湖北省孝感市安陆市2023-2024学年八年级下学期期中数学试题（含答案解析）

湖北省孝感市安陆市2023-2024学年八年级下学期期中数学试

题

学校:姓名：班级：考号：

一、单选题

1.已知二次根式Jx+1，当x=3时，此二次根式的值为（）

A.2B.±2C.4D.±4

2.平面直角坐标系中有两点/（-2,0）和8（0,4）,则这两点之间的距离为（）

A.75B.V10C.275D.6

3.下列几组数：①9,12,15；②8,15,17；③7,24,25；2〃，/十］是大

于1的整数），其中是勾股数的有（）

A.1组B.2组C.3组D.4组

4.已知〃是正整数，质是整数，则〃的最小值为（）

A.2B.3C.4D.5

5.如图，在平行四边形48co中，相交于点。且。AC=1Q,BD=6,

则8c的长为（）

A.4B.5C.6D.8

6.直角三角形的两条直角边的长分别为5,12,则斜边上的高线的长为（）

801360

A.—cmB.13cmC.—cmD.—cm

13213

7.《九章算术》中的“折竹抵地”问题：今有竹高一丈，末折抵地，去根六尺.问折高者几何？

意思是：一根竹子，原高一丈（一丈=10尺），一阵风将竹子折断，其竹稍恰好抵地，抵地

处离竹子底部6尺远，问折断处离地面的高度是多少？设折断处离地面的高度为x尺，则可

列方程为（）

A.X2-6=（10-X）2B./-6?=（10-C.x2+6=（10-x）2

试卷第1页，共6页

D.x2+62=(10-x)2

8.如图，中,M是8c的中点，AD平分NBAC,8。_L40于点。，若NC=9,DM=2,

则48等于（）

C.6D.8

9.左,“〃为三个整数，若=V450=15Vm,V180=6VM,则下列有关于太犯〃

的大小关系，正确的是（）.

A.k<m=nB.m=n<kC.m<n<kD.m<k<n

10.如图，菱形ABC。的边长为2,点P是对角线/C上的一个动点，点E、尸分别为边工。、

DC的中点，则尸£+尸尸的最小值是（）

A.2B.V3C.1.5D.75

二、填空题

11.若式子年在实数范围内有意义，则x的取值范围是.

12.用一个x的值来说明"J7=x”是错误的，则x的值可以是.

13.如图，0ABeD的周长是24cm,对角线相交于点。，且EO_L8。，则的周长

为.

14.如图，所有阴影部分四边形都是正方形，所有三角形都是直角三角形，若正方形瓦C、

。的面积依次为8、6、18,则正方形/的面积为.

试卷第2页，共6页

15.如图，在正方形中，£、尸分别是/A8C的中点，CE,DF交于点G,连接/G,

下列结论：①CE=DF；②CE1DF；③ZAGE=NCDF；@ZEAG=30°.其中正确的结

论是.

三、解答题

16.计算：

(1)748+V3—xV12+|1—V6|

⑵(2石+1>一(亚+1)(V2-1)

17.如图，在Y/BCD中，点£,尸分别在3C,4D上，BE=DF,AC=EF.求证：四

边形NEC厂是矩形.

18.如图，一个长方形被分割成四部分.其中图形①、②、③都是正方形.且正方形①、③

的面积分别为24和3.

⑴求图②的边长

(2)求图中阴影部分的面积.

19.如图1,在Y/BCD中，AC,8D相交于点O,过点。的直线交4D于点E,交BC于

试卷第3页，共6页

点下.

(1)直线所是否将Y/BCD分成面积相等的两部分？试说明理由.

(2)张大爷家有一块平行四边形菜园，园中有一口水井P,如图2,张大爷计划把菜园平均分

成面积相等的两块，分别种植西红柿和茄子，且使两块地共用这口水井，请你帮助张大爷把

地分开.(用直尺在答题卡中画图，保留画图痕迹)

20.勾股定理是一个基本的几何定理，早在我国西汉时期算书《周髀算经》就有“勾三股四

弦五”的记载.如果一个直角三角形三边长都是正整数，这样的直角三角形叫“整数直角三角

形”，这三个整数叫做一组“勾股数”.值得自豪的是，世界上第一次给出的勾股数公式，收

集在我国的《九章算术》中.

【探究1】

观察3,4,5；5,12,13；7,24,25；……，可以发现这些勾股数的勾都是奇数，且从3

起就没有间断过，并且勾为3时股4=3x(9-l),弦5=3x(9+l)；勾为5时股12=；X(25-1),

弦13=gx(25+l)；

请仿照上面两组样例，用发现的规律填空：

(1)如果勾为7,则股24=；弦25=.

(2)如果用〃23,且〃为奇数)表示勾,请用含有n的式子表示股和弦,则股=,

弦=；

【探究2】

观察4,3,5；6,8,10；8,15,17；a,b,82；……，可以发现各组的第一个数都

是偶数，且从4起也没有间断过.

(1)a=；b=；

(2)如果用2"，(机为正整数且加上2)表示勾，请用含有机的式子表示股和弦，则股

=,弦=;

21.如图，AABC中，AB=AC,D,E分别在8C,NC上，将ACDE沿。£折叠，使点C落

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在边43上的点尸处，且FDLBC,折痕为DE.

⑴求NN尸£的度数；

(2)若/尸=4,8尸=6,求的长.

22.阅读下列解题过程：

1石_"4^二追一"32

V5+V4-(V5+A/4)(V5-A/4)

—!—=__8M_____=-=V6-V5

V6+V5(V6+V5XV6-V5)6-5"”

(1)观察上面的解题过程，请直接写出/A,的结果是__________;

7n+y/n-l

⑵利用上面所提出的解法化简：廿五+石片+茬%+…+£而

23.我们给出如下定义：若一个四边形中存在相邻两边的平方和等于一条对角线的平方，则

称这个四边形为勾股四边形，这两条相邻的边称为这个四边形的勾股边.

(1)你所知道的特殊四边形中，是勾股四边形有(一个即可)

(2)如图(1),4(3,0),8(0,4)请你在图中画出以格点为顶点，OA,03为勾股边，且对角线

相等的所有勾股四边形。4儿B.

(3)如图(2),△48。是正三角形，ZCBE=60°,S.BE=BC,ADCB=3(P.求证：

DC2+BC2=AC2,即四边形48CD是勾股四边形.

24.如图1,“BC中，NBNC=90。,48=/C,JD,E是直线JBC上两动点，且NJD/E=45。.探

究线段B。、DE、EC三条线段之间的数量关系：小明的思路是：如图2,将△4BD沿4D

折叠，得△/。9，连接小，看能否将三条线段转化到一个三角形中，…请你参照小明的思

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路，探究并解决下列问题:

(1)猜想8。、DE、EC三条线段之间的数量关系，并证明；

(2)如图3,当动点E在线段8C上，动点。运动在线段C2延长线上时，其它条件不变，(1)

中探究的结论是否发生改变？请说明你的猜想并给予证明.

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参考答案:

1.A

【分析】把x=3代入进行计算即可.

【详解】解：当x=3时，而1=5二=2,

故选A.

【点睛】本题考查的是二次根式的值，熟练代入并求值是解本题的关键.

2.C

【分析】由题意得：44。2=90。，根据已知可得。/=2,。2=4,然后利用勾股定理进行计

算，即可解答；本题考查了勾股定理，熟练掌握勾股定理的定义是解题的关键.

【详解】由题意得：AAOB=90°

丁点”（一2,0）和8（0,4）

OA=2,08=4

AB=yj0A2+OB2=A/22+42=而=2后

这两点之间的距离为

故选：C.

3.D

【分析】根据两个数的平方和等于第三个数的平方，依次计算即可，

本题主要考查的是勾股定理的问题，解题的关键是正确理解勾股数即两个数的平方和等于第

三个数的平方.

【详解】解:①•.•9?+122=152,

,9,12,15是勾股数,

②82+152=172,

，8,15,17是勾股数

@-.-72+242=25?i,

7,24,25是勾股数，

④•••（后一）+（2"1=+1）二

An2-l,2n,n2+l是勾股数

综上所述，①②③④都是勾股数，共4组，

答案第1页，共16页

故选：D.

4.B

【分析】本题考查了二次根式的性质和定义，先分解质因式，再根据二次根式的性质判断即

可.

【详解】解：；48=16x3,

又：〃是正整数，质是整数，

.••符合〃的最小值是3,

故选：B.

5.A

【分析】本题考查了平行四边形的性质、勾股定理；熟练掌握平行四边形的性质是解题的关

键.

由平行四边形的性质得出AD=8C,OA=-AC=5,OD=-BD=3,由勾股定理得出/。的

22

长即可.

【详解】解：；四边形48CD是平行四边形，AC=10,BD=6,

AD=BC,0A=-AC=5,OD=-BD=3,

22

VDBLAD,

AADB=90°,

AD=ylo^-OD2=4，

：.BC=4

故选：A.

6.D

【分析】先利用勾股定理求出斜边长，再利用面积法求出斜边上的高即可.

【详解】,直角三角形的两条直角边的长分别为5,12,

斜边为752+122=13.

设h为斜边上的高.

SAABC=yx5><12=yxl3h,

答案第2页，共16页

故选D.

【点睛】此题考查了勾股定理，以及三角形面积公式，熟练掌握勾股定理是解本题的关键.

7.D

【分析】本题考查了勾股定理的应用，正确画出图形，熟练掌握勾股定理的内容是解题的关

键.

【详解】根据题意画出图形，设折断处离地面的高度为x尺，则N3=10-x,BC=6,

在Rt“8c中，AC2+BC2=AB2,

即x2+62=(10-x)2.

8.C

【分析】此题考查了全等三角形的判定与性质，三角形中位线的性质，解题的关键是熟练掌

握相关基础性质.延长8。交/C于点E,由题意可得，。为BE的中点，从而得到。M为

△3CE的中位线，即CE=2DM=4,从而得到/8=NE=6.

【详解】解:延长AD交/C于点E,如下图：

AADE=AADB=90°

又：/。平分/A4C,

ABAD=/EAD

又：AD=AD

:△ABD知AED(ASA)

：.BD=DE,AB=AE

即。为BE的中点，

答案第3页，共16页

又是8C的中点，

DM为ABCE的中位线，

CE=2DM=4

，AB=AE=AC-CE=6

故选：C.

9.D

【分析】根据二次根式的化简方法，逐个化简可求出后，m,n,再进行比较.

【详解】因为而？=3而，仄5=15亚,7180=675,

所以k=3,m=2,n=5,

所以m<k<n,

故选D.

【点睛】本题考查二次根式的化简，解题关键点是掌握二次根式的化简方法.

10.A

【分析】取N8中点G点,根据菱形的性质可知E点、、G点关于对角线NC对称，即有PE=PG,

则当G、P、尸三点共线时，PE+PF=PG+PF最小,再证明四边形NGFD是平行四边形，即

可求得/G=ND

【详解】解：取48中点G点，连接PG,如图，

•.•四边形/BCD是菱形，且边长为2,

：.AD=DC=AB=BC=2,

,；E点、G点分别为48的中点，

根据菱形的性质可知点E、点G关于对角线/C轴对称，

：.PE=PG,

：.PE+PF=PG+PF,

即可知当G、尸、尸三点共线时，PE+PF=PG+PF最小,且为线段尸G,

如下图，G、P、下三点共线，连接下G,

答案第4页，共16页

D

C

A2GB

・・•产点是QC中点，G点为45中点，

：.DF^-DC=-AB=AG,

22

在菱形ABCD中，DC//AB,

/.DF//AG,

四边形/GFD是平行四边形，

：.FG=AD=2,

故尸E+尸尸的最小值为2,

故选：A.

【点睛】本题考查了菱形的性质、轴对称的性质、平行四边形的判定与性质等知识，找至UE

点关于NC的对称点是解答本题的关键.

11.x<2

【分析】根据二次根式的被开方数是非负数求解即可.

【详解】解：•••式子R在实数范围内有意义，

A2-x>0,解得x42,

故答案为：x<2.

【点睛】本题考查二次根式有意义的条件、解一元一次不等式，熟知二次根式的被开方数是

非负数是解答的关键.

12.-2（答案不唯一，只要负数即可）

【分析】本题考查二次根式的性质，根据病=时求解即可得到答案；

【详解】解：”是错误的，

x<0,

故答案为：-2（答案不唯一，只要负数即可）.

13.12CTM/12厘米

【分析】本题主要考查平行四边形的性质及线段垂直平分线的性质，熟练掌握平行四边形的

性质及线段垂直平分线的性质是解题的关键.利用线段垂直平分线的性质即可得BE,

答案第5页，共16页

进而可得的周长=AB+4E+BE=AB+AD.

【详解】解：在Y48CD中，

,■1AC,30相交于点O,

,。为8。的中点，

V0E1BD,

:.OE是BD的垂直平分线，

BE=DE,

VYABCD的周长是24cm,

AB+AD=12cm,

:.AABE的周长=/B+NE+5E=/8+AD=；x24=12(cm),

故答案为：12cm.

14.4

【分析】本题考查了勾股定理，要熟悉勾股定理的几何意义，知道直角三角形两直角边的平

方和等于斜边的平方.

根据勾股定理、正方形的面积公式计算即可.

【详解】解：由勾股定理，得正方形E的面积=正方形3的面积+正方形/的面积，得正方

形E的面积=正方形D的面积-正方形C的面积，

则正方形/的面积=18-6-8=4,

故答案为：4.

15.①②③

【分析】证明ACBEADCF(S对，根据全等三角形的性质得到ZECB=ZCDF,CE=DF,

故①正确；求得NCGD=90。，根据垂直的定义得到CELD尸，故②正确；延长CE交。/的

延长线于H,根据线段中点的定义得到/£=BE,根据全等三角形的性质得到BC=AH=AD,

由NG是斜边的中线，得到==求得//。6=//6。，根据余角的性质得到

2

/AGE=ZCDF,故③正确；假设ZEAG=30°，根据/AGE=ZCDF,可得ZAGE=ZECB,

答案第6页，共16页

结合ZEAG+/EGA=ZCEB,ZCEB+ZECB=90°,可得300+2/EC8=90°,即有

NECB=3Q°,进而可得=则有£C=8C,显然ECWBC,即假设不成立，即可

2

判断④错误.

【详解】解：••・四边形/BCD是正方形，

AB=BC=CD=AD,ZB=ZBCD=90°,

E,尸分别是48,3c的中点，

BE=-AB,CF=-BC,

22

BE=CF,

在△CBE与ADCF中，

BC=CD

<NB=ZDCF,

BE=CF

:.ACBE知DCF(SAS),

ZCGD=90°,

CE±DF,故②正确；

ZEGD=90°,

如图，延长CE交ZM的延长线于X,

AAHE=ZBCE,

答案第7页，共16页

,点E是4B的中点，

•*-AE=BE,

•••/AHE=/BCE,ZAEH=/CEB,AE=BE,

修△BEC(AAS),

BC=AH=AD,

/EGD=90°,

「•/G是RtVHG。斜边的中线，

/.AG=-DH=AD,

2

ZADG=ZAGD,

•・•/AGE+ZAGD=90°,ZCDF+ZADG=90°,

AZAGE=ZCDF.故③正确；

根据△C5£Z5CF(SAS)可得/BCE=ZCDF,

若NE4G=30。成立，

•••AAGE=/CDF,

/./AGE=ZECB,

NEAG+/EGA=ZCEB,NCEB+NECB=90°,

/.300+2ZECB=90°,

ZECB=30°,

.,.在中，有BE=LEC,

2

vBE=-AB=BC,

2

EC=BC>

显然EC/5C,

假设不成立，

AZEAG30°,故④错误，

故答案为：①②③.

【点睛】此题考查了正方形的性质，全等三角形的判定与性质，等腰三角形的性质，含30

度角的直角三角形的性质等，综合性很强，难度较大，解题的关键是能够综合运用上述知识.

16.(1)56-1

答案第8页，共16页

⑵12+46

【分析】(1)根据二次根式的性质化简各数，根据二次根式的乘法计算，化简绝对值，进而

即可求解；

(2)根据完全平方公式与平方差公式化简，即可求解.

【详解】(1)解：原式=46+&-茅+直-1

=5岳1；

(2)解：原式=12+4用1-2+1

=12+45

【点睛】本题考查了二次根式的混合运算，乘法公式，正确的计算是解题的关键.

17.见详解

【分析】先证四边形NEC厂是平行四边形，再由对角线相等的平行四边形是矩形，即可得出

结论.

【详解】证明：•.•四边形是平行四边形，

AD=BC,AD〃BC,

'：BE=DF,

：.AD-DF=BC-BE,

即AF=EC,

，四边形NECF是平行四边形，

AC=EF,

平行四边形/ECF是矩形.

【点睛】本题考查了矩形的判定、平行四边形的性质、熟练掌握矩形的判定是解题的关键.

18.(1)276-73

(2)672-6

【分析】本题考查了算术平方根，利用开方得出正方形①、正方形③的边长，利用线段的和

差得出阴影的长、阴影的宽是解题关键.

(1)根据算术平方根的性质，计算得正方形①和③的边长，从而得图②的边长；

答案第9页，共16页

(2)结合(1)得阴影部分的长和宽，再根据二次根式混合运算的性质计算，即可得到答案.

【详解】(1)解：正方形①的边长是值=2新，

正方形③的边长是G，

正方形②的边长是26-石，

(2)阴影的宽是g,阴影的长是2&-G-百=2&-2百，

则图中阴影部分的面积是：(2V6-2V3)xV3=672-6.

19.(1)直线E尸能将Y/BCD的面积二等分，理由见详解；

(2)见详解

【分析】本题考查作图一应用与设计作图、全等三角形的判定与性质、平行四边形的判定与

性质，熟练掌握全等三角形的判定与性质、平行四边形的判定与性质是解答本题的关键.

(1)根据平行四边形的性质以及全等三角形的判定分别证明△/如丝△CW,

△BOF=/\DOE,/\AOE=/\COF,进而可得工/缈=$△«»»S*BOF=S“DOE，^^AOE=^cor，

则可得S»WE=S四边彩8班，即直线E尸将Y28。的面积二等分.

(2)根据平行四边形的性质，连接ZC,BD,相交于点。，作直线OP,则沿着直线OP分

割即可.

【详解】(1)解：直线E/将Y/BCD的面积二等分.

理由：；四边形4BCD为平行四边形，

.­.AB=CD,AO=CO,BO=DO,AD〃BC,

■：ZCOD=NAOB,

0△COD(SAS),

•V-V

..Q"OB-2&COD.

•・•AD\\BC,

：.ZOBF=ZODE,ZBFO=ZDEO,

.•.△5。尸gADOE(AAS),

•Q=Q

…"ABOF-QGOE•

同理证明AAOE^ACOF(AAS),

答案第10页，共16页

•Q—V

-2"0E-Q4cOF・

■,S/UOE+SfoB+S&BOF=S4C0F+SZCOD+SATCR,

即S四边物BFE=$四边形CDEF<

.,・直线E/将Y48CD的面积二等分.

(2)解：如图2,连接NC,BD,相交于点。，作直线。尸,

则沿着直线0P分割即可.

20.探究1(1)—(49—1)；—(49+1),(2)5(〃~—1)；—+1),探究2(1)18,,80(2)

m2—1;m2+1-

【分析】此题主要考查勾股定理的证明，注意由具体例子观察发现规律，证明的时候熟练运

用完全平方公式.

(1)根据所提供的例子发现股是勾的平方减去1的二分之一，弦是勾的平方加1的二分之

(2)股是勾的平方减去4的四分之一，弦是勾的平方加4的四分之一支

(3)根据题意，得另一条直角边是一条直角边的二分之一的平方减去1,弦是一条直角边

的二分之一的平方加上1.

【详解】解：探究1：(1),••勾为3时，股4=；x(9-l),弦5=gx(9+l)；勾为5时，股

12=1x(25-l),弦12=gx(25+l)；

勾为7,股24的算式为g(49T),弦25的算式为g(49+l)；

故答案为<(49-1)；g(49+l)；

(2)由题意，得股的算式为:(r-1)；弦的算式为g(r+i)

故答案为:(“2-1)；

探究2：(1)V4,3,5；6,8,10；8,15,17；…，a,b,82；........,

A10,24,26

12,35,37,

答案第11页，共16页

14,48,50,

16,63,65,

18,80,82

I.Q=18,6=80

(2)由题意，得另一条直角边的代数式为疗-1；

弦长的代数式为苏+1

故答案为加2一1；+1.

21.(1)90°

【分析】(1)由=折叠等腰三角形纸片使点。落在边上的点尸处，可

得NB=NEFD,即得b二日/在，而FD上BC,故NZF£=90。；

(2)根据4尸=4,BF=6,^AB=AF+BF=10=AC，设4E=x，贝！JC£=10—1,在RS4FF

中，可列方程42+(10-4=/，即可解得/£=工2_9.

【详解】(1)尚轧・.・AB=AC

/B=/C,

折叠等腰三角形纸片ABC,使点。落在边上的点尸处，

ZEFD=ZC,

/.ZB=ZEFD,

.-.180°一=180。一ZEFD,即ZBDF+ZBFD=ZAFE+/BFD,

/.NBDF=ZAFE,

•:FD1BC,

:.ZBDF=90°,

ZAFE=90。；

(2)vAF=4,BF=6,

AB=AF+BF=10=AC,

^AE=x,贝"=10-x,

••・折叠等腰三角形纸片ABC,使点。落在边45上的点尸处，

：.EF=CE=\0-x,

答案第12页，共16页

在RtA/FE中，AF2+EF2=AE2>

.-.42+(10-X)2=X2,

解得x=g,

29

AE=—.

5

【点睛】本题考查等腰三角形中的折叠问题，涉及勾股定理、三角形内角和等知识，解题的

关键是掌握折叠的性质，熟练应用勾股定理列方程解决问题.

22.(1)-y/n—1

⑵病-1

【分析】(1)根据示例即可求解，

(2)利用(1)中所得结论即可求解，

本题考查利用平方差公式将分母有理化，解题的关键是：熟练掌握利用平方差公式将分母有

理化.

1y1~n—y/n—1yIn—yjn—1r~i-----

【详解】(1)解：〃+G=(〃+G)(G「厂网一尸f"J

故答案为：G-y/n-1，

左1111

(2)解：=+匹正+耳二『+…+薪而

-V2-1+V3-V2+...+V50-V49

=750-1,

故答案为：V50-1.

23.(1)正方形(答案不唯一)

(2)见解析

(3)见解析

【分析】(1)正方形相邻两边的平方和等于一条对角线的平方，即可求解，

(2)根据勾股定理计算出对角线的长度，得到=5,再根据情况画出。4儿归即可；

(3)如图②，连接EC,由A/8C刍。BE可得NC=Z)E,BC=BE,因为NC3£=60。，所

答案第13页，共16页

以EC=BC,/BCE=60。又因为/DCS=30。，所以/DCE=90。，由勾股定理可得

DC2+EC2=DE2，所以。。2+BC?=/