椭圆的简单几何性质同步练习 高二上学期数学人教A版（2019）选择性必修第一册

3.1.2椭圆的简单几何性质一、必备知识基础练1.椭圆6x2+y2=6的长轴的顶点坐标是()A.(-1,0),(1,0) B.(0,-1),(0,1)C.(-6,0),(6,0) D.(0,-6),(0,6)2.焦点在x轴上,长半轴长、短半轴长之和为10,焦距为45,则椭圆的标准方程为()A.x236+y216C.x26+y243.曲线x225+y29=1与xA.有相等的焦距,相同的焦点B.有相等的焦距,不同的焦点C.有不等的焦距,不同的焦点D.以上都不对4.直线l经过椭圆的一个顶点和一个焦点,若椭圆中心到l的距离为其短轴长的14,则该椭圆的离心率为(A.13 B.12 C.25.过椭圆x216+y29=1的右焦点F2作直线l,直线l交椭圆于A,B两点,F1是椭圆的左焦点,则△A.12 B.16 C.47 D.206.(多选题)已知椭圆x2k+8+y29=1的离心率A.-4 B.4 C.-54 D.7.与椭圆y24+x23=1有相同的离心率且长轴长与x8.已知椭圆C:x2a2+y2b2=1(a>b>0)的两焦点与短轴的一个顶点恰好是一个正三角形的三个顶点,且椭圆C二、关键能力提升练9.(多选题)已知曲线x216-mA.m的取值范围为(4,16)B.若该椭圆的焦点在y轴上,则m∈(10,16)C.若m=6,则该椭圆的焦距为42D.若椭圆的离心率为63,则m=10.设椭圆x2m2+y2n2=1的焦点分别为F1(0,2)与F2(0,-2).若此椭圆上存在点P使得△PF1F2为正三角形,则A.4+23 B.27 C.28 D.3611.以椭圆上一点和两个焦点为顶点的三角形的面积的最大值为2,则椭圆长轴长的最小值为.12.已知F1(-c,0),F2(c,0)为椭圆x2a2+y2b2=1(a>b>参考答案1.D椭圆方程可化为x2+y26=1,焦点在y轴上,长轴顶点的坐标为(0,±62.A由题意得c=25,a+b=10,所以b2=(10-a)2=a2-c2=a2-20,解得a2=36,b2=16,故椭圆方程为x236+3.B曲线x225+y29=1的焦距为2c=8,而曲线4.B不妨设椭圆方程为x2a2+y2b2=1(a>b>0),直线l过(0,b),(c,0),则可设直线l:x∴b2c2=3,a2-c5.B因为x216+y29=1,所以a=4,所以△AF1B的周长为|AB|+|AF1|+|BF1|=|AF2|+|BF2|+|AF1|+|BF1|=6.BC当焦点在x轴上,即当k+8>9,即k>1时,由椭圆的标准方程得a=k+8,b=3,则c=a所以椭圆的离心率e=ca=k-当焦点在y轴上,即当0<k+8<9,即-8<k<1时,由椭圆的标准方程得b=k+8,a=则c=a2-b2=1-7.x28+y26=1或y28+x26=1所以ca=12,2a=42,解得a又因为所求椭圆焦点既可在x轴上,也可在y轴上,故方程为x28+y268.x212+y所以有tan60°=bc,即b=3c.又因为椭圆C上的点到椭圆的焦点的最短距离为3所以有a-c=3,而a2=b2+c2,三个等式联立得b=3c,a-c9.BC由题意16-椭圆的焦点在y轴上,则m-4>16-m>0⇒10<m<16,故B正确;若m=6,则x210+y22=1,故c=10若椭圆的离心率为63,则1-m-416-m=23或1-10.C由已知可得椭圆的焦点位于y轴上,且|PF1|=|PF2|=|F1F2|=4,所以点P位于短轴的顶点,且|PF1|+|PF2|=2n=8,解得n=4.又椭圆的半焦距c=2,所以m2=n2-c2=12,所以m2+n2=28.故选C.11.4由题意知,当椭圆上的点为短轴端点时,三角形面积取得最大值,即bc=2.∴a2=b2+c2≥2bc=4,当且仅当b=c=2时等号成立.∴a≥2,∴2a≥4,即椭圆长轴长的最小值为4.12.解设P(x0,y0),则PF1=(-c-x0,-y0),PF2=(c-x0,-y0),所以PF1·PF2=(-c-x0)(c-x0)+(-y因为P(x0,y0)在椭