平面向量的数量积教学课件

平面向量的数量积

知识剖析

1概念

如果两个非零向量"b,它们的夹角为。，我们把数量Mircos。叫做日与3的数量积(或内积)，记作:港b,

即2-b=|即瓦cos。.规定：零向量与任一向量的数量积是0.

PS数量积是一个实数，不再是一个向量.

2投影

向量B在向量N上的投影：\b\cos9,它是一个实数，但不一定大于0.

3运算法则

对于向量a,b1和实数；i,有

(1)5-b=b-a.(2)(la)•b=A(a-b)=a•(Ab)(3)(d+b')-c=a-c+b-c

但是(石•b)c=a(5)不一定成立.

(当向量益，不不共线时，向量以大0与向量(5.肯定不共线，那怎么可能相等呢)

即向量的数量积满足交换律，分配率，但不满足结合律.

经典例题

【题型一】求数量积

【典题1】已知向量G,另满足|五十山=|山，且向=2,则五不=

【解析】因为恒+瓦=|瓦，即有怔+/=|同2,

所以彦+2d-b+b2=b2,贝ij23-b——a2——4,所以d-b——2.

【点拨】①由数量积的定义可知|益『=或

②题目中遇到类似|五+百可尝试利用性质同2=次达到去掉绝对值的目的.

【典题2】在三角形力BC中，若|同+配|=|四一近AC=6,AB=3,E,F为BC边的三等分点，则

AE-AF=.

【解析】^\AB+BC\=\AB-BC\,

则通设+近2+2AB-BC=AB2+BC2-2AB-BC,即有而■~BC=0,

AC=6,AB=3,ABC2=62-32=27.

vE，产为BC边的三等分点，

则AE-AF=(AB+'BE')须+乔)=(AB+|BC)(^4B+|fiC)

(利用首尾相接法把向量向近、前靠拢)

=-BC2+循+荏瓦=々x27+32+0=15.

99

【点拨】

①已知条件|南+BC\=\AB-玩|利用性质同2=必可得到荏,近=0,其实也可以通过平行四边形法则

和三角形法则得到的；

②求数量积族•存，第一个想法用数量积公式版•而=|荏|^^cosNEAF，但是发现题目已知条件中

很难求解|荏|、|赤|、C0S4EAF.又因为乐■BC=0,又知道AB、BC的长度，故想至lj把荏•而转化为用荏、

前衣示.

③在求数量积的时候，直接用公式很难求解，都尽量向“信息量大”的向量靠拢.

【题型二】求向量夹角

【典题1】已知向量a石满足同=1,।瓦=2,M+2瓦=vn,那么向量，与B的夹角为

【解析】|a|=1,\b\=2,|a+2b\=V21，

(a+2b>=a2+4b2+4a-b=1+16+4a-b=21,

-a--1o=1,

cos<a.,b>==I，_B.O<<a,b><n,

.,"与B的夹角为今

【典题2】已知向量窗族满足向=1,(a-6)l(3a-K),贝嗫与B的夹角的最大值为.

【解析】•••|a|=1,(a-b)1(3a-b),

(a-b)•(3a-6)=3a2+b2-4a-b=3+b2-4a•6=0,

向2+3

a-b=4，

莉_向2+3=历1+备>V3

・•・cos<a.,b>=iaiiKi_4⑻-4-T'且0。<<d,b><180°,

cos<a,,1>=当时，a石的夹角最大为30。.

【题型三】求数量积最值

【典题1】如图，已知等腰梯形ABCD中，AB=2DC=4,AD=BC=a,E是DC的中点，尸是线段BC上

的动点，则丽•前的最小值是.

B

【解析】由等腰梯形的知识可知cosB=*,

设BF=x,则（:尸=百一》,

：.EFBF=(EC+CF)BF=EC-BF+CF-BF

V54

=11%(——)+(V3—%),x,(—1)=x2—-V3x,

v0<x<V3,

，.当X=g旧时，加•市取得最小值，最小值为6遍）2一|四、：遮=一,

【典题2】如图，己知矩形A8C0的边长4B=2,4。=1.点P,Q分别在边8c,C。上，且ZP/1Q=45。，则

都•质的最小值为

【解析】设NP48=。，则N£MQ=45。-。，

加而=而血际45。=急•—•当=一停］为向，

=_______?_______=2=_______?_______>2=A\/2_4

cos26+cos6sinO出警+寿£/71（28+45。）+工一追」'

222、7222

当且仅当2。+45。=90。,

0=22.5。时取"=",当0=22.5。时，点P恰在边8C上，Q恰边CD上，满足条件,

综上所述，丽•福的最小值为4或-4,

故答案为：4A/2—4.

【典题3】已知向量2b,,满足N+3+,=I归|=2百，，与江一反所成的角为120。，则当t6R时，|4+

(1—t)力的最小值是.

【解析】

•1•a+b+c=0.11.c=—(a+6),

又与苍-3所成的角为120%：./.OEA=120°,

(此时由平行四边形法则和三角形法则构造出一个平行四边形04DB)

•••4OEB=60°|c|=2V3,

•1•OD=2百，。E=百，

|ta+(1~t~)b\=\b+t(a—b)|=\OB+tBA\,

•••丽与瓦?共线，BA^O,设丽=t瓦?，

则|td+(1-f)b\=|而|(P是直线B4上的动点)，

(其实由性质“若OC^xOA+yOB,x+y=l,则点C在直线4B上”很容易知道：直线B4上的存在一动点

P,使得OP=ta+

所以当OP垂直于4B时，|次+(1-t)瓦=|函最小，为OExsin60。=6x'=|.

【点拨】①题中遇到类似占+3+乙=6的等式，很容易想到移项，再利用平行四边形法则进行构造图形求

解；

②本题中求|E+(1-t)囱的最小值，那我们根据平行四边形法则找到向量4+(l-t近,确定出

\ta+(1—t)瓦的几何意义从而求解成功.

巩固练习

!(★)已知向量落力满足曰+山=|山,且同=2,则占石=.

【答案】-2

【解析】因为日+&=向，即有0+加=向2,

222

所以Q2+2Q•b+b=b,则2ab=-a=—4,

所以Q•b=—2,

2(**)已知非零向量d,B满足|a|=：|同，cos<d,b>=若(m2+43)1则实数m的值为.

【答案】-16

【解析】•・,已知非零向量；，b满足蜀=cos/,6>=I，

若(ma+4b)1b,

-7*7-7*3?..7*.1.T*

•••(ma+4/?)・b=ina-b4-4h2=nr-\b^\b\*~+4|1Ob|2=0,

求得m=-16,

3(**)已知向量入3满足同=1,(a-6)1(3a-6),则d与石的夹角的最大值为.

【答案】30°

【解析】•・,同=L(a-b)1(3a-6),

TTT—fTTT——f

•,.(a—b)•(3a—b)=3a24-b2—4a•&=34-h2—4a-Z?=0,

・员)=应把，

4

-T9|b|+3Lf

---cos<a,b>="==―,且0°w4,b><180°,

lallW41bl42

■.cos<a,]>=当时，a,1的夹角最大为30。.

4(★★)如图，在梯形ZBCD中，ABIICD,AB=4=3,CD=2,AM=2MD,AC-BM=-3,则布•

AD=.

【答案】|

【解析】：在梯形力员;。中，AB\\CD,AB=4,AD=3,CD=2,AM=2MD,

•••AC•BM=(AD+DC)・(B/+4M)=(4D+1+^2AD)

=-AD2--AB2--AD^AB="3,

323

212TT

：.-x32--x4^--AB*AD=-3,

323

则n-4D=|;

§(★★)已知△ABC中，点M在线段4B上，ZACB=2ZBCM=60°,且而一；l而=|襦.若|而|=6,

则丽•AB=.

【答案】27

【解析】以。”为对角线作平行四边形CPMQ,

•••CM平分4力C8,.,.四边形£P〃Q是菱形，

又07=6,45。/=30°,

：.CP^CQ^2y[3,

—>—>

，CP-CQ=2>/3x2\/3xcos60°=6,

•・・法一入后=：&,即扇=|&+人后，且4",8三点共线，

•,•入=工，

3

又CM=CP+CQ,

'.CA=-CQfCB=3CP,

・・・CM•AB=(CP+CQ).(3CP--CQ)

~3o333

=3*3+户.CQ=3X12--X12+-X6=27.

6(***)设"是△ABC的垂心，且3而+47而+5万？=6,则cos/BHC的值为

【答案】-詈

【解析】由三角形垂心性质可得，HA-HB=HB-HC=HC-HA,

不妨设/-HB=HB-HC=HC-HA=x,

-3HA+4HB+5HC=0,

：.3HA-HB+4HB2+5HCHB=0,

同理可求得|公|=JW，

HBHCV70

••cosZ-BHC=———=------.

14

7d★★汜知P为△ABC所在平面内的一点，~BP=2PC,\AP\=4,若点Q在线段4P上运动，则西・(丽+

2近)的最小值为.

【答案】-12

【解析】由题意，画图如下，

根据题意及图，可知而=凝一迹，PC=QC-QP,

•；BP=2PC,；.QP-QB=2(QC—QP),

整理，得油+2&7=3加，

则初­(QB+2QC)=QA>3QP=-3\QA\»\QP\=-3\QA\»(4-\QA\)=3(\QA\2~4\QA\),

设|QA|=/n,很明显/n€[0,4J,

故诃•(QB+2QC)=3(|<2^|2-4|<^l|)=3(/n2-47n)=3(/n-2)2-12,

根据二次函数的性质，可知：

当m=2时，丽•(•+2近)取得最小值为一12.

8(***)己知非零向量五万发满足：伍-2c)(b—2c)=0且不等式+b\+\a.—b\＞川研恒立，则实数4的

最大值为.

【答案】4

【解析】v(a—2c)•(b-2c)=；[(a—2c+b—2c)2—(a—2c—匕+2c)2]

=；[(Q+b—4c尸—(a—h)2]=0,

••.(a+b—4c尸=(a—h)2,

TTTTl

•*\CL+b—4c|=\d-b19

tTtTtTt—tt—t—tT

•・,|a+b|+|a-b|=|a+b|+|a+b—4c|>|(a+b)—(a+b—4c)|=4|c|,

又日+b|+|a-Z?|>入向恒成立,

・・•入的最大值为4.

%★★★)已知平面向量知b,高对任意实数％,y都有|五一％山之|五一瓦，|d-y矶N旬一矶成立.若同=2,

则灰3—五)的最大值是.

【答案】I

【解析】如图，

设a=MAfb=MB,c=MC,