专题3-1 立体几何初步10类题型汇编（原卷版）

专题3-1立体几何初步10类题型汇编TOC\o"1-3"\n\h\z\u知识点梳理题型一基本几何体：棱锥题型二基本几何体：圆锥题型三基本图形：棱台与圆台题型四组合体的体积与表面积题型五换底法求三棱锥体积题型六等体积法求点到平面的距离题型七球的体积与表面积题型八球的截面问题题型九斜二测画法题型十线段和最小值问题：平面的拼接知识点梳理一、体积与表面积公式名称柱体(棱柱和圆柱)锥体(棱锥和圆锥)台体(棱台和圆台)球体积表面积二、特殊的棱柱和棱锥（1）侧棱垂直于底面的棱柱叫做直棱柱，底面是正多边形的直棱柱叫做正棱柱．反之，正棱柱的底面是正多边形，侧棱垂直于底面，侧面是矩形．（2）底面是正多边形，顶点在底面的射影是底面正多边形的中心的棱锥叫做正棱锥．特别地，各棱长均相等的正三棱锥叫做正四面体．反过来，正棱锥的底面是正多边形，且顶点在底面的射影是底面正多边形的中心．（1）棱柱的所有侧面都是平行四边形，但侧面都是平行四边形的几何体却不一定是棱柱．（2）棱台的所有侧面都是梯形，但侧面都是梯形的几何体却不一定是棱台．（3）注意棱台的所有侧棱相交于一点．三、旋转体名称圆柱圆锥圆台球图形旋转图形矩形直角三角形直角梯形半圆形旋转轴任一边所在的直线任一直角边所在的直线垂直于底边的腰所在的直线直径所在的直线母线互相平行且相等，垂直于底面相交于一点延长线交于一点轴截面全等的矩形全等的等腰三角形全等的等腰梯形圆侧面展开图矩形扇形扇环四、空间几何体的直观图（1）画法：常用斜二测画法．（2）规则：①原图形中x轴、y轴、z轴两两垂直，直观图中，x′轴、y′轴的夹角为45°(或135°)，z′轴与x′轴和y′轴所在平面垂直．②原图形中平行于坐标轴的线段，直观图中仍平行于坐标轴；平行于x轴和z轴的线段在直观图中保持原长度不变；平行于y轴的线段长度在直观图中变为原来的一半．（3）直观图与原图形面积的关系按照斜二测画法得到的平面图形的直观图与原图形面积的关系：S直观图＝eq\f(\r(2),4)S原图形；S原图形＝2eq\r(2)S直观图．五、求空间几何体表面积的常见类型及思路1、求多面体的表面积：只需将它们沿着棱“剪开”展成平面图形，利用求平面图形面积的方法求多面体的表面积；2、求旋转体的表面积：可以从旋转体的形成过程及其几何特征入手，将其展开后求表面积，但要搞清它们的底面半径、母线长与对应侧面展开图中的边长关系3、求不规则几何体的表面积：通常将所给几何体分割成基本的柱体、锥体、台体，先求出这些基本的柱体、锥体、台体的表面积，再通过求和或作差，求出所给几何体的表面积；【注意】在求解组合题的表面积时，注意几何体表面的构成，尤其是重合部分，面积不要多加或少加六、求空间几何体的体积1、处理空间几何体体积的基本思路（1）转：转换底面与高，将原本不容易求面积的底面转换为容易求面积的底面，或将原来不容易看出的高转换为容易看出并容易求解的高；（2）拆：将一个不规则的几何体拆成几个规则的几何体，便于计算；（3）拼：将小几何体嵌入一个大几何体中，如有时将一个三棱锥复原成一个三棱柱，将一个三棱柱复原乘一个四棱柱，还台位锥，这些都是拼补的方法。2、求体积的常用方法（1）直接法：对于规则的几何体，利用相关公式直接计算；（2）割补法：把不规则的几何体分割成规则的几何体，然后进行体积计算；或者把不规则的几何体补成规则的几何体，不熟悉的几何体补成熟悉的几何体，便于计算；（3）等体积法：选择合适的底面来求几何体的体积，常用于求三棱锥的体积，即利用三棱锥的任一个面作为三棱锥的底面进行等体积变换题型一基本几何体：棱锥【例题讲解】埃及胡夫金字塔是古代世界建筑奇迹之一，它的形状可视为一个正四棱锥，以该四棱锥的高为边长的正方形面积等于该四棱锥一个侧面三角形的面积，则其侧面三角形底边上的高与底面正方形的边长的比值为A． B． C． D．如图，正四棱锥的底面边长为4，顶点S到底面中心O的距离为4，求它的表面积．

【巩固练习】端午节吃粽子是中华民族的传统习俗.地区不同，制作的粽子形状也不同，黔西南州最出名的就是鲜肉的灰色粽子，其形状接近于正三棱锥（如图）.若正三棱锥的底面边长为2，高为1，则该三棱锥的侧面积为（

）

A． B． C． D．由华裔建筑师贝聿铭设计的巴黎卢浮宫金字塔的形状可视为一个正四棱锥，其侧面三角形底边上的高与底面正方形边长的比值为，则以该四棱锥的高为边长的正方形面积与该四棱锥的侧面积之比为.埃及胡夫金字塔是古代世界建筑奇迹之一，它的形状可视为一个正四棱锥，以该四棱锥的高为边长的正方形面积等于该四棱锥侧面积的一半，那么其侧面三角形底边上的高与底面正方形的边长的比值为（

）A． B． C． D．（多选）中和殿是故宫外朝三大殿之一.位于紫禁城太和殿与保和殿之间，中和殿建筑的亮点是屋顶为单檐四角攒尖顶，体现天圆地方的理念，其屋顶部分的轮廓可近似看作一个正四棱锥.已知此正四棱锥的侧棱长为，侧面与底面所成的角为，这个角接近30°.若取，则下列结论不正确的是（

）A．正四棱锥的底面边长为24m B．正四棱锥的高为C．正四棱锥的体积为 D．正四棱锥的侧面积为题型二基本几何体：圆锥【例题讲解】已知圆锥的侧面展开图为一个半圆，则该圆锥的母线长与底面半径的比为A．2 B． C．4 D．若一个圆锥的轴截面是一个腰长为，底边上的高为1的等腰三角形，则该圆锥的侧面积为（

）A． B．C． D．圆锥的高扩大到原来的倍,底面半径缩短到原来的，则圆锥变化后的体积与原体积的比值为.【巩固练习】已知圆锥的侧面展开图是一个半径为3、圆心角为的扇形，则该圆锥的高是A． B．2 C． D．圆锥的轴截面为面积为2的直角三角形，则圆锥的侧面积为A． B． C． D．已知某圆锥的侧面展开图是一个半径为的半圆，且该圆锥的体积为，则（

）A． B． C． D．已知某圆锥的侧面展开图是一个半圆，若圆锥的体积为，则该圆锥的表面积为．已知圆锥的底面周长为，其侧面展开图的圆心角为，则该圆锥的体积为()A． B． C． D．已知圆锥的底面半径为，高为，在它的所有内接圆柱中，表面积的最大值是（

）A． B． C． D． 题型三基本图形：棱台与圆台【例题讲解】如图是一个圆台的侧面展开图（扇形的一部分），已知该扇环的面积为，两段圆弧所在圆的半径分别为3和6，则该圆台的体积为（）A．B．C．D．正六棱锥被过棱锥高的中点且平行于底的平面所截，得到正六棱台和较小的棱锥．(1)求大棱锥、小棱锥、棱台的侧面积之比；(2)若大棱锥的侧棱长为，小棱锥的底面边长为，求截得的棱台的侧面积与全面积．【巩固练习】已知圆台的上、下底面面积分别为和，高为，则圆台的侧面积为（

）A． B． C． D．圆台的轴截面上、下底边长分别为和，母线长为，则圆台的体积是.圆台的上、下底面半径分别是，，且圆台的母线长为5，则该圆台的体积是.底面边长为4的正四棱锥被平行于其底面的平面所截，截去一个底面边长为2，高为3的正四棱锥，所得棱台的体积为．在正四棱台中，，则该棱台的体积为．用一个平行于棱锥底面的平面去截棱锥，截得的棱台上、下底面积之比为，已知截去的棱锥的顶点到其底面的距离为3，则棱台的上、下底面的距离为（

）A．12 B．9 C．6 D．3如图是一个圆台形的水杯，圆台的母线长为12，上､下底面的半径分别为4和2.为了防烫和防滑，该水杯配有一个皮革杯套，包裹住水杯高度以下的外壁和杯底，水杯和杯套的厚度忽略不计，则此杯套使用的皮革的面积为（）A．B．C．D．如下图，一个圆台形花盆盆口直径为20cm，盆底直径为15cm，底部渗水圆孔直径为1.5cm，盆壁长为15cm．为了美化花盆的外观，需要涂油漆．已知每平方米用100毫升油漆，涂100个这样的花盆需要多少毫升油漆？（π取3.14，结果精确到1毫升）《九章算术》中将正四棱台体（棱台的上下底面均为正方形）称为方亭.如图，现有一方亭，其中上底面与下底面的面积之比为，，方亭的四个侧面均为全等的等腰梯形，已知方亭四个侧面的面积之和为，则方亭的体积为.如图所示，正六棱锥被过棱锥高PO的中点且平行于底面的平面所截，得到正六棱台和较小的棱锥.(1)求大棱锥，小棱锥，棱台的侧面面积之比；(2)若大棱锥PO的侧棱长为12cm，小棱锥的底面边长为4cm，求截得的棱台的侧面面积和表面积.题型四组合体的体积与表面积【例题讲解】陀螺是中国民间较早的娱乐工具之一，也称陀罗，图l是一种木陀螺，可近似地看作是一个圆锥和一个圆柱的组合体，其直观图如图2所示，其中A是圆锥的顶点，B，C分别是圆柱的上､下底面圆的圆心，且，，底面圆的半径为1，则该陀螺的表面积是.已知三棱锥如图所示，、、两两垂直，且，点、分别是棱、的中点，点是棱靠近点的四等分点，则空间几何体的体积为（

）A． B． C． D．中国有悠久的建筑文化，鲁班锁就是其中一种，鲁班锁的形状种类很多，其结构起源于中国古代建筑的榫卯结构，利用了其拼插器具内部的凹凸部分（即榫卯结构）啮合，十分巧妙，一般都是易拆难装．现有如图（1）的鲁班锁，其各个面是由正三角形与正八边形构成的，图（2）是该鲁班锁的直观图，则该鲁班锁的各个面中为正三角形的面有个，若该鲁班锁每条棱的长均为1，则该鲁班锁表面中为正八边形的面的面积之和为．【巩固练习】陀螺是我国民间最早的娱乐工具之一．如图，一个倒置的陀螺，上半部分为圆锥，下半部分为同底圆柱，其中总高度为，圆柱部分高度为，已知该陀螺由密度为的木质材料做成，其总质量为，则此陀螺圆柱底面的面积为A． B． C． D．如图，西周琱生簋（guǐ）是贵族琱生为其祖先制作的宗庙祭祀时使用的青铜器．该青铜器可看成由上、下两部分组成，其中上面的部分可看作圆台，下面的部分可看作圆柱，且圆台和圆柱的高之比约为，圆台的上底面与圆柱的底面完全重合，圆台上、下底面直径之比约为，则圆台与圆柱的体积之比约为（

）A． B．C． D．图1是宋代五大名窑中汝窑制造的双耳罐，它装物的有效部分可近似看成由两个圆台拼接而成（如图2所示）在图2中，已知下底面圆的直径是6，中间圆的直径是10，上底面圆的直径是4，上下底面圆的距离是5，且上、下两圆台的高之比是，若不考虑罐壁的厚度，则该汝窑双耳罐的容积为（

）

A． B． C． D．斗蟋蟀是我国民间搏戏之一，始于唐朝，盛行于宋朝．如图所示的蟋蟀笼可近似看成由圆锥和圆台（具有公共底面）组合而成的几何体．已知圆锥和圆台公共底面半径为9cm，圆台另一底面半径为6cm，该组合体的高为18cm，且圆锥的高是圆台的高的5倍，则该组合体的体积为．科技是一个国家强盛之根，创新是一个民族进步之魂，科技创新铸就国之重器，极目一号（如图1）是中国科学院空天信息研究院自主研发的系留浮空器，2022年5月，“极目一号”Ⅲ型浮空艇成功完成10次升空大气科学观测，最高升空至9050米，超过珠穆朗玛峰，创造了浮空艇大气科学观测海拔最高的世界纪录，彰显了中国的实力“极目一号”Ⅲ型浮空艇长53米，高18米，若将它近似看作一个半球，一个圆柱和一个圆台的组合体，轴截面图如图2所示，则“极目一号”Ⅲ型浮空艇的体积约为.

中国有悠久的金石文化，印信是金石文化的代表之一.如下图的印信，可以看成是将一个棱长等于2cm的正方体截去8个一样的四面体之后得到的，则该印信的所有棱长之和等于cm，该印信的表面积等于.

题型五换底法求三棱锥体积【例题讲解】如图，在棱长为4的正方体中，分别是棱上的动点，且，则三棱锥的体积为________如图，在棱长为3的正方体中，分别为棱的中点．求三棱锥的体积．【巩固练习】如图所示，正方体ABCD－A1B1C1D1的棱长为a，过顶点B，D，A1截下一个三棱锥.（1）求剩余部分的体积；（2）求三棱锥A－A1BD的体积及高.题型六等体积法求点到平面的距离【例题讲解】如图，直三棱柱的体积为6，的面积为，则点到平面的距离为（

）A． B． C．2 D．【巩固练习】如图，已知四棱锥的底面是面积为的正方形，侧面是全等的等腰三角形，一条侧棱长为.

(1)计算四棱锥的高；(2)计算四棱锥侧面三角形底边上的高.如图所示，将边长为的正三角形沿三条中位线折成一个正四面体，求该四面体的高和斜高．已知各棱长均为2的直三棱柱中，为的中点，求点到平面的距离.

题型七球的体积与表面积【例题讲解】已知是面积为的等边三角形，且其顶点都在球的表面上，若球心到平面的距离为1，则球的表面积为（

）A． B． C． D．【巩固练习】球半径为，球面上有三点､､，，，则四面体的体积是（

）A． B． C． D．已知是面积为的等边三角形，且其顶点都在球O的球面上．若球O的表面积为，则球心O到平面的距离为．题型八球的截面问题【例题讲解】用与球心距离为1的平面去截球，所得的截面面积为，则球的体积为（

）A． B．C． D．已知OA为球O的半径，过OA的中点M且垂直OA的平面截球得到圆M，若圆M的面积为，则球O的表面积为（

）．A． B． C． D．在棱长为2的正方体中，有一个与正方体各个面均相切的球，平面截该球所得截面的面积为（

）A． B． C． D．【巩固练习】若用与球心的距离为的平面截球体所得的圆面半径为2，则球的半径为.已知一个球的半径为2，若用一个与球心距离为1的平面截球体，则所得的截面面积为．平面截球的球面所得圆的半径为1，球心到平面的距离为，则此球的体积为.球的两个平行截面面积分别为和，球心到这两个截面的距离之差等于1，则球的直径为（

）A．3 B．4 C．5 D．6已知球的两个平行截面的面积分别为，且两个截面之间的距离是，则球的表面积为．两个平行平面截一个半径为4的球，得到的截面面积分别为和，则这两个平面之间的距离为．正四棱柱中，已知，那么以A为球心，半径为2的球面与该四棱柱表面交线的总长度为.已知四面体的所有棱长均为4，点满足，则以为球心，为半径的球与四面体表面所得交线总长度为.题型九斜二测画法【例题讲解】水平放置的的直观图如图，其中，，那么原是一个（）A．等边三角形B．直角三角形C．三边中只有两边相等的等腰三角形D．三边互不相等的三角形如图所示，梯形是平面图形用斜二测画法得到的直观图，，则平面图形的面积为（）A．B．C．D．已知用斜二测画法得到的某水平放置的平面图形的直观图是如图所示的等腰直角△，其中，则原平面图形中最大