中考最后压轴题初中数学知识点讲解及数学公式总结

中考最后压轴题初中数学知识点讲解及数学公式

总结数学知识点及数学公式总结

初数学知识点及数学公式总结

1过两点有且只有一条直线

2两点之间线段最短

3同角或等角的补角相等

4同角或等角的余角相等

5过一点有且只有一条直线和已知直线垂直

6直线外一点与直线上各点连接的所有线段，垂线段最短

7平行公理经过直线外一点，有且只有一条直线与这条直线平行

8如果两条直线都和第三条直线平行，这两条直线也互相平行

9同位角相等，两直线平行

10内错角相等，两直线平行

11同旁内角互补，两直线平行

12两直线平行，同位角相等

13两直线平行，内错角相等

14两直线平行，同旁内角互补

15定理三角形两边的和大于第三边

16推论三角形两边的差小于第三边

17三角形内角和定理三角形三个内角的和等于180°

18推论1直角三角形的两个锐角互余

19推论2三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和

20推论3三角形的一个外角大于任何一个和它不相邻的内角

21全等三角形的对应边、对应角相等

22边角边公理(SAS)有两边和它们的夹角对应相等的两个三角形

全等

23角边角公理(ASA)有两角和它们的夹边对应相等的两个三角形

全等

24推论(AAS)有两角和其一角的对边对应相等的两个三角形全等

25边边边公理(SSS)有三边对应相等的两个三角形全等

26斜边、直角边公理(HL)有斜边和一条直角边对应相等的两个

直角三角形全等

27定理1在角的平分线上的点到这个角的两边的距离相等

28定理2到一个角的两边的距离相同的点，在这个角的平分线上

29角的平分线是到角的两边距离相等的所有点的集合

30等腰三角形的性质定理等腰三角形的两个底角相等(即等边对

等角)

31推论1等腰三角形顶角的平分线平分底边并且垂直于底边

32等腰三角形的顶角平分线、底边上的线和底边上的高互相重合

33推论3等边三角形的各角都相等，并且每一个角都等于60°

34等腰三角形的判定定理如果一个三角形有两个角相等，那么这

两个角所对的边也相等（等角对等边）

35推论1三个角都相等的三角形是等边三角形

36推论2有一个角等于60°的等腰三角形是等边三角形

37在直角三角形，如果一个锐角等于30°那么它所对的直角边等

于斜边的一半

38直角三角形斜边上的线等于斜边上的一半

39定理线段垂直平分线上的点和这条线段两个端点的距离相等

40逆定理和一条线段两个端点距离相等的点，在这条线段的垂直

平分线上

41线段的垂直平分线可看作和线段两端点距离相等的所有点的集

合

42定理1关于某条直线对称的两个图形是全等形

43定理2如果两个图形关于某直线对称，那么对称轴是对应点连

线的垂直平分线

44定理3两个图形关于某直线对称，如果它们的对应线段或延长

线相交，那么交点在对称轴上

45逆定理如果两个图形的对应点连线被同一条直线垂直平分，那么

这两个图形关于这条直线对称

46勾股定理直角三角形两直角边a、b的平方和、等于斜边c的平

方，即a"2+b"2=c"2

47勾股定理的逆定理如果三角形的三边长a、b、c有关系

a^2+b^2=c~2，那么这个三角形是直角三角b、b的平方和、等于斜边c

的平方，即丁2+了2=>2

47勾股定理的逆定理如果三角形的三边长a、b、c有关系

a^2+b~2=c-2，那么这个三角形是直角三角形

48定理四边形的内角和等于360°

49四边形的外角和等于360°

边形性质定理2平行四边形的对边相等

54推论夹在两条平行线间的平行线段相等

55平行四边形性质定理3平行四边形的对角线互相平分

56平行四边形判定定理1两组对角分别相等的四边形是平行四边

形

57平行四边形判定定理2两组对边分别相等的四边形是平行四边

形

58平行四边形判定定理3对角线互相平分的四边形是平行四边形

59平行四边形判定定理4一组对边平行相等的四边形是平行四边

形

60矩形性质定理1矩形的四个角都是直角

61矩形性质定理2矩形的对角线相等

62矩形判定定理1有三个角是直角的四边形是矩形

63矩形判定定理2对角线相等的平行四边形是矩形

64菱形性质定理1菱形的四条边都相等

65菱形性质定理2菱形的对角线互相垂直，并且每一条对角线平

分一组对角

66菱形面积=对角线乘积的一半，即S=(aXb)4-2

67菱形判定定理1四边都相等的四边形是菱形

68菱形判定定理2对角线互相垂直的平行四边形是菱形

69正方形性质定理1正方形的四个角都是直角，四条边都相等

70正方形性质定理2正方形的两条对角线相等，并且互相垂直平分,

每条对角线平分一组对角

71定理1关于心对称的两个图形是全等的

72定理2关于心对称的两个图形，对称点连线都经过对称心，并且

被对称心平分

73逆定理如果两个图形的对应点连线都经过某一点，并且被这一

点平分，那么这两个图形关于这一点对称

74等腰梯形性质定理等腰梯形在同一底上的两个角相等

75等腰梯形的两条对角线相等

76等腰梯形判定定理在同一底上的两个角相等的梯形是等腰梯形

77对角线相等的梯形是等腰梯形

78平行线等分线段定理如果一组平行线在一条直线上截得的线段

相等，那么在其他直线上截得的线段也相等

79推论1经过梯形一腰的点与底平行的直线，必平分另一腰

80推论2经过三角形一边的点与另一边平行的直线，必平分第

三边

81三角形位线定理三角形的位线平行于第三边，并且等于它

的一半

82梯形位线定理梯形的位线平行于两底，并且等于两底和的

一半L=(a+b)4-2S=LXh

83(1)比例的基本性质如果a：b=c：d,那么ad=bc

如果ad=bc,那么a：b=c：d

84(2)合比性质如果a/b=c/d,那么(a±b)/b=(c±d)/d

85(3)等比性质如果a/b=c/d=---=m/n(b+d+---+n7^0),那么

(a+c+…+m)/(b+d+…+n)=a/b

86平行线分线段成比例定理三条平行线截两条直线，所得的对应

线段成比例

87推论平行于三角形一边的直线截其他两边(或两边的延长线),

所得的对应线段成比例

88定理如果一条直线截三角形的两边(或两边的延长线)所得的对

应线段成比例，那么这条直线平行于三角形的第三边

89平行于三角形的一边，并且和其他两边相交的直线，所截得的三

角形的三边与原三角形三边对应成比例

90定理平行于三角形一边的直线和其他两边(或两边的延长线)相

交，所构成的三角形与原三角形相似

91相似三角形判定定理1两角对应相等，两三角形相似(ASA)

92直角三角形被斜边上的高分成的两个直角三角形和原三角形相

似

93判定定理2两边对应成比例且夹角相等，两三角形相似(SAS)

94判定定理相似(ASA)

92直角三角形被斜边上的高分成的两个直角三角形和原三角形相

似

93判定定理2两边对应成比例且夹角相等，两三角形相似(SAS)

94判定定理3三边对应成比例，两三角形相似(SSS)

95定理如果一个直角三角形的斜边和一条直角边与另一个直角三

角形的斜边和一条直角边对应成比例，那么这两个直角三角形相似

96性质定理1相似三角形对应高的比，对应线的比与对应角平

分线的比都等于相似比

97性质定理2相似三角形周长的比等于相似比

98性质定理3相似三角形面积的比等于相似比的平方

99任意锐角的正弦值等于它的余角的余弦值，任意锐角的余弦值

于它的余角的正弦值

100任意锐角的正切值等于它的余角的余切值，任意锐角的余切值

于它的余角的正切值

101圆是定点的距离等于定长的点的集合

102圆的内部可以看作是圆心的距离小于半径的点的集合

103圆的外部可以看作是圆心的距离大于半径的点的集合

104同圆或等圆的半径相等

105到定点的距离等于定长的点的轨迹，是以定点为圆心，定长为半

径的圆

106和已知线段两个端点的距离相等的点的轨迹，是着条线段的垂

平分线

107到已知角的两边距离相等的点的轨迹，是这个角的平分线

108到两条平行线距离相等的点的轨迹，是和这两条平行线平行且

距

离相等的一条直线

109定理不在同一直线上的三点确定一个圆。

110垂径定理垂直于弦的直径平分这条弦并且平分弦所对的两条弧

111推论1①平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对

的两条弧

②弦的垂直平分线经过圆心，并且平分弦所对的两条弧

③平分弦所对的一条弧的直径，垂直平分弦，并且平分弦所对的另

一条弧

112推论2圆的两条平行弦所夹的弧相等

113圆是以圆心为对称心的心对称图形

114定理在同圆或等圆，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦

相等，所对的弦的弦心距相等

115推论在同圆或等圆，如果两个圆心角、两条弧、两条弦或两

弦的弦心距有一组量相等那么它们所对应的其余各组量都相等

116定理一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半

117推论1同弧或等弧所对的圆周角相等；同圆或等圆，相等的圆

周角所对的弧也相等

118推论2半圆（或直径）所对的圆周角是直角；90°的圆周角所

对的弦是直径

119推论3如果三角形一边上的线等于这边的一半，那么这个三角

形是直角三角形

120定理圆的内接四边形的对角互补，并且任何一个外角都等于它

的内对角

121①直线L和。。相交d<r

②直线L和。0相切d=r

③直线L和。。相离d>r

122切线的判定定理经过半径的外端并且垂直于这条半径的直线是

圆的切线

123切线的性质定理圆的切线垂直于经过切点的半径

124推论1经过圆心且垂直于切线的直线必经过切点

125推论2经过切点且垂直于切线的直线必经过圆心

126切线长定理从圆外一点引圆的两条切线，它们的切线长相等，

圆心和这一点的连线平分两条切线的夹角

127圆的外切四边形的两组对边的和相等

128弦切角定理弦切角等于它所夹的弧对的圆周角

129推论如果两个弦切角所夹的弧相等，那么这两个弦切角也相等

130相交弦定理圆内的两条相交弦，被交点分成的两条线段长的积

相等

131推论如果弦与直径垂直相交，那么弦的一半是它分直径所成的

两条线段的比例项

132切割线定理从圆外一点引圆的切线和割线，切线长是这点到割

线与圆交点的两条线段长的比例项

133推论从圆外一点引圆的两条割线，这一点到每条割线与圆的交

点的两条线段长的积相等

134如果两个圆相切，那么切点一定在连心线上

135①两圆外离d>R+r②两圆外切d=R+r

③两圆相交R-r<d<R+r(R>r)

④两圆内切d=R-r(R>r)⑤两圆内含d〈R-r(R>r)

136定理相交两圆的连心线垂直平分两圆的公共弦

137定理把圆分成n(n23)：

⑴依次连结各分点所得的多边形是这个圆的内接正n边形

⑵经过各分点作圆的切线，以相邻切线的交点为顶点的多边形是这

个圆的外切正n边形

138定理任何正多边形都有一个外接圆和一个内切圆，这两个圆是

同心圆

139正n边形的每个内角都等于(n-2)X180°/n

140定理正n边形的半径和边心距把正n边形分成2n个全等的直

角三角形

141正n边形的面积Sn=pnrn/2p表示正n边形的周长

142正三角形面积J3a/4a表示边长

143如果在一个顶点周围有k个正n边形的角，由于这些角的和应

360°，因此kX(n-2)180°/n=360°化为(n-2)(k-2)=4

144弧长计算公式：L=n兀R/180

145扇形面积公式:S扇形=n兀R*2/360=LR/2

146内公切线长=d-(R-r)外公切线长=d-(R+r)

一、猜想、探究题

1.已知：抛物线

2540

XX

-+=的两个根，且抛物线的对称轴是直线1

x=

(1)求A、B、C三点的坐标；

(2)求此抛物线的解析式；

(3)若点D是线段AB上的一个动点(与点A、B不重合)，过点D作

DE〃BC交AC于点E,连结CD,设BD的长为m.ACDE的面积为

S,求S与m的函数关系式，并写出自变量m的取值范围.S是否存在

最大值?若存在，求出最大值并求此时D点坐标;若不存在,请说明理由.

2.已知，如图1,过点

0

01

E-,

作平行于x轴的直线1,抛物线

1

4

y=

B的横坐标分别为T和4,直线AB交y

轴于点F

,过点

AB

分别作直线1的垂线，垂足分别为点

C、D.

(1)求点ABF

的坐标；

⑵求证:CFDF

±

(3)点P是抛物线

2

1

4

yx

对称轴右侧图象上的一动点，过点

P

作

PQP0

±

交

X

轴于点

Q

，是否存在点

P使得OPQ

△

与

CDF

△相似?若存在，请求出所有符合条件的点P的坐标;若不存在，请

说明理由.

3.已知矩形纸片OABC的长为4,宽为3,以长

y

O

翻^一7ED

立平面直角坐标系；点

P是0A沿PC

得到

PEC

△，再在AB边上选取适当的点DPFD

直线PEPF

、重合.

⑴若点E落在BC边上，如图①，求点PCD

、、的坐标，并求过此三点的抛物线的函数关系式;

⑵若点E落在矩形纸片OABC的内部，如图②，设OPxADy

当

X

为何值时，

y

取得最大值？

（3）在（1）的情况下，过点

PCD

、、

三点的抛物线上是否

y

X

B

A

x

（图

1）

备用

图

yy

存在点

Q，使

PDQ△是以PD为直角边的直角三角形?若不存在，说明理由；若存

在，求出点Q的坐标.

4.如图，已知抛物线2

43yxx=++交x轴于A、B两点，交y轴于点C,,抛物线的对

称轴交x轴于点E，点B的坐标为(1-,0)

(1)求抛物线的对称轴及点A的坐标；(2)在平面直角坐标系

xoy是否存在点P,与A、B、C三点构成一个平行四边形？若存

在，请写出点P的坐标;若不存在,请说明理由；

(3)连结CA与抛物线的对称轴交于点D，在抛物线上是否存在点

M,使得直线CM把四边形DEOC分成面积相等的

两部分?若存在，请求出直线CM的解析式;若不存在,请说明理由.

5.如图①，已知抛物线32

++=bxaxy(aWO)与x

⑴求抛物线的解析式；

(2)设抛物线的对称轴与x轴交于点MP的坐标；若不存在，请说

明理由.(3)如图②，若点E面积的最大值，并求此时E点的坐标.

ABCD,

DCAB//,4=

P从A出发以

2厘米/秒的速度沿AB方向向点B运动，动点B

⑴求边BC的长；

⑵当

t为何值时,PC与BQ相互平分；

⑶连结PQ，设PBQ△的面积为y，探求

y与t

的函数关系式，求

t为何值时,y

有最大值？最大值是多少？

图①

图②

7.已知：直线112yx=+与y轴交于A,与x轴交于D，抛物线

212yxbxc

=++与直线交于A、E两点，与

x轴交于B、C两点，且B点

坐标为(1,0).(1)求抛物线的解析式；

(2)动点P在x轴上移动，当4PAE是直角三角形时，求点P的坐

标.(3)在抛物线的对称轴上找一点M,使||AMMC-的值最大，求出点

M的坐标.

y

c-V*r\q

8.V已知：抛物线

0

20yaxbxca=++W的对称轴为lx=-

与

轴交于

两点，与轴交于点C,其（

）

30A、

002C

（1）求这条抛物线的函数表达式.

（2）已知在对称轴上存在一点P，使得PBC△的周长最小.请求出

点P的坐标.（3）若点D是线段0C上的一个动点（不与点0、点C重

合）.过点D作DEPC〃交

X轴于点E.连接PD、PE.设CD的长为m,

PDE△的面积为S.求S与m之间的函数关系式.试说明S是否

存在最大值,若存在，请求出最大值;若不存在,请说明理由.

yi

\?

AOBx

尿为⑵4)：矩形ABCD的顶点A与点

c

9.如图1,已知抛物线经过坐标原点0和

x轴上另一点E，顶点M

ADAB、分别在

x轴、y轴上，且2AD=,3AB=.

⑴求该抛物线所对应的函数关系式；

(2)将矩形ABCD以每秒1个单位长度的速度从图1所示的位置沿

xA出发

向B匀速移动.设它们运动的时间为t秒(03tWW),直线

AB

与该抛物线的交点为N（如图2所示）.

①当

5

2t=

时，判断点P是否在直线ME上，并说明理由；②设以PNC

D、、、为顶点的多边形面积为S，试问S是否存在最大值?若存在，

求

出这个最大值;若不存在，请说明理由.

X

k

10.已知抛物线:x

xy221

21+-=.

(1)求抛物线

ly的顶点坐标.

(2)将抛物线ly向右平移2个单位，再向上平移1个单位，得到抛

物线

2y,求抛物线2y的解析式.

(3)如下图，抛物线2y的顶点为P,x轴上有一动点M，在

ly、2y这两条抛物线上是否存在点N，使0(原点)

、P、M、N四点构成以0P为一边

的平行四边形，若存在，求出N点的坐标;若不存在，请说明理由.

【提示:抛物线

cbx

axy++=2

(0aW)的对称轴是,ab

x2-=顶点坐标是2

424bacbaaI1-I\J,]

3

+2y7\\

,，点为尸，与X旬4（点

抛物线G向右平移，平^^?抛物^^

11.如图，已知抛物线C1：

（=ayA在点B的左边），点B的横坐标是1.

（1）求P点坐标及a的值；（4分）

（2）如图（1）,抛物线C2与抛物线CIC3,C3的顶点为M,当点

P、M关于点

B成心对称时，求

C3的解析式；（4分）（3）如图（2）,点Q是x轴正半轴上一点，将

抛物线C1绕点Q旋转180°后得到抛物线C4.抛物线C4的顶点为

N,与x轴相交于E、F两点（点E在点F的左边），当以点P、N、F

为顶点的三角形是直角三角形时，求点Q的坐标.（5分）

B

a

X

12.如图，在平面直角坐标系，已知矩形ABCD的三个顶点

(40)B,、(80)C,、(88)D，.抛物线两点.

(1)直接写出点A的坐标，并求出抛物线的解析式；

(2)动点

P从点A出发，沿线段AB向终点B运动，同时点Q从点C出发,

沿线段CD向终点D运动，速度均为每秒

1个单位长度,运动时

间为t秒.过点P作PEAB_L交AC于点E.

①过点E作EFAD，于点F，交抛物线于点G.当t为何值时，线

段EG最长？②连接

EQ.在点PQ、运动的过程，判断有几个时刻使得CEQ△是等腰

三角形？

请直接写出相应的t值.

G

E

549

4

yXy

xA

0B

P

M

图

C1

c

cy

xA

P

N

图

c

c

y

p

13.如图1,已知正比例函数和反比例函数的图像都经过点M(-2,

1

-)，且P(1

2)为双曲线上的一点,Q为坐标平面上一动

点，PA垂直于x轴,QB垂直于y

2

X

B.

(1)写出正比例函数和反比例函数的关系式；

(2)当点Q在直线M0上运动时，直线M0上是否存在这样的点Q,使

得△OBQ与AOAP面积相等？如果存在，请求出点的坐标，如果不存在，请

说明理由；

(3)如图2,当点Q在第一象限的双曲线上运动时，作以OP、0Q为邻

边的平行四边形OPCQ,求平行四边形OPCQ周长的最小值.

DC上，且DE

E时，点P

s),图形面积

15.如图，已知二次函数

2

2

)

(m

k

m

x

y-

十

的图象与

X

1

(0)

Ax,

、2

(0)

Bx,

,与

y

轴的交点为

c

.设

ABC

△

的外接圆的圆心为点P.

⑴求

P

。与y轴的另一个交点D的坐标；

(2)如果

AB恰好为P

。的直径，且ABC

△

的面积等于

5

，求

m

和

k

的值.

16.如图，点

AB

、坐标分别为(4,0)、(0,8),点C是线段OB上一动点，点E在x轴

正半轴上，四边形OEDC是矩形，且2

0E0C

=.设(0)

0Ett

=>

，矩形

OEDC与AOB

△重合部分的面积为S.根据上述条件，回答下列问题:

(1)当矩形

OEDC的顶点D在直线AB上时，求t的值；

⑵当

4

t=

时，求

S的值；

⑶直接写出

S

与

t

的函数关系式；(不必写出解题过程)

图1

B

P

B

y

(4)若12S=，则t=

17,直线3

6

4yx=-+与坐标轴分别交于AB、两点，动点

PQ、同时从0点出发，同时到达点A，运动停止.点Q沿线段0A

运动，速度为每秒1个单位长度，点P沿路线0—BfA运动.

（1）直接写出AB、两点的坐标；（2）设点

Q的运动时间为t秒,OPQ△

的面积为S，求出S与t之间的函数关系式；

⑶当

485S=

时,求出点P的坐标，并直接写出以点0PQ、、为顶点的平行四

边形的第四个顶点M的坐标.

18.如图1,过4ABC的三个顶点分别作出与水平线垂直的三条直

线，外侧两条直线之间的距离叫aABC的“水平宽”（a），间的这条直

线在4ABC

内部的线段的长度叫4ABC的“铅垂高”（h）.我们可得出一种计

算三角形面积的新方法：

ahSABC

21=A，即三角形面积等于水平宽与铅垂高乘积的一半.

铅垂高

2

解答下列问题：

如图2,抛物线顶点坐标为点C(1,4),交x轴于点A(3,0),交y

轴于点B.(1)求抛物线和直线AB的解析式；

(2)求aCAB的铅垂高CD及CABS

△;

(3)设点P是抛物线(在第一象限内)上的一个动点，是否存在一点

P,使得SAPAB=89

SACAB，若存在，

求出P点的坐标;若不存在，请说明理由.

0QPB

y

B

C

图1

x

C

0

y

A

B

D

11

19.如图，在平面直角坐标系，点AC、

的坐标分别为（10）（0一,、，，点B在X轴上.已知某二次函数的图

象经过A、B、C三点，且它

x/3

的对称轴为直线lx

=，点P为直线BC下方的二次函数图象上的一个动点（点P与

B、C不重合），过点P作y轴的平行线交BC于点F.

（1）求该二次函数的解析式；（2）若设点P的横坐标为

m，用含m的代数式表示线段PF的长.

20.如图所示，菱形ABCD的边长为6厘米,60B

N=°

厘米/秒的速度沿

AC

Bf—的方向运动，点Q以

2厘米/秒的速度沿ABC一

一、Q两点同时停止运动，设

P、Q运动的时间为

x秒时,APQ△与ABCA0

的三角形)，解答下列问题：

(1)点P、Q从出发到相遇所用时间是秒；

(2)点P、Q从开始运动到停止的过程，当APQ△是等边三角形时

x的值是秒；

(3)求y

21.定义一种变换:平移抛物线

1

F得到抛物线

2

F,使

2

F经过

1

F的顶点

A

.设2F12F，于点DB,，点C是点A关于直线

BD的对称点.

(1)如图1,若1

F：2

yx=，经过变换后，得到2F：2yxbx=+，点C

的坐标为

(20),,则①

b的值等于；

②四边形

ABCD为()

A.平行四边形

B.矩形

C.菱形

D.正方形(2)如图2,若

1

F：

2

yaxc=+，经过变换后，点B的坐标为（21）c求ABD△的面积;

⑶如图3,若1F

2127333yxx=

-+,经过变换后,AC=，点P是直线AC上的动点，求点P到点D的

距离和到直线AD的距

离之和的最小值.

D

22.如图，已知直线1

1

2yx=-+交坐标轴于

BA，两点，以线段AB为边向上作正方形ABCD，过点

C

D,A，的抛物线与直线另一

个交点为

E.

(1)请直接写出点

DC,的坐标；

(2)求抛物线的解析式；

(3)若正方形以每秒

5个单位长度的速度沿射线AB下滑，直至顶点D落在x轴上时停

止.设正方形落在

x轴下方部分的面积为

S，求S关于滑行时间t的函数关系式，并写出相应自变量t的取

值范围；

(4)在(3)的条件下，抛物线与正方形一起平移，同时停止，求抛物线

上

EC,两点间的抛物线弧所扫过的面积.

23.如图，点

AB、坐标分别为（4,0）、（0,8）,点C0EDC是矩形，且

2OEOC=.设（0）0Ett=＞，矩形OEDC与AOB△.根据上述条件,

回答下列问题：

（1）当矩形OEDC的顶点D在直线AB上时，求t的值；

（

2）当

4t=时，求S的值；

（3）直接写出S与

t的函数关系式；

（不必写出解题过程）

⑷若12S

=，贝（It=.

24.如图所示，某校计划将一块形状为锐角三角形

ABCABC的边BC长

120米，高

AD长

80

米.学校计划将它分割成AHG△、BHE△、GFCAEFGH

的一边EF在边BC

上，其余两个顶点

H、G分别在边AB、AC上.现计划在AHG△上种草，每平米投资

6元；在BHE△、FCG△上都种花，每

平方米投资10元；在矩形EFGH上兴建爱心鱼池，每平方米投资4

元.(1)当FG长为多少米时，种草的面积与种花的面积相等？

(2)当矩形EFGH的边FG为多少米时,ABC△空地改造总投资最小?

最小值为多少？

1

12x-+

25.已知：12tt，是方程22240tt+-=的两个实数根，且12tt<,

抛物线2

23yxbxc=++的图象经过点

12(0)(0)AtBt(1)求这个抛物线的解析式；(2)设点

OPxy，是抛物线上一动点，且位于第三象限，四边形OPAQ是以

0A为对角线的平行四边形，求OPAQ的面积S与x之间的

函数关系式,并写出自变量x的取值范围；

(3)在(2)的条件下，当OPAQ的面积为

24时，是否存在这样的点P,使

OPAQ为正方形？若存在，求出P点坐标;若不存在，说明

理由.

三、说理题

26.如图，抛物线经过(40)(10)(0

ABC(1)求出抛物线的解析式；

(2)P

是抛物线上一动点，过P作PMx，轴，垂足为M,是否存在P点,

使得以A,P,M为顶点的三角形与

0AC△相似?若存在，

请求出符合条件的点P的坐标;若不存在,请说明理由；

(3)在直线AC上方的抛物线上有一点D，使得DCA△的面积最大,

求出点D的坐标.

27.如图，在平面直角坐标系

xOy，半径为

1的圆的圆心

0在坐标原点，且与两坐标轴分别交于ABCD、、、四点.抛物

线

2

yaxbxc=++与y轴交于点D，与直线yx=交于点MN、，且

MANC、分别与圆0相切于点A和点C.

(1)求抛物线的解析式；(2)抛物线的对称轴交

x轴于点E，连结DE，并延长DE交圆0于F，求EF的长.

(3)过点B作圆0的切线交DC的延长线于点P，判断点P是否在

抛物线上，说明理由.

E

DF

0

x

y

A

BC

41

2-

28.如图1,已知:抛物线

2

12yxbxc

=++与

x轴交于AB、两点，与y轴交于点C，经过BC、两点的直线

是

1

22yx=

-，连结AC.

(1)BC、两点坐标分别为B(,)、C(,),

抛物线的函数关系式为;(2)判断ABC△的形状，并说

明理由；

(3)若ABC△内部能否截出面积最大的矩形DEFC(顶点DE

F、、、G在ABC△各边上)？若能，求出在AB边上的矩形

顶点的坐标;若不能，请说明理由.

[抛物汽2yaxbxc=++的顶点坐标是24,24bacbaaI1

-I\J]

29.已知：如图，在平面直角坐标系

xOy，矩形OABC

的边0A在y轴的正半轴上,0C

在x轴的正半轴上,0A=2,0C=3.过原点0作/AOC的平分线

交AB于点D，连接DC，过点D作DE±DC，交0A于点E.

(1)求过点E、D、C的抛物线的解析式；

(2)将NEDC绕点D按顺时针方向旋转后，角的一边与y轴的正半

轴交于点F，另一边与线段0C交于点G.如果DF与⑴的抛物线交于

另一点

M，点M的横坐标为65,那么EF=2G0是否成立？若成立，请给予证

明；若不成立，请说明理由;

(3)对于⑵的点G，在位于第一象限内的该抛物线上是否存在点

Q，使得直线

GQ与AB的交点P与点C、G构成的4PCG是等腰三角形?若存

在，请求出点Q的坐标;若

不存在，请说明

理由.

30.如图所示，将矩形0ABC沿

AE折叠，使点0恰好落在BC±F

处，以CF为边作正方形CFGH，延长BC至M

，使

CMCEEO

=-,再以CM、CO为边作矩形CMNO.

CA

0

Bxy

CA

0

B

x

y

图1图2(备用)

yx

D

BC

AE0

(1)试比较

EO、EC的大小，并说明理由.

⑵令

CFGH

CMNO

S

m

S

=四边形

四边形，请问

m

是否为定值?若是,请求出

m

的值；若不是，请说明理由.

(3)在(2)的条件下，若

1

1

3

COCEQ

为

AE上一点且

2

3

QF=

，抛物线

2

ymxbxc

=++

经过

C、Q两点，请求出此抛物线的

解析式.

(4)在⑶的条件下，若抛物线

2

ymxbxc

=++

与线段

AB交于点P,试问在直线BC上是否存在点K,使得以P、B、K为顶

点的

三角形与

AEF

△相似?若存在，请求直线KP与y轴的交点T的坐标;若不存在，请

说明理由.

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公式