生产者理论技术成本与利润

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生产者理论生产者问题vs消费者问题客观vs主观外生的收入vs可变的成本技术技术的表示与性质成本分析生产者问题中的对偶性竞争性企业2技术生产计划：y=(y1,y2

,…,ym)净投入品：yi<0净产出品：yj>0例1：y=(-5,2,-6,3,0)生产可能性集:Y所有技术上可行的生产计划给出了厂商面临的技术可能性的完整描述受限制的（短期）生产可能性集Y(z)投入要求集V(y)等产量曲线：Q(y)一种产出：生产函数f(x)4转换函数(TransformFunction)T(·)T:Rn

R

且当T(y)=0时代表技术上有效的生产计划的集合例子：柯布-道格拉斯技术Y={(y,-x1,-x2)inR3:y≦x1ax21-a}V(y)={(x1,x2)inR+2:y≦x1ax21-a}Q(y2)

Q(y)={(x1,x2)inR+2:y=x1ax21-a}Y(z)={(y,-x1,-x2)inR3:y≦x1ax21-a,x2=z}T(y,x1,x2)=y-x1ax21-af(x1,x2)=

x1ax21-a生产集若干性质性质：正则技术（Y非空、闭集）对所有y≧0，V(y)是一个非空的闭集含义：性质：无免费午餐如果yY,y0;那么一定有y=0

f(0)=0性质：可加性或自由进入y∈Y,y’∈Y则：y+y’∈Y性质：无沉淀成本0∈Y两种技术Y={(1,-1,-2),(1,-2,-1)}V(1)={(1,2),(2,1)}从V(1)到V(2)、V(y)图示性质：单调技术或允许自由处置单调性：若x在V(y)中，且x’>x，则x’也在V(y)中图示：性质：凸技术V(100)？100个(1,2)或(2,1)?V(100)={(100,200),(200,100)}(0.5*100+0.5*200,0.5*200+0.5*100)(0.25*100+0.75*200,0.25*200+0.75*100)(t*100+(1-t)*200,t*200+(1-t)*100)性质：若x，x’

V(y),对于t[0,1]，有tx+(1-t)x’

V(y)，即：V(y)是一个凸集图示隐含的假定：无启动成本凸生产集：凸投入要求集凸投入要求集：拟凹生产函数拟平一条等产量线含义图示9生产函数边际技术替代率替代弹性边际技术替代率变化1%,要素投入比例变化的百分比等产量曲线曲率：10I.11II.CES生产函数：12CES生产函数：完全替代生产函数：C-D生产函数：完全互补生产函数：f(x1,x2)=min{x1,x2}关于“生产集”常见的性质总结性质1：非空性质2：Y是闭集性质3：没有免费午餐如果yY,y0;那么一定有y=0

f(0)=0性质4：可以选择不生产：0

Y（没有sunkcost）性质5：要素的自由处置性质如果y1

Y,y2y1;那么一定有y2

Y性质6：可加性（或自由进入）如果

y1，y2

Y,那么一定有y1+y2

Y;性质7：凸性1314性质：规模报酬性质（总体性质）规模报酬不变表述f(tx)=tf(x),t≧0讨论规模报酬递增f(tx)>tf(x),t>1规模报酬递减f(tx)<tf(x),t>1为何出现？f(z,x)15要素产出弹性其他要素投入量保持不变，要素i增加1%，产出增加的百分比。例：C-D生产函数：16

规模报酬（局部性质）点x上的规模弹性

点x上的规模报酬性质（局部性质）规模报酬不变规模报酬递增规模报酬递减17例：规模弹性生产函数齐次技术与位似技术f(x)t次齐次：t次齐次生产函数的规模报酬性质t次齐次生产函数的边际产出为t-1次齐次技术替代率与规模无关欧拉定理位似函数：f(x)

一次齐次

g(x)=F(f(x))其中：dF/df>0则g(x)

为位似函数性质：技术替代率与规模无关21

成本分析成本最小化问题Minx0w·xSt:f(x)y其中：技术f(x)要素价格w=(w1,…,wn)产量目标y>0条件要素需求函数与成本函数产出的成本弹性22例：CES生产函数

L(x,

)=w·x+(y-f(x))如果x*＝x(w,y)>>0，那么满足必要条件：

L(x*,*)/

x1=0

L(x*,*)/

x2=0

L(x*,*)/

=0

23例：CES生产函数（续）

24成本函数的性质

c(w,0)=0在定义域上连续；对

w>>0

，c(w,y)是y的递增函数，无上界；是w的一次齐次函数是w的递增、凹函数如果f(x)是严格拟凹函数，那么Shephardlemma:当w>>0

时，在(w0,y0)处c(w,y)对w可微，有25例:C-D生产函数成本函数：Shephardlemma:

要素投入比例：要素支出份额：s1=w1x1(w,y)/c(w,y)=

s2=w2x2(w,y)/c(w,y)=

26条件要素需求函数的性质x(w,y)是w的0次齐次函数替代矩阵是对称、半负定矩阵27短期成本函数记生产函数为f(z)，其中z=(x,)，假设x是可变要素投入向量，为固定要素投入向量；(w,)分别为可变要素和固定要素的价格向量，定义短期成本函数为：如果最优解为：，那么，有

总可变成本:总固定成本:短期成本函数其中y=f(z)，z=(x,)，x是可变要素投入向量，价格向量为w为固定要素投入向量，价格向量为最优解为：

28长期成本函数c(w,,y)最优解：最优固定要素规模所以，

2930

证明：一阶条件方法：是最优解，所以有

=031证明:(包络定理方法)

因为32竞争性企业竞争性市场企业是要素价格和产品价格接受者企业的需求与供给行为不会影响市场价格所以，对企业而言，价格是外生给定的参数企业目标利润：p·y–w·x33利润最大化问题I

f(x)严格递增

s.t:f(x)=y

假设存在内点解x*0，那么满足一阶条件：

利润最大化要素投入，一定满足成本最小化[成本最小化一阶条件]34利润最大化问题II求解利润最大化的另一种思路Step1:计算生产每一产量的最小化成本：

c(wy)=minxw·xs.t:f(x)=y一阶条件：Step2:选择利润最大化产量y

maxy

p·y－c(wy)一阶条件：二阶条件：35方法I和II的等价性证明：成本最小化问题

一阶条件：包络定理：利润最大化II一阶条件：最优解必要条件：36最优解的存在条件如果f(x)具有规模报酬递增性质假设存在x*=x(p,w),规模报酬递增：f(tx)>t

f(x)

t>1

p·f(tx*)–w·tx*>t·p

f(x)–w·tx*>p·f(x)–w·x*与x*是最优解矛盾如果f(x)具有规模报酬不变p·f(tx*)–w·tx*＝t·p

f(x)–w·tx*＝t(p·f(x)–w·x*)当f(x)具有规模报酬非递增性时存在最优解当f(x)具有规模报酬递减时利润函数具有良好定义37利润最大化解的存在性PMP:Maxx0

p·f(x)–w·x一阶条件：p·f1(x*)=wii=1,…,n二阶条件：f(x)是凹函数38利润最大化问题II最优解的一阶和二阶条件c(w,y)yymc(w,y)y1y239利润函数定义:如果利润最大化问题存在最优解，那么定义改问题的值函数为利润函数定义：需求函数x*＝x(p,w)产品供给函数：y*=y(p,w)=f(x(p,w))40定理如果f(·)满足假设3.1，那么对于

p0,w0，具有良好定义的利润函数

(p,w)具有以下性质：是产品价格p的递增函数是要素价格w的递减函数是p的一次齐次函数是(p,w)的凸函数HotellingLemma:在(p,w)>>0

处可微，而且有41定理之证明(p,w)是(p,w)的凸函数令x1=x(p1

,w1),x2=x(p2

,w2),y1=f(x1),y2=f(x2),令pt=tp1+(1-t),wt=tw1+(1-t)

w1),0<t<1,xt=x(pt

,wt),yt=f(xt),由利润函数定义，得到：

(p1,w1)＝p1·y1-w1·x1

p1·f(x)-w1·x

(p2,w2)＝p2·y2–w2·x2

p1·f(x)-w1·x

(p1,w1)＝p1·y1-w1·x1

p1·f(xt)-w1·xt

(p2,w2)＝p2·y2–w2·x2

p2·f(xt)-w2·xt

t(p1,w1)+(1-t)(p2,w2)[tp1+(1-t)p2]·f(xt)-[tw1+(1-t)w2]·xt

t(p1,w1)

+(1-t)(p2,w2)(pt,wt)42定理：供给函数与要素需求函数的性质如果利润函数

(p,w)是良好定义的二次可微连续函数，那么

p>0,w

0

，有1、0次齐次性：y(tp,tw)=y(p,w)

t>0x(tp,tw)=