专题06一元二次方程根的判别式（3个知识点3种题型1种中考考法）

专题06一元二次方程根的判别式（3个知识点3种题型1种中考考法）【目录】倍速学习四种方法【方法一】脉络梳理法知识点1.一元二次方程根的判别式知识点2.一元二次方程根的判别式的应用知识点3.一元二次方程的根与系数的关系【方法二】实例探索法题型1.不解方程，判别方程根的情况题型2.一元二次方程根的判别式的应用题型3.根与系数关系的应用【方法三】仿真实战法考法1.根的判别式【方法四】成果评定法【倍速学习五种方法】【方法一】脉络梳理法知识点1.一元二次方程根的判别式一元二次方程根的判别式一元二次方程中，叫做一元二次方程的根的判别式，通常用“”来表示，即（1）当△>0时，一元二次方程有2个不相等的实数根；（2）当△=0时，一元二次方程有2个相等的实数根；（3）当△<0时，一元二次方程没有实数根.【例1】（2021·上海市康城学校八年级期末）在下列方程中，有两个不相等实数根的是（）．A． B．C． D．【答案】C【分析】利用一元二次方程根的判别式逐项判断即可．【详解】A.，即，∵，∴原方程无实数根，A不符合题意．B.，∵，∴原方程有一个实数根，B不符合题意．C.∵，∴原方程有两个不相等的实数根，C符合题意．D.∵，∴原方程无实数根，D不符合题意．故选C．【点睛】本题考查判断一元二次方程根的情况，熟练掌握一元二次方程根的判别式来判断一元二次方程根的情况是解答本题的关键．知识点2.一元二次方程根的判别式的应用一元二次方程根的判别式的逆用在方程中，（1）方程有两个不相等的实数根﹥0；（2）方程有两个相等的实数根=0；（3）方程没有实数根﹤0.【例2】（2020·上海松江·八年级期末）如果关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根，那么m的取值范围是___________．【答案】【分析】由题意得：一元二次方程根的判别式的值大于零，列出关于m的不等式，即可求解．【详解】∵关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根，∴，∴，故答案为：．【点睛】本题主要考查一元二次方程根的判别式与根的关系，熟练掌握一元二次方程有两个不相等的实数根，则判别式的值大于零，是解题的关键．【变式】（2020·上海市育才初级中学）关于的方程有两个相等的实数根，则_______．【答案】1【分析】根据方程有两个相等的实数根可得判别式△=0，可得关于k的一元二次方程，解方程求出k值即可得答案．【详解】∵方程有两个相等的实数根，∴，解得：k1=k2=1，故答案为：1．【点睛】此题主要考查了根的判别式，对于一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0），根的判别式△=b24ac，当△＞0时，方程有两个不相等的实数根；当△=0时，方程有两个相等的实数根；当△＜0时，方程无实数根；熟练掌握相关知识是解题关键．知识点3.一元二次方程的根与系数的关系一元二次方程的根与系数的关系如果一元二次方程的两个实数根是，那么，.注意它的使用条件为a≠0，Δ≥0.也就是说，对于任何一个有实数根的一元二次方程，两根之和等于方程的一次项系数除以二次项系数所得的商的相反数；两根之积等于常数项除以二次项系数所得的商.【例3】（2021秋•普陀区校级月考）阅读下列材料：关于x的一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）我们知道当△＝b2﹣4ac≥0时，这个方程的两个实数根可以表示为x1＝，x2＝；此时两根之和为：x1+x2＝，两根之积为：x1•x2＝．这就是一元二次方程的根与系数关系定理：如果一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的两根分别为x1，x2，那么x1+x2＝﹣，x1•x2＝，利用一元二次方程的根与系数关系定理我们不解方程直接求出方程的两根之和与两根之积．例如，已知x1，x2分别为一元二次方程2x2﹣x﹣3＝0的两根，则x1+x2＝﹣，x1x2＝＝＝﹣．回答下列问题：（一）已知x1，x2分别是一元二次方程﹣x2＝x﹣4的两根，则x1+x2＝，x1•x2＝，x12+x22＝，+＝．（二）已知关于x的方程4kx2﹣4kx+k+1＝0的两个实数根分别为x1，x2．（1）若x1，x2满足（2x1﹣x2）（x1﹣2x2）＝1，则k＝；（2）当+﹣2的值为整数时，求整数k的值．【分析】（一）将方程整理成一般式，根据根与系数的关系可得出x1+x2＝﹣、x1•x2＝﹣2，再将x12+x22变形为（x1+x2）2﹣2x1•x2，+变形为，代入数据即可得出结论；（二）（1）根据根与系数的关系得到关于k的方程，解方程即可；（2）利用根与系数的关系得到+﹣2＝﹣，根据+﹣2的值为整数，k＜0，即可求得k的值．【解答】解：（一）﹣x2＝x﹣4，x2+x﹣4＝0，x1+x2＝﹣＝﹣，x1•x2＝﹣＝﹣2，∴x12+x22＝（x1+x2）2﹣2x1x2＝（﹣）2﹣2×＝+4，+＝＝＝；故答案为：﹣，﹣2，+4，；（二）由题意得：x1+x2＝﹣＝1，x1x2＝，Δ＝（﹣4k）2﹣4×4k（k+1）≥0，∴k≤0，∵k≠0，∴k＜0，（1）∵（2x1﹣x2）（x1﹣2x2）＝1，∴2x12﹣4x1x2﹣x1x2+2x22＝1，∴2x12﹣5x1x2+2x22＝1．2（x1+x2）2﹣4x1x2﹣5x1x2＝12×1﹣9×＝1，k＝﹣，故答案为：﹣；（2）∵+﹣2＝＝＝＝﹣，∵+﹣2的值为整数，k＜0，∴k＝﹣2、﹣3、﹣5．∴实数k的值为﹣2或﹣3或﹣5．【点评】本题考查了根与系数的关系，根据根与系数的关系找出x1+x2＝﹣、x1•x2＝是解题的关键．【变式】（2021秋•杨浦区校级期中）已知关于x的方程x2+（2k﹣1）x+k2﹣3＝0，是否存在实数k，使（2x1﹣x2）（2x2﹣x1）+20＝0成立？若存在，请求出实数k的值；若不存在，请说明理由．【分析】先利用根的判别式求出k≤，再利用根与系数的关系得x1+x2＝﹣（2k﹣1），x1x2＝k2﹣3，接着把（2x1﹣x2）（2x2﹣x1）+20＝0变形为9x1x2﹣2（x1+x2）2+20＝0，所以9（k2﹣3）﹣2（2k﹣1）2+20＝0，然后解关于k的方程即可．【解答】解：存在．∵关于x的方程x2+（2k﹣1）x+k2﹣3＝0有实数解，∴Δ＝（2k﹣1）2﹣4（k2﹣3）≥0，解得k≤，根据根与系数的关系得x1+x2＝﹣（2k﹣1），x1x2＝k2﹣3，∵（2x1﹣x2）（2x2﹣x1）+20＝0，∴5x1x2﹣2（x12+x22）+20＝0，∴9x1x2﹣2（x1+x2）2+20＝0，∴9（k2﹣3）﹣2（2k﹣1）2+20＝0，整理得k2+8k﹣9＝0，解得k1＝1，k2＝﹣9，∵k≤，∴当k＝1或﹣9时，（2x1﹣x2）（2x2﹣x1）+20＝0成立．【点评】本题考查了根与系数的关系：若x1，x2是一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的两根，则x1+x2＝﹣，x1x2＝．【方法二】实例探索法题型1.不解方程，判别方程根的情况1．不解方程，判断方程根的情况：（1）4y（4y﹣6）+9=0．（2）2y2+5y+6=0．（3）2x2=3x+1．【答案】（1）方程4y（4y﹣6）+9=0有两个相等的实数根；（2）方程2y2+5y+6=0没有实数根；（3）方程2x2=3x+1有两个不相等的实数根．【分析】先把（1）和（3）整理成一元二次方程的一般形式ax2+bx+c=0（a≠0），然后根据∆=b2﹣4ac求出∆的值，再根据根的判别式与根的关系判断即可.解：（1）16y2﹣24y+9=0，△=b2﹣4ac=（﹣24）2﹣4×16×9=576﹣576=0，∴方程4y（4y﹣6）+9=0有两个相等的实数根．（2）2y2+5y+6=0，△=b2﹣4ac=52﹣4×2×6=25﹣48=﹣23＜0，∴方程2y2+5y+6=0没有实数根．（3）2x2﹣3x﹣1=0，△=b2﹣4ac=（﹣3）2﹣4×2×（﹣1）=17＞0，∴方程2x2=3x+1有两个不相等的实数根．【点拨】本题考查了一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的根的判别式∆=b2﹣4ac∆>0时，一元二次方程有两个不相等的实数根；当∆=0时，一元二次方程有两个相等的实数根；当∆<0时，一元二次方程没有实数根.2.已知关于的方程．不解方程，判断该方程根的情况；【答案】（方程有两个不相等的实数根；【分析】根据一元二次方程根的判别式可直接进行求解；（2）根据一元二次方程根与系数的关系可求解．解：由题意得：∵b24ac=9+4m2＞0，∴方程有两个不相等的实数根；题型2.一元二次方程根的判别式的应用3．（2020·上海外国语大学附属双语学校八年级期中）已知关于x的一元二次方程，（1）求证：无论m为任意实数，方程总有实数根．（2）如果这个方程的根的判别式的值等于1，求方程的解．【答案】（1）证明见解析；（2）【分析】（1）根据一元二次方程的定义，可知：m≠0，然后求出，利用平方的非负性即可证出结论；（2）令=1，列出方程即可求出m的值，然后解一元二次方程即可．【详解】解：（1）根据一元二次方程的定义，可知：m≠0，====∴无论m为任意实数，方程总有实数根；（2）由题意可得=1即=1整理，得∴解得：m1=2，m2=0（不符合题意，舍去）将m=2代入一元二次方程，得解得：．【点睛】此题考查的是判断一元二次方程根的情况和解一元二次方程，掌握根的判别式与根的情况的关系和利用因式分解法解一元二次方程是解题关键．4．（2020·上海金山区·八年级期中）已知关于的方程有两个相等的实数根，求的值及方程的根．【答案】m的值为，方程的根为【分析】首先根据根与系数的关系求出m的值，然后解一元二次方程即可．【详解】∵关于的方程有两个相等的实数根，，．当时，，，，∴m的值为，方程的根为．【点睛】本题主要考查一元二次方程，掌握根与系数的关系是关键．5．（2020·上海闵行区·）已知关于x的一元二次方程（m为常数）．（1）如果方程有两个不相等的实数根，求m的取值范围；（2）如果方程有两个相等的实数根，求m的取值；（3）如果方程没有实数根，求m的取值范围；【答案】（1）且；（2）；（3）．【分析】（1）先根据一元二次方程的定义可得，再根据一元二次方程的根的判别式即可得；（2）先根据一元二次方程的定义可得，再根据一元二次方程的根的判别式即可得；（3）先根据一元二次方程的定义可得，再根据一元二次方程的根的判别式即可得．【详解】方程是关于x的一元二次方程，，解得，（1）如果方程有两个不相等的实数根，则其根的判别式，解得，故此时m的取值范围为且；（2）如果方程有两个相等的实数根，则其根的判别式，解得；（3）如果方程没有实数根，则其根的判别式，解得．【点睛】本题考查了一元二次方程的定义和根的判别式，熟练掌握根的判别式是解题关键．6．（2020·上海市育才初级中学）已知关于的方程，当取何值时，此方程（1）有两个不相等的实数根；（2）没有实数根．【答案】（1）；（2）．【分析】先化方程为一般形式，它是关于x一元二次方程，据一元二次方程判别式和根的情况列出关于k的不等式求解．【详解】方程化为：，．（1）当，时，方程有两个不相等的实数根；（2）当，时，方程没有实数根．【点睛】此题考查一元二次方程的判别式，其关键是撑握判别式与一元二次方程根情况的关系，并据此和题意列出不等式．7．（2020·上海浦东新区·八年级期中）已知a、b、c是等腰△ABC的三边长，其中a＝4，b和c是关于x的方程x2﹣mx+3m＝0的两根，求m的值．【答案】12【分析】分类讨论：当a为底，b，c为腰时，当a为腰时，则b＝4或c＝4两种情况进行求解．【详解】解：等腰△ABC中，当a为底，b，c为腰时，b＝c，若b和c是关于x的方程x2﹣mx+3m＝0的两个实数根，则△＝（﹣m）2﹣12m＝0，解得：m＝0（舍去）或m＝12；当a为腰时，则b＝4或c＝4，若b和c是关于x的方程x2﹣mx+3m＝0的两个实数根，则42﹣4m+3m＝0，解得：m＝16；此时x＝4或12，三角形三边为4，4，12，∵4+4＜12∴不满足三角形三边关系，应舍去，故m的值为12．【点睛】本题考查等腰三角形性质，以及一元二次方程根的情况考查，关键在于掌握分类，以及解一元二次方程．8.已知a、b、c为三角形的三边，求证：方程a2x2(a2+c2b2)x+c2=0没有实数根.【答案】详见解析．【分析】将根的判别式△=(a2+c2b2)24a2c2运用平方差公式和完全平方公式进行变形，再根据三角形任意两边之和大于第三边，两边之差小于第三边，可以得到△＜0.解：∵a，b，c为△ABC的三边长，∴a2≠0．∴△=(a2+c2b2)24a2c2=(a2+c2b2+2ac)(a2+c2b22ac)=[(a+c)2b2][(ac)2b2]，=(a+b+c)(a+cb)(ac+b)(acb)，又∵三角形任意两边之和大于第三边，两边之差小于第三边∴a+b+c>0，a+cb>0，ac+b>0，acb<0，∴(a+b+c)(a+cb)(ac+b)(acb)<0∴△＜0，∴原方程没有实数根．【点拨】本题主要考查平方差公式和完全平方公式以及根的判别式，灵活运用公式是解题关键.9.已知：关于x的方程x2－4mx＋4m2－1＝0.(1)不解方程，判断方程的根的情况；(2)若△ABC为等腰三角形，BC＝5，另外两条边是方程的根，求此三角形的周长【答案】(1)有两个不相等的实数根（2）周长为13或17【分析】（1）根据方程的系数结合根的判别式，可得出△=4＞0，由此可得出：无论m为何值，该方程总有两个不相等的实数根；（2）根据等腰三角形的性质及△＞0，可得出5是方程x2﹣4mx+4m2﹣1=0的根，将x=5代入原方程可求出m值，通过解方程可得出方程的解，在利用三角形的周长公式即可求出结论．解：（1）∵△=（﹣4m）2﹣4（4m2﹣1）=4＞0，∴无论m为何值，该方程总有两个不相等的实数根．（2）∵△＞0，△ABC为等腰三角形，另外两条边是方程的根，∴5是方程x2﹣4mx+4m2﹣1=0的根．将x=5代入原方程，得：25﹣20m+4m2﹣1=0，解得：m1=2，m2=3．当m=2时，原方程为x2﹣8x+15=0，解得：x1=3，x2=5．∵3、5、5能够组成三角形，∴该三角形的周长为3+5+5=13；当m=3时，原方程为x2﹣12x+35=0，解得：x1=5，x2=7．∵5、5、7能够组成三角形，∴该三角形的周长为5+5+7=17．综上所述：此三角形的周长为13或17．【点拨】本题考查了根的判别式、等腰三角形的性质、三角形的三边关系以及解一元二次方程，解题的关键是：（1）牢记“当△＞0时，方程有两个不相等的实数根”；（2）代入x=5求出m值．题型3.根与系数关系的应用10.利用根与系数的关系，求下列方程的两根之和与两根之积．x2＋4x＝0；(2)2x2－3x＝5.【答案】(1)x1＋x2＝－4,x1x2＝0;(2)x1＋x2＝,x1x2＝－【分析】如果方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)有两个实数根x1，x2，那么x1＋x2＝－，x1x2＝.解：(1)x1＋x2＝－4,x1x2＝0;(2)x1＋x2＝,x1x2＝－【点拨】本题考查了根与系数的关系，属于基础题，关键掌握x1，x2是一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的两根时，那么x1＋x2＝－，x1x2＝.11.若一元二次方程的两个实数根分别为，，求的值．【答案】【分析】已知方程有实数根，根据根与系数的关系直接求解即可．解：∵的两个实数根分别为，，∴变形为，∴根据一元二次方程根与系数的关系，得：，∴，故答案为：2．【点拨】此题考查了根与系数的关系，解答此题要熟知一元二次方程根与系数的关系：，．12.关于x的一元二次方程－x＋p－1＝0有两实数根、．（1）求p的取值范围；（2）若p=0，求的值；（3）若[2＋（1－）][2＋（1－）]＝9，求p的值．【答案】（1）；（2）3；（3）4．【分析】（1）一元二次方程有实数根，根据判别式的公式代入即可求p的取值范围；（2）将p=0代入－x＋p－1＝0化简，再根据根与系数的关系得出与之间的关系，进一步可求得的值，代入即可求解；（3）将等式变形，结合四个等式：，，代入求p，结果要根据p的取值范围进行检验．（1）x的一元二次方程－x＋p－1＝0有两实数根即解得：p的取值范围为：；（2）将p=0代入－x＋p－1＝0，即－x－1＝0，（3）由[2＋（1－）][2＋（1－）]＝9，得、为一元二次方程－x＋p－1＝0有两实数根，即或【点拨】本题考查了一元二次方程的根的判别式的运用，根与系数关系的运用以及等式变形的能力．13、已知关于x的一元二次方程．（1）求证：不论m取何值，方程总有两个不相等的实数根；（2）若方程有两个实数根为，，且，求m的值．【答案】（1）见详解；（2）【分析】（1）根据一元二次方程根的判别式可直接进行求解；（2）利用一元二次方程根与系数的关系可直接进行求解．【详解】（1）证明：∵，∴，∴，∵，∴，∴不论m取何值，方程总有两个不相等的实数根；（2）解：∵，∴，∵方程有两个实数根为，，∴，∵，∴，解得：．【点拨】本题主要考查一元二次方程根的判别式及根与系数的关系，熟练掌握一元二次方程根的判别式及根与系数的关系是解题的关键．14.已知关于的一元二次方程.（1）求证：无论取何实数，该方程总有两个不相等的实数根；（2）若方程的一根为3，求另一个根.【答案】（1）见解析；（2）1.【分析】（1）根据方程的系数结合根的判别式即可得出△=m2+12≥12，由此即可得出结论．（2）将x=3代入原方程求出m值，再将m得值代入原方程利用十字相乘法即可求出方程的另一根，或者直接利用两根之积等于3可得．解：（1）∵在方程x2mx3=0中，△=（m）24×1×（3）=m2+12≥12，∴对于任意实数m，方程总有两个不相等的实数根．（2）方法一：将x=3代入x2mx3=0中，得：93m3=0，解得：m=2，当m=2时，原方程为x22x3=（x+1）（x3）=0，解得：x1=1，x2=3，∴方程的另一根为1．方法二：设方程的另一个根为a，则3a=3，解得：a=1，即方程的另一根为1．【点拨】本题考查了根的判别式及根与系数的关系，掌握x1+x2=，x1•x2=与判别式的值与方程的解得个数的关系是解题的关键．15.已知关于x的方程.（1）当该方程的一个根为1时，求a的值及该方程的另一根；（2）求证：不论a取何实数，该方程都有两个不相等的实数根.【答案】（1），；（2）证明见解析.【详解】（1）根据一元二次方程根与系数的关系列方程组求解即可.（2）要证方程都有两个不相等的实数根，只要证明根的判别式大于0即可.试题解析：（1）设方程的另一根为x1，∵该方程的一个根为1，∴.解得.∴a的值为，该方程的另一根为.（2）∵，∴不论a取何实数，该方程都有两个不相等的实数根.考点：1.一元二次方程根与系数的关系；2.一元二次方程根根的判别式；3.配方法的应用.16.已知关于x的方程x2﹣2x+m=0有两个不相等的实数根x1、x2（1）求实数m的取值范围；（2）若x1﹣x2=2，求实数m的值．【答案】（1）m＜1；（2）0.【解析】分析：（1）根据根的判别式得出不等式，求出不等式的解集即可；（2）根据根与系数的关系得出x1+x2=2，和已知组成方程组，求出方程组的解，再根据根与系数的关系求出m即可．解：（1）由题意得：△=（﹣2）2﹣4×1×m=4﹣4m＞0，解得：m＜1，即实数m的取值范围是m＜1；（2）由根与系数的关系得：x1+x2=2，即，解得：x1=2，x2=0，由根与系数的关系得：m=2×0=0．点拨：本题考查了根与系数的关系和根的判别式、一元二次方程的解，能熟记根与系数的关系的内容和根的判别式的内容是解此题的关键．【方法三】仿真实战法考法1.根的判别式1．（2023•上海）已知关于x的一元二次方程ax2+6x+1＝0没有实数根，那么a的取值范围是．【分析】由方程根的情况，根据判别式可得到关于a的不等式，则可求得a的取值范围．【解答】解：∵关于x的一元二次方程ax2+6x+1＝0没有实数根，∴Δ＜0，即62﹣4a＜0，解得：a＞9，故答案为：a＞9．【点评】本题主要考查根的判别式，掌握方程根的情况和根的判别式的关系是解题的关键．2．（2022•上海）已知x2﹣2x+m＝0有两个不相等的实数根，则m的取值范围是．【分析】由根的判别式Δ＞0，即可得出关于m的一元一次不等式组，解之即可得出m的取值范围．【解答】解：∵关于x的方程x2﹣2x+m＝0有两个不相等的实数根，∴Δ＝（﹣2）2﹣4m＞0，解得：m＜3．故答案为：m＜3．【点评】本题考查了一元二次方程根的判别式，根据二次项系数非零及根的判别式Δ＞0，找出关于m的一元一次不等式是解题的关键．3．（2021•上海）若一元二次方程2x2﹣3x+c＝0无实数根，则c的取值范围为．【分析】根据根的判别式的意义得到Δ＝（﹣3）2﹣4×2×c＜0，然后求出c的取值范围．【解答】解：∵一元二次方程2x2﹣3x+c＝0无实数根，Δ＝（﹣3）2﹣4×2×c＜0，解得c＞，∴c的取值范围是c＞．故答案为：c＞．【点评】本题考查了一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的根的判别式Δ＝b2﹣4ac：当Δ＞0，方程有两个不相等的实数根；当Δ＝0，方程有两个相等的实数根；当Δ＜0，方程没有实数根．4．（2020•上海）如果关于x的方程x2﹣4x+m＝0有两个相等的实数根，那么m的值是．【分析】一元二次方程有两个相等的实根，即根的判别式Δ＝b2﹣4ac＝0，即可求m值．【解答】解：依题意，∵方程x2﹣4x+m＝0有两个相等的实数根，∴Δ＝b2﹣4ac＝（﹣4）2﹣4m＝0，解得m＝4，故答案为：4．【点评】此题主要考查的是一元二次方程的根判别式，当Δ＝b2﹣4ac＝0时，方程有两个相等的实根，当Δ＝b2﹣4ac＞0时，方程有两个不相等的实根，当Δ＝b2﹣4ac＜0时，方程无实数根．【方法四】成果评定法一、单选题1．（2022秋·上海奉贤·八年级校考期中）要使方程有实数根，则条件是（）A．， B．，C．，，异号或 D．，【答案】C【分析】根据一元二次方程根的判别式进行求解即可．【详解】解：要使方程有实数根，则，∴，又∵，∴，，异号或，故选：C．【点睛】本题主要考查了根的判别式，熟记判别式中对应方程中的各系数是解题的关键．2．（2022秋·上海静安·八年级新中初级中学校考期末）对于二项方程，当为偶数时，已知方程有两个不相等的实数根，那么下列不等式成立的是（）A． B． C． D．【答案】D【分析】由于方程有两个不相等的实数根，则方程为一元二次方程，利用根的判别式的意义得到，从而可对各选项进行判断．【详解】解：为偶数，方程有两个不相等的实数根，，故选：D【点睛】本题考查了根的判别式：一元二次方程的根与有如下关系：当时，方程有两个不相等的实数根；当时，方程有两个相等的实数根；当时，方程无实数根．3．（2023·上海·八年级假期作业）若关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根，则k的取值范围是（

）A． B．且 C． D．且【答案】B【分析】根据根的判别式及一元二次方程的定义得出关于k的不等式组，即可求出结果．【详解】解：∵关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根，即，解得：且，故选：B．【点睛】本题考查根的判别式，熟练掌握一元二次方程的根和判别式的关系是解题的关键．4．（2021秋·上海·八年级统考期中）下列关于x的一元二次方程中，一定有实数解的是（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】根据一元二次方程根的判别式逐项判断即可．【详解】解：A、，，该方程无实数根；B、，，该方程不一定有实数根；C、，，该方程无实数根；D、，，该方程有实数根．故选：D．【点睛】此题主要考查一元二次方程实数根的情况，正确利用根的判别式进行判断是解题关键．5．（2021秋·上海青浦·八年级校考期末）关于的一元二次方程的根的情况（

）A．有两个实数根 B．有两个不相等的实数根C．没有实数根 D．由的取值确定【答案】B【分析】根据该一元二次方程根的判别式，即可解答．【详解】解：根据题意可得：，∴，∵，∴，∴该方程有两个不相等的实数根，故选：B．【点睛】本题主要考查了已知一元二次方程根的情况求参数的取值范围，解题的关键是熟练掌握当时，方程有两个不相等的实数根；当时，方程有两个相等的实数根；当时，方程没有实数根．6．（2022秋·上海·八年级校考期中）关于x的方程有实数根，则k的取值范围是（

）A． B．且 C． D．且【答案】C【分析】分两种情况：①和②，分别根据一元一次方程、一元二次方程根的判别式求解即可得．【详解】解：①当时，关于的方程为，有实数根，符合题意；②当时，∵关于的方程为有实数根，这个方程的根的判别式，解得；综上，的取值范围是，故选：C．【点睛】本题主要考查了一元二次方程根的判别式，正确分两种情况讨论是解题关键．二、填空题7．（2022秋·上海宝山·八年级校考期中）已知关于的一元二次方程有两个实数根，那么的取值范围是．【答案】且【分析】根据一元二次方程根的判别式：有两个不相等实数根；有两个相等实数根，即可．【详解】∵一元二次方程有两个实数根，∴且，∴，∴，∴，∴且，故答案为：且．【点睛】本题考查了一元二次方程的知识，解题的关键是掌握一元二次方程根的判别式．8．（2022秋·上海青浦·八年级校考期中）若关于的一元二次方程有两个不相等的实数根，则的取值范围为．【答案】【分析】根据题意得到一元二次方程根的判别式，然后解不等式即可．【详解】解：∵一元二次方程两个不相等的实数根，∴，∵，，，∴，解得．故答案为：．【点睛】本题考查了一元二次方程的根的判别式：当，方程有两个不相等的实数根；当，方程有两个相等的实数根；当，方程没有实数根．9．（2022秋·上海普陀·八年级校考期中）已知m是常数，那么关于x的方程根的情况是.【答案】有两个不相等的实数根【分析】利用根的判别式即可判断出根的情况．【详解】解：一元二次方程中，，，，，该方程有两个不相等的实数根．故答案为：有两个不相等的实数根．【点睛】本题考查根的判别式，解题的关键是掌握，以及时一元二次方程有两个不相等的实数根．10．（2021秋·上海虹口·八年级统考期末）若关于的一元二次方程有两个相等的实数根，则．【答案】【分析】根据一元二次方程根的判别式可直接进行求解．【详解】解：∵关于的一元二次方程有两个相等的实数根，∴，解得：；故答案为：．【点睛】本题主要考查一元二次方程根的判别式，熟练掌握一元二次方程根的判别式是解题的关键．11．（2023春·上海·八年级上海民办南模中学校考阶段练习）若一元二次方程有实数根，求的取值范围．【答案】【分析】若一元二次方程有实数根，则根的判别式，建立关于的不等式，求出的取值范围．【详解】解：方程变形可得：，∴，解得：，故答案为：．【点睛】本题考查了根的判别式，总结：一元二次方程根的情况与判别式△的关系：（1）方程有两个不相等的实数根；（2）方程有两个相等的实数根；（3）方程没有实数根．注意方程若为一元二次方程，则．12．（2022秋·上海徐汇·八年级上海市徐汇中学校考期中）如果关于x的一元二次方程没有实数根，那么m的取值范围是．【答案】【分析】根据关于x的一元二次方程没有实数根，得出，从而求出m的取值范围．【详解】解：∵一元二次方程没有实数根，∴，∴，故答案为：．【点睛】本题考查了一元二次方程的根的判别式，关键是掌握：当，方程有两个不相等的实数根；当，方程有两个相等的实数根；当，方程没有实数根．13．（2022秋·上海·八年级校考阶段练习）关于的一元二次方程有两个相等的实数解，则【答案】【分析】根据一元二次方程根的判别式可进行求解．【详解】解：由关于的一元二次方程有两个相等的实数解，可知：，∴；故答案为．【点睛】本题主要考查一元二次方程根的判别式，熟练掌握一元二次方程根的判别式是解题的关键．14．（2022秋·上海·八年级校考阶段练习）已知关于的方程的判别式的值为13，则．【答案】1【分析】根据题意可得，求解即可．【详解】解：根据题意，关于的方程的判别式的值为13，可得，解得．故答案为：1．【点睛】本题主要考查了一元二次方程的根的判别式以及解一元一次方程等知识，理解并掌握一元二次方程的根的判别式是解题关键．15．（2022秋·上海普陀·八年级校考阶段练习）一元二次方程的根的情况是．【答案】有两个不相等的实数根【分析】先化成一般式再求根的判别式的值，然后根据根的判别式的意义判断方程根的情况．【详解】解：∵∴，方程有两个不相等的实数根．故答案为：有两个不相等的实数根．【点睛】本题考查了根的判别式：一元二次方程的根与有如下关系：当时，方程有两个不相等的实数根；当时，方程有两个相等的实数根；当时，方程无实数根．16．（2021秋·上海青浦·八年级校考期末）一元二次方程的根的判别式为．【答案】【分析】将方程的二次项系数，一次项系数，常数项代入进行计算即可．【详解】解：根据题意可得：，故答案为：．【点睛】本题主要考查了求一元二次方程的判别式，解题的关键是掌握一元二次方程根的判别式．17．（2022秋·上海·八年级校考阶段练习）当时，有两个不相等的实数根．【答案】且【分析】一元二次方程：只含有一个未知数，并且未知数项的最高次数是2的整式方程叫做一元二次方程．一元二次方程经过整理都可化成一般形式．当判别式时，一元二次方程有两个不相等的实数根；当时，一元二次方程有两个相等的实数根；当时，一元二次方程没有实数根．首先根据一元二次方程的定义得到，然后根据题意得到判别式，解不等式组即可获得答案．【详解】解：∵关于的方程有两个不相等的实数根，∴，解得，∴且．故答案为：且．【点睛】此题主要考查了一元二次方程的定义和判别式、解不等式组等知识，解题的关键是根据题意列出不等式组并求解．18．（2021秋·上海·八年级期中）已知等腰△ABC的两边是关于x的方程x²3mx+9m=0的两根，第三边的长是4，则m=.【答案】4或【分析】等腰三角形ABC中4可能是底边，也可能是腰，应分两种情况进行讨论，①4是底时，关于x的方程有两个相等的实数根，根据一元二次方程根的情况与判别式的关系，从而求出m,再根据三角形的边不能是零，舍去；②4是腰时，则方程有一个根是4，代入即可求得m的值.【详解】当4是底边时，则关于x的方程有两个相等的实数根，∴，解得，或（舍去）当4是腰时，则方程有一个根是4，把x=4代入方程得，解得：综上所述，m的值为4或故答案为4或【点睛】本题考点涉及等腰三角形的性质、一元二次方程根的判别式以及根与系数的关系，熟练掌握相关知识点是解题关键.三、解答题19．（2022秋·上海静安·八年级校考期中）已知关于的一元二次方程有一个根为，求这个方程的根的判别式的值．【答案】【分析】将代入关于的一元二次方程，可求得的值，进而可得到一元二次方程的解析式．【详解】将代入关于的一元二次方程，得．解得：．所以，关于的一元二次方程为．则方程的根的判别式．【点睛】本题主要考查一元二次方程的根的判别式，牢记一元二次方程根的判别式（）是解题的关键．20．（2022秋·八年级统考期中）若关于的一元二次方程有实数根，求能取的正整数值．【答案】能取的正整数值有【分析】根据一元二次方程根的判别式进行解答即可．【详解】解：∵关于的一元二次方程有实数根，∴，，整理得：，解得：，∵，∴，∴能取的正整数值有．【点睛】本题考查了一元二次方程的定义，一元二次方程根的判别式，熟知关于的一元二次方程：，方程有两个不相等的实数根；，方程有两个相等的实数根；，方程没有实数根；是解本题的关键．21．（2022秋·上海黄浦·八年级上海外国语大学附属大境初级中学校考期中）已知关于的方程和有公共根，求：的值．【答案】的值为【分析】两式相减，然后进行因式分解，分情况讨论求解即可．【详解】解：根据题意，两方程相减，可得化简可得：则或当时，，代入可得判别式，方程无解，与题意不符，舍去；当时，代入可得将代入可得：解得，将代入可得：解得，两个方程公共根，，符合题意；故的值为．【点睛】此题考查了一元二次方程的求解，涉及了因式分解法，解题的关键是理解题意，通过作差得到．22．（2022秋·上海普陀·八年级校考期中）若方程没有实数根，试判断方程根的情况并说明理由．【答案】方程有两个不相等的实数根，理由见解析【分析】由方程没有实数根，可求出，进而可得出方程的根的判别式，然后根据判别式的意义得出结论．【详解】解：方程有两个不相等的实数根，理由：∵方程没有实数根，∴，解得：，∴方程的根的判别式，∴方程有两个不相等的实数根．【点睛】本题考查了根的判别式的意义，牢记“①当时，方程有两个不相等的实数根；②当时，方程有两个相等的实数根；③当时，方程无实数根”是解题的关键．23．（2022秋·上海静安·八年级上海市民办扬波中学校考期中）已知关于的方程，当k是什么实数时，有两个相等的实数根，并且求出这两个根．【答案】；【分析】若方程有两个相等的实数根，则方程的，可据此