人教A版高二数学上学期重难点突破期末复习专题1.1 空间向量及其运算（七个重难点突破）（解析版）

专题1.1空间向量及其运算知识点1空间向量的有关概念1．空间向量的定义及表示定义在空间，把具有方向和大小的量叫做空间向量长度或模空间向量的大小叫做空间向量的长度或模表示方法几何表示法空间向量用有向线段表示，有向线段的长度表示空间向量的模符号表示法若向量SKIPIF1<0的起点是A，终点是B，则SKIPIF1<0也可记作SKIPIF1<0，其模记为SKIPIF1<0或SKIPIF1<02.几类特殊的空间向量名称方向模表示法零向量任意0记为SKIPIF1<0单位向量1SKIPIF1<0或SKIPIF1<0相反向量相反相等记为SKIPIF1<0共线向量相同或相反SKIPIF1<0或SKIPIF1<0相等向量相同相等SKIPIF1<0或SKIPIF1<0知识点2空间向量的线性运算1.空间向量的加减运算加法运算三角形法则语言叙述首尾顺次相接，首指向尾为和图形叙述平行四边形法则语言叙述共起点的两边为邻边作平行四边形，共起点对角线为和图形叙述减法运算三角形法则语言叙述共起点，连终点，方向指向被减向量图形叙述2.空间向量的数乘运算定义与平面向量一样，实数λ与空间向量SKIPIF1<0的乘积SKIPIF1<0仍然是一个向量，称为空间向量的数乘几何意义SKIPIF1<0SKIPIF1<0与向量SKIPIF1<0的方向相同SKIPIF1<0的长度是SKIPIF1<0的长度的SKIPIF1<0倍SKIPIF1<0SKIPIF1<0与向量SKIPIF1<0的方向相反SKIPIF1<0SKIPIF1<0，其方向是任意的3.空间向量的运算律交换律SKIPIF1<0结合律SKIPIF1<0，SKIPIF1<0分配律SKIPIF1<0知识点3共线向量与共面向量1.直线SKIPIF1<0的方向向量定义：把与SKIPIF1<0平行的非零向量称为直线SKIPIF1<0的方向向量．2．共线向量与共面向量的区别共线(平行)向量共面向量定义位置关系表示若干空间向量的有向线段所在的直线互相平行或重合，这些向量叫做共线向量或平行向量平行于同一个平面的向量叫做共面向量特征方向相同或相反特例零向量与任意向量平行充要条件共线向量定理：对于空间任意两个向量SKIPIF1<0SKIPIF1<0，SKIPIF1<0的充要条件是存在实数SKIPIF1<0使SKIPIF1<0共面向量定理：若两个向量SKIPIF1<0不共线，则向量SKIPIF1<0与向量SKIPIF1<0共面的充要条件是存在唯一的有序实数对(x，y)，使SKIPIF1<0对空间任一点O，SKIPIF1<0空间中SKIPIF1<0四点共面的充要条件是存在有序实数对SKIPIF1<0，使得对空间中任意一点SKIPIF1<0，都有SKIPIF1<0重难点1空间向量的线性运算1．如图，在空间四边形SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0分别是SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0的中点，化简下列各式：(1)SKIPIF1<0；(2)SKIPIF1<0；(3)SKIPIF1<0．【答案】(1)SKIPIF1<0(2)SKIPIF1<0(3)SKIPIF1<0【分析】（1）由于SKIPIF1<0是SKIPIF1<0的中点,所以SKIPIF1<0，再根据空间向量的加法运算即可求出结果；（2）由于SKIPIF1<0是SKIPIF1<0的中点,所以SKIPIF1<0，再根据空间向量的减法运算即可求出结果；（3）由于SKIPIF1<0，SKIPIF1<0分别SKIPIF1<0，SKIPIF1<0的中点，所以SKIPIF1<0，又SKIPIF1<0是SKIPIF1<0的中点，SKIPIF1<0，再根据空间向量的加法运算即可求出结果；(1)解：因为SKIPIF1<0是SKIPIF1<0的中点，所以SKIPIF1<0，所以，SKIPIF1<0；(2)解：因为SKIPIF1<0是SKIPIF1<0的中点,所以SKIPIF1<0，所以，SKIPIF1<0；(3)解：因为SKIPIF1<0，SKIPIF1<0分别SKIPIF1<0，SKIPIF1<0的中点，所以SKIPIF1<0，又SKIPIF1<0是SKIPIF1<0的中点，SKIPIF1<0，所以，SKIPIF1<0.2．如图，点M，N分别是四面体ABCD的棱AB和CD的中点，求证：SKIPIF1<0.【答案】详见解析.【分析】取SKIPIF1<0的中点SKIPIF1<0，连接SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，由SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0即可求证.【详解】取SKIPIF1<0的中点SKIPIF1<0，连接SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，在SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0，在SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0.3．在正六棱柱SKIPIF1<0中，化简SKIPIF1<0，并在图中标出化简结果．

【答案】SKIPIF1<0，作图见解析【分析】先利用正六棱柱的性质证得SKIPIF1<0，从而利用空间向量的线性运算即可得解.【详解】因为六边形SKIPIF1<0是正六边形，所以SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，又在正六棱柱SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，故SKIPIF1<0是平行四边形，则SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，向量SKIPIF1<0在图中标记如下，

4．如图.空间四边形OABC中，SKIPIF1<0，点M在OA上，且满足SKIPIF1<0，点N为BC的中点，则SKIPIF1<0（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【答案】D【分析】根据空间向量的加减和数乘运算直接求解即可.【详解】SKIPIF1<0.故选：D.5．如图所示，在长方体ABCD一A1B1C1D1中，SKIPIF1<0，E，F，G，H，P，Q分别是AB，BC，CC1，C1D1，D1A1，A1A的中点，求证：SKIPIF1<0.

【答案】证明见解析.【分析】先利用基底SKIPIF1<0表示出SKIPIF1<0，进而证得SKIPIF1<0成立.【详解】SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0.6．如图，设A是SKIPIF1<0所在平面外的一点，G是SKIPIF1<0的重心.求证：SKIPIF1<0.【答案】证明见解析.【分析】连接SKIPIF1<0，延长后交SKIPIF1<0于点E，利用G是SKIPIF1<0的重心即可得到SKIPIF1<0与SKIPIF1<0之间的关系.【详解】连接SKIPIF1<0，延长后交SKIPIF1<0于点E，连接SKIPIF1<0，由G为SKIPIF1<0的重心，可得SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，又SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0.7．如图，在平行六面体SKIPIF1<0中，M为SKIPIF1<0与SKIPIF1<0的交点．记SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0则下列正确的是（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【答案】C【分析】利用平行六面体的性质以及空间向量的线性运算即可求解.【详解】由题意可知：在平行六面体SKIPIF1<0中，M为SKIPIF1<0与SKIPIF1<0的交点，所以SKIPIF1<0为SKIPIF1<0的中点，则SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0SKIPIF1<0，故选：SKIPIF1<0.重难点2共线问题8．设SKIPIF1<0，SKIPIF1<0是空间中两个不共线的向量，已知SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，且A，B，D三点共线，则实数SKIPIF1<0；【答案】SKIPIF1<0；【分析】A，B，D三点共线，故存在实数SKIPIF1<0，使得SKIPIF1<0，再由已知条件表示出SKIPIF1<0与SKIPIF1<0,建立方程组可求出SKIPIF1<0和SKIPIF1<0值．【详解】因为SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，因为A，B，D三点共线，所以存在实数SKIPIF1<0，使得SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0．【点睛】本题考查了空间向量中三点共线问题，共线向量定理常常用来解决此问题．9．在正方体SKIPIF1<0中，点E，F分别是底面SKIPIF1<0和侧面SKIPIF1<0的中心，若SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0．【答案】SKIPIF1<0/－0.5【分析】作图，连接连接SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，构造三角形中位线解题﹒【详解】如图，连接SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，则点E在SKIPIF1<0上，点F在SKIPIF1<0上，易知SKIPIF1<0，且SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0．故答案为：SKIPIF1<010．(多选)若空间中任意四点O，A，B，P满足SKIPIF1<0=mSKIPIF1<0+nSKIPIF1<0，其中m+n=1，则结论正确的有（

）A．P∈直线AB B．P∉直线ABC．O，A，B，P四点共面 D．P，A，B三点共线【答案】ACD【解析】由题意可得SKIPIF1<0，代入向量式化简可得SKIPIF1<0，可得向量共线，进而可得三点共线，可得结论．【详解】解:因为SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0=SKIPIF1<0SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0=n(SKIPIF1<0)，即SKIPIF1<0=nSKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0共线.又SKIPIF1<0有公共起点A，所以P，A，B三点在同一直线上，即P∈直线AB.因为SKIPIF1<0=mSKIPIF1<0+nSKIPIF1<0，故O，A，B，P四点共面.故答案为：ACD【点睛】本题考查平面向量的共线问题，熟练表示出向量共线的条件是解决问题的关键，属中档题．11．已知SKIPIF1<0，SKIPIF1<0.（1）若SKIPIF1<0与SKIPIF1<0的方向相同，且SKIPIF1<0，则λ的值为；（2）若SKIPIF1<0与SKIPIF1<0的方向相反，且SKIPIF1<0，则λ的值为.【答案】SKIPIF1<0SKIPIF1<0【分析】根据向量共线可得答案.【详解】由于SKIPIF1<0，所以当SKIPIF1<0，SKIPIF1<0同向时，SKIPIF1<0；当SKIPIF1<0，SKIPIF1<0反向时，SKIPIF1<0.故答案为：①SKIPIF1<0；②SKIPIF1<0.12．已知SKIPIF1<0是空间的一个基底，下列不能与SKIPIF1<0，SKIPIF1<0构成空间的另一个基底的是（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【答案】A【分析】根据基底向量任意两向量不共线，三个向量不共面可判断求解.【详解】由SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，两式相加可得SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0与SKIPIF1<0共面故SKIPIF1<0不能与SKIPIF1<0，SKIPIF1<0构成空间的另一个基底．故选：A13．已知平面单位向量SKIPIF1<0，SKIPIF1<0满足SKIPIF1<0，且SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，若使SKIPIF1<0成立的正数SKIPIF1<0有且只有一个，则SKIPIF1<0的取值范围为.【答案】SKIPIF1<0/SKIPIF1<0【分析】由向量的模的计算公式得SKIPIF1<0，再根据一元二次方程的根的判别式可求得答案.【详解】解：SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，故SKIPIF1<0.由于使SKIPIF1<0成立的正数SKIPIF1<0有且只有一个，故关于以SKIPIF1<0为未知数的一元二次方程有且只有一个正实数根，故SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0，当SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0故舍去，则SKIPIF1<0.故SKIPIF1<0的范围是唯一一个实数SKIPIF1<0，故答案为：SKIPIF1<0.14．如图，在正方体SKIPIF1<0中，E在SKIPIF1<0上，且SKIPIF1<0，F在对角线A1C上，且SKIPIF1<0若SKIPIF1<0.（1）用SKIPIF1<0表示SKIPIF1<0.（2）求证：E，F，B三点共线.【答案】（1）SKIPIF1<0；（2）证明见解析.【分析】（1）由已知得SKIPIF1<0，由此可得答案；（2）由已知得SKIPIF1<0SKIPIF1<0，由此可得证.【详解】解：（1）因为SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0；（2）SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0，又SKIPIF1<0与SKIPIF1<0相交于B，所以E，F，B三点共线.15．如图，已知SKIPIF1<0为空间的9个点，且SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0.求证：（1）SKIPIF1<0；（2）SKIPIF1<0.【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析.【分析】（1）由题意，SKIPIF1<0，转化SKIPIF1<0，代入结合题干条件运算即得证；（2）由题意，SKIPIF1<0，又SKIPIF1<0，运算即得证【详解】证明：（1）SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0∴SKIPIF1<0.（2）SKIPIF1<0.重难点3向量的共面问题16．已知空间SKIPIF1<0、SKIPIF1<0、SKIPIF1<0、SKIPIF1<0四点共面，且其中任意三点均不共线，设SKIPIF1<0为空间中任意一点，若SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0（

）A．2 B．SKIPIF1<0 C．1 D．SKIPIF1<0【答案】B【分析】根据空间四点共面的充要条件代入即可解决.【详解】SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0整理得SKIPIF1<0由SKIPIF1<0、SKIPIF1<0、SKIPIF1<0、SKIPIF1<0四点共面，且其中任意三点均不共线，可得SKIPIF1<0，解之得SKIPIF1<0故选：B17．已知点SKIPIF1<0在平面SKIPIF1<0内，并且对空间任一点SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0．【答案】SKIPIF1<0【分析】根据四点共面的知识列方程，由此求得SKIPIF1<0.【详解】由于SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0.故答案为：SKIPIF1<018．已知SKIPIF1<0三点不共线，对于平面SKIPIF1<0外的任意一点SKIPIF1<0，判断在下列各条件下的点SKIPIF1<0与点SKIPIF1<0是否共面．(1)SKIPIF1<0；(2)SKIPIF1<0．【答案】(1)共面(2)不共面【分析】（1）根据空间向量的共面定理及推论，即可求解；（2）根据空间向量的共面定理及推论，即可求解；【详解】（1）解：因为SKIPIF1<0三点不共线，可得SKIPIF1<0三点共面，对于平面SKIPIF1<0外的任意一点SKIPIF1<0，若SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，又因为SKIPIF1<0，根据空间向量的共面定理，可得点SKIPIF1<0与SKIPIF1<0共面.（2）解：因为SKIPIF1<0三点不共线，可得SKIPIF1<0三点共面，对于平面SKIPIF1<0外的任意一点SKIPIF1<0，若SKIPIF1<0，此时SKIPIF1<0，根据空间向量的共面定理，可得点SKIPIF1<0与SKIPIF1<0不共面．19．已知SKIPIF1<0为两个不共线的非零向量，且SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，求证：SKIPIF1<0四点共面．【答案】证明见解析【分析】用共面向量定理证明SKIPIF1<0共面，即可得四点共面．【详解】设SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，又SKIPIF1<0为两个不共线的非零向量，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0四点共面，故原命题得证．20．SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0是三个不共面的向量，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，且SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0四点共面，则SKIPIF1<0的值为.【答案】-3【分析】由题知存在实数SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，使得SKIPIF1<0，代入条件，比较系数列方程求解.【详解】若SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0四点共面，则存在实数SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，使得SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0.故答案为：-3.21．下列条件中，一定使空间四点P､A､B､C共面的是（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【答案】D【分析】要使空间中的SKIPIF1<0、SKIPIF1<0、SKIPIF1<0、SKIPIF1<0四点共面，只需满足SKIPIF1<0，且SKIPIF1<0即可.【详解】对于A选项，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，所以点SKIPIF1<0与SKIPIF1<0、SKIPIF1<0、SKIPIF1<0三点不共面；对于B选项，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，所以点SKIPIF1<0与SKIPIF1<0、SKIPIF1<0、SKIPIF1<0三点不共面；对于C选项，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，所以点SKIPIF1<0与SKIPIF1<0、SKIPIF1<0、SKIPIF1<0三点不共面；对于D选项，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0,所以点SKIPIF1<0与SKIPIF1<0、SKIPIF1<0、SKIPIF1<0三点共面.故选：D.22．若{SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0}构成空间的一个基底，则下列向量不共面的是（

）A．SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0【答案】C【分析】由平面向量基本定理逐项判断可得答案．【详解】由平面向量基本定理得：对于A选项，SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0三个向量共面；对于B选项，SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0三个向量共面；对于C选项，则存在实数SKIPIF1<0使得SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0共面，与已知矛盾，因此C选项中向量不共面；对于D选项，SKIPIF1<0，所以三个向量共面；故选：C．知识点1空间向量的夹角如图，已知两个非零向量SKIPIF1<0，在空间任取一点SKIPIF1<0，作SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0叫做向量SKIPIF1<0的夹角，记作SKIPIF1<0，夹角的范围：SKIPIF1<0，特别地，如果SKIPIF1<0，那么向量SKIPIF1<0互相垂直，记作SKIPIF1<0知识点2空间向量的数量积运算1．空间向量的数量积已知两个非零向量SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0叫做SKIPIF1<0的数量积，记作SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0．零向量与任意向量的数量积为0，即SKIPIF1<0.2．数量积的运算律数乘向量与数量积的结合律SKIPIF1<0交换律SKIPIF1<0分配律SKIPIF1<03．投影向量在空间，向量SKIPIF1<0向向量SKIPIF1<0投影，由于它们是自由向量，因此可以先将它们平移到同一个平面α内，进而利用平面上向量的投影，得到与向量SKIPIF1<0共线的向量SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，向量SKIPIF1<0称为向量SKIPIF1<0在向量SKIPIF1<0上的投影向量．4．数量积的性质若SKIPIF1<0，SKIPIF1<0为非零向量，则（1）SKIPIF1<0；（2）SKIPIF1<0；（3）SKIPIF1<0，SKIPIF1<0；（4）SKIPIF1<0；（5）SKIPIF1<0重难点4空间向量数量积的运算23．在正四面体SKIPIF1<0中，棱长为1，且D为棱SKIPIF1<0的中点，则SKIPIF1<0的值为（

）.A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【答案】D【分析】在正四面体SKIPIF1<0中，由中点性质可得SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0可代换为SKIPIF1<0，由向量的数量积公式即可求解.【详解】如图，因为D为棱SKIPIF1<0的中点，所以SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，由正四面体得性质，SKIPIF1<0与SKIPIF1<0的夹角为60°，同理SKIPIF1<0与SKIPIF1<0的夹角为60°，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，故SKIPIF1<0，故选：D.24．如图，在直三棱柱SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0、SKIPIF1<0分别为棱SKIPIF1<0、SKIPIF1<0的中点，则SKIPIF1<0.【答案】SKIPIF1<0【分析】分析可知SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，利用空间向量数量积的运算性质可求得SKIPIF1<0的值.【详解】因为SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，同理可知SKIPIF1<0，所以，SKIPIF1<0SKIPIF1<0.故答案为：SKIPIF1<0.25．在棱长为1的正方体SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0为棱SKIPIF1<0上任意一点，则SKIPIF1<0=.【答案】1【分析】根据空间向量的线性运算及数量积的运算性质求解.【详解】如图，在正方体中，SKIPIF1<0为棱SKIPIF1<0上任意一点，则SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0.故答案为：1.26．给出下列命题：①空间中任意两个单位向量必相等；②若空间向量SKIPIF1<0满足SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0；③在向量的数量积运算中SKIPIF1<0；④对于非零向量SKIPIF1<0，由SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，其中假命题的个数是．【答案】4【分析】根据空间向量的性质，结合数量积公式，逐一分析各个选项，即可得答案.【详解】对于①：空间中任意两个单位向量的方向不能确定，故不一定相等，故①错误；对于②：空间向量SKIPIF1<0满足SKIPIF1<0，但方向可能不同，故不能得到SKIPIF1<0，故②错误；对于③：数量积运算不满足结合律，故③错误；对于④：由SKIPIF1<0，可得SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，无法得到SKIPIF1<0，故④错误.所以错误的命题个数为4.故答案为：427．已知空间四面体D­ABC的每条棱长都等于1，点E，F分别是AB，AD的中点，则SKIPIF1<0等于（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【答案】B【分析】由题意可得SKIPIF1<0，再利用空间向量的数量积运算即可得到答案.【详解】因为点SKIPIF1<0分别是SKIPIF1<0的中点，所以SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，又因为空间四面体D­ABC的每条棱长都等于1，所以SKIPIF1<0是等边三角形，则SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0.故选：B．.28．设SKIPIF1<0、SKIPIF1<0为空间中的任意两个非零向量，有下列各式：①SKIPIF1<0；②SKIPIF1<0；③SKIPIF1<0；④SKIPIF1<0.其中正确的个数为（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【答案】B【分析】利用空间向量数量积的定义可判断①、②、③；利用空间向量数量积的运算律可判断④.【详解】对于①，SKIPIF1<0，①正确；对于②，向量不能作比值，即SKIPIF1<0错误，②错误；对于③，设SKIPIF1<0、SKIPIF1<0的夹角为SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，③错误；对于④，由空间向量数量积的运算性质可得SKIPIF1<0，④正确.故选：B.【点睛】本题考查利用空间向量数量积的定义与运算性质判断等式的正误，属于基础题.29．已知向量SKIPIF1<0，向量SKIPIF1<0与SKIPIF1<0的夹角都是SKIPIF1<0，且SKIPIF1<0，试求(1)SKIPIF1<0；(2)SKIPIF1<0．【答案】(1)11(2)SKIPIF1<0【分析】（1）计算SKIPIF1<0，展开计算得到答案.（2）SKIPIF1<0，代入计算得到答案.【详解】（1）向量SKIPIF1<0，向量SKIPIF1<0与SKIPIF1<0的夹角都是SKIPIF1<0，且SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0；（2）SKIPIF1<030．在三棱锥SKIPIF1<0中，已知SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0【答案】SKIPIF1<0【分析】用SKIPIF1<0表示SKIPIF1<0，根据条件列出方程建立SKIPIF1<0的关系，利用等量代换计算SKIPIF1<0即得.【详解】设SKIPIF1<0，显然SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，而SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，于是得SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0SKIPIF1<0，则有SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0SKIPIF1<0.故答案为：SKIPIF1<0重难点5用数量积解决夹角问题31．如图，在平行六面体ABCD﹣A1B1C1D1中，底面ABCD是边长为2的正方形，侧棱AA1的长度为4，且∠A1AB＝∠A1AD＝120°.用向量法求：(1)BD1的长；(2)直线BD1与AC所成角的余弦值.【答案】(1)SKIPIF1<0(2)SKIPIF1<0【分析】（1）利用向量模的计算公式和向量的数量积的运算即得出BD1的长；（2）分别求出SKIPIF1<0的值，代入数量积求夹角公式，即可求得异面直线BD1与AC所成角的余弦值．【详解】（1）∵SKIPIF1<0，SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0＝24，∴SKIPIF1<0的长为SKIPIF1<0，（2）∵SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，∵SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0＝SKIPIF1<0，所以直线BD1与AC所成角的余弦值为SKIPIF1<0．32．（多选）如图所示，平行六面体SKIPIF1<0，其中SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，下列说法中正确的是（

）A．SKIPIF1<0B．SKIPIF1<0C．直线SKIPIF1<0与直线SKIPIF1<0是相交直线D．SKIPIF1<0与SKIPIF1<0所成角的余弦值为SKIPIF1<0【答案】ABD【分析】对选项A，根据SKIPIF1<0，再平方即可判断A正确，对选项B，根据SKIPIF1<0，即可判断B正确，对选项C，根据图形即可判断C错误，对选项D，根据空间向量夹角公式即可判断D正确.【详解】对选项A，SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，故A正确；对选项B，SKIPIF1<0SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，故B正确；对C，直线SKIPIF1<0与直线SKIPIF1<0是异面直线，C错误；对D，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0SKIPIF1<0，所以，SKIPIF1<0，于是SKIPIF1<0与SKIPIF1<0所成角的余弦值为SKIPIF1<0.故选：ABD33．已知向量SKIPIF1<0都是空间向量，且SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0.【答案】SKIPIF1<0【分析】利用向量夹角公式、范围及已知求SKIPIF1<0的大小.【详解】由题设SKIPIF1<0，而SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0.故答案为：SKIPIF1<034．已知不共面的三个向量SKIPIF1<0都是单位向量，且夹角都是SKIPIF1<0，则向量SKIPIF1<0和SKIPIF1<0的夹角为（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【答案】C【分析】根据题意计算得SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，进而计算夹角即可得答案.【详解】解：由题意，得SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0SKIPIF1<0，SKIPIF1<0设向量SKIPIF1<0和SKIPIF1<0的夹角为SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，又SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0.故选：C.35．如图，在平行六面体SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，点SKIPIF1<0为线段SKIPIF1<0中点．(1)求SKIPIF1<0；(2)求直线SKIPIF1<0与SKIPIF1<0所成角的余弦值．【答案】(1)SKIPIF1<0(2)SKIPIF1<0【分析】(1)首先设SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，得到SKIPIF1<0，再平方即可得到答案；(2)由SKIPIF1<0，得SKIPIF1<0，代入SKIPIF1<0计算即可.【详解】（1）因为在平行六面体SKIPIF1<0中，点SKIPIF1<0在线段SKIPIF1<0上，且满足SKIPIF1<0．设SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，这三个向量不共面，SKIPIF1<0构成空间的一个基底．所以SKIPIF1<0SKIPIF1<0．SKIPIF1<0，SKIPIF1<0SKIPIF1<0，SKIPIF1<0．（2）由（1）知SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0SKIPIF1<0，直线SKIPIF1<0与SKIPIF1<0所成角的余弦值为SKIPIF1<0．36．如图，二面角SKIPIF1<0的棱上有两个点A，B，线段SKIPIF1<0和SKIPIF1<0分别在这个二面角的两个面内，并且都垂直于棱l．若SKIPIF1<0，则平面SKIPIF1<0与平面SKIPIF1<0夹角的余弦值为．【答案】SKIPIF1<0【分析】设这个二面角的度数为SKIPIF1<0，由题意得SKIPIF1<0，从而得到SKIPIF1<0．【详解】解：设平面SKIPIF1<0与平面SKIPIF1<0的夹角的度数为SKIPIF1<0，由题意得SKIPIF1<0，且SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0，SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0与平面SKIPIF1<0的夹角的余弦值为SKIPIF1<0．故答案为：SKIPIF1<0．重难点6投影向量37．在标准正交基SKIPIF1<0下，已知向量SKIPIF1<0SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，则向量SKIPIF1<0在SKIPIF1<0上的投影为，在SKIPIF1<0上的投影之积为．【答案】-1256【分析】根据向量的加法求得SKIPIF1<0，即可得SKIPIF1<0在SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0上的投影分别为-12，8，7，即可得答案.【详解】解：易得SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0在SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0上的投影分别为-12，8，7，其在SKIPIF1<0，SKIPIF1<0上的投影之积为SKIPIF1<0．故答案为：-12；56.38．已知SKIPIF1<0，向量SKIPIF1<0为单位向量，SKIPIF1<0，则空间向量SKIPIF1<0在向量SKIPIF1<0方向上投影为．【答案】SKIPIF1<0【分析】根据投影的定义结合已知条件求解即可.【详解】因为SKIPIF1<0，向量SKIPIF1<0为单位向量，SKIPIF1<0，所以向量SKIPIF1<0在向量SKIPIF1<0方向上投影为SKIPIF1<0．故答案为：SKIPIF1<039．如图，在长方体SKIPIF1<0中，已知SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，分别求向量SKIPIF1<0在SKIPIF1<0、SKIPIF1<0、SKIPIF1<0方向上的投影数量．【答案】向量SKIPIF1<0在SKIPIF1<0、SKIPIF1<0、SKIPIF1<0方向上的投影数量分别为SKIPIF1<0、SKIPIF1<0、SKIPIF1<0.【分析】分析可得SKIPIF1<0，利用投影数量公式可求得向量SKIPIF1<0在SKIPIF1<0、SKIPIF1<0、SKIPIF1<0方向上的投影数量.【详解】解：非零向量SKIPIF1<0在非零向量SKIPIF1<0方向上的投影数量为SKIPIF1<0，由空间向量的平行六面体法则可得SKIPIF1<0，在长方体SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0，因此，向量SKIPIF1<0在SKIPIF1<0方向上的投影数量为SKIPIF1<0，向量SKIPIF1<0在SKIPIF1<0方向上的投影数量为SKIPIF1<0，向量SKIPIF1<0在SKIPIF1<0方向上的投影数量为SKIPIF1<0.40．如图，已知SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，则向量SKIPIF1<0在SKIPIF1<0上的投影向量等于.【答案】SKIPIF1<0【分析】先求出SKIPIF1<0，再根据投影向量的公式计算即可.【详解】SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，SKIPIF1<0向量SKIPIF1<0在SKIPIF1<0上的投影向量为SKIPIF1<0SKIPIF1<0故答案为：SKIPIF1<0.41．在棱长为SKIPIF1<0的正方体SKIPIF1<0中，向量SKIPIF1<0在向量SKIPIF1<0方向上的投影向量的模是．【答案】SKIPIF1<0【分析】由正方体的性质可得向量SKIPIF1<0与向量SKIPIF1<0