概率论与数理统计试题库

《概率论与数理统计》试题（1）一、判断题（本题共15分，每小题3分。正确打“√”，错误打“×”）⑴对任意事件A和B，必有P(AB)=P(A)P(B)()⑵设A、B是Ω中的随机事件,则(A∪B)-B=A()⑶若X服从参数为λ的普哇松分布，则EX=DX()⑷假设检验基本思想的依据是小概率事件原理（）⑸样本方差=是母体方差DX的无偏估计（）二、（20分）设A、B、C是Ω中的随机事件，将下列事件用A、B、C表示出来（1）仅发生，B、C都不发生；（2）中至少有两个发生；（3）中不多于两个发生；（4）中恰有两个发生；（5）中至多有一个发生。三、（15分）把长为的棒任意折成三段，求它们可以构成三角形的概率.四、（10分）已知离散型随机变量的分布列为求的分布列.五、（10分）设随机变量具有密度函数，＜x＜，求X的数学期望和方差.六、（15分）某保险公司多年的资料表明，在索赔户中，被盗索赔户占20%，以表示在随机抽查100个索赔户中因被盗而向保险公司索赔的户数，求.x00.511.522.53Ф(x)0.5000.6910.8410.9330.9770.9940.999七、（15分）设是来自几何分布，的样本，试求未知参数的极大似然估计.《概率论与数理统计》试题（1）评分标准一⑴×；⑵×；⑶√；⑷√；⑸×。二解（1）（2）或；（3）或；（4）；（5）或每小题4分；三解设‘三段可构成三角形’，又三段的长分别为，则，不等式构成平面域.------------------------------------5分aS发生aSa/2不等式确定的子域，----------------------------------------10分a/2所以Aaa/20-----------------------------------------15分Aaa/20四解的分布列为.Y的取值正确得2分，分布列对一组得2分；五解，（因为被积函数为奇函数）--------------------------4分----------------------------------------10分六解X～b(k;100,0.20),EX=100×0.2=20,DX=100×0.2×0.8=16.----5分---------------------------10分=0.994+0.933--1.--------------------------------------------------15分七解----------5分--------------------------------10分解似然方程，得的极大似然估计。--------------------------------------------------------------------15分《概率论与数理统计》期末试题（2）与解答一、填空题（每小题3分，共15分）设事件仅发生一个的概率为0.3，且，则至少有一个不发生的概率为__________.设随机变量服从泊松分布，且，则______.设随机变量在区间上服从均匀分布，则随机变量在区间内的概率密度为_________.设随机变量相互独立，且均服从参数为的指数分布，，则_________，=_________.设总体的概率密度为.是来自的样本，则未知参数的极大似然估计量为_________.解：1．即所以.2．由知即解得，故.3．设的分布函数为的分布函数为，密度为则因为，所以，即故另解在上函数严格单调，反函数为所以4．，故.5．似然函数为解似然方程得的极大似然估计为.二、单项选择题（每小题3分，共15分）1．设为三个事件，且相互独立，则以下结论中不正确的是（A）若，则与也独立.（B）若，则与也独立.（C）若，则与也独立.（D）若，则与也独立.（）2．设随机变量的分布函数为，则的值为（A）.（B）.（C）.（D）.（）3．设随机变量和不相关，则下列结论中正确的是（A）与独立.（B）.（C）.（D）.（）4．设离散型随机变量和的联合概率分布为若独立，则的值为（A）.（A）.（C）（D）.（）5．设总体的数学期望为为来自的样本，则下列结论中正确的是（A）是的无偏估计量.（B）是的极大似然估计量.（C）是的相合（一致）估计量.（D）不是的估计量.（）解：1．因为概率为1的事件和概率为0的事件与任何事件独立，所以（A），（B），（C）都是正确的，只能选（D）.SASABC2．所以应选（A）.3．由不相关的等价条件知应选（B）.4．若独立则有YXYX，故应选（A）.5．，所以是的无偏估计，应选（A）.三、（7分）已知一批产品中90%是合格品，检查时，一个合格品被误认为是次品的概率为0.05，一个次品被误认为是合格品的概率为0.02，求（1）一个产品经检查后被认为是合格品的概率；（2）一个经检查后被认为是合格品的产品确是合格品的概率.解：设‘任取一产品，经检验认为是合格品’‘任取一产品确是合格品’则（1）（2）.四、（12分）从学校乘汽车到火车站的途中有3个交通岗，假设在各个交通岗遇到红灯的事件是相互独立的，并且概率都是2/5.设为途中遇到红灯的次数，求的分布列、分布函数、数学期望和方差.解：的概率分布为即的分布函数为.五、（10分）设二维随机变量在区域上服从均匀分布.求（1）关于的边缘概率密度；（2）的分布函数与概率密度.1D01z1D01zxyx+y=1x+y=zD1（2）利用公式其中当或时xzz=xzz=x故的概率密度为的分布函数为或利用分布函数法六、（10分）向一目标射击，目标中心为坐标原点，已知命中点的横坐标和纵坐标相互独立，且均服从分布.求（1）命中环形区域的概率；（2）命中点到目标中心距离的数学期望.xy01xy012；（2）.七、（11分）设某机器生产的零件长度（单位：cm），今抽取容量为16的样本，测得样本均值，样本方差.（1）求的置信度为0.95的置信区间；（2）检验假设（显著性水平为0.05）.（附注）解：（1）的置信度为下的置信区间为所以的置信度为0.95的置信区间为（9.7868，10.2132）（2）的拒绝域为.，因为，所以接受.《概率论与数理统计》期末试题（3）与解答一、填空题（每小题3分，共15分）设事件与相互独立，事件与互不相容，事件与互不相容，且，，则事件、、中仅发生或仅不发生的概率为___________.甲盒中有2个白球和3个黑球，乙盒中有3个白球和2个黑球，今从每个盒中各取2个球，发现它们是同一颜色的，则这颜色是黑色的概率为___________.设随机变量的概率密度为现对进行四次独立重复观察，用表示观察值不大于0.5的次数，则___________.设二维离散型随机变量的分布列为若，则____________.设是总体的样本，是样本方差，若，则____________.（注：,,,）解：（1）因为与不相容，与不相容，所以，故同理..（2）设‘四个球是同一颜色的’，‘四个球都是白球’，‘四个球都是黑球’则.所求概率为所以.（3）其中，，.（4）的分布为XY10.60.4这是因为，由得，故.（5）即，亦即.二、单项选择题（每小题3分，共15分）（1）设、、为三个事件，且，则有（A）（B）（C）（D）（）（2）设随机变量的概率密度为且，则在下列各组数中应取（A）（B）（C）.（D）（）（3）设随机变量与相互独立，其概率分布分别为则有（A）（B）（C）（D）（）（4）对任意随机变量，若存在，则等于（A）（B）（C）（D）（）（5）设为正态总体的一个样本，表示样本均值，则的置信度为的置信区间为（A）（B）（C）（D）（）解（1）由知，故应选C.（2）即故当时应选B.（3）应选C.（4）应选C.（5）因为方差已知，所以的置信区间为应选D.三、（8分）装有10件某产品（其中一等品5件，二等品3件，三等品2件）的箱子中丢失一件产品，但不知是几等品，今从箱中任取2件产品，结果都是一等品，求丢失的也是一等品的概率。解：设‘从箱中任取2件都是一等品’‘丢失等号’.则；所求概率为.四、（10分）设随机变量的概率密度为求（1）常数；（2）的分布函数；（3）解：（1）∴（2）的分布函数为（3）.五、（12分）设的概率密度为求（1）边缘概率密度；（2）；（3）的概率密度.x+y=1yx+y=1yy=xx0（2）.（3）zyz=xxzyz=xx0z=2x时所以六、（10分）（1）设，且与独立，求；（2）设且与独立，求.11yx11yx0；（2）因相互独立，所以，所以.七、（10分）设总体的概率密度为试用来自总体的样本，求未知参数的矩估计和极大似然估计.解：先求矩估计故的矩估计为再求极大似然估计所以的极大似然估计为.《概率论与数理统计》期末试题（4）与解答一、填空题（每小题3分，共15分）设,,，则至少发生一个的概率为_________.设服从泊松分布，若，则___________.设随机变量的概率密度函数为今对进行8次独立观测，以表示观测值大于1的观测次数，则___________.元件的寿命服从参数为的指数分布，由5个这种元件串联而组成的系统，能够正常工作100小时以上的概率为_____________.设测量零件的长度产生的误差服从正态分布，今随机地测量16个零件，得，.在置信度0.95下，的置信区间为___________.解：（1）得.（2）故..（3），其中.（4）设第件元件的寿命为，则.系统的寿命为，所求概率为（5）的置信度下的置信区间为所以的置信区间为（）.二、单项选择题（下列各题中每题只有一个答案是对的，请将其代号填入（）中，每小题3分，共15分）（1）是任意事件，在下列各式中，不成立的是（A）. （B）.（C）.（D）.（）（2）设是随机变量，其分布函数分别为，为使是某一随机变量的分布函数，在下列给定的各组数值中应取（A）.（B）.（C）.（D）. （）（3）设随机变量的分布函数为，则的分布函数为（A）.（B）.（C）.（D）.（）（4）设随机变量的概率分布为.且满足，则的相关系数为（A）0.（B）.（C）.（D）.（）（5）设随机变量且相互独立，根据切比雪夫不等式有（A）.（B）.（C）.（D）.（）解：（1）（A）：成立，（B）：应选（B）（2）.应选（C）（3）应选（D）（4）的分布为X2X1–101–10000100，所以，于是.应选（A）（5）由切比雪夫不等式应选（D）三、（8分）在一天中进入某超市的顾客人数服从参数为的泊松分布，而进入超市的每一个人购买种商品的概率为，若顾客购买商品是相互独立的，求一天中恰有个顾客购买种商品的概率。解：设‘一天中恰有个顾客购买种商品’‘一天中有个顾客进入超市’则.四、（10分）设考生的外语成绩（百分制）服从正态分布，平均成绩（即参数之值）为72分，96以上的人占考生总数的2.3%，今任取100个考生的成绩，以表示成绩在60分至84分之间的人数，求（1）的分布列.（2）和.解：（1），其中由得，即，故所以.故的分布列为（2），.五、（10分）设在由直线及曲线所围成的区域上服从均匀分布，（1）求边缘密度和，并说明与是否独立.（2）求.y01e2xy01e2xy=1/xD的概率密度为（1）（2）因，所以不独立.（3）.六、（8分）二维随机变量在以为顶点的三角形区域上服从均匀分布，求的概率密度。yx+y=z1yx+y=z10–1xD1设的概率密度为，则1–1zy0y当1–1zy0y当时所以的密度为解2：分布函数法，设的分布函数为，则故的密度为七、（9分）已知分子运动的速度具有概率密度为的简单随机样本（1）求未知参数的矩估计和极大似然估计；（2）验证所求得的矩估计是否为的无偏估计。解：（1）先求矩估计再求极大似然估计得的极大似然估计，（2）对矩估计所以矩估计是的无偏估计.八、（5分）一工人负责台同样机床的维修，这台机床自左到右排在一条直线上，相邻两台机床的距离为（米）。假设每台机床发生故障的概率均为，且相互独立，若表示工人修完一台后到另一台需要检修的机床所走的路程，求.解：设从左到右的顺序将机床编号为为已经修完的机器编号，表示将要去修的机床号码，则于是《概率论与数理统计》试题（5）一、判断题（每小题3分，本题共15分。正确打“√”，错误打“×”）⑴设A、B是Ω中的随机事件,必有P(A-B)=P(A)-P(B)()⑵设A、B是Ω中的随机事件,则A∪B=A∪AB∪B()⑶若X服从二项分布b(k;n,p),则EX=p()⑷样本均值=是母体均值EX的一致估计（）⑸X～N(,),Y～N(,)，则X－Y～N(0,－)（）二、计算（10分）（1）教室里有个学生，求他们的生日都不相同的概率；（2）房间里有四个人，求至少两个人的生日在同一个月的概率.三、（10分）设，证明、互不相容与、相互独立不能同时成立.四、（15分）某地抽样结果表明，考生的外语成绩（百分制）近似服从正态分布，平均成绩（即参数之值）为72分，96分以上的占考生总数的2.3%，试求考生的外语成绩在60分至84分之间的概率。分布表如下x011.522.53Ф(x)0.50.8410.9330.9770.9940.999五、（15分）设的概率密度为问是否独立？六、（20分）设随机变量服从几何分布，其分布列为，求与七、（15分）设总体服从指数分布试利用样本，求参数的极大似然估计.八《概率论与数理统计》试题（5）评分标准一⑴×；⑵√；⑶×；⑷√；⑸×。二解（1）设‘他们的生日都不相同’，则----------------------------------------------------------5分（2）设‘至少有两个人的生日在同一个月’，则；或-------------------------------------------10分三证若、互不相容，则，于是所以、不相互独立.-----------------------------------------------------------5分若、相互独立，则，于是，即、不是互不相容的.--------------------------------------------------------------5分四解-------------------------3分-------------------------------------7分所求概率为----------12分=2Ф（1）-1=2×0.841-1=0.682--------------------15分五解边际密度为---5分---------------------------------------------------------10分因为，所以独立.-----------------------------------15分六解1--8分其中由函数的幂级数展开有，所以--------------------------------12分因为-----16分所以------------------------------------20分七解-----------------------------------------------------------8分由极大似然估计的定义，的极大似然估计为---------------------------15分《概率论与数理统计》试题（6）一、判断题（本题共15分，每小题3分。正确打“√”，错误打“×”）⑴设A、B是Ω中的随机事件，则Ａ－ＢA（）⑵对任意事件A与B，则有P(A∪B)=P(A)+P(B)（）⑶若X服从二项分布b(k;n,p),则EX=npq()⑷X~N（，2），X1，X2，……Xn是X的样本，则~N（，2）（）⑸X为随机变量，则DX=Cov（X，X）----------------------------------------------（）二、（10分）一袋中装有枚正品硬币，枚次品硬币（次品硬币的两面均印有国徽）从袋中任取一枚，已知将它投掷次，每次都得到国徽，问这枚硬币是正品的概率是多少？.三、（15分）在平面上画出等距离的一些平行线，向平面上随机地投掷一根长的针，求针与任一平行线相交的概率.四、（15分）从学校到火车站的途中有3个交通岗，假设在各个交通岗遇到红灯的事件是相互独立的，并且概率都是，设为途中遇到红灯的次数，求随机变量的分布律、分布函数和数学期望.五、（15分）设二维随机变量（，）在圆域x2+y2≤a2上服从均匀分布，（1）求和的相关系数；（2）问是否独立？六、（10分）若随机变量序列满足条件试证明服从大数定律.七、（10分）设是来自总体的一个样本，是的一个估计量，若且试证是的相合（一致）估计量。八、（10分）某种零件的尺寸标准差为σ=5.2，对一批这类零件检查9件得平均尺寸数据（毫米）：=26.56,设零件尺寸服从正态分布，问这批零件的平均尺寸能否认为是26毫米（）.正态分布表如下x01.561.962.333.1Ф(x)0.50.9410.9750.990.999《概率论与数理统计》试题（6）评分标准一⑴√；⑵×；⑶×；⑷×；⑸√。二解设‘任取一枚硬币掷次得个国徽’，‘任取一枚硬币是正品’，则，----------------------------------------------------------5分所求概率为.------------------10分三解设‘针与某平行线相交’，针落在平面上的情况不外乎图中的几种，设为针的中点到最近的一条平行线的距离。为针与平行线的夹角，则ayay，不等式确定了平面上ayayxy0yAxy0yAS------------------------10分故-----------------------------------------------------15分四解，分布律为即-----------------------5分的分布函数为------------------有所不同-----------------10分---------------------------------------------------15分五．解的密度为-------------------------------------------3分（1）故的相关系数.----------------------------------------------------------9分（2）关于的边缘密度为关于的边缘密度的因为，所以不独立.------------------------------------15分六证：由契贝晓夫不等式，对任意的有---------5分所以对任意的故服从大数定律。----------------------------------------------------------------------10分七证由契贝晓夫不等式，对任意的有-------------------------------------------------------5分于是即依概率收敛于，故是的相合估计。--------------------------------------10分八解问题是在已知的条件下检验假设：=26查正态分布表，1－=0.975,=1.96---------------5分1u1=1.08＜1.96,应当接受，即这批零件的平均尺寸应认为是26毫米。---------------15分模拟试题A一.单项选择题（每小题3分，共9分）1.打靶3发，事件表示“击中i发”，i=0，1，2，3。那么事件表示

(

)。(A)

全部击中；

(B)

至少有一发击中；(C)必然

击中；

(D)

击中3发2.设离散型随机变量x的分布律为则常数A应为(

)。

(A)；

(B)

；

(C)

；

(D)3.设随机变量

，服从二项分布B(n，p)，其中0<p<1，n=1，2,…，那么，对于任一实数x，有等于

(

)。(A)

;

(B);(C)

;

(D)二、填空题（每小题3分，共12分）1.设A,B为两个随机事件，且P(B)>0，则由乘法公式知P(AB)=__________2.设且有,,则=___________。3.某柜台有4个服务员，他们是否需用台秤是相互独立的，在1小时内每人需用台秤的概率为，则4人中至多1人需用台秤的概率为：__________________。4.从1，2，…，10共十个数字中任取一个，然后放回，先后取出5个数字，则所得5个数字全不相同的事件的概率等于___________。三、（10分）已知

，求证

四、（10分）5个零件中有一个次品，从中一个个取出进行检查，检查后不放回。直到查到次品时为止，用x表示检查次数，求

的分布函数：五、（11分）设某地区成年居民中肥胖者占10%,不胖不瘦者占82%,瘦者占8%,又知肥胖者患高血压的概率为20%,不胖不瘦者患高血压病的概率为10%,瘦者患高血压病的概率为5%,

试求：(1)该地区居民患高血压病的概率;(2)若知某人患高血压,则他属于肥胖者的概率有多大？六、（10分）从两家公司购得同一种元件，两公司元件的失效时间分别是随机变量和，其概率密度分别是：

如果与相互独立，写出的联合概率密度，并求下列事件的概率:

(1)到时刻两家的元件都失效(记为A)，

(2)到时刻两家的元件都未失效(记为B)，

(3)在时刻至少有一家元件还在工作(记为D)。七、（7分）证明：事件在一次试验中发生次数x的方差一定不超过。八、（10分）设和是相互独立的随机变量，其概率密度分别为又知随机变量

,

试求w的分布律及其分布函数。九、（11分）某厂生产的某种产品，由以往经验知其强力标准差为

7.5kg且强力服从正态分布，改用新原料后，从新产品中抽取25件作强力试验，算得

，问新产品的强力标准差是否有显著变化？(分别取和0.01，已知，）十、（11分）在考查硝酸钠的可溶性程度时，对一系列不同的温度观察它在100ml的水中溶解的硝酸钠的重量，得观察结果如下：从经验和理论知与之间有关系式?且各独立同分布于。试用最小二乘法估计a,b.概率论与数理统计模拟试题A解答一、单项选择题1.（B）;

2.(B);

3.(D)二、填空题1.P(B)P(A|B);

2.0.3174;

3.

;

4.

=0.3024三、解：因，故可取

其中

u～N(0，1)，，且u与y相互独立。从而

与y也相互独立。又由于

于是

四、的分布律如下表：五、(i=1，2，3)分别表示居民为肥胖者，不胖不瘦者，瘦者B

：“

居民患高血压病”则

，

，

，

，

由全概率公式由贝叶斯公式，六、(x,h)联合概率密度

(1)

P(A)=

(2)

(3)

七、证一：设事件A在一次试验中发生的概率为p，又设随机变量

则

，

故证二：

八、因为

所以w的分布律为w的分布函数为九、要检验的假设为：

；

在

时，故在

时，拒绝认为新产品的强力的标准差较原来的有显著增大。

当

时，

故在下接受，认为新产品的强力的标准差与原来的显著差异。

注:：

改为：也可十、模拟试题C(A.B.D)一.填空题（每小题3分，共15分）1．

设A，B，C是随机事件，则A，B，C三个事件恰好出现一个的概率为______。2．

设X，Y是两个相互独立同服从正态分布的随机变量，则E(|X-Y|)=______。3．

是总体X服从正态分布N，而是来自总体X的简单随机样本，则随机变量服从______，参数为______。4．

设随机变量X的密度函数，Y表示对X的5次独立观察终事件出现的次数，则DY=______。5．

设总体X的密度函数为是来自X的简单随机样本，则X的最大似然估计量＝______。二.选择题（每小题3分，共15分）1．设,则下列结论成立的是（

）（A）事件A和B互不相容；（B）事件A和B互相对立；（C）事件A和B互不独立；（D）事件A和B互相独立。2．将一枚硬币重复郑n次，以X和Y分别表示正面向上和反面向上的次数，则X与Y的相关系数等于（

）。（A）-1

（B）0

（C）1/2

（D）13．设分别为随机变量的分布函数，为使是某一随机变量的分布函数，在下列给定的各组值中应取（

）。3．设是来自正态总体的简单随机样本，是样本均值，记则服从自由度为n-1的t分布随机变量为（

）。5．设二维随机变量（X，Y）服从二维正态分布，则随机变量不相关的充分必要条件为（

）。三、（本题满分10分）假设有两箱同种零件，第一箱内装50件，其中10件一等品，第二箱内装30件，其中18件一等品。现从两箱中随意挑出一箱，然后从该箱中先后随机取两个零件（取出的零件均不放回），试求：（1）先取出的零件是一等品的概率；（2）在先取出的零件是一等品的下，第二次取出的零件仍然是一等品的概率。四、（本题满分10分）假设在单位时间内分子运动速度X的分布密度为，

求该单位时间内分子运动的动能的分布密度，平均动能和方差。五、（本题满分10分）设随机变量X与Y独立，同服从[0,1]上的均匀分布。试求：六、（本题满分10分）某箱装有100件产品，其中一、二和三等品分别为80件、10件、10件，现从中随机抽取，记，试求：（1）随机变量的联合分布；（2）随机变量的相关系数。七、（本题满分15分）设总体X的密度函数为是来自X的简单随机样本，试求：八、（本题满分15分）某化工厂为了提高某种化学药品的得率，提出了两种工艺方案，为了研究哪一种方案好，分别对两种工艺各进行了10次试验，计算得

假设得率均服从正态分布，问方案乙是否能比方案甲显著提高得率？

概率论与数理统计模拟试题C解答模拟试题D(A.B.C)一、填空题（每小题3分，共15分）1．甲、乙二人独立地向同一目标射击一次，其命中率分别为0.6和0.5，现已知目标被命中，则它是甲命中的概率是______。2．设X和Y为两个随机变量，且，则。3．设随机变量X与Y独立，,且，则。4．设是来自正态总体N（0，1）的简单随机样本，令为使服从分布，则a=______,b=______.5．设由来自正态总体的一个容量为9的简单随机样本计算得样本均值为5，则未知数的置信度为0.95的置信区间为______。二.选择题（每小题3分，共15分）1．当事件A与事件B同时发生时，事件C必发生，则（

）。2．设随机变量X服从指数分布，则随机变量Y＝min（X，2）的分布函数（

）。（A）是连续函数；

（B）至少有两个间断点；（C）是阶梯函数；

（D）恰好有一个间断点。3．设随机变量X和Y独立同分布，记U＝X－Y，V＝X+Y,则随机变量U与V也（

）。（A）不独立；

（B）独立；（C）相关系数不为零；

（D）相关系数为零。4．设总体X服从正态分布，是来自X的简单随机样本，为使是的无偏估计量，则A的值为（

）。5．对正态总体的数学期望进行假设检验，如果在显著水平下，接受假设，则在显著水平下，下列结论中正确的是（

）。（A）必接受；

（B）可能接受，也可能有拒绝；（C）必拒绝；

（D）不接受，也不拒绝。三、（本题满分10分）三架飞机：已架长机两架僚机，一同飞往某目的地进行轰炸，但要到达目的地，一定要有无线电导航。而只有长机有此设备。一旦到达目的地，各机将独立进行轰炸，且每架飞机炸毁目标的概率均为0.3。在到达目的地之前，必须经过高射炮阵地上空。此时任一飞机被击落的概率为0.2，求目标被炸毁的概率。四、（本题满分10分）使用了小时的电子管在以后的小时内损坏的概率等于，其中是不依赖于的数，求电子管在T小时内损坏的概率。五、（本题满分10分）设随机变量X与Y独立同服从参数为1的指数分布。证明相互独立。六、（本题满分10分）设二维随机变量（X，Y）的联合密度函数为（1）

计算;（2）

求X与Y的密度函数；（3）

求Z＝X＋Y的密度和函数。七、（本题满分15分）设总体X服从正态分布，是来自X的一个样本，是未知参数。（1）

区域的最大似然估计量；（2）

是否是的有效估计？为什么？八、（本题满分15分）设有线性模型其中相互独立，同服从正态分布：（1）

试求系数的最小二乘估计；（2）

求的无偏估计量；（3）

求构造检验假设的统计量。

概率论与数理统计模拟试题D解答概率论与数理统计<概率论>试题一、填空题1．设A、B、C是三个随机事件。试用A、B、C分别表示事件1）A、B、C至少有一个发生2）A、B、C中恰有一个发生3）A、B、C不多于一个发生2．设A、B为随机事件，，，。则＝3．若事件A和事件B相互独立,，则4.将C,C,E,E,I,N,S等7个字母随机的排成一行，那末恰好排成英文单词SCIENCE的概率为5.甲、乙两人独立的对同一目标射击一次，其命中率分别为0.6和0.5，现已知目标被命中，则它是甲射中的概率为6.设离散型随机变量分布律为则A=______________7.已知随机变量X的密度为,且,则________________ 8.设～,且,则_________9.一射手对同一目标独立地进行四次射击，若至少命中一次的概率为，则该射手的命中率为_________10.若随机变量在（1，6）上服从均匀分布，则方程x2+x+1=0有实根的概率是11.设，，则12.用（）的联合分布函数F（x,y）表示13.用（）的联合分布函数F（x,y）表示14.设平面区域D由y=x,y=0和x=2所围成，二维随机变量(x,y)在区域D上服从均匀分布，则（x,y）关于X的边缘概率密度在x=1处的值为。15.已知，则＝16.设，且与相互独立，则17.设的概率密度为，则＝18.设随机变量X1，X2，X3相互独立，其中X1在[0，6]上服从均匀分布，X2服从正态分布N（0，22），X3服从参数为=3的泊松分布，记Y=X1－2X2+3X3，则D（Y）=19.设，则20.设是独立同分布的随机变量序列,且均值为,方差为,那么当充分大时,近似有～或～。特别是，当同为正态分布时，对于任意的，都精确有～或～.21.设是独立同分布的随机变量序列,且，那么依概率收敛于.22.设是来自正态总体的样本，令则当时～。23.设容量n=10的样本的观察值为（8，7，6，9，8，7，5，9，6），则样本均值=，样本方差=24.设X1,X2,…Xn为来自正态总体的一个简单随机样本，则样本均值服从二、选择题1.设A,B为两随机事件，且，则下列式子正确的是（A）P(A+B)=P(A);（B）（C）（D）2.以A表示事件“甲种产品畅销，乙种产品滞销”，则其对立事件为（A）“甲种产品滞销，乙种产品畅销”；（B）“甲、乙两种产品均畅销”（C）“甲种产品滞销”；（D）“甲种产品滞销或乙种产品畅销”。3.袋中有50个乒乓球，其中20个黄的，30个白的，现在两个人不放回地依次从袋中随机各取一球。则第二人取到黄球的概率是（A）1/5（B）2/5（C）3/5（D）4/54.对于事件A，B，下列命题正确的是（A）若A，B互不相容，则与也互不相容。（B）若A，B相容，那么与也相容。（C）若A，B互不相容，且概率都大于零，则A，B也相互独立。（D）若A，B相互独立，那么与也相互独立。5.若，那么下列命题中正确的是（A）（B）（C）（D）6．设～,那么当增大时，A）增大B）减少C）不变D）增减不定。7．设X的密度函数为，分布函数为，且。那么对任意给定的a都有A）B）C）D）8．下列函数中，可作为某一随机变量的分布函数是A）B）C）D），其中9．假设随机变量X的分布函数为F(x),密度函数为f(x).若X与-X有相同的分布函数，则下列各式中正确的是A）F(x)=F(-x);B)F(x)=-F(-x);C)f(x)=f(-x);D)f(x)=-f(-x).10．已知随机变量X的密度函数f(x)=(>0,A为常数)，则概率P{}（a>0）的值A）与a无关，随的增大而增大B）与a无关，随的增大而减小C）与无关，随a的增大而增大D）与无关，随a的增大而减小11．,独立,且分布率为,那么下列结论正确的是A）Ｂ）C）Ｄ）以上都不正确12．设离散型随机变量的联合分布律为且相互独立，则A）B）C）D）13．若～，～那么的联合分布为A）二维正态，且B）二维正态，且不定C）未必是二维正态D）以上都不对14．设X，Y是相互独立的两个随机变量，它们的分布函数分别为FX(x),FY(y),则Z=max{X,Y}

的分布函数是A）FZ（z）=max{FX(x),FY(y)};B)FZ（z）=max{|FX(x)|,|FY(y)|}C)FZ（z）=FX（x）·FY(y)D)都不是15．下列二无函数中，可以作为连续型随机变量的联合概率密度。A）f(x,y)=B)g(x,y)=C)(x,y)=D)h(x,y)=16．掷一颗均匀的骰子次，那么出现“一点”次数的均值为A）50B）100C）120D）15017．设相互独立同服从参数的泊松分布，令，则A）1.B）9.C）10.D）6.18．对于任意两个随机变量和，若，则A）B）C）和独立D）和不独立19．设，且，则=A）1，B）2，C）3，D）020．设随机变量X和Y的方差存在且不等于0，则是X和Y的A）不相关的充分条件，但不是必要条件；B）独立的必要条件，但不是充分条件；C）不相关的充分必要条件；D）独立的充分必要条件21．设～其中已知，未知，样本，则下列选项中不是统计量的是A）B）C）D）22．设～是来自的样本，那么下列选项中不正确的是A）当充分大时，近似有～B）C）D）23．若～那么～A）B）C）D）24．设为来自正态总体简单随机样本，是样本均值，记，，，，则服从自由度为的分布的随机变量是A)B)C)D)25．设X1,X2,…Xn，Xn+1,…,Xn+m是来自正态总体的容量为n+m的样本，则统计量服从的分布是A)B)C)D)三、解答题1．10把钥匙中有3把能打开门，今任意取两把，求能打开门的概率。2.任意将10本书放在书架上。其中有两套书，一套3本，另一套4本。求下列事件的概率。1）3本一套放在一起。2）两套各自放在一起。3）两套中至少有一套放在一起。3.调查某单位得知。购买空调的占15％，购买电脑占12％，购买DVD的占20%；其中购买空调与电脑占6%，购买空调与DVD占10%，购买电脑和DVD占5％，三种电器都购买占2％。求下列事件的概率。1）至少购买一种电器的；2）至多购买一种电器的；3）三种电器都没购买的；4．仓库中有十箱同样规格的产品，已知其中有五箱、三箱、二箱依次为甲、乙、丙厂生产的，且甲厂，乙厂、丙厂生产的这种产品的次品率依次为1/10,1/15,1/20.从这十箱产品中任取一件产品，求取得正品的概率。一箱产品，A，B两厂生产分别个占60％，40％，其次品率分别为1％，2％。现在从中任取一件为次品，问此时该产品是哪个厂生产的可能性最大？有标号1∼n的n个盒子，每个盒子中都有m个白球k个黑球。从第一个盒子中取一个球放入第二个盒子，再从第二个盒子任取一球放入第三个盒子，依次继续，求从最后一个盒子取到的球是白球的概率。7．从一批有10个合格品与3个次品的产品中一件一件地抽取产品，各种产品被抽到的可能性相同，求在二种情况下，直到取出合格品为止，所求抽取次数的分布率。（1）放回（2）不放回8．设随机变量X的密度函数为,求(1）系数A,(2)(3)分布函数。9．对球的直径作测量，设其值均匀地分布在[]内。求体积的密度函数。10．设在独立重复实验中，每次实验成功概率为0.5，问需要进行多少次实验，才能使至少成功一次的概率不小于0.9。11．公共汽车车门的高度是按男子与车门碰头的机会在0.01以下来设计的，设男子的身高,问车门的高度应如何确定？12．设随机变量X的分布函数为：F(x)=A+Barctanx,(-).求：（1）系数A与B；（2）X落在（-1，1）内的概率；（3）X的分布密度。13．把一枚均匀的硬币连抛三次，以表示出现正面的次数，表示正、反两面次数差的绝对值，求的联合分布律与边缘分布。14．设二维连续型随机变量的联合分布函数为求（1）的值，（2）的联合密度，（3）判断的独立性。15．设连续型随机变量（X，Y）的密度函数为f(x,y)=,求（1）系数A；（2）落在区域D：{的概率。16．设的联合密度为，（1）求系数A，（2）求的联合分布函数。17．上题条件下：（1）求关于及的边缘密度。（2）与是否相互独立？18．在第16）题条件下，求和。19．盒中有7个球，其中4个白球，3个黑球，从中任抽3个球，求抽到白球数的数学期望和方差。20．有一物品的重量为1克，2克，﹒﹒﹒，10克是等概率的，为用天平称此物品的重量准备了三组砝码，甲组有五个砝码分别为1，2，2，5，10克，乙组为1，1，2，5，10克，丙组为1，2，3，4，10克，只准用一组砝码放在天平的一个称盘里称重量，问哪一组砝码称重物时所用的砝码数平均最少?21．公共汽车起点站于每小时的10分，30分，55分发车，该顾客不知发车时间，在每小时内的任一时刻随机到达车站，求乘客候车时间的数学期望（准确到秒）。22．设排球队A与B比赛，若有一队胜4场，则比赛宣告结束，假设A，B在每场比赛中获胜的概率均为1/2,试求平均需比赛几场才能分出胜负？23．一袋中有张卡片，分别记为1，2，﹒﹒﹒，，从中有放回地抽取出张来，以表示所得号码之和，求。24．设二维连续型随机变量（X，Y）的联合概率密度为：f(x,y)=求：=1\*GB3①常数k，=2\*GB3②及.25．设供电网有10000盏电灯，夜晚每盏电灯开灯的概率均为，并且彼此开闭与否相互独立，试用切比雪夫不等式和中心极限定理分别估算夜晚同时开灯数在到之间的概率。26．一系统是由个相互独立起作用的部件组成，每个部件正常工作的概率为，且必须至少由的部件正常工作，系统才能正常工作，问至少为多大时，才能使系统正常工作的概率不低于？27．甲乙两电影院在竞争名观众，假设每位观众在选择时随机的，且彼此相互独立，问甲至少应设多少个座位，才能使观众因无座位而离去的概率小于。28．设总体服从正态分布，又设与分别为样本均值和样本方差，又设，且与相互独立，求统计量的分布。29．在天平上重复称量一重为的物品，假设各次称量结果相互独立且同服从正态分布，若以表示次称量结果的算术平均值，为使成立，求的最小值应不小于的自然数？30．证明题设A，B是两个事件，满足，证明事件A，B相互独立。31．证明题设随即变量的参数为2的指数分布，证明在区间（0，1）上服从均匀分布。<数理统计>试题一、填空题1．设是来自总体的简单随机样本，已知，令，则统计量服从分布为（必须写出分布的参数）。2．设，而1.70，1.75，1.70，1.65，1.75是从总体中抽取的样本，则的矩估计值为。3．设，是从总体中抽取的样本，求的矩估计为。4．已知，则。5．和都是参数a的无偏估计，如果有成立，则称是比有效的估计。6．设样本的频数分布为X01234频数13212则样本方差=_____________________。7．设总体X~N（μ，σ²），X1，X2，…，Xn为来自总体X的样本，为样本均值，则D（）＝________________________。8．设总体X服从正态分布N（μ，σ²），其中μ未知，X1，X2，…，Xn为其样本。若假设检验问题为，则采用的检验统计量应________________。9．设某个假设检验问题的拒绝域为W，且当原假设H0成立时，样本值（x1,x2,…，xn）落入W的概率为0.15，则犯第一类错误的概率为_____________________。10．设样本X1，X2，…，Xn来自正态总体N（μ，1），假设检验问题为：则在H0成立的条件下，对显著水平α，拒绝域W应为______________________。11．设总体服从正态分布，且未知，设为来自该总体的一个样本，记，则的置信水平为的置信区间公式是；若已知，则要使上面这个置信区间长度小于等于0.2，则样本容量n至少要取____。12．设为来自正态总体的一个简单随机样本，其中参数和均未知，记，，则假设：的检验使用的统计量是。（用和表示）13．设总体，且已知、未知，设是来自该总体的一个样本，则，，，中是统计量的有。14．设总体的分布函数，设为来自该总体的一个简单随机样本，则的联合分布函数。15．设总体服从参数为的两点分布，（）未知。设是来自该总体的一个样本，则中是统计量的有。16．设总体服从正态分布，且未知，设为来自该总体的一个样本，记，则的置信水平为的置信区间公式是。17．设，，且与相互独立，设为来自总体的一个样本；设为来自总体的一个样本；和分别是其无偏样本方差，则服从的分布是。18．设，容量，均值，则未知参数的置信度为0.95的置信区间是(查表）19．设总体～，X1，X2，…，Xn为来自总体X的样本，为样本均值，则D（）＝________________________。20．设总体X服从正态分布N（μ，σ²），其中μ未知，X1，X2，…，Xn为其样本。若假设检验问题为，则采用的检验统计量应________________。21．设是来自正态总体的简单随机样本，和均未知，记,,则假设的检验使用统计量＝。22．设和分别来自两个正态总体和的样本均值，参数，未知，两正态总体相互独立，欲检验，应用检验法，其检验统计量是。23．设总体～，为未知参数，从中抽取的容量为的样本均值记为，修正样本标准差为，在显著性水平下，检验假设，的拒绝域为，在显著性水平下，检验假设（已知），的拒绝域为。24．设总体～为其子样，及的矩估计分别是。25．设总体～是来自的样本，则的最大似然估计量是。26．设总体～，是容量为的简单随机样本，均值，则未知参数的置信水平为的置信区间是。27．测得自动车床加工的10个零件的尺寸与规定尺寸的偏差（微米）如下：+2，+1，-2，+3，+2，+4，-2，+5，+3，+4则零件尺寸偏差的数学期望的无偏估计量是28．设是来自正态总体的样本，令则当时～。29．设容量n=10的样本的观察值为（8，7，6，9，8，7，5，9，6），则样本均值=，样本方差=30．设X1,X2,…Xn为来自正态总体的一个简单随机样本，则样本均值服从二、选择题1.是来自总体的一部分样本，设：，则~（）2.已知是来自总体的样本，则下列是统计量的是（）+A+10+53.设和分别来自两个相互独立的正态总体和的样本,和分别是其样本方差，则下列服从的统计量是()4.设总体，为抽取样本，则是（）的无偏估计的无偏估计的矩估计的矩估计5、设是来自总体的样本，且，则下列是的无偏估计的是（）6．设为来自正态总体的一个样本，若进行假设检验，当____时，一般采用统计量(A)(B)(C)(D)7．在单因子方差分析中，设因子A有r个水平，每个水平测得一个容量为的样本，则下列说法正确的是_____(A)方差分析的目的是检验方差是否相等(B)方差分析中的假设检验是双边检验(C)方差分析中包含了随机误差外,还包含效应间的差异(D)方差分析中包含了随机误差外,还包含效应间的差异8．在一次假设检验中，下列说法正确的是______(A)既可能犯第一类错误也可能犯第二类错误(B)如果备择假设是正确的，但作出的决策是拒绝备择假设，则犯了第一类错误(C)增大样本容量，则犯两类错误的概率都不变(D)如果原假设是错误的，但作出的决策是接受备择假设，则犯了第二类错误9．对总体的均值和作区间估计，得到置信度为95%的置信区间，意义是指这个区间(A)平均含总体95%的值(B)平均含样本95%的值(C)有95%的机会含样本的值(D)有95%的机会的机会含的值10．在假设检验问题中，犯第一类错误的概率α的意义是（）(A)在H0不成立的条件下，经检验H0被拒绝的概率(B)在H0不成立的条件下，经检验H0被接受的概率(C)在H00成立的条件下，经检验H0被拒绝的概率(D)在H0成立的条件下，经检验H0被接受的概率11.设总体服从正态分布是来自的样本，则的最大似然估计为（A）（B）（C）（D）12.服从正态分布，，，是来自总体的一个样本，则服从的分布为___。(A)N(,5/n)(B)N(,4/n)(C)N(/n,5/n)(D)N(/n,4/n)13．设为来自正态总体的一个样本，若进行假设检验，当_____时，一般采用统计量(A)(B)(C)(D)14．在单因子方差分析中，设因子A有r个水平，每个水平测得一个容量为的样本，则下列说法正确的是_____(A)方差分析的目的是检验方差是否相等(B)方差分析中的假设检验是双边检验(C)方差分析中包含了随机误差外,还包含效应间的差异(D)方差分析中包含了随机误差外,还包含效应间的差异15．在一次假设检验中，下列说法正确的是_______(A)第一类错误和第二类错误同时都要犯(B)如果备择假设是正确的，但作出的决策是拒绝备择假设，则犯了第一类错误(C)增大样本容量，则犯两类错误的概率都要变小(D)如果原假设是错误的，但作出的决策是接受备择假设，则犯了第二类错误16．设是未知参数的一个估计量，若，则是的________(A)极大似然估计(B)矩法估计(C)相合估计(D)有偏估计17．设某个假设检验问题的拒绝域为W，且当原假设H0成立时，样本值（x1,x2,…，xn）落入W的概率为0.15，则犯第一类错误的概率为__________。(A)0.1(B)0.15(C)0.2(D)0.2518.在对单个正态总体均值的假设检验中，当总体方差已知时，选用（A）检验法（B）检验法（C）检验法（D）检验法19.在一个确定的假设检验中，与判断结果相关的因素有（A）样本值与样本容量（B）显著性水平（C）检验统计量（D）A,B,C同时成立20.对正态总体的数学期望进行假设检验，如果在显著水平下接受，那么在显著水平0.01下，下列结论中正确的是（A）必须接受（B）可能接受，也可能拒绝（C）必拒绝（D）不接受，也不拒绝21.设是取自总体的一个简单样本，则的矩估计是（A）（B）（C）（D）22.总体～，已知，时，才能使总体均值的置信水平为的置信区间长不大于（A）/（B）/（C）/（D）23.设为总体的一个随机样本，，为的无偏估计，C＝（A）/（B）/（C）1/（D）/24.设总体服从正态分布是来自的样本，则的最大似然估计为（A）（B）（C）（D）25.设～是来自的样本，那么下列选项中不正确的是(A)当充分大时，近似有～(B)(C）(D）26.若～那么～(A）(B）(C）(D）27.设为来自正态总体简单随机样本，是样本均值，记，，，，则服从自由度为的分布的随机变量是(A)(B)(C)(D)28.设X1,X2,…Xn，Xn+1,…,Xn+m是来自正态总体的容量为n+m的样本，则统计量服从的分布是(A)(B)(C)(D)29．设，其中已知,未知,为其样本，下列各项不是统计量的是＿＿＿＿(Ａ)(Ｂ)(Ｃ)(Ｄ)30.设，其中已知，未知，为其样本，下列各项不是统计量的是（）(A)(Ｂ)(Ｃ)(D)三、计算题1.已知某随机变量服从参数为的指数分布，设是子样观察值，求的极大似然估计和矩估计。（10分）2.某车间生产滚珠，从某天生产的产品中抽取6个，测得直径为：14.615.114.914.815.215.1已知原来直径服从，求：该天生产的滚珠直径的置信区间。给定（，，）（8分）3.某包装机包装物品重量服从正态分布。现在随机抽取个包装袋，算得平均包装袋重为，样本均方差为，试检查今天包装机所包物品重量的方差是否有变化？（）（）（8分）4.设某随机变量的密度函数为求的极大似然估计。（6分）5.某车间生产滚珠，从长期实践可以认为滚珠的直径服从正态分布，且直径的方差为，从某天生产的产品中随机抽取9个，测得直径平均值为15毫米，试对求出滚珠的平均直径的区间估计。（8分）6.某种动物的体重服从正态分布，今抽取个动物考察，测得平均体重为公斤，问：能否认为该动物的体重平均值为公斤。（）（8分）（）7.设总体的密度函数为：，设是的样本，求的矩估计量和极大似然估计。（10分）8.某矿地矿石含少量元素服从正态分布，现在抽样进行调查，共抽取个子样算得，求的置信区间（，，）（8分）9．某大学从来自A，B两市的新生中分别随机抽取5名与6名新生，测其身高（单位：cm）后算得＝175.9，＝172.0；。假设两市新生身高分别服从正态分布X-N(μ1，σ2)，Y-N（μ2，σ2）其中σ2未知。试求μ1－μ2的置信度为0.95的置信区间。（t0.025(9)=2.2622,t0.025(11)=2.2010）10．（10分）某出租车公司欲了解：从金沙车站到火车北站乘租车的时间。随机地抽查了9辆出租车，记录其从金沙车站到火车北站的时间，算得（分钟），无偏方差的标准差。若假设此样本来自正态总体，其中均未知，试求的置信水平为0.95的置信下限。11．（10分）设总体服从正态分布，且与都未知，设为来自总体的一个样本，其观测值为，设，。求和的极大似然估计量。12．（8分）掷一骰子120次，得到数据如下表

出现点数

123456

次数

2020202040－若我们使用检验，则取哪些整数值时，此骰子是均匀的的假设在显著性水平下被接受？13.（14分）机器包装食盐，假设每袋盐的净重服从正态分布，规定每袋标准重量为kg,方差。某天开工后，为检验其机器工作是否正常，从装好的食盐中随机抽取抽取9袋，测得净重（单位：kg）为：0.994,1.014,1.02,0.95,1.03,0.968,0.976,1.048,0.982算得上述样本相关数据为：均值为，无偏标准差为，。问(1)在显著性水平下，这天生产的食盐的平均净重是否和规定的标准有显著差异？(2)在显著性水平下，这天生产的食盐的净重的方差是否符合规定的标准？(3)你觉得该天包装机工作是否正常？14．（8分）设总体有概率分布取值123概率现在观察到一个容量为3的样本,,,。求的极大似然估计值?15．（12分）对某种产品进行一项腐蚀加工试验，得到腐蚀时间（秒）和腐蚀深度（毫米）的数据见下表：5510203040506065901204681316171925252946

假设与之间符合一元线回归模型（1）试建立线性回归方程。（2）在显著性水平下，检验16.(7分）设有三台机器制造同一种产品，今比较三台机器生产能力，记录其五天的日产量机器IIIIII

日产量

138144135149143163148152146157155144159141153现把上述数据汇总成方差分析表如下方差来源平方和自由度均方和比352.933

12

893.73314

17.（10分）设总体在上服从均匀分布，为其一个样本，设(1)的概率密度函数(2)求18.（7分）机器包装食盐，假设每袋盐的净重服从正态分布，规定每袋标准重量为kg,方差。某天开工后，为检验其机器工作是否正常，从装好的食盐中随机抽取抽取9袋，测得净重（单位：kg）为：0.994,1.014,1.02,0.95,1.03,0.968,0.976,1.048,0.982算得上述样本相关数据为：均值为，无偏标准差为，在显著性水平下，这天生产的食盐的净重的方差是否符合规定的标准？19.（10分）设总体服从正态分布，是来自该总体的一个样本，记，求统计量的分布。20．某大学从来自A，B两市的新生中分别随机抽取5名与6名新生，测其身高（单位：cm）后算得＝175.9，＝172.0；。假设两市新生身高分别服从正态分布X-N(μ1，σ2)，Y-N（μ2，σ2）其中σ2未知。试求μ1－μ2的置信度为0.95的置信区间。（t0.025(9)=2.2622,t0.025(11)=2.2010）<概率论>试题参考答案一、填空题1．（1）（2）（3）或2．0.7，3．3/7，4．4/7!=1/1260，5．0.75，6．1/5，7．，1/2，8．0.2，9．2/3，10．4/5，11．，12．F(b,c)-F(a,c)，13．F(a,b)，14．1/2，15．1.16，16．7.4，17．1/2，18．46，19．8520．；21．，22，1/8，23．=7，S2=2，24．，二、选择题1．A2．D3．B4．D5．D6．C7．B8．B9．C10．C11．C12．A13．C14．C15．B16．B17．C18．B19．A20．C21．C22．B23．A24．B25．C三、解答题1.8/15；2.（1）1/15，（2）1/210，（3）2/21;3.（1）0.28,（2）0.83,（3）0.72;4.0.92;5.取出产品是B厂生产的可能性大。6.m/(m+k);7.（1）12123410/13(3/13)(10/12)(3/13)(2