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一、无穷区间上的的反常积分3.7反常积分三、

-函数二、无界函数的广义积分四、小结经济数学——微积分定义1一、无穷区间上的反常积分

设函数f(x)在区间[a,+∞)上连续，取b>a，f(x)在[a,b]上可积，则称为函数在无穷区间[a,+∞)上的反常积分.如果极限存在,那么称该反常积分收敛；否则，称该反常积分发散.定义2

设函数f(x)在区间(-∞,b]上连续，取a<b，f(x)在[a,b]上可积，则称为函数在无穷区间(-∞,b]上的反常积分.如果极限存在,那么称该反常积分收敛；否则，称该反常积分发散.定义3设函数f(x)在区间(-∞,+∞)上连续，称为函数f(x)在区间(-∞,+∞)上的反常积分.当且仅当都收敛时，反常积分收敛.否则，发散.例１计算反常积分解例2计算反常积分解一般地，无穷区间上的反常积分的几何意义是：当f(x)≥0时，如果收敛，可以看成是由曲线y=f(x)，直线x=a及x轴所围成的向右无限延伸的平面图形的面积.如果发散，则表示该平面图形的面积不是有限的.例3计算解解例4计算发散.例5计算解例6

证明反常积分当p>1时收敛；当p≤1时发散.证：定义4二、无界函数的广义积分

如果函数f(x)在点a的任一邻域内都无界，那么点a称为函数的瑕点，所以无界函数的反常积分又称为瑕积分.

设函数f(x)在(a,b]

上连续,且取称为函数f(x)在(a,b]

上的反常积分.如果极限存在，则称该反常积分收敛.否则，称该反常积分发散.定义5

设函数f(x)在[a,b)

上连续,且取称为函数f(x)在[a,b)

上的反常积分.如果极限存在，则称该反常积分收敛.否则，称该反常积分发散.定义6设函数f(x)在区间[a,b]上连续，称为函数f(x)在区间[a,b]上的反常积分.当且仅当都收敛时，反常积分收敛.否则，发散.例7计算解例8讨论解的收敛性.其中故该反常积分发散.例9

证明反常积分当q>1时收敛；当q≤1时发散.证：0是被积函数的瑕点三、Γ函数定义7含参变量α(α>0)的反常积分称为Γ函数.

Γ－函数的几个重要性质：例例10计算下列各值：解例11计算解例12

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