广西河池天峨县2024届中考数学最后一模试卷含解析

广西河池天峨县2024年中考数学最后一模试卷

考生须知：

1.全卷分选择题和非选择题两部分，全部在答题纸上作答。选择题必须用2B铅笔填涂；非选择题的答案必须用黑色

字迹的钢笔或答字笔写在“答题纸”相应位置上。

2.请用黑色字迹的钢笔或答字笔在“答题纸”上先填写姓名和准考证号。

3.保持卡面清洁，不要折叠，不要弄破、弄皱，在草稿纸、试题卷上答题无效。

一、选择题（共10小题，每小题3分，共30分）

1.关于x的一元二次方程x2-4x+k=0有两个相等的实数根，则k的值是（）

A.2B.-2C.4D.-4

2.如图，菱形ABCD的对角线交于点O,AC=8cm,BD=6cm,则菱形的高为（）

3.下列四个函数图象中，当x<0时，函数值y随自变量x的增大而减小的是（）

5.如图，在边长为6的菱形ABC。中,4MB=60°,以点。为圆心，菱形的高。支为半径画弧，交AD于点E,交CD于

点G,则图中阴影部分的面积是（）

D.18百—3%

6.下列美丽的壮锦图案是中心对称图形的是（）

7.如图，在平面直角坐标中，正方形ABCD与正方形BEFG是以原点O为位似中心的位似图形，且相似比为g,点

A,B,E在x轴上，若正方形BEFG的边长为6,则C点坐标为（）

A.(3,2)B.(3,1)C.(2,2)D.(4,2)

8.在平面直角坐标系中，点尸佃,2机-2尸则点P不可能在（）

A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限

9.一个容量为50的样本，在整理频率分布时，将所有频率相加，其和是（）

A.50B.0.02C.0.1D.1

10.如图，在中，AABC=9G°,BA=BC.点。是A6的中点，连结CD,过点3作3GLCD,分别交

CD、CA于点E、F,与过点A且垂直于A5的直线相交于点G,连结。产.给出以下四个结论：①个=急；②

ABFB

点方是G石的中点；③AF=^AB；®S^BC=6S^DF9其中正确的个数是（）

3

A.4B.3C.2D.1

二、填空题(本大题共6个小题，每小题3分，共18分)

11.计算：(1)--(5-n)°=.

2

12.分解因式：x2-4x+4=.

13.若a+b=5,ab=3,则a?+b2=.

一：.a?—4a?—4〃+42

14.化简：------+--------z---------=_____.

ci+2〃+1(〃+1)〃—2

15.点A(1,2),B(n,2)都在抛物线y=x2-4x+m上，则n=.

16.阅读材料：如图，C为线段BD上一动点，分别过点B、D作ABLBD,ED1BD,连接AC、EC.设CD=x,若

AB=4,DE=2,BD=8,则可用含x的代数式表示AC+CE的长为J16+（8-+,4+0.然后利用几何知识可知:

Q

当A、C、E在一条直线上时，x=2时，AC+CE的最小值为1.根据以上阅读材料，可构图求出代数式

3

三、解答题（共8题，共72分）

m

17.（8分）如图，直线y=+2与第一象限的一支双曲线y=一交于A、B两点,A在B的左边.

X

rn

⑴若伪=4,B（3,l）,求直线及双曲线的解析式：并直接写出不等式一+4的解集；

x

⑵若A（l,3）,第三象限的双曲线上有一点C,接AC、BC,设直线BC解析式为>=履+6；当ACLAB时,求证：k为定值.

18.（8分）在矩形纸片ABCD中，AB=6,BC=8,现将纸片折叠，使点D与点B重合，折痕为EF,连接DF.

（1）说明△BEF是等腰三角形；

（2）求折痕EF的长.

Y2—1X2—X11

19.（8分）先化简，———+-—其中*=—.

x+2x+1x-Ix2

20.（8分）在平面直角坐标系xOy中，若抛物线y=x2+bx+c顶点A的横坐标是-1,且与y轴交于点B（0,-1）,

点P为抛物线上一点.

（1）求抛物线的表达式；

（2）若将抛物线丫=*2+6*+（:向下平移4个单位，点P平移后的对应点为Q如果OP=OQ,求点Q的坐标.

%

-----1-----1__

Ox

21.（8分）问题情境：课堂上，同学们研究几何变量之间的函数关系问题：如图，菱形ABCD的对角线AC,BD相

交于点O,AC=4,BD=1.点P是AC上的一个动点，过点P作MNLAC,垂足为点P（点M在边AD、DC上，点

N在边AB、BC上）.设AP的长为x（OSx"）,△AMN的面积为y.

解决问题：（1）为进一步研究y随x变化的规律，小明想画出此函数的图象.请你补充列表，并在如图的坐标系中画

出此函数的图象：

j_227

X01134

2222

19157

y00

88~8

（3）观察所画的图象，写出该函数的两条性质：.

22.（10分）为了维护国家主权和海洋权利，海监部门对我国领海实现了常态化巡航管理，如图，正在执行巡航任务

的海监船以每小时50海里的速度向正东方航行，在A处测得灯塔P在北偏东60。方向上，继续航行1小时到达B处,

此时测得灯塔P在北偏东30。方向上.求NAPB的度数；已知在灯塔P的周围25海里内有暗礁，问海监船继续向正东

方向航行是否安全?

23.(12分)随着移动计算技术和无线网络的快速发展，移动学习方式越来越引起人们的关注，某校计划将这种学习

方式应用到教育学中，从全校1500名学生中随机抽取了部分学生，对其家庭中拥有的移动设备的情况进行调查，并绘

制出如下的统计图①和图②，根据相关信息，解答下列问题：本次接受随机抽样调查的学生人数为,图①中m

的值为;求本次调查获取的样本数据的众数、中位数和平均数；根据样本数据，估计该校1500名学生家庭中

拥有3台移动设备的学生人数.

24.如图1,在平面直角坐标系中，一次函数y=-lx+8的图象与x轴，y轴分别交于点A,点C,过点A作

轴，垂足为点A,过点C作C3_Ly轴，垂足为点C,两条垂线相交于点反

(1)线段AB,BC,AC的长分别为A3=,BC=,AC=；

(1)折叠图1中的AABC,使点A与点C重合，再将折叠后的图形展开，折痕交A5于点O,交AC于点E,连

接C。，如图1.

请从下列A、5两题中任选一题作答，我选择题.

A：①求线段AO的长；

②在y轴上，是否存在点P,使得A为等腰三角形？若存在，请直接写出符合条件的所有点尸的坐标；若不存在,

请说明理由.

B：①求线段OE的长；

②在坐标平面内，是否存在点尸(除点3外)，使得以点A,P,C为顶点的三角形与AABC全等？若存在，请直接写

出所有符合条件的点P的坐标；若不存在，请说明理由.

参考答案

一、选择题（共10小题，每小题3分，共30分）

1、C

【解题分析】

对于一元二次方程a%2+bx+c=0,当_4ac=0时，方程有两个相等的实数根.

即16-4k=0,解得：k=4.

考点：一元二次方程根的判别式

2、B

【解题分析】

试题解析：；菱形A5CD的对角线AC=8cm,BD—6cn

AC±BD,OA=-AC=4cm,OB=-BD=3cm,

22

根据勾股定理，AB=^O^+OB2=A/42+32=5cm

设菱形的高为h,

则菱形的面积=ABh=-ACBD,

2

即5/Z=LX8X6,

2

24

解得丸=g.

24

即菱形的高为石

故选B.

3、D

【解题分析】

A、根据函数的图象可知y随x的增大而增大，故本选项错误；

B、根据函数的图象可知在第二象限内y随x的增大而减增大，故本选项错误；

C、根据函数的图象可知，当xVO时，在对称轴的右侧y随x的增大而减小，在对称轴的左侧y随x的增大而增大,

故本选项错误；

D、根据函数的图象可知，当xVO时，y随x的增大而减小；故本选项正确.

故选D.

【题目点拨】

本题考查了函数的图象，函数的增减性，熟练掌握各函数的性质是解题的关键.

4、C

【解题分析】

解：A、a»a=a2,正确，不合题意；

B、2a+a=3a,正确，不合题意；

C、(a3)2=a6,故此选项错误，符合题意；

D、a34-a-1=a4,正确，不合题意；

故选C.

【题目点拨】

本题考查事的乘方与积的乘方；合并同类项；同底数塞的乘法；负整数指数嘉.

5、B

【解题分析】

由菱形的性质得出AD=AB=6,ZADC=120°,由三角函数求出菱形的高DF,图中阴影部分的面积=菱形ABCD的面

积-扇形DEFG的面积，根据面积公式计算即可.

【题目详解】

•••四边形ABCD是菱形，ZDAB=60°,

；.AD=AB=6,ZADC=180°-60°=120°,

VDF是菱形的高，

.\DF±AB,

.,.DF=AD«sin60°=6x&=3,

2

,阴影部分的面积=菱形ABCD的面积-扇形DEFG的面积=6x373―。蓝;二)-i上..

2=89n

故选B.

【题目点拨】

本题考查了菱形的性质、三角函数、菱形和扇形面积的计算；由三角函数求出菱形的高是解决问题的关键.

6、A

【解题分析】

【分析】根据中心对称图形的定义逐项进行判断即可得.

【题目详解】A、是中心对称图形，故此选项正确；

B、不是中心对称图形，故此选项错误；

C、不是中心对称图形，故此选项错误；

D、不是中心对称图形，故此选项错误，

故选A.

【题目点拨】本题主要考查了中心对称图形，熟练掌握中心对称图形的定义是解题的关键；把一个图形绕某一点旋转

180°,如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形就叫做中心对称图形.

7、A

【解题分析】

•••正方形ABCD与正方形BEFG是以原点O为位似中心的位似图形，且相似比为L

3

,AD_1

"BG"3"

•；BG=6,

：.AD=BC^2,

'JAD//BG,

:.△OADs^OBG,

.OA_1

*'08-3,

•0A-1

"2+<9A-3?

解得：OA=1,：.OB=3,

点坐标为：（3,2）,

故选A.

8、B

【解题分析】

根据坐标平面内点的坐标特征逐项分析即可.

【题目详解】

A.若点尸（机,2机-2）在第一象限，则有：

Im>0,

（2m-2>0

解之得

m>l,

・••点尸可能在第一象限；

B.若点pm,2m_2）在第二象限，则有：

Im<09

12根-2>0

解之得

不等式组无解，

点尸不可能在第二象限；

C.若点P佃,2加-2J在第三象限，则有：

Im<09

12nl-2<0

解之得

m<l9

・••点?可能在第三象限；

D.若点p例,2相_2）在第四象限，则有：

Im>09

12nl-2<0

解之得

.•.点尸可能在第四象限；

故选B.

【题目点拨】

本题考查了不等式组的解法，坐标平面内点的坐标特征，第一象限内点的坐标特征为（+,+）,第二象限内点的坐标

特征为（-,+）,第三象限内点的坐标特征为第四象限内点的坐标特征为（+,-）,x轴上的点纵坐标为0,y

轴上的点横坐标为0.

9、D

【解题分析】

所有小组频数之和等于数据总数，所有频率相加等于1.

10、C

【解题分析】

用特殊值法，设出等腰直角三角形直角边的长，证明△CO3s△5OE,求出相关线段的长；易证△GABgAOBC,求

出相关线段的长；再证AG〃BC,求出相关线段的长，最后求出AABC和A的面积，即可作出选择.

【题目详解】

解：由题意知，△A3。是等腰直角三角形,

设A5=3C=2,贝！|AC=2亚

丁点。是A3的中点，

：.AD=BD=19

在RtADBC中，DC=非,（勾股定理）

VBG±CD,

:.NDEB=ZABC=90°,

又•：NCDB=NBDE,

:,/\CDBs/\BDE,

BDCD

a，即

：.ZDBE=ZDCBfJ-=S；=2

~DEBDBEDE1BE

:.DE=&,BE=^~,

55

NDBE=ZDCB

在AGA5和AO5C中，|AD=BC

ZGAB=ZDBC

：.AGAB义ADBCIASA)

：.AG=DB=1,BG=CD=y/5,

"：ZGAB+ZABC=180°,

：.AG//BC,

:.△AGFs/\CBF,

.AGAFGF1

且有A5=5C,故①正确,

"~CB~'CF~^F~2

,:GB=亚,AC=2a,

;.AF=2^=^AB,故③正确,

33

GF=—,FE=BG-GF-BE=,故②错误，

315

1112A/5J?1

SAABC=-AB»AC=2,SABDF=-BF*DE=-x_2Lix2L±=-,故④正确.

222353

故选5.

【题目点拨】

本题考查了相似三角形的判定与性质、全等三角形的判定与性质以及等腰直角三角形的相关性质，中等难度，注意合理

的运用特殊值法是解题关键.

二、填空题(本大题共6个小题，每小题3分，共18分)

11,1

【解题分析】

分别根据负整数指数累，0指数幕的化简计算出各数，即可解题

【题目详解】

解：原式=2-1

=1,

故答案为1.

【题目点拨】

此题考查负整数指数幕，0指数事的化简，难度不大

12、(x-1)1

【解题分析】

试题分析：直接用完全平方公式分解即可，即x「4x+4=(x-1)i.

考点：分解因式.

13、1

【解题分析】

试题分析：首先把等式a+b=5的等号两边分别平方，即得a?+2ab+b2=25,然后根据题意即可得解.

解：Va+b=5,

a2+2ab+b2=25,

；ab=3,

a2+b2=l.

故答案为1.

考点：完全平方公式.

【解题分析】

先利用除法法则变形，约分后通分并利用同分母分式的减法法则计算即可.

【题目详解】

原式_(。+2)("2)(i+l)2__2_a+2-2_a

(a+1)?(〃-2)2〃—222

故答案为二

【题目点拨】

本题考查了分式的混合运算，熟练掌握运算法则是解题的关键.

15、1

【解题分析】

根据题意可以求得m的值和n的值，由A的坐标，可确定B的坐标，进而可以得到n的值.

【题目详解】

:,点A(1,2),B(n,2)都在抛物线y=x2-4x+m上，

•*-I2=1-4+m，

^-2=n2-4n+m

解得|加=5或|加=5，

=3''n=1

，点B为(1,2)或(1,2),

；点4(1,2),

，点B只能为(1,2),

故n的值为1,

故答案为：1.

【题目点拨】

本题考查了二次函数图象上点的坐标特征，解题的关键是明确题意，利用二次函数的性质求解.

16、4而

【解题分析】

根据已知图象，重新构造直角三角形，利用三角形相似得出CD的长，进而利用勾股定理得出最短路径问题.

【题目详解】

如图所示：

C为线段BD上一动点，分别过点B、D作ABLBD,ED±BD,连接AC、EC.设CD=x,

若AB=5,DE=3,BD=12,

当A,C,E,在一条直线上，AE最短,

VAB1BD,ED±BD,

，AB〃DE,

.,.△ABCSEDC,

.AB_BC

''~DE~~CD，

.512-CD

••一,

3CD

9

解得：DC=y.

即当x=:时，代数式J25+Q2-无产+7^7有最小值,

,25+(12—,+小+(|)2=4而.

此时为:

故答案是：4岳.

【题目点拨】

考查最短路线问题，利用了数形结合的思想，可通过构造直角三角形，利用勾股定理求解.

三、解答题(共8题，共72分)

17、(1)1VXV3或x<0；(2)证明见解析.

【解题分析】

(1)将3(3,1)代入y=—,将8(3,1)代入>=%x+4,即可求出解析式;

再根据图像直接写出不等式一V匕x+4的解集；(2)过A作/〃x轴，过。作CGL于G,过B作3/7L于瓦

X

y=kx+b

33

△AGC^ABHA,设5(叫一)、C(a-),根据对应线段成比例即可得出帆〃二-9,联立〈3，得

mny=~

-31

k2x2+bx-3=0,根据根与系数的关系得加〃=丁=一9,由此得出攵二彳为定值.

k3

【题目详解】

解：⑴将以3,1)代入y=一,

x

3

・・m=3,y=—^

x

将3(3,1)代入y=%x+4,

:.3kl+4=1，k]=—1,

.**y——x+4,

不等式一〈左/+4的解集为l<x<3或x<0

x

⑵过A作l//x轴，过C作CGL于G,过B作L于H,

贝山AGC^/\BHA,

33

设5（叫—）、C（%一）,

mn

・.AG_BH

•'CG~~AH9

3--

.1―几_m

J—

n

々m-1

1-n§

・工〃_m

n-1m-19

J----------

n

£

・]_m_

n

mn=­9,

y=kx+b

联立.•・13，

y二一

l%

k2x1+bx-3=0

【题目点拨】

此题主要考查反比例函数的图像与性质，解题的关键是根据题意作出辅助线，再根据反比例函数的性质进行求解.

18、(1)见解析；(2)—.

2

【解题分析】

(1)根据折叠得出广，根据矩形的性质得出AO〃8C,求出歹E,求出NBE歹即可;

(2)过E作EMLBC于M,则四边形ABME是矩形,根据矩形的性质得出EM=4B=6,AE=3跖根据折叠得出DE=BE,

根据勾股定理求出。E、在RtAEMF中，由勾股定理求出即可.

【题目详解】

(1)••,现将纸片折叠，使点。与点3重合，折痕为EE.•.NOEf'=/JBEF.

,四边形A5CZ)是矩形，.,.AD//BC,:./DEF=/BFE,：.ZBEF=ZBFE,；.BE=BF,即ABE尸是等腰三角形；

(2)过E作EM_LBC于M,则四边形ABME是矩形，所以EM=45=6,AE=BM.

••,现将纸片折叠，使点。与点3重合，折痕为.,.OE=8E,DO=BO,BD±EF.

:四边形ABC。是矩形，BC=S,：.AD=BC=8,ZBAD=90°.

2525725

在RtAABE中,4印+452=5必，即(8-B£)2+62=BE2,^^：BE=—=DE^BF,AE=8-DE=8-----=-^BM,：.FM=—

4444

7_9

-4"2,

在RtAEM歹中，由勾股定理得：EF=.62+(-)2=—.

V22

故答案为*

【题目点拨】

本题考查了折叠的性质和矩形性质、勾股定理等知识点，能熟记折叠的性质是解答此题的关键.

2x2

19、

x+1'3

【解题分析】

根据分式的化简方法先通分再约分，然后带入求值.

【题目详解】

通冗2—1—X1

解：—-----------+--------•-

x+2x+1x-1x

(x+l)(x-l)x(x-l)1

------------------Z--------1------------------------

(x+1)x-1X

_x-1

+1

X+1

x-1X+1

=------+------

x+lX+1

_2x

x+1

当X」时,2x2

2x+13

【题目点拨】

此题重点考查学生对分式的化简的应用，掌握分式的化简方法是解题的关键.

20、⑴为y=x2+2x-l；⑵点Q的坐标为(-3,—2)或(1,—2).

【解题分析】

(1)依据抛物线的对称轴方程可求得b的值，然后将点B的坐标代入线y=V-2x+c可求得c的值，即可求得抛物线

的表达式；(2)由平移后抛物线的顶点在x轴上可求得平移的方向和距离,故此QP=4,然后由点QO=PO,QP//y

轴可得到点。和尸关于x对称，可求得点。的纵坐标，将点。的纵坐标代入平移后的解析式可求得对应的x的值，

则可得到点Q的坐标.

【题目详解】

(1)抛物线y=x2+bx+c顶点A的横坐标是—1,

b—b

x=-----=—1,即-----二-1,解得b=2.

2a2x1

二y=x2+2x+c.

将B(O,—1)代入得：c=-l,

抛物线的解析式为y=x2+2x-l.

(2)抛物线向下平移了4个单位.

二平移后抛物线的解析式为y=x?+2x-5,PQ=4.

OP=OQ,

.••点O在PQ的垂直平分线上.

又QP//y轴，

二点Q与点P关于x轴对称.

二点Q的纵坐标为-2.

将y=-2代入y=x?+2x—5得：x12+2x-5=-2,解得：x=—3或x=l.

.・•点Q的坐标为(-3,-2)或(1,-2).

【题目点拨】

本题主要考查的是二次函数的综合应用，解答本题主要应用了待定系数法求二次函数的解析式、二次函数的平移规律、

线段垂直平分线的性质，发现点Q与点P关于x轴对称，从而得到点Q的纵坐标是解题的关键.

12

1-X2(0<X<2)

21、(l)@y=^x2；©y=^;(1)见解析；(3)见解析

~--x2+2x(2<x<4)

【解题分析】

(1)根据线段相似的关系得出函数关系式(1)代入①中函数表达式即可填表(3)画图像，分析即可.

【题目详解】

(1)设AP=x

①当0<x<l时

VMN/7BD

/.△APM^AAOD

.APAO.

••-----2

PMDO

1

,*.MP=—X

2

VAC垂直平分MN

1

.\PN=PM=-x

2

；.MN=x

.112

..y=—AP»MN=—x

22

②当IVx“时，P在线段OC上，

ACP=4-x

/.△CPM^ACOD

.CPco

••-----------z

PIIDO

、

,\PM=1-(4-x)

.\MN=1PM=4-x

111,

.\y=-AP-MN=-x(4-x)=--x2+2x

-x2(&2)

，y=,；

—x2+2x(2<x„4)

(1)由⑴

当x=l时，y=J

当x=l时，y=l

1、当OWxWl时，y随x的增大而增大

1、当IVxq时，y随x的增大而减小

【题目点拨】

本题考查函数，解题的关键是数形结合思想.

22、(1)30°；(2)海监船继续向正东方向航行是安全的.

【解题分析】

(1)根据直角的性质和三角形的内角和求解；

(2)过点P作PHLAB于点H,根据解直角三角形，求出点P到AB的距离，然后比较即可.

【题目详解】

解：(1)在AAPB中，NPAB=30。，NABP=120。

ZAPB=180o-30°-120o=30°

(2)过点P作PH±AB于点H

在RtAAPH中，NPAH=30。，AH=6PH

在RtABPH中，ZPBH=30°,BH=—PH

3

:.AB=AH-BH=-PH=50

3

解得PH=256>25,因此不会进入暗礁区，继续航行仍然安全.

考点：解直角三角形

23、(I)50、31；(II)4；3；3.1;(III)410人.

【解题分析】

(I)利用家庭中拥有1台移动设备的人数除以其所占百分比即可得调查的学生人数，将拥有4台移动设备的人数除

以总人数即可求得m的值；(II)根据众数、中位数、加权平均数的定义计算即可；(III)将样本中拥有3台移动设备

的学生人数所占比例乘以总人数1500即可求解.

【题目详解】

4

解：(I)本次接受随机抽样调查的学生人数为：—=50(人)，

8%

16

,:——xl0O=31%,

50

图①中m的值为31.

故答案为50、31；

(II)•••这组样本数据中，4出现了16次，出现次数最多，

这组数据的众数为4；

•.•将这组数据从小到大排列，其中处于中间的两个数均为3,有—=3,

二这组数据的中位数是3；

1x4+2x10+3x14+4x16+5x6

由条形统计图可得最=---------------------------------------------------------------=3.1,

50

这组数据的平均数是3.1.

(in)1500X18%=410(人).

答：估计该校学生家庭中；拥有3台移动设备的学生人数约为410人.

【题目点拨】

本题考查的是条形统计图和扇形统计图的综合运用，读懂统计图，从不同的统计图中得到必要的信息是解决问题的关

键.条形统计图能清楚地表示出每个项目的数据；扇形统计图直接反映部分占总体的百分比大小.

24、(1)2,3,3小;(1)①AD=5；②P(0,1)或(0,2).

【解题分析】

(1)先确定出。4=3,OC=2,进而得出43=2,BC=3,利用勾股定理即可得出AC；

(1)A.①利用折叠的性质得出362-A。，最后用勾股定理即可得出结论；

②分三种情况利用方程的思想即可得出结论；

B.①利用折叠的