人教A版高中数学第一册(必修1)学案3：5. 4 . 1 正弦函数、余弦函数的图象

5.4.1正弦函数、余弦函数的图象

『课程标准』

(1)借助单位圆理解三角函数(正弦、余弦、正切)的定义，能画出这些三角函数的图象，了解

三角函数的周期性、单调性、奇偶性、最大(小)值.

(2)借助图象理解正弦函数、余弦函数在『0,2%』上，正切函数在(一去§上的性质.

『新知初探』

知识点正弦曲线与余弦曲线及其画法

函数y=sinxy=cosx

y

图象、/2F.

；/2TTx专、/爰

图象

五点法五点法

画法

,俘兀，：兀,

关键1),,6-1),|o),

五点

状元随笔|L关于正弦函数y=sinx的图象

⑴正弦函数y=sinx,xG『2E,2(4+1)兀』，々GZ的图象与xG『0,2兀』上的图形一致，因

为终边相同角的同名三角函数值相等.

(2)正弦函数的图象向左、右无限延伸，可以由y=sinx,xG『0,2兀』图象向左右平移得到(每

次平移2K个单位).

2.“几何法”和“五点法”画正、余弦函数的比较

(1)“几何法”就是利用单位圆中正弦线和余弦线作出正、余弦函数图象的方法.该方法作图

较精确，但较为烦琐.

(2)“五点法”是画三角函数图象的基本方法，在要求精度不高的情况下常用此法.

提醒：作图象时，函数自变量要用弧度制，自变量与函数值均为实数，因此在x轴、y轴上

可以统一单位，这样作出的图象正规便于应用.

『教材解难』

1.教材P196思考

如图，在直角坐标系中画出以原点。为圆心的单位圆，。。与x轴正半轴的交点为A（1,O）.在

单位圆上，将点A绕着点。旋转均弧度至点8,根据正弦函数的定义，点2的纵坐标为=

sinxo.由此，以项为横坐标，yo为纵坐标画点，即得到函数图象上的点T（xo，sin确）.

2.教材P197思考

由诱导公式一可知，函数y=sinx,xW[2kit,2（4+1）无』，且％W0的图象与y=sinx,

xe『0,2兀』的图象形状完全一致.因此将函数y=sinx,%£『0,2兀』的图象不断向左、向右

平移（每次移动2兀个单位长度），就可以得到正弦函数y=sin无，xGR的图象.

3.教材P198思考

在函数尸sin尤，xe『0,2无』的图象上，以下五个点：（0,0）,你（兀，0）,（与，T）,

（2n,0）

4.教材P198思考

对于函数y=cosx,由诱导公式cosx=sinG+T）得，y=cosx=sin（^.r+^,xGR.而函数y=

sinQ+习，xeR的图象可以通过正弦函数y=sinx,xGR的图象向左平移亨个单位长度而得

到.所以，将正弦函数的图象向左平移冷个单位长度，就得到余弦函数的图象.

5.教材P200思考

能.以函数y=sinx,xe『0,2肩的图象为基础，将图象上的每一个点都向上平移一个单位

长度，所得图象即函数y=l+sin无，xd『0,24的图象.

能.以函数y=cosx,xe『0,2无』的图象为基础，作它关于x轴对称的图象，所得图象即函

数＞=—cosx,x©『0,2兀』的图象.

『基础自测』

1.以下对正弦函数/=$皿天的图象描述不正确的是（）

A.在xG『2E,2（4+1）兀』/GZ）上的图象形状相同，只是位置不同

B.介于直线y=l与直线y=一1之间

C.关于尤轴对称

D.与y轴仅有一个交点

2.不等式sinx>0,xG『0,2兀』的解集为()

A.『0,兀』B.(0,71)

3.下列图象中，是/=一5桁苫在『0,2兀』上的图象的是()

ABCD

4.用“五点法”作函数〉=852尤/©!^的图象时，首先应描出的五个点的横坐标是

『课堂探究』

题型一用“五点法''作三角函数图象

例1画出下列函数的简图：

(l)y=1+sinx,xG『0,2%』；

(2)y=—cosx,xd『0,2兀』.

状元随笔用五点法作图关键先找出5个关键点，再用平滑的曲线连接.

方法归纳

作形如y=asinx+6(或y=acosx+6),xW『0,2兀』的图象的三个步骤

在［0,2/内先分别找出确定所求函数图象的五

列表

个关键点；在表中列出相应的五点的坐标

根据所列出的五个关键点的坐标，在坐标系中

描出相应的点

用平滑的曲线将所描出的五个关键点连接起

连线

来，便得到所求函数的图象

跟踪训练1画出函数y=3+2cosx的简图.

解题要点利用五点作图法画简图.

题型二正、余弦函数曲线的简单应用『经典例题』

A/3

例2根据正弦曲线求满足sinx》一竽在『0,2兀』上的x的取值范围.

状元随笔|在同一坐标系内作y=sinx与y=—坐的图象，利用图象求x的范围.

方法归纳

利用三角函数图象解sin〃（或COSA>〃）的三个步骤

⑴作出直线>=〃，y=sinx（或y=cosx）的图象.

（2）确定sinX=Q（或cosx=〃）的x值.

（3）确定sinx>o（或cosx>〃）的解集.

『注意』解三角不等式sinx>〃，如果不限定范围时，一般先利用图象求出『0,2兀』范

围内x的取值范围，然后根据终边相同角的同名三角函数值相等，写出原不等式的解集.

跟踪训练2根据余弦曲线求满足cosxwg的x的取值范围.

解题要点在同一坐标内作丫=««苫与＞=:的图象，利用图象求X的范围.

『学业达标』

一、选择题

1.下列对函数y=cosx的图象描述错误的是（）

A.在『0,2兀』和『4兀，6兀』上的图象形状相同，只是位置不同

B.介于直线y=l与直线y=一1之间

C.关于X轴对称

D.与y轴只有一个交点

2.下列各点中，不在y=sinx图象上的是（）

A.（0,0）B.（1,1）

C修，-1）D.（7i,1）

3.点M七，一在函数y=sinx的图象上，则相等于（）

A.0B.1

C.-1D.2

4.在同一平面直角坐标系内，函数y=sinx,xG『0,2兀』与/=$111%,xG『2%，4兀』的图

象（）

A.重合B.形状相同，位置不同

C.关于y轴对称D.形状不同，位置不同

二、填空题

5.下列叙述正确的有.

（l）y=sinx,xe『0,2肩的图象关于点尸（兀，0）成中心对称；

（2）y=cosx,xG『0,2兀』的图象关于直线x=n成轴对称；

（3）正弦、余弦函数的图象不超过直线y=l和y=-1所夹的范围.

6.关于三角函数的图象，有下列说法：

⑴尸sinq|与y=sinx的图象关于y轴对称；

(2)y=cos(一%)与y=cos|x|的图象相同;

(3)y=kin与y=sin(一%)的图象关于X轴对称；

(4)y=cosx与y=cos(—x)的图象关于y轴对称.

其中正确的序号是.

7.直线y=T与函数y=sinx,『0,2兀』的交点坐标是

三、解答题

8.利用“五点法”作出函数y=l—sinx(0W%W27i)的简图.

一坐WcosxW；,%£『0,2兀』.

9.根据y=cosx的图象解不等式:

10.利用图象变换作出下列函数的简图:

(l)y=l—cosx,冗£『0,2兀』；

(2))/=|sinx\,%£If0,4TIJ.

——★参*考*答*案★——

『新知初探』

知识点正弦曲线与余弦曲线及其画法

（0,0）（71,0）（271,0）

（0,1）（兀，—1）（2兀，1）

『基础自测』

1.『『解析J』画出y=sinx的图象，根据图象可知A,B,D三项都正确.

M答案」』c

2.『『解析」』由尸sinx在『0,2兀』的图象可得.

M答案」』B

3.『『解析J』函数y=—sinx的图象与函数y=sinx的图象关于x轴对称，故选D.

rr答案」」D

4.『『解析J』令2x=0,与，兀，争和2兀，得x=0,^it.

“答案J』0,I，I，土,兀

『课堂探究』

题型一用“五点法''作三角函数图象

例1

『『解析』』（1）按五个关键点列表：

3兀

X0三兀2兀

2~2

sinx010-10

1+sinx12101

描点并将它们用光滑的曲线连接起来:

⑵按五个关键点列表：

K3兀

X0712兀

2~2

COSX10-101

-COSX-1010-1

描点并将它们用光滑的曲线连接起来：

跟踪训练1

『『解析』』(1)列表，如下表所示

713兀

0712兀

2~2

y=cosx10-101

y=3+2cosx53135

(2)描点，连线，如图所示：

题型二正、余弦函数曲线的简单应用『经典例题』

例2

『『解析』』在同一坐标系内作出函数y=sinx与y=一£的图象，如图所示.

观察在一个闭区间『0,2兀』内的情形，满足sinx与一半的xG0,%U除，2n,

所以满足sin尤》一写-在『0,2兀』上的x的范围是

{x|B£-y^x^27r}.（^0,］兀］2%）

跟踪训练2

『『解析』』作出余弦函数y=cosx,xe『0,2兀』的图象，如图所示，由图象可以得到满足

『学业达标』

一、选择题

1.『『解析』』观察余弦函数的图象知：y=cosx关于y轴对称，故C错误.

rr答案』』c

2.『『解析』』y=sinx图象上的点是（兀，0）,而不是（兀，1）.

『『答案』』D

7T

3.『『解析』』点"在》=$抽彳的图象上，代入得一根=sin］=l,...机=-1.

rr答案」』c

4.『『解析』』根据正弦曲线的作法过程，可知函数y=5仙尤，xe『0,2肩与＞=$111%xe

『2兀，47d的图象位置不同，但形状相同.

M答案」』B

二、填空题

5.『『解析』』分别画出函数y=sinx,xG『0,2兀』和y=cosx,xG『0,2n』的图象，由图象

观察可知⑴⑵⑶均正确.

「『答案」」(1)(2)(3)

6.『『解析」』对⑵,y=cos(—x)=cosx,y=cos|x|=cosx,故其图象相同；

对(4),y=cos(—x)=cosx,

故其图象关于y轴对称，由作图可知(1)(3)均不正确.

H答案J」⑵⑷

IITSTT

7.『『解析』』令sin%=],贝!Jx=2E+《或工=2析+石兀(％£Z),又『0,2兀』，故％=不或

5

671,

仃答案」」像