27.2.3 相似三角形的性质 提升训练（解析版）

27.2.3相似三角形的性质提升训练1．如图，点、在反比例函数的图象上，延长交轴于点，若的面积是，且点是的中点，则的值（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】先根据是的中点，表示出的面积，再利用的几何意义表示出和的面积，即可得出和的面积，易证∽，根据面积的比等于相似比的平方，列方程即可求出的值．【详解】解：连接，过点作轴于点，过点作轴于点，如图所示：是的中点，，根据的几何意义，，，，，，∽，是的中点，相似比为：，，，解得．故选：B．【点睛】本题考查了反比例函数的几何意义，运用三角形中线的性质以及相似三角形的性质是解决本题的关键．2．如图，在矩形中，．对角线与相交于点O，过点D作的垂线，交于点E，．则的值为（）A．4 B．2 C． D．4【答案】C【分析】由矩形的性质可得结合可求得,再证，然后根据相似三角形对应边成比例列式可得即可解答．【详解】解：∵四边形是矩形，∴，∵∴∵，∴，∵，∴，∴，∴，∵，∴．故选：C．【点睛】本题主要考查了相似三角形的判定与性质，证得判断出相似三角形，并灵活运用相似三角形的性质是解题关键．3．如图，在矩形中，是边的中点，垂足为点F，连接，有下列四个结论：①；②；③④．其中正确结论的个数是（

）A．1 B．2 C．3 D．4【答案】D【分析】①四边形是矩形，，则，又，于是；②由，又，所以，故可得；③过D作交于N，得到四边形是平行四边形，求出，得到，根据线段的垂直平分线的性质可得结论；④由，推出，设，推出，，，，推出，故⑤正确．【详解】解：∵四边形是矩形，∴，，，∴∵于点F，∴∴，故①正确；∵，∴，∴，∵，∴，∴，故②正确；如图，过D作交于N，∵，，∴四边形是平行四边形，∴，∴，∴，∵于点F，，∴，∴垂直平分，∴，故③正确；，，设，，，，，故④正确；正确的个数为4，故选：D．【点睛】本题主要考查了相似三角形的判定和性质，矩形的性质，图形面积的计算以及解直角三角形的综合应用，正确的作出辅助线构造平行四边形是解题的关键．解题时注意：相似三角形的对应边成比例．4．如图，正方形的边长为，点是边的中点，连接．在线段上有一点，若点P到正方形一边的距离为，则的长为___________．【答案】或或【分析】根据勾股定理求得，再分三种情况讨论，，根据相似三角形的性质与判定，即可求解．【详解】解：正方形的边长为，点是边的中点，，如图1，作于点，使，，，，，如图2，作于点，使，，，如图3，作⊥于点，使，，，综上所述：的长为或或，故答案为：或或．【点睛】本题考查了正方形的性质，勾股定理，相似三角形的性质与判定，分类讨论是解题的关键．5．如图，矩形中，对角线、交于点，于点，，，______cm．【答案】12【分析】先证明，即可证明，从而求出，，最后根据勾股定理即可求出．【详解】解：∵矩形，∴，∴，∵，∴，∴，∴，∴，∴，又，，∴，∴，，∴．故答案为：12．【点睛】本题考查了矩形的性质，相似三角形的判定与性质，勾股定理等知识，证明是解题的关键．6．如图，在中，中线、相交于点O，连接，下列结论：①；②；③；④；其中正确的个数有____________（写序号）．【答案】①③④【分析】、是的中线，即D、E是和的中点，即是的中位线，则，，根据相似三角形的性质和三角形中线的性质即可判断．【详解】∵、是的中线，即D、E是和的中点，∴是的中位线，∴，，即，①正确；∵∴，∴，②错误；∵,，∴,③正确；∵，∴∴又∵是的中线∴∴，④正确故①正确，②错误，③④正确；故答案为：①③④．【点睛】本题考查了三角形的中位线定理，相似三角形的判定与性质，利用三角形中线分三角形为面积相等的连个三角形证明和之间的关系是关键．7．如图，在锐角三角形中，点D在边上，于点E，于点F，．(1)求证：；(2)若，求的值．【答案】(1)答案见解析(2)【分析】（1）先证，再证，即可解决问题；（2）由（1）可知：，推出，再证，可得答案．【详解】（1）解：，，，，，，，；（2）由（1）可知：，，，，，，，，．【点睛】本题考查相似三角形的判定和性质、三角形的内角和，解题的关键是证明三角形相似．8．綜合与探究如图，在中，，点M从点A开始沿边向点C以的速度运动，点N从点C开始沿边向点B以的速度运动，当点M到达点C时，点M，N同时停止运动．若，的长是的两根（其中，单位：）．(1)求，的长；(2)如果点M，N分别从点A，C同时出发，那么几秒后，的面积为？(3)如果点M，N分别从点A，C同时出发，是否能和相似？如果能，请求出运动的时间；如果不能，请说明理由．【答案】(1)，(2)或者(3)能，或【分析】（1）根据一元二次方程的十字相乘法即可计算出两个根；（2）利用即可算出；（3）利用三角形的相似比即可算出；【详解】（1）解：，解得，．，，．（2）当运动时间为秒时，，，依题意，得，整理得，解得，，两者均符合要求．答：点M，N分别从点A，C同时出发，那么1秒或5秒