函数基本性质的灵活应用（单调性与奇偶性）（重难点突破）解析版-教案课件-人教版高中数学必修第一册

专题06函数基本性质的灵活应用（单调性与奇偶性）

一、知识结构思维导图

■函数的基本性质

二、学法指导与考点梳理

1、函数的单调性

⑴单调函数的定义

增函数减函数

一般地，设函数4X）的定义域为/,如果对于定义域/内某个区间。

上的任意两个自变量的值尤1,X2

定义当尤1<%2时，都有加1）勺3），当为<%2时，都有於1）/X2）,

那么就说函数应X）在区间D上是增那么就说函数兀0在区间D上是减

函数函数

y=j\x）\Ty=yi^）

图象［加1）:兀切

o£x

描述

自左向右看图象是上升的自左向右看图象是下降的

(2)单调区间的定义

如果函数y=«x)在区间。上是增函数或减函数，那么就说函数y=/(x)在这一区间具有

(严格的)单调性，区间D叫做y=Ax)的单调区间.

2、函数的最值

前提设函数y=/(X)的定义域为/,如果存在实数M满足

(1)对于任意的尤e/,都有(3)对于任意的xe/,都有

条件

(2)存在/e/,使得(4)存在使得/(%)=河

结论M为最大值M为最小值

注意：(1)函数的值域一定存在，而函数的最值不一定存在；

(2)若函数的最值存在，则一定是值域中的元素；若函数的值域是开区间，则函数无最

值，若函数的值域是闭区间，则闭区间的端点值就是函数的最值.

3、函数单调性的常用结论

⑴若〃x),g(x)均为区间A上的增(减)函数,则/(%)+g(x)也是区间A上的增(减)函

数；

⑵若左>0,则厅(力与/(%)的单调性相同；若左<0,则4(力与/(%)的单调性相

反；

(3)函数y=/(力(/(1)>0)在公共定义域内与丁=—/(九)，y=—'—的单调性相反;

f(x)

(4)函数y=/(力(/(力20)在公共定义域内与丁=/而的单调性相同；

(5)奇函数在其关于原点对称的区间上单调性相同，偶函数在其关于原点对称的区间上单

调性相反；

(6)一些重要函数的单调性:

①丁二工+工的单调性：在(TO,—1］和［1,内)上单调递增，在(TO)和(0,1)上单调递减;

©y=ax+-(a>0,b>0)的单调性：在Joo,—、口］和、口,+oo］上单调递增，在

XXci\Xci

旧,o］和0,Jb-|上单调递减.

aJa

4、函数的奇偶性

(1).函数奇偶性的定义及图象特点

奇偶性定义图象特点

如果对于函数/(%)的定义域内任意一个X,都有

偶函数图象关于y轴对称

f(-x)=f(x),那么函数/(X)是偶函数

如果对于函数/(九)的定义域内任意一个X,都有

奇函数图象关于原点对称

“―力=—/(%),那么函数/(%)是奇函数

判断了(-X)与/(%)的关系时，也可以使用如下结论：如果/(一盼―/(力=0或

尢j=l(/(x)w0),则函数/(%)为偶函数；如果/(-x)+/(x)=0或

f(—1)

/(X)=-l(/(x)/0),则函数/(%)为奇函数.

注意：由函数奇偶性的定义可知，函数具有奇偶性的一个前提条件是：对于定义域内的任意

一个X,-X也在定义域内(即定义域关于原点对称).

(2).函数奇偶性的几个重要结论

(1)奇函数在关于原点对称的区间上的单调性相同，偶函数在关于原点对称的区间上的单

调性相反.

(2)/(x),g(x)在它们的公共定义域上有下面的结论：

/(X)g(x)/(X)+g(x)/(x)-g(x)f(x)g(x)f(g(x))

偶函数偶函数偶函数偶函数偶函数偶函数

偶函数奇函数不能确定不能确定奇函数偶函数

奇函数偶函数不能确定不能确定奇函数偶函数

奇函数奇函数奇函数奇函数偶函数奇函数

(3)若奇函数的定义域包括0,则/(o)=o.

(4)若函数〃尤)是偶函数，则/(-%)=/(%)=/(|%|).

(5)定义在(口,”)上的任意函数/(力都可以唯一表示成一个奇函数与一个偶函数之

和.

(6)若函数y=/(X)的定义域关于原点对称，则/(%)+/(-%)为偶函数，/(%)-/(-%)

为奇函数，/(尤)•/(-%)为偶函数.

(7)掌握一些重要类型的奇偶函数：

①函数为偶函数，函数=1为奇函数.

②函数/(%)=巳-J=T_£(〃>0且〃wl)为奇函数.

cix+a'a*+1

③函数/(x)=log〃L±(a>0且awl)为奇函数.

1+X

④函数_/■(x)=loga(x++1)(a>0且awl)为奇函数.

5、函数的周期性

1.周期函数

对于函数y=/(%),如果存在一个非零常数T,使得当x取定义域内的任何值时，都有

f(x+T)=f(x),那么就称函数y=/(x)为周期函数，称T为这个函数的周期.

2.最小正周期

如果在周期函数/(%)的所有周期中存在一个最小的正数，那么这个最小的正数就叫做

/(九)的最小正周期(若不特别说明，T一般都是指最小正周期).

注意：并不是所有周期函数都有最小正周期.

3.函数周期性的常用结论

设函数y=/(x),xeR,a>0.

①若/(x+a)=/(x—a),则函数的周期为2a；

②若/(x+a)=—/(%),则函数的周期为2a；

③若/(x+a)=^—,则函数的周期为2a；

/(x)

④若/(x+a)=———,则函数的周期为2a；

/(x)

⑤函数/(%)关于直线X与x=b对称，那么函数/(龙)的周期为2|8-。|；

⑥若函数/(x)关于点(a,0)对称，又关于点色,0)对称，则函数/(%)的周期是2|万—a|；

⑦若函数/(%)关于直线x=a对称，又关于点伍,0)对称，则函数/(%)的周期是4|b-a|；

⑧若函数/(九)是偶函数，其图象关于直线工=。对称，则其周期为2a；

⑨若函数/(*)是奇函数，其图象关于直线。对称，则其周期为4a

6.奇偶函数图象的对称性

①若y=f(a+x)是偶函数，则以a+x)=f(a一x)o/(2a-x)=f(x)of(x)的

图象关于直线x=a对称；

②若y=f(b+%)是偶函数，则f(b—x)=-f(b+x)of(2b—x)=-f(x)o

f(x)的图象关于点出,o)中心对称；

三、重难点题型突破

重难点1判断或证明函数的单调性

1.(单调性不能混合乘除)复合函数的单调性①增函数+增函数=增函数,减函数+减函数=

减函数；

②增函数-减函数=增函数，减函数-增函数=减函数；

③如果/(X)是增函数(/(x)w0),那么人是减函数，-/(X)也是减函数。

2.判断函数单调性的方法:

（1）定义法，步骤为：取值，作差，变形，定号，判断.利用此方法证明抽象函数的单调

性时，应根据所给抽象关系式的特点，对/或多进行适当变形，进而比较出了（七）与

/（尤2）的大小.

（2）利用复合函数关系，若两个简单函数的单调性相同，则这两个函数的复合函数为增函

数；若两个简单函数的单调性相反，则这两个函数的复合函数为减函数，简称“同增异

减”.

（3）图象法：从左往右看，图象逐渐上升，则单调递增；图象逐渐下降，则单调递减.

（4）利用已知函数的单调性，即转化为已知函数的和、差或复合函数，判断函数的单调性.

2.在利用函数的单调性写出函数的单调区间时，首先应注意函数的单调区间应是函数定义

域的子集或真子集，求函数的单调区间必须先确定函数的定义域；其次需掌握一次函数、二

次函数等基本初等函数的单调区间.

例1.（1）（2020•全国高一课时练习）函数y=@的减区间是（）

A.[0,+oo)B.(-oo,0]

C.(-oo,0),(0,+oo)D.(-oo,0)J(0,+oo)

【答案】C

【解析】

由图象知单调减区间为(—8,0),(0,+8)

(2)(2020•全国高一课时练习)函数y=/(x)在区间[-2,2]上的图象如图所示，则此函数

的增区间是()

A.[-2,0]B.[0,1]

C.[-2,1]D.[-U]

【答案】C

【解析】由图可知，自左向右看图象是上升的是增函数，则函数的增区间是[-2,1]

故选：C

kk

(3).若函数/i(x)=2x--+—在(1,+8)上是增函数，则实数左的取值范围是()

x3

A.[—2,+oo)；B.[2,+oo)；C.(—oo,—2]；D.(—oo,2]

【答案】A；

【解析】若函数/z(x)=2x——+—在(1,+8)上是增函数，贝Ij/z'(x)=2+=20对于

x3x

xe(l,+8)恒成立，即左2—2/对于xe(l,+8)恒成立，而函数M=—2/(xe工长。))的最

大值为一2,实数人的取值范围是[-2,+oo)

【变式训练1】定义在R上的函数/(九)满足：对任意的再，％e[0,+8)(石7々)，有

3小)〈0,则()

A./(3)</(2)</(4)B./⑴</(2)<〃3)

C./(-2)</(1)</(3)D./(3)</(1)</(0)

【答案】D

【解析】因为对任意的再，/目。,”）（X尸工2）,有了（%）—，（石）<0,所以函数/（%）

在［0,+8）上是减函数，因为0<1<3,所以/（3）</（1）</（0）,故选D.

【变式训练2】已知函数/（%）的定义域是（0,+oo）,且满足/（孙）=/（x）+/（y）,

7（1）=1,如果对于0<x<y,都有/（X）>/"）.

（1）求/（1）的值；

（2）解不等式/（T）+/（3—x）N—2.

【解析】(1)令x=y=l，则/(。=/(1)+/(1)，/(1)=0.

⑵解法一：由题意知/(九)为(0,+00)上的减函数，且[〉0，即x<0.

；/3)=/(%)+/(丁)，x,ye(o,+oo)且/(；)=i,

/(-%)+/(3-x)>-2可化为/(-%)+/(3-x)>-2/(1),即

f(-x)+f(^)+f(3-x)+f(­)>0

f(1)=/(-()+/(?)"⑴=/(—、•?)V⑴，

x<0

则<x3—x，解得—l<x<0.

—,------V1

I22

不等式/(-x)+/(3-x)>-2的解集为{x|-l<x<0}.

解法二：由〃l)=/(2)+/g)n/(2)=—1,

••./(4)=/(2)+/(2)=-2,

・•・/(-x)+/(3-x)>/(4),即八一%(3-%)]>/(4),

-X>0

则13—%〉0,解得—l«x<0.

—x(3—x)«4

不等式/(-%)+/(3-x)>-2的解集为{x|—1K%v0}.

重难点2判断或证明函数的奇偶性

1.（奇偶性不能混合加减）复合函数的单调性①奇函数+奇函数=奇函数,偶函数+偶函数=

偶函数；

②奇函数X奇函数=偶函数，奇函数X偶函数=奇函数，偶函数X偶函数=偶函数；

2.判断函数奇偶性的常用方法及思路:

（3）性质法：利用奇函数和偶函数的和、差、积、商的奇偶性和复合函数的奇偶性来判断.

注意：①分段函数奇偶性的判断，要注意定义域内x取值的任意性，应分段讨论，讨论时

可依据x的范围相应地化简解析式，判断/（九）与/（-X）的关系，得出结论，也可以利用

图象作判断.

②性质法中的结论是在两个函数的公共定义域内才成立的.

③性质法在选择题和填空题中可直接运用，但在解答题中应给出性质推导的过程.

例2.（1）设函数/（x）,g（x）的定义域为R,且/（x）是奇函数，g（x）是偶函数，则下列结

论中正确的是（）

A.y（x）g（x）是偶函数B.i/（x）ig（x）是奇函数

c./(x)lg(x)l是奇函数D.l/(x)g(x)l是奇函数

【答案】C

【解析】设〃(%)=/(%)|g(x)|,则〃(—x)=/(—x)|g(—x)|,因为/(X)是奇函数，g(x)是

偶函数，故H(-X)=-K(切g(小-如),即/(x)|g(x)|是奇函数,选C.

(2)下列判断正确的是

Y2-2x

A.函数/(%)=^—三是奇函数

B.函数/(尤)=X+J尤2-1是非奇非偶函数

C.函数/(%)=<是偶函数

1,

—x—1,x<0

2

D.函数/(%)=1既是奇函数又是偶函数

【答案】B

x2-2x

【解析】对于A,/(%)=--'的定义域为XW2,不关于原点对称，不是奇函数.

对于B,f(x)=X+yjx2-1■/(-x)=-X+y/x2-1,不满足奇偶性的定义，是非奇非偶

函数.

对于C,函数的定义域为(-8,0)(0,+8),关于原点对称.当x>0时，

/(-x)=-1(-^)2-1=-(1X2+1)=-/(%)；当x<0时，

/(—X)=；(—X)2+1/+1=-于(X).综上可知，函数/(%)是奇函数.

对于D,7(%)=1的图象为平行于X轴的直线，不关于原点对称，不是奇函数.

【名师点睛】对于C,判断分段函数的奇偶性时，应分段说明/'(-X)与/(X)的关系，只有

当对称的两段上都满足相同的关系时，才能判断其奇偶性.若D项中的函数是/(x)=0,且

定义域关于原点对称，则函数既是奇函数又是偶函数.

(3)(2020•山东文登高一期末)(多选题)已知/(X)是定义在R上的奇函数，且

/(x+1)为偶函数，若/⑴=2,则()

A./⑶=-2B.f(x+2)=f(x)

C./⑸=-2D./(x+4)=/(x)

【答案】AD

【解析】

因为/'(x)是定义在R上的奇函数，且/(x+1)为偶函数，

故可得/(x)=—J(—x),/(x+l)=/(—x+l),

则/(x+4)=/(—x—2)=—/(x+2)=—/(—%)=/(%),故。选项正确；

由上述推导可知/(%)=—/(》+2)w/(%+2),故3错误；

又因为/(3)=/(—1)=-/(1)=一2,故A选项正确.

又因为/(5)=/(l)=2w—2,故C错误.

故选：AD.

【变式训练11定义在区间(-1,1)上的函数/(x)满足：对任意的x,ye(-1,1),都有

/W+/(y)=/(-^).

1+xy

求证：/(x)为奇函数；

【解析】令x=y=O,则/(0)+/(0)=/(里)=/(。)

1+0

f(0)=0,令x£(—1,1)/.—x£(—1,1)

x—x

fM+f(~x)=f(-----)=/(0)=0.\/(—X)=—/(x)

1-X2

•••/(X)在(一1,1)上为奇函数

【变式训练2】设函数/(x)=(r+l)(x+a)为奇函数，则。=o

【答案】0；

【解析】由函数/(x)=G+l)(x+a)为奇函数得到了(0)=0,gp(02+l)(0+a)=0

所以。=0

重难点3利用函数的单调性或奇偶性求函数解析式或参数

例3已知函数/(x)是定义在R上的偶函数，且当归。时，f(x)=x2-2x.

(1)求/(0)及/(7(1))的值；

(2)求函数/(x)在(-8,0)上的解析式；

【思路分析】(1)根据题意，由函数的解析式，将x=0代入函数解析式即可得了(0)的值，

同理可得/(I)的值，利用函数的奇偶性思路分析可得/(/(I))的值；

(2)设x<0,则-尤>0,由函数的解析式思路分析了(-尤)的解析式，进而由函数的奇偶

性思路分析可得答案；

【答案】解：(1)根据题意，当归0时，f(x)—x1-2x；

则/(0)=0,

/(1)=1-2=-1,

又由函数f(x)为偶函数，则/(1)=/(-1)=-1,

则/⑴)=/(-1)=-1；

(2)设x<0,则-尤>0,

则有f(-无)=(-x)2-2(-无)=x2+2x,

又由函数/(x)为偶函数，

则/(%)=/(-x)—x2+2x,

则当x<0时，f(x)=x2+2x,

【变式训练1】已知/(x)是实数集R上的奇函数，当尤>0时，/(x)=-2x2+3x+l.

(1)求/(0)的值；

(2)求当x<0时，f(x)的解析式；

(3)求/(x)在R上的解析式.

【思路分析】(1)直接利用函数的奇偶性求出函数的值.

(2)利用函数的奇偶性求出函数的关系式.

(3)利用分类讨论的思想求出函数的关系式.

【答案】解：(1)V/(x)是R上的奇函数，

：.f(-0)=-f(0),

：.f(0)=-f(0),

：.2f(0)=0,

：.f(0)=0…(4分)

(2)当x<0,即-x>0时，

/(-x)=-2(-x)2+3(-x)+1=-2X2-3尤+1.

由于/(X)是奇函数，

:.f(-X)=-f(x),

_f(尤)--2x2-3x+l,

：.f(x)=2x2+3x-1(x<0)...(8分)

(3)在实数集R上函数了(无)的解析式为：

-202+30+1(0>0)

0(0=0)

{2*+3回一乂回<0)

重难点4单调性与奇偶性的综合应用

例4.(1)已知/(九)是定义在R上的奇函数，当x>0时，f(x)=x2-4x,则不等式

/(%)>%的解集用区间表示为.

【答案】(—5,0),(5,+8)

【解析】•♦•/(%)是定义在R上的奇函数，.••/(())=0.

又当x<0时，-%>0,/(-X)=x?+4x.

又/(x)为奇函数,；•/(—%)=—/(X),，/(%)=-*一4%(%<0),

x1-4x,x>0

f(x)=<0,x-0

-x2-4x,x<0

当x>0时，由/(x)>%得4%>x，解得x>5；

当x=0时，/(尤)>%无解；

当x<0时，由/(九)〉］得一%2一4%>%,解得一5<九<0.

综上，不等式/(x)>x的解集用区间表示为(—5,0)J(5,+oo).

(2).(2020•浙江高一单元测试)函数/(%)是定义在R上的奇函数，下列说法正确的是

()

A./(0)=0

B.若/(%)在［0,+8)上有最小值—1,则/(%)在(-8,0］上有最大值1

C.若/(x)在口,+8)上为增函数，则/(X)在(-8,-1］上为减函数

D.若%>0时，/(x)=f_2x,则％<0时，/(%)=-%2-2x

【答案】ABD

【解析】

由/(0)=-/(0)得/(0)=0,A正确；

当xNO时,/(x)>-l,则xWO时，/(-%)>-1,/(%)=-/(-%)<1,最大值为1,B

正确；

若“X)在［1,+8)上为增函数，则/(尤)在上为增函数，C错;

若x>0时，f(x)=x2-2x,则x<0时，-x>0,

/(%)=-/(-X)=—［(一无)2—2x(—无)］=—尤2_2无，D正确.

故选：ABD.

【变式训练1】已知函数/(%)=*—%+1,若在区间［—1,1］上，不等式/(x)>2x+m恒

成立，则实数加的取值范围是.

【答案】(―8,—1)

【解析】要使在区间［—1,1］上，不等式f(x)>2x+m恒成立，只需

加</(%)-2%=7一3%+1恒成立，设g(x)=£-3X+1,只需加小于g(x)在区间

［—1,1］上的最小值，

因为g(x)=J—3x+l=［x—|［-1,所以当x=l时，

g(x)min=g(D=l2-3xl+l=-l，所以加<一1,所以实数加的取值范围是(T»,-1).

例6.已知奇函数/(x)是定义在(—2,2)上的减函数，若/(加一1)+/(2m—1)>0,求实数

加的取值范围。

【解析】/(X)是定义在(—2,2)上奇函数对任意xe(-2,2)有/(—%)=—“力

由条件/(m-l)+/(2m-l)>0W/(m-l)>-/(2m-l)=/(I-2m)

i2

八»是定义在(—2,2)上减函数，—2＞1—2加＞m—1＞2,解得一5＜相＜§

-2x+b

【变式训练1】已知定义域为R的函数/(%)=——是奇函数。

2+a

(I)求a,6的值；

(II)若对任意的/eH,不等式/(产一2。+/(2产—幻＜0恒成立，求上的取值范围；

h-ii-2x

【解析】(I)因为/(x)是奇函数，所以/(0)=0,即上一=0n6=—/(x)=——-

a+2a+2

1—2J工

又由二/(1)=—/(—1)知——=——2_=。=2.

］-2x11

(II)［解法一］由(I)知/(%)二［前=—5十f：，易知"X)在(_8什8)上

为减函数。又因/(X)是奇函数，从而不等式：f(r-2t)+f(2t2-k)＜Q

等价于/(产—2。＜—/(2/—口=/(左—2『)，因/(%)为减函数，由上式推得：

厂一2。＞左一2厂.即对一'切feR有：3厂—2t—k＞0,

［解法二咕门)知=k.又由题设条件得:

即Q2/d+i+2)(1-2产W)+(2,2〜+1+2)(1-22?-A')<0,

整理得浮2-k＞1,因底数2＞1,故：3/-2f-左＞0

上式对一切teR均成立，从而判别式△=4+12左＜0n左＜—L

3

例7.已知定义在(—8,0)［一(0,+8)上的函数/(X)满足：

①对任意x,ye(-00,0)o(0,+oo),f(x-y)=f(x)+f(y)-②当％〉1时，

/W>0,且/(2)=1.

(1)试判断函数/Xx)的奇偶性.

(2)判断函数/(x)在(0,+8)上的单调性.

(3)求函数/(x)在区间［-4,0)(0,4］上的最大值.

(4)求不等式/(3%-2)+/(%)..4的解集.

【答案】T(—8,0］

【解析】首先由奇函数的定义得到关于。的恒等式，据此可得。的值，然后利用了'(x)20

可得。的取值范围.

若函数/(X)=e*+。葭为奇函数，则f(-x)=-/(%),SPe-A+aex=~(eA+々仁)，

即(a+D(e*+1*)=0对任意的x恒成立，则a+l=0,得a=—l

若函数/(x)=e，+aer是R上的增函数，则/''(%)=e、一。-*20在R上恒成立，

即awe?,在R上恒成立，又e2x>0,则aWO，即实数。的取值范围是(—8,0］.

四、课堂定时训练（45分钟）

1.（2020•河南省开封一中期中）已知函数y（x）=x2—2or+o在区间（一00,1）上有最小值，

则函数g（x）=K?在区间（1,+（»）上一定（）

A.有最小值B.有最大值

C.是减函数D.是增函数

【答案】D

【解析】由题意知若好0,则8（彳）=尤+2-2a在（1,+s）上单调递增；若0<a<

1,g（x）=x+?-2a在（g,+⑹上单调递增，则g（x）在（1,+oo）上单调递增.综上可得，

g（无）=x+：—2a在区间（1,+（»）上是增函数.故选D.

2.（2020•江苏省徐州一中期末）函数兀0=4右一4定的值域为.

【答案】L乖,由

［4-x>0,

【解析】因为,"所以一2圣4,

U+2>0,

所以函数人尤）的定义域为［-2,4］.

又yi=y］4一x,yi=—行工在区间［-2,4］上均为减函数，

所以加）=产三一］壬在［―2,4］上为减函数，

所以八4）中期勺（一2）.即一V6.

3.（2020•湖南岳阳一模）奇函数兀c）的定义域为R,若加+1）为偶函数，且4-1）=—1,则

y（2018）+7（2019）=（）

A.一2B.-1

C.0D.1

【答案】B

【解析】因为奇函数的定义域为R,若y（x+i）为偶函数，则八一x+i）=y（x+i）=—/（X—

1）,...«r+2）=-/（x）,则人尤+4）=-Ax+2）=/（x）,

即於）是周期为4的周期函数，所以式2018）=/（504x4+2）=A2）=—八0）=0,

y（2019）=A505x4-l）=y（-l）=-l-贝K2018）+y（2019）=0—l=-l,故选B.

4.（2020•山东潍坊期中）已知奇函数黄刈在［0,+oo）上单调递增，且<1）=1,则满足|Ax—1）0

的x的取值范围是（）

A.[-1,1]B.[0,2]

C.[1,2]D.[1,3]

【答案】B

【解析】根据题意，得函数人尤)在(-8,0]上单调递增，且八—1)=-1,则函数人x)在R上

单调递增.若施则一1勺＞一1月，即一ISLIWI,解得0WE2,即x的取值范围为

[0,2],故选B.

5.(2020•全国高一课时练习)函数y=/(x)在区间[-2,2]上的图象如图所示，则此函数的

增区间是()

A.[-2,0]B.[0,1]

C.[-2,1]D.[-1,1]

【答案】C

【解析】由图可知，自左向右看图象是上升的是增函数，则函数的增区间是[-2,1]

故选：C

6.(2020•上海高一课时练习)已知函数/(x)=炉+0?+/-8(其中p,q为常数)满

足/(—2)=10,则/(2)的值为()

A.10B.-10C.-26D.-18

【答案】C

【解析】-^g(x)=f(x)+8=x5+px3+qx,x&R,则g(x)为奇函数.

，g(—2)=—g(2),即/(—2)+8=-[/(2)+8],/(-2)=10,

.•./(2)=—"—2)—16=—10—16=—26.故选：C

7.(2020•山东文登高一期末)(多选题)已知了(x)是定义在R上的奇函数，且/(x+1)

为偶函数，若/(1)=2,则()

A./(3)=-2B.f(x+2)=f(x)

C./⑸=-2D./(x+4)=/(x)

【答案】AD

【解析】

因为/'(x)是定义在R上的奇函数，且/(x+1)为偶函数，

故可得/(x)=—J(—x),/(x+l)=/(—x+l),

则/(x+4)=/(—x—2)=—/(x+2)=—/(—%)=/(%),故。选项正确；

由上述推导可知/(%)=—/(》+2)w/(%+2),故3错误；

又因为/(3)=/(—1)=-/(1)=一2,故A选项正确.

又因为/(5)=/(l)=2w—2,故C错误.

故选：AD.

8.(多选题)如图所示是函数y=/(x)的图象，图中》正半轴曲线与虚线无限接近但是永

不相交，则以下描述正确的是()

A.函数Ax)的定义域为［T,4)

B.函数/(X)的值域为［0,+8)

C.此函数在定义域内是增函数

D.对于任意的ye(5,+8),都有唯一的自变量X与之对应

【答案】BD

【解析】对于A,由函数的图象可知，函数的定义域为［-4,0］。口,4)，故A不正确;

对于B,由函数的图象可知，函数的值域为:［0,+oo),故B正确;

对于C,函数在［-4,0］,［1,4)是增函数,结合图象可知，此函数在定义域内不是增函数，故C错

误;对于D,由函数的图象可知，对于任意的yw(5,+8)，都有唯一的自变量x与之对应，故D

正确.故选:BD.

9.(2019•北京市第十三中学高一期中)函数y=f(x)是定义域为R的偶函数，当xK)时，

函数f(x)的图象是由一段抛物线和一条射线组成(如图所示).

①当时，y的取值范围是；

②如果对任意x&［a,b］(b<0),都有ye［-2,l］,那么b的最大值是.

【答案】［1,2］-2

【解析】

由图象可知，当尤=0时，函数在［一L1］上的最小值八曲=L

当九=±1时，函数在［—L1］上的最小值Nmax=2,

所以当xe［—1,1］,函数y=/(%)的值域为［1,2］；

当xe［0,3］时，函数/(%)=—(尤一1)2+2,当xe［3,+oo)时，函数/(x)=x—5,

当/(x)=l时,x=2或x=7,

又因为函数为偶函数，图象关于>轴对称，

所以对于任意可3<0),要使得2』，则aeH,/?=—7或/?=—2,

则实数b的最大值是Z?=-2.

故答案为［1,2］；—2

10.(2020•金华市曙光学校高一月考)已知函数/(九)是定义在［-2相,1+m］上的偶函数,

且对任意和当石时，'，>0,则加=；不等式

/(2x-l)</(4x)的解集为.

【答案】1

【解析】

依题意,-2〃?+1+〃?=0,解得:〃2=1,故函数/(x)在［-2,0］上单调递增，

-2<2x-l<2

故/(2x—1)W/(4%)等价于-2<4x<2，解得：—：<X(：，不等式的解集为: