(如图①，②，要求每位学生只能选择一种自己喜欢的球类)，请你根据图中提供的信息解答下列问题：

图①图②

(1)九(1)班的学生人数为,并把条形统计图补充完整；

(2)扇形统计图中m=,n=,表示“足球”的扇形的圆心角是度；

(3)排球兴趣小组4名学生中有3男1女，现在打算从中随机选出2名学生参加学校的排球队，请用列表或画树状图

的方法求选出的2名学生恰好是1男1女的概率.

26.(12分)某商场用24000元购入一批空调，然后以每台3000元的价格销售，因天气炎热，空调很快售完，商场又

以52000元的价格再次购入该种型号的空调，数量是第一次购入的2倍，但购入的单价上调了200元，每台的售价也

上调了200元.商场第一次购入的空调每台进价是多少元？商场既要尽快售完第二次购入的空调，又要在这两次空调

销售中获得的利润率不低于22%,打算将第二次购入的部分空调按每台九五折出售，最多可将多少台空调打折出售？

27.(12分)如图，A(4,3)是反比例函数y=人在第一象限图象上一点，连接OA,过A作AB〃x轴，截取AB=OA

(B在A右侧)，连接OB,交反比例函数y=&的图象于点P.求反比例函数y=七的表达式；求点B的坐标；求△OAP

XX

的面积.

参考答案

一、选择题(本大题共12个小题，每小题4分，共48分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.)

1、B

【解题分析】

当直线y=kx-2与线段AB的交点为A点时，把A(-2,4)代入y=kx-2,求出k=-3,根据一次函数的有关性质得到当

k£3时直线y=kx-2与线段AB有交点；当直线y=kx-2与线段AB的交点为B点时，把B(4,2)代入y=kx-2,求出

k=l,根据一次函数的有关性质得到当k>l时直线y=kx-2与线段AB有交点，从而能得到正确选项.

【题目详解】

把A(-2,4)代入y=kx-2得，4=-2k-2,解得k=-3,

二当直线y=kx-2与线段AB有交点，且过第二、四象限时，k满足的条件为太-3；

把B(4,2)代入y=kx-2得，4k-2=2,解得k=l,

二当直线y=kx-2与线段AB有交点，且过第一、三象限时，k满足的条件为Q1.

即理-3或

所以直线产kx-2与线段AB有交点，则k的值不可能是2

故选B.

【题目点拨】

本题考查了一次函数y=kx+b(k/0)的性质：当k>0时，图象必过第一、三象限，k越大直线越靠近y轴；当kVO

时，图象必过第二、四象限，k越小直线越靠近y轴.

2、C

【解题分析】

设改+6x+c=0(awO)的两根为xi,X2,由二次函数的图象可知Xi+X2<0,a>0；设方程

++的两根为机，力再根据根与系数的关系即可得出结论.

【题目详解】

解：设依2+加+。=0(awO)的两根为xi,X2,

•・,由二次函数的图象可知X]+X2<0,a>0,

<0.

a

设方程ax2+(5+=]x+c=0(aw0)的两根为m，n,贝！|b1

(3)m+n=----=-----

aa3a

*/a>0

--—<0

3a

b

•/—<0

a

/.m+m<0

故选C.

【题目点拨】

本题考查的是抛物线与x轴的交点，熟知抛物线与x轴的交点与一元二次方程根的关系是解答此题的关键.

3、D

【解题分析】选项A,根据同底数幕的乘法可得原式=小；选项B,不是同类项，不能合并；选项C,根据同底数幕的

乘法可得原式=〃；选项D,根据同底数幕的乘法可得原式=凡四个选项中只有选项D正确，故选D.

4、B

【解题分析】

直接利用概率的意义分析得出答案.

【题目详解】

解：因为一枚质地均匀的硬币只有正反两面，

所以不管抛多少次，硬币正面朝上的概率都是!，

2

故选B.

【题目点拨】

此题主要考查了概率的意义，明确概率的意义是解答的关键.

5、A

【解题分析】

根据垂直的定义得到NNBCE=90。，根据平行线的性质求出NBCD=55。，计算即可.

【题目详解】

解：VBC1AE,

，/BCE=90。，

VCD//AB,ZB=55°,

，NBCD=/B=55。，

.,.Zl=90°-55°=35°,

故选：A.

【题目点拨】

本题考查的是平行线的性质和垂直的定义，两直线平行，同位角相等；两直线平行，同旁内角互补；两直线平行，内

错角相等.

6、B

【解题分析】

根据轴对称图形和中心对称图形的定义对各个图形进行逐一分析即可.

【题目详解】

解：第一个图形是轴对称图形，但不是中心对称图形；

第二个图形是中心对称图形，但不是轴对称图形；

第三个图形既是轴对称图形，又是中心对称图形；

第四个图形即是轴对称图形，又是中心对称图形；

,既是轴对称图形，又是中心对称图形的有两个，

故选:B.

【题目点拨】

此题主要考查了中心对称图形与轴对称图形的概念.轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合，中

心对称图形是要寻找对称中心，旋转180。后两部分重合.

7、C

【解题分析】

分析：根据图象的旋转变化规律以及二次函数的平移规律得出平移后解析式，进而求出机的值，由2017+5=403…2,

可知点P(2018,m)在此“波浪线”上C404段上，求出C404的解析式，然后把P(2018,机)代入即可.

详解：当y=0时，-尤(r-5)=0,解得尤i=0,X2=5,则AI(5,0),

；.Q4i=5,

•.,将G绕点4旋转180。得C2,交x轴于点4;将C2绕点4旋转180。得C3,交x轴于点4;…；如此进行下去，

得到一“波浪线,,，

工4142=4必3=・..=041=5,

二抛物线C404的解析式为y=(x-5x403)(x-5x404),即y=(x-2015)(x-2020),

当x=2018时，j=(2018-2015)(2018-2020)=-1,

即m=-1.

故选C.

点睛：此题主要考查了二次函数的平移规律，根据已知得出二次函数旋转后解析式是解题关键.

8、A

【解题分析】

试题分析：设正比例函数解析式为：y=kx,将点A(3,-6)代入可得：3k=-6,解得：k=-2,.•.函数解析式为：

y=-2x,将B(m,-4)代入可得：-2m=-4,解得m=2,故选A.

考点：一次函数图象上点的坐标特征.

9、C

【解题分析】

把x的值代入代数式，运用完全平方公式和平方差公式计算即可

【题目详解】

解：当x=2-/时，

(7+4出)x2+(2+出)x+小

=(7+44)(2-^)2+(2+g)(2-席+出

=(7+4®"4®+1+出

=49-48+1+松

=2+出

故选：C.

【题目点拨】

此题考查二次根式的化简求值，关键是代入后利用完全平方公式和平方差公式进行计算.

10、A

【解题分析】

解：Vx-2y=3,

.'.3-2x+4y=3-2(x-2y)=3-2x3=-3；

故选A.

11、C

【解题分析】

由正方形的性质知DG=CG-CD=2、AD//GF,据此证AADMsaFGM得理=，求出GM的长，再利用勾股

FGGM

定理求解可得答案.

【题目详解】

解：•.,四边形ABCD和四边形CEFG是正方形，

；.AD=CD=BC=1、CE=CG=GF=3,NADM=NG=90°,

/.DG=CG-CD=2,AD/7GF,

则AADM^AFGM,

ADDM12-GM

：.——=--,即nn一=---------

FGGM3GM

【题目点拨】

本题主要考查相似三角形的判定与性质，解题的关键是熟练掌握正方形的性质、相似三角形的判定与性质及勾股定理

等知识点.

12、D

【解题分析】

试题分析：连接OC,根据平行可得：ZODC=ZAOD=50°,则NDOC=80。，则NAOC=130。，根据同弧所对的圆周角

等于圆心角度数的一半可得：NB=130*2=65。.

考点：圆的基本性质

二、填空题：(本大题共6个小题，每小题4分，共24分.)

13、-9

【解题分析】

根据有理数的计算即可求解.

【题目详解】

(―2)x3+(—3)=-6-3=-9

【题目点拨】

此题主要考查有理数的混合运算，解题的关键是熟知有理数的运算法则.

14、(-b,a)

【解题分析】

解：如图，从A、Ai向x轴作垂线，设Ai的坐标为(x,y),

设NAOX=a,ZAiOD=p,Ai坐标(x,y)贝！Ja+6="9OOsina=cos0"cosa="sin0"sina=7^=cos6=.

同理cosa=77^=sin|}=曲

所以x=-b,y=a,

【点评】重点理解三角函数的定义和求解方法，主要应用公式sina=cosp,cosa=sinp.

15、x\—1且x#2.

【解题分析】

试题分析：求函数自变量的取值范围，就是求函数解析式有意义的条件，根据二次根式被开方数必须是非负数和分式

Jr+ix+1>0x>-1

分母不为0的条件，要使业己在实数范围内有意义，必须{cn=>{cnx2-l且XH2.

x-2x—2w0xw2

考点：1.函数自变量的取值范围；2.二次根式和分式有意义的条件.

16、3

【解题分析】

分析：根据算术平方根的概念求解即可.

详解：因为32=9

所以

故答案为3.

点睛：此题主要考查了算术平方根的意义，关键是确定被开方数是哪个正数的平方.

17、-1

【解题分析】

试题分析：利用同号两数相加的法则计算即可得原式=-(3+9)=-1,

故答案为-1.

18、③④⑤

【解题分析】

根据函数图象和二次函数的性质可以判断题目中各个小题的结论是否成立，从而可以解答本题.

【题目详解】

解：由图象可得，抛物线开口向下，则a<0,抛物线与y轴交于正半轴，则c>0,对称轴在y轴右侧，则与a的符号相

反，故b>0.

/.a<0,b>0,c>0,

.\abc<0,故①错误，

当x=-l时，y=a-b+c<0,得b>a+c,故②错误，

,二次函数y=ax‘+bx+c(a^O)的图象与x轴交于(xi,0),K-l<xi<0,对称轴x=L

.*.x=2时的函数值与x=0的函数值相等，

.♦.x=2时，y=4a+2b+c>0,故③正确，

.b

；x=-l时，y=a-b+c<0,--=1,

'2a

2a-2b+2c<0,b=-2a,

/.-b-2b+2c<0,

.12cV3b,故④正确，

由图象可知，x=l时，y取得最大值，此时y=a+b+c,

a+b+c>am2+bm+c(m/1),

a+b>am2+bm

a+b>m(am+b),故⑤正确，

故答案为：③④⑤.

【题目点拨】

本题考查二次函数图象与系数的关系、抛物线与x轴的交点坐标，解答本题的关键是明确题意，利用二次函数的性质

和数形结合的思想解答.

三、解答题：(本大题共9个小题，共78分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.

13

19、(1)y=-yx2+yx+2；(2)111=-1或111=3时，四边形DMQF是平行四边形；(3)点Q的坐标为(3,2)或(-

1,0)时，以点B、Q、M为顶点的三角形与△BOD相似.

【解题分析】

分析：(1)待定系数法求解可得；

1131

(2)先利用待定系数法求出直线BD解析式为y=—x-2,则Q(m,--m2+—m+2)^M(m,—m-2),由QM〃DF

2222

且四边形DMQF是平行四边形知QM=DF,据此列出关于m的方程，解之可得；

DOMB1

(3)易知NODB=NQMB,故分①/DOB=NMBQ=90。，利用△DOBS/\MBQ得—=—='，再证

OHBQ2

4-777

BMBP-

△MBQs.PQ得诙=而'即2二］〃2+和+2'解之即可得此时m的值；②NBQM=9。。，此时点Q与

点A重合，△BODsaBQM，，易得点Q坐标.

详解：(1)由抛物线过点A(-1,0)、B(4,0)可设解析式为y=a(x+1)(x-4),

将点C(0,2)代入，得：-4a=2,

解得：a=-g,

2

则抛物线解析式为y=-g(x+1)/、1,3

(x-4)=--x~+—x+2；

22

(2)由题意知点D坐标为(0,-2),

设直线BD解析式为y=kx+b,

将B(4,0)、D(0,-2)代入,得:

4k+b=0k=-

,，解得：〈2,

b=-2

二直线BD解析式为y=；x-2,

；QMJ_x轴，P(m,0),

131

/.Q(m,—m2+—m+2)>M(m,—m-2),

222

e1,31、1,

则QM=-5m2+am+2-(z—m-2)=-ym2+m+4,

VF(0,-)>D(0,-2),

2

5

/.DF=-,

2

；QM〃DF,

・••当-Lm2+m+4=。时，四边形DMQF是平行四边形,

22

解得：m=-l（舍）或m=3,

即m=3时，四边形DMQF是平行四边形；

AZODB=ZQMB,

分以下两种情况：

①当NDOB=NMBQ=90。时，△DOB<^AMBQ,

DOMB21

贝!I=————,

OBBQ42

VZMBQ=90°,

AZMBP+ZPBQ=90°,

VZMPB=ZBPQ=90°,

:.ZMBP+ZBMP=90°,

.\ZBMP=ZPBQ,

/.△MBQ^ABPQ,

14—m

BMBP-=.........-------------

---------，即2123_,

BQPQ-—7772+—777+2

解得:mi=3、ni2=4,

当m=4时，点P、Q、M均与点B重合，不能构成三角形，舍去,

；.m=3,点Q的坐标为（3,2）；

②当NBQM=90。时，此时点Q与点A重合，△BODs^BQM，,

此时m=-L点Q的坐标为（-1,0）；

综上，点Q的坐标为(3,2)或(-1,0)时，以点B、Q、M为顶点的三角形与ABOD相似.

点睛：本题主要考查二次函数的综合问题，解题的关键是掌握待定系数法求函数解析式、平行四边形的判定与性质、

相似三角形的判定与性质及分类讨论思想的运用.

【题目详解】

请在此输入详解！

20、(1)详见解析；(2)30°.

【解题分析】

(1)根据线段垂直平分线的作法作出AB的垂直平分线即可；

(2)连接PA,根据等腰三角形的性质可得=由角平分线的定义可得=根据直角三角

形两锐角互余的性质即可得NB的度数，可得答案.

【题目详解】

(1)如图所示：分别以A、B为圆心，大于」AB长为半径画弧，两弧相交于点E、F,作直线EF,交BC于点P,

2

：EF为AB的垂直平分线，

；.PA=PB,

.•.点P即为所求.

(2)如图，连接AP,

,:PA=PB,

：.ZPAB=ZB,

VAP是角平分线，

：.ZPAB=APAC,

：.ZPAB=ZPAC=ZB,

■:ZACB=9Q°,

ZPAC+ZPAB+ZB=90°,

.\3ZB=90°,

解得：ZB=30°,

.,.当ZB=3O。时，AP平分NG4B.

cB

【题目点拨】

本题考查尺规作图，考查了垂直平分线的性质、直角三角形两锐角互余的性质及等腰三角形的性质，线段垂直平分线

上的点到线段两端的距离相等；熟练掌握垂直平分线的性质是解题关键.

1

21、一.

2

【解题分析】

根据零指数塞和特殊角的三角函数值进行计算

【题目详解】

61

解：原式=l-4x注+2友--

22

=1-2./2+2T2-y

~2

【题目点拨】

本题考查了实数的运算：实数的运算和在有理数范围内一样，值得一提的是，实数既可以进行加、减、乘、除、乘方

运算，又可以进行开方运算，其中正实数可以开平方.

Q

22、(1)B(2,4),反比例函数的关系式为丫=—；(2)①直线BD的解析式为y=-x+6；②ED=2j]

x

【解题分析】

试题分析：(1)过点A作AP，x轴于点P,由平行四边形的性质可得BP=4,可得B(2,4),把点B坐标代入反比例

函数解析式中即可；

(2)①先求出直线OA的解析式，和反比例函数解析式联立，解方程组得到点D的坐标，再由待定系数法求得直线

BD的解析式；②先求得点E的坐标，过点D分别作x轴的垂线，垂足为G(4,0),由沟谷定理即可求得ED长度.

试题解析：(1)过点A作AP1.X轴于点P,

XVAB=OC=3,

AB(2,4).,

•.•反比例函数y=8(x>0)的图象经过的B,

X

•k

•.4=一,

2

，k=8.

Q

・・・反比例函数的关系式为丫=一；

X

(2)①由点A(2,1)可得直线OA的解析式为y=gx.

.1

、，--Y-<

2%=4X2~-2

解方程组8,得V2

4=—4.

x

•.•点D在第一象限，

；.D(4,2).

由BQ,4),点D(4,2)可得直线BD的解析式为y=-x+6；

②把y=0代入y=—x+6,解得x=6,

；.E(6,0),

过点D分别作x轴的垂线，垂足分别为G,则G(4,0),

由勾股定理可得：ED=7(6-4)2+(0-2)2=272.

点睛：本题考查一次函数、反比例函数、平行四边形等几何知识，综合性较强，要求学生有较强的分析问题和解决问

题的能力.

1332532592

23、(1)y=--x2+—x+2=(x---)2+—,顶点坐标为(一，—);(2)存在，点Af(—,0).理由见解析.

22282827

【解题分析】

（1）由根与系数的关系，结合已知条件可得9+4机=17,解方程求得m的值，即可得求得二次函数的解析式，再求得

该二次函数图象的顶点的坐标即可；（2）存在，将抛物线表达式和一次函数y=-gx+2联立并解得x=0或，，即可

得点A、5的坐标为（0,2）、（?，：），由此求得尸8=邛3,AP=2yflQ,过点5作交x轴于点跖

APop7092

证得△APOs△MP3,根据相似三角形的性质可得上=—,代入数据即可求得MP=一,再求得OM=一,

MPPB2727

92

即可得点M的坐标为（一，0）.

27

【题目详解】

（1）由题意得：XI+X2=3,XIX2=-2m,

XI2+X22—（X1+X2）2-2x1X2=17,即：9+4»i=17,

解得：m=2,

抛物线的表达式为：y=-—1好+3±*+2=（x-3-）2+2—5,

2228

325

顶点坐标为（一，一）；

28

（2）存在，理由：

将抛物线表达式和一次函数y=-；x+2联立并解得：x=0或，，

一117

・••点4、5的坐标为（0,2）、（—,一）,

39

一次函数y=-；x+2与x轴的交点P的坐标为（6,0）,

117

•・•点P的坐标为（6,0）,6的坐标为（一，一），点b的坐标为（0,2）、

39

二昨—6）2+（Z—0）2=巫，

V399

AP=j6+22=2屈

过点B作BMLAB交x轴于点M,

；NMBP=NAOP=90。，NMPB=NAPO,

：./\APO^/\MPB,

2瓦6

APOP

•­MP7而，

MPPB

9

70

：.MP=——

27

7092

:.OM=OP-MP=6------=—,

2727

92

**•点Af(—>0).

27

【题目点拨】

本题是一道二次函数的综合题，一元二次方程根与系数的关系、直线与抛物线的较大坐标.相似三角形的判定与性质，

题目较为综合，有一定的难度，解决第二问的关键是求得PB、AP的长，再利用相似三角形的性质解决问题.

24、⑴①y=x2+3x②当3+6夜WSW6+20时,x的取值范围为是1一秘"一3.或3后一24后-1(口)

2222

ac<l

【解题分析】

(I)①由抛物线的顶点为A(-2,-3),可设抛物线的解析式为尸a(x+2)2-3,代入点B的坐标即可求出a值，此问得解，②

根据点A,B的坐标利用待定系数法可求出直线AB的解析式，进而可求出直线I的解析式，分点P在第二象限及点P在

第四象限两种情况考虑：当点尸在第二象限时通过分割图形求面积法结合3+6&WSW6+20,即可求出x的取值

范围，当点P在第四象限时/>0,通过分割图形求面积法结合3+6WSW6+20,即可求出x的取值范围,综上即可得出结论,

(2)由当x=c时尸0,可得出尺-ac-1,由当0<x<c时,>0,可得出抛物线的对称轴x=--Nc,进而可得出后-2ac,结合

b=-ac-l即可得出ac<l.

【题目详解】

(I)①设抛物线的解析式为y”(x+2)2-3,

二抛物线经过点B(-3,0),

.\0=a(-3+2)2-3,

解得：a=l,

，该抛物线的解析式为y=(x+2)2-3=x2+3x.

②设直线AB的解析式为y=kx+m(k^O),

将A(-2,-3)、B(-3,0)代入y=kx+m,

得：卜4=-2k+m,解得:fk=>2

10=-4k+n)Iirf=-8

二直线AB的解析式为y=-2x-2.

•.•直线1与AB平行，且过原点，

二直线1的解析式为y=-2x.

当点P在第二象限时，x<0,如图所示.

SAPOB=—X3X(-2x)=-3x,SAAOB=—X3X3=2,

22

•*.S=SAPOB+SAAOB=-3x+2(x<0).

；3+6亚SW6+2«,

.(S>4+6V^J_4X+8^4+6>/2

AlS<6+8V2,即i-4x+8<6+8V^

解得：上心返gw竺返，

22

Ax的取值范围是上述WxW空返.

22

当点P，在第四象限时，x>0,

过点A作AE，x轴，垂足为点E,过点P作PFLx轴，垂足为点F,则

4+2x1、

S四边形AEOP'=S梯形AEFP'-SAOFP'=—r-•(x+2)--*x*(2x)=3x+3.

22

•**SAABE=-TT^2X3=3,

2

:.S=S四边形AEOP,+SAABE=3X+2(X>0).

•••3+6亚SW6+2«,

.1S>4+6&[4X+8>4+W5

AlS<6+8V2,P14x+8<6+8V2，

解得：逃工&也囱工

22

:.X的取值范围为3五-2WXW48T.

22

综上所述：当3+6JMSW6+2立时，x的取值范围为是上还WxgZZ还或迹工

2222

（II）ac<l,理由如下:

'・•当x=c时，y=0,

/.ac2+bc+c=0,

Vc>l,

/.ac+b+l=O,b=-ac-1.

由x=c时，y=0,可知抛物线与x轴的一个交点为（c,0）.

把x=0代入y=ax2+bx+c,得y=c,

・••抛物线与y轴的交点为（0,c）.

Va>0,

・•・抛物线开口向上.

・・•当OVxVc时，y>0,

...抛物线的对称轴X=-鼠C,

2a

・'・b<-2ac.

Vb=-ac-1,

-ac-1<-2ac,

・・acgL

【题目点拨】

本题主要考查了待定系数法求二次（一次）函数解析式、三角形的面积、梯形的面积、解一元一次不等式组、二次函

数图象上点的坐标特征以及二次函数的性质，解题的关键是：（1）①巧设顶点式，代