经济数学微积分 第4版 课件 5-5 差分方程的求解_第1页
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文档简介

一、常系数线性差分方程解的结构5.5差分方程的求解四、小结二、一阶常系数线性差分方程求解经济数学——微积分三、二阶常系数线性差分方程求解一、常系数线性差分方程解的结构n阶常系数齐次线性差分方程的一般形式n阶常系数非齐次线性差分方程的一般形式1.n阶常系数齐次线性差分方程解的结构问题:定理1

（是任意常数）

例如线性无关线性相关由此可见，要求出n阶常系数齐次线性差分方程（1）的通解，只需求出其n个线性无关的特解.定理2

2.n阶常系数非齐次线性差分方程解的结构

由此可见，要求出n阶常系数非齐次线性差分方程（2）的通解，只需求出（1）的通解和（2）的一个特解即可.定理3定理4

证明例1一阶常系数齐次线性差分方程的一般形式一阶常系数非齐次线性差分方程的一般形式二、一阶常系数线性差分方程求解（一）一阶常系数齐次线性差分方程的求解解解（二）一阶常系数非齐次线性差分方程的求解1.(1)(2)综上讨论解对应齐次方程通解代入方程,得原方程通解为解对应齐次方程通解代入方程,得解代入方程，得对应齐次方程的通解为2.结合类型1的结论，可得解对应齐次方程通解解对应齐次方程通解例9（等额本息贷款模型）某人贷款m元，月利率为r%，n个月还清，以等额本息的还款方式，每月需还款多少元？解：设每月需还款a元，每月剩余贷款为St，则St=（1+r%）St-1-aS0=mSn=0一阶线性非齐次差分方程初值问题解此方程并根据两个条件求出例10（等额本金贷款模型）某人贷款m元，月利率为r%，n个月还清，以等额本金的还款方式，各月需还款多少元？解：设第t个月需还款at元，月还本金为m/n，则如贷42万元，5年还清，月利率0.5%，第2个月的还款额为该方程可化为故有特征方程三、二阶常系数线性齐次差分方程求解1)有两个不相等的实根两个线性无关的特解得齐次方程的通解为特征根为r1，r22)有两个相等的实根一特解为得齐次方程的通解为特征根为3)有一对共轭复根重新组合得齐次方程的通解为的通解情况特征方程解特征方程为解得故所求通解为例11解特征方程为解得故所求通解为例13如何求特解？方法：设试解函数，待定系数法.自由项的两种类型：四、二阶常系数非齐次线性差分方程求解问题的特解设法解对应齐次方程特征方程为解得对应齐次方程的通解为例14由于1是特征根，设代入方程故所求通解为得故所求特解为解对应齐次方程特征方程为解得对应齐次方程的通解为例15由于3是特征重根,设代入方程故所求通解为得故所求特解为2.一阶常系数齐次线性差分方程求通解（1）将方程化为一般形式，判断出a的大小；（2）写出通解.3.一阶常系数非齐次线性差分方程求通解分别考虑a=1和a≠1（a=μ和a≠μ）两种情况五、小结1.常系数线性差分方程解的结构4.二阶常系数齐次线性差分方程解的结构.5.二阶常系数齐次线性差分方程的求解.解的结构，通解的结构特征方程根的三种情况对应

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