小学数学奥数讲练

小学四年级下册数学奥数讲练

等差数列求和(一)

我们先来认识什么是等差数歹U,如：1+2+3++49+50;2+4+6

+……+98+100。这两列数都有共同的规律：每一列数从第二项开始，后一个

数减去前一项的差都相等(相等差又叫公差X像这样的数列我们将它称之为等

差数列。

我们再来掌握两个公式，对于等差数列，如果用字母S代表没一列数的和，

字母a代表首项(即第1项)，字母b代表末项，字母n代表项数(加数的个数),

那么S=(a+b)xn+2。如果n不容易直接看出，那么可用公式来计算出来：

n=(b-a)-rd+1

典型例题

例【1】求1+2+3+......+1998+1999的和。

分析首项a=l,末项b=1999,项数n=1999。

解S=(a+b)xn+2

=(1+1999)x1999+2

=2000x1999+2

=1000x1999

=1999000

例【例求111+112+113+......+288+289的和。

分析首项a=：L：Ll,末项b=289,公差d=：L,项数n=(289-111)+

1+1=178+1=179。

解S=(a+b)xn+2

=(111+289)X179+2

=400x179+2

=200x179

=35800

例【3】求2+4+6+……+196+198的和。

分析首项a=2,末项b=198,公差d=2,项数n=(198-2)+2+

1=98+1=99.

解S=(a+b)xn+2

=(2+198)x99+2

=200x99+2

=100x99

=9900

例【4】求297+294+291+……+9+6+3的和。

分析297+294+291+......+9+6+3=3+6+9+......+291+294+

297,对于重新排歹I」的这歹I」数，首项a=3,末项b=297,公差d=3,项数n

=(297-3)+3+1=98+1=99。

解S=(a+b)xn+2

=(3+297)x99+2

=300x99+2

=150x99

=14850

例【5】求5000-124-128-132-……-272-276的和。

分析5000-124-128-132-......-272-276=5000-(124+128

+132+......+272+276),对于124+128+132+……+272+276,可以利用

等差数列的求和公式先计算出来,a=124,b=276,d=4,n=(276-124)

+4+1=38+1=39。

所以：124+128+132+......+272+276

=(124+276)x39+2

=400x39+2

=200x39

=7800

小结对于简单的整数等差数列求和，要熟练掌握其求和公式和求项数的公

式。区分a,b,d代表的数字分别是多少，有时要将数列顺序调换，才能使得

后项减去前项等差。

第十一讲推理问题

在日常生活中我们常碰到这样的情况:看到一个人的面孔,可以推断出这个

人的大概年龄；甲比乙长得高，乙比丙长得高，我们可以推断甲一定比丙长得高。

这样根据一些已经知道

的事实,推断出某些结果,就是推理。

典型例题

例［1］王菲、李娜、莫文蔚都穿着连衣裙去参加游园会。她们穿的裙子一

个是花的，一个是白的，一个是蓝的。只知道莫文蔚没有穿蓝裙子，王菲既不穿

蓝裙子，也不穿花裙子。

请你想一想：

穿白裙子的是哪位？

穿蓝裙子的是哪位？

穿花裙子的是哪位。

分析在所给的条件中，"王菲既不穿蓝裙子，也不穿花裙子”是关键条件。

因为3个人穿的裙子只有花、白、蓝3种颜色，因此蓝花两种颜色，王菲只能

穿白色裙子。

又知道"莫文蔚没有穿蓝的"，结合已推断出的"王菲穿白色裙子"，因此莫

文蔚只能穿花裙子。

3种颜色中已确定了两种，剩下的李娜必定穿蓝色裙子。

解穿白裙子的是王菲，

穿蓝裙子的是李娜，

穿花裙子的是莫文蔚。

例[2]有甲、乙、丙、丁4人同住在一座4层的楼房里，他们之中有工程

师、工人、教师和医生。如果已知：

①甲比乙住的楼层高，比丙住的楼层低，丁住第4层。

②医生住在教师的楼上，在工人楼下，工程师住最低层。

问：甲、乙、丙、丁各住在这座楼的几层？各自的职业是什么？

分析我们分别对本例的两个问题加以讨论

(1)由已知条件①可知，丁住在第4层，是最高层，于是甲、乙、丙只能住在

1、2、3这三层之中了，因为条件①还告诉我们，"甲比乙住的高，比丙

住的低"，所以甲肯定住在第二层，而丙住在第3层，乙住在第1层。

(2)由条件②知道，工程师住在最低层，这说明工程师是住在第1层的。那么,

医生、教师、工人一定住在2、3、4层。条件②还告诉我们："医生住在

教师的楼上"，这说明医生不是住3层就是4层。又由于"医生住在工人

的楼下"，所以医生只能住在3层，工人住在第4层，教师住在第2层。

我们把(1X(2)联系起来，就得到最后的答案。

解甲：教师一住2层。

乙：工程师一住1层。

丙：医生——住3层。

T：工人——住4层。

例网对某班同学进行了调查，知道如下情况：

①有哥哥的人没有姐姐。

②没有哥哥的人有弟弟。

③有弟弟的人有妹妹。

请问：

(1)有姐姐的人没有哥哥，对吗？

(2)有弟弟的人没有哥哥，对吗？

(3)没有哥哥的人有妹妹，对吗？

分析

(1)由已知条件①知道："有哥哥的人就没有姐姐"，所以有姐姐的人就不可能

有哥哥。如果有姐姐的人有哥哥，由条件①，有哥哥的人没有姐姐。这样,

既说有姐姐，又说没有姐姐，就自相矛盾了。所以“有姐姐的人就没有哥

哥”是对的。

(2)例如，马有4条腿是对的，但反过来说，有4条腿的就是马，就不对了。

类似地，由已知条件②，没有哥哥的人有弟弟，但反过来说，有弟弟的人

没有哥哥，是不对的。

(3)由②知道："没有哥哥的人有弟弟"，又由③知道："有弟弟的人就有妹妹、

把这两句话联起来分析，就能得出结论是正确的。

解正确的说法有(1)有姐姐的人没有哥哥

(3)没有哥哥的人有妹妹

例［4］有3顶红帽子、2顶白帽子，现将其中的3顶给排成1列的3人每

人戴1顶，每人都只能看到自己前面的人的帽子，而看不见自己和自己后面人的

帽子，同时3人也都不知道剩下的2顶帽子的颜色(但都知道他们3人的帽子

是从3顶红帽子、2顶白帽子中取出的X

先问站在最后边的人："你知道你戴的帽子是什么颜色吗？"

最后边的人回答说："不知道」

接着让中间的人说出自己戴的帽子的颜色，中间的人也回答说：“不知道。”

听了他们2人的回答后，你能知道站在最前面的人戴的什么颜色的帽子吗？

分析前面2个人戴的帽子的颜色有下列3种可能的情况：

1.两白。

2.一白一红。

3.两红。

如果前面的两个人戴的都是白帽子，因为总共只有两顶白帽子，那么站在最

后面的人就可以断定自己戴的是红帽子。现在最后面的人说不知道自己戴的是什

么帽子，也就是说他看到前面两人的帽子不都是白的。这样，前两人戴的帽子就

有两种可能情况：一白一红或两红。

如果站在最前面的人戴的是白帽子，那么中间的人就可以断定自己戴的是红帽子

（因为中间的人和最后面的人至少有一顶红帽子X但现在站在中间的人也说不

知道自己戴的是什么帽子，也就是说他看到的最前面的人戴的是红帽子。

解站在最前面的人戴的是红帽子。

"给推理是一个比较复杂的思维过程。要充分利用题中的已知条件，先

试着用你的猜想去对照每个条件，看是否符合。如果发现矛盾，则要调节思考的

方向。在思维推理过程中，要充分运用已经推断出的结论作为条件，逐级推进，

直到作出正确的判断。

在得到结论后，还要学会把结论带到原题中检验。如果没有矛盾，说明推理正确。

第六讲格点与面积

在一张方格图中,每个方格都是一个小正方形,并且大小都相等,我们称为

一个面积单位。例如：右图中带阴影的小方格就是一个面积单位。

借助格点图,我们可以很快的比较或计算图形的面积大小。

典型例题

例⑴下图是用皮筋在钉板上分别围成的正方形、长方形、平行四边形和

三角形。它们的面积分别是多少？

c

(1)(2)(3)(4)

分析题中所给的几个图形都是规则图形，它们的面积可以运用公式求得。

而要运用公式,首先要结合点子图计算出有关的边长和高。

解图（1）是正方形，边长是2,它的面积是2x2=4。

图（2）是长方形，长是4,宽是2,它的面积是4x2=8。

图（3）是平行四边形，从平行四边形的左边移动一个直角三角形到右

边，使得平行四边形变成一个长方形，所求的面积是3x2=6。

图（4）是三角形，将三角形扩展成一个长方形。三角形ABC的面积是

长方形AFBC面积的一半，三角形ACD的面积是长方形ACDE面积的一半，所

以三角形ABD的面积是

（3x2）+2

=6+2

=3

（2）

分析我们可以把一个不熟悉的图形，转化为学过的图形来计算。由上图

可以看出，图（1）可以分成两块：一块是长方形，另一块是一个三角形。可以

利用例⑴所介绍的方法来计算这个三角形的面积。或者将这个图形转化成一个

大的长方形，如图（2%所求的图形面积就等于大长方形面积的一半。

解法一如图（1）,左边长方形的面积是4x3=12,右边三角形的面积是

（4x3）+2=6,整个图形的面积是12+6=18。

解法二如图（2）,大长方形的面积是（8+4）x3=36,所求图形的面积

是:36+2=18。

分析和例［2］的思考方法一样，先要将所给图形切分成我们已经学会计算

面积的图形,这样就可以计算出所给图形的面积。

解将图形ABCD分成三角形ABD和三角形BCD（上右图