2024年高考数学试卷（文）（全国甲卷）（解析卷）

绝密★启用前

2024年普通高等学校招生全国统一考试

全国甲卷文科数学

使用范围：陕西、宁夏、青海、内蒙古、四川

注意事项：

1．答题前，务必将自己的姓名、考籍号填写在答题卡规定的位置上．

2．答选择题时，必须使用2B铅笔将答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮

擦擦干净后，再选涂其它答案标号．

3．答非选择题时，必须使用0.5毫米黑色签字笔，将答案书写在答题卡规定的位置上．

4．所有题目必须在答题卡上作答，在试题卷上答题无效．

5．考试结束后，只将答题卡交回．

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一

项是符合题目要求的．

A=1,2,3,4,5,9B=xx+1ÎA

1.集合，，则AIB=（）

A.1,2,3,4B.1,2,3C.3,4D.1,2,9

【答案】A

【解析】

【分析】根据集合B的定义先算出具体含有的元素，然后根据交集的定义计算.

【详解】依题意得，对于集合B中的元素x，满足x+1=1,2,3,4,5,9，

则x可能的取值为0,1,2,3,4,8，即B={0,1,2,3,4,8}，

于是AÇB={1,2,3,4}.

故选：A

2.设z=2i，则z×z=（）

A.-iB.1C.-1D.2

【答案】D

【解析】

【分析】先根据共轭复数的定义写出z，然后根据复数的乘法计算.

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【详解】依题意得，z=-2i，故zz=-2i2=2.

故选：D

ì4x-3y-3³0

ï

3.若实数x,y满足约束条件íx-2y-2£0，则z=x-5y的最小值为（）

ï

î2x+6y-9£0

17

A.5B.C.-2D.-

22

【答案】D

【解析】

【分析】画出可行域后，利用z的几何意义计算即可得.

ì4x-3y-3³0

ï

【详解】实数x,y满足íx-2y-2£0，作出可行域如图：

ï

î2x+6y-9£0

11

由z=x-5y可得y=x-z，

55

111

即z的几何意义为y=x-z的截距的-，

555

则该直线截距取最大值时，z有最小值，

11

此时直线y=x-z过点A，

55

ì3

ì4x-3y-3=0ïx=æ3ö

联立í，解得í2，即Aç,1÷，

î2x+6y-9=0è2ø

îïy=1

37

则z=-5´1=-.

min22

故选：D.

4.等差数列an的前n项和为Sn，若S9=1，a3+a7=（）

72

A.-2B.C.1D.

39

【答案】D

【解析】

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【分析】可以根据等差数列的基本量，即将题目条件全转化成a1和d来处理，亦可用等差数列的性质进行

处理，或者特殊值法处理.

【详解】方法一：利用等差数列的基本量

9´8

由S=1，根据等差数列的求和公式，S=9a+d=1Û9a+36d=1，

99121

22

又a+a=a+2d+a+6d=2a+8d=(9a+36d)=.

37111919

故选：D

方法二：利用等差数列的性质

根据等差数列的性质，，由，根据等差数列的求和公式，

a1+a9=a3+a7S9=1

9(a+a)9(a+a)2

S=19=37=1，故a+a=.

922379

故选：D

方法三：特殊值法

12

不妨取等差数列公差d=0，则S=1=9aÞa=，则a+a=2a=.

91193719

故选：D

5.甲、乙、丙、丁四人排成一列，丙不在排头，且甲或乙在排尾的概率是（）

1112

A.B.C.D.

4323

【答案】B

【解析】

【分析】分类讨论甲乙的位置，得到符合条件的情况，然后根据古典概型计算公式进行求解.

【详解】当甲排在排尾，乙排第一位，丙有2种排法，丁就1种，共2种；

当甲排在排尾，乙排第二位或第三位，丙有1种排法，丁就1种，共2种；

于是甲排在排尾共4种方法，同理乙排在排尾共4种方法，于是共8种排法符合题意；

4

基本事件总数显然是A4=24，

81

根据古典概型的计算公式，丙不在排头，甲或乙在排尾的概率为=.

243

故选：B

y2x2

6.已知双曲线C:-=1(a>0,b>0)的上、下焦点分别为F10,4,F20,-4，点P-6,4在该双曲

a2b2

线上，则该双曲线的离心率为（）

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A.4B.3C.2D.2

【答案】C

【解析】

【分析】由焦点坐标可得焦距2c，结合双曲线定义计算可得2a，即可得离心率.

【详解】由题意，F10,-4、F20,4、P-6,4，

则FF=2c=8，22，22，

12PF1=6+4+4=10PF2=6+4-4=6

2c8

则2a=PF-PF=10-6=4，则e===2.

122a4

故选：C.

7.曲线fx=x6+3x-1在0,-1处的切线与坐标轴围成的面积为（）

1313

A.B.C.D.-

6222

【答案】A

【解析】

【分析】先求出切线方程，再求出切线的截距，从而可求面积.

【详解】f¢x=6x5+3，所以f¢0=3，故切线方程为y=3(x-0)-1=3x-1，

1111

故切线的横截距为，纵截距为-1，故切线与坐标轴围成的面积为´1´=

3236

故选：A.

8.函数fx=-x2+ex-e-xsinx在区间[-2.8,2.8]的大致图像为（）

A.B.

C.D.

【答案】B

【解析】

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【分析】利用函数的奇偶性可排除A、C，代入x=1可得f1>0，可排除D.

【详解】f-x=-x2+e-x-exsin-x=-x2+ex-e-xsinx=fx，

又函数定义域为-2.8,2.8，故该函数为偶函数，可排除A、C，

æ1öæ1öπe111

又f1=-1+çe-÷sin1>-1+çe-÷sin=-1->->0，

èeøèeø622e42e

故可排除D.

故选：B.

cosaæπö

9.已知=3，则tança+÷=（）

cosa-sinaè4ø

3

A.23+1B.23-1C.D.1-3

2

【答案】B

【解析】

cosa

【分析】先将弦化切求得tana，再根据两角和的正切公式即可求解.

cosa-sina

cosa

【详解】因为=3，

cosa-sina

13

所以=3，Þtana=1-，

1-tana3

æpötana+1

所以tança+÷==23-1，

è4ø1-tana

故选：B.

原10题略

10.设a、b是两个平面，m、n是两条直线，且aIb=m.下列四个命题：

①若m//n，则n//a或n//b②若m^n，则n^a,n^b

③若n//a，且n//b，则m//n④若n与a和b所成的角相等，则m^n

其中所有真命题的编号是（）

A.①③B.②④C.①②③D.①③④

【答案】A

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【解析】

【分析】根据线面平行的判定定理即可判断①；举反例即可判断②④；根据线面平行的性质即可判断③.

【详解】对①，当nÌa，因为m//n，mÌb，则n//b，

当nÌb，因为m//n，mÌa，则n//a，

当n既不在a也不在b内，因为m//n，mÌa,mÌb，则n//a且n//b，故①正确；

对②，若m^n，则n与a,b不一定垂直，故②错误；

对③，过直线n分别作两平面与a,b分别相交于直线s和直线t，

因为n//a，过直线n的平面与平面a的交线为直线s，则根据线面平行的性质定理知n//s，

同理可得n//t，则s//t，因为sË平面b，tÌ平面b，则s//平面b，

因为sÌ平面a，aIb=m，则s//m，又因为n//s，则m//n，故③正确；

对④，若aÇb=m,n与a和b所成的角相等，如果n//a,n//b，则m//n，故④错误；

综上只有①③正确，

故选：A.

π9

11.在ABC中内角A,B,C所对边分别为a,b,c，若B=，b2=ac，则sinA+sinC=（）

V34

373

A.B.2C.D.

222

【答案】C

【解析】

113

【分析】利用正弦定理得sinAsinC=，再利用余弦定理有a2+c2=ac，再利用正弦定理得到

34

sin2A+sin2C的值，最后代入计算即可.

p941

【详解】因为B=,b2=ac，则由正弦定理得sinAsinC=sin2B=.

3493

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9

由余弦定理可得:b2=a2+c2-ac=ac，

4

131313

即:a2+c2=ac，根据正弦定理得sin2A+sin2C=sinAsinC=，

4412

7

所以(sinA+sinC)2=sin2A+sin2C+2sinAsinC=，

4

7

因为A,C为三角形内角，则sinA+sinC>0，则sinA+sinC=.

2

故选：C.

二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．

原13题略

12.函数fx=sinx-3cosx在0,π上的最大值是______．

【答案】2

【解析】

【分析】结合辅助角公式化简成正弦型函数，再求给定区间最值即可.

æπöπéπ2πù

【详解】fx=sinx-3cosx=2sinçx-÷，当xÎ0,π时，x-Î-,，

è3ø3ëê33ûú

ππ5π

当x-=时，即x=时，fx=2.

326max

故答案为：2

115

13.已知a>1，-=-，则a=______．

log8aloga42

【答案】64

【解析】

【分析】将log8a,loga4利用换底公式转化成log2a来表示即可求解.

11315

-=-loga=-2

【详解】由题2，整理得log2a-5log2a-6=0，

log8aloga4log2a22

Þlog2a=-1或log2a=6，又a>1，

66

所以log2a=6=log22，故a=2=64

故答案为：64.

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2

14.曲线y=x3-3x与y=-x-1+a在0,+¥上有两个不同的交点，则a的取值范围为______．

【答案】-2,1

【解析】

2

【分析】将函数转化为方程，令x3-3x=-x-1+a，分离参数a，构造新函数

gx=x3+x2-5x+1,结合导数求得gx单调区间，画出大致图形数形结合即可求解.

232

【详解】令x3-3x=-x-1+a，即a=x3+x2-5x+1，令gx=x+x-5x+1x>0,

则g¢x=3x2+2x-5=3x+5x-1，令g¢x=0x>0得x=1，

当xÎ0,1时，g¢x<0，gx单调递减，

当xÎ1,+¥时，g¢x>0，gx单调递增，g0=1,g1=-2，

2

因为曲线y=x3-3x与y=-x-1+a在0,+¥上有两个不同的交点，

所以等价于y=a与gx有两个交点，所以aÎ-2,1.

故答案为：-2,1

三、解答题：共70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．第17题第21题为必

考题，每个考题考生必须作答．第22、23题为选考题，考生根据要求作答．

（一）必考题：共60分．

15.已知等比数列an的前n项和为Sn，且2Sn=3an+1-3.

（1）求an的通项公式；

（2）求数列Sn的通项公式.

n-1

æ5ö

【答案】（1）

an=ç÷

è3ø

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n

3æ5ö3

（2）ç÷-

2è3ø2

【解析】

【分析】（1）利用退位法可求公比，再求出首项后可求通项；

（2）利用等比数列的求和公式可求Sn.

【小问1详解】

因为2Sn=3an+1-3,故2Sn-1=3an-3，

5

所以2a=3a-3an³2即5a=3a故等比数列的公比为q=，

nn+1nnn+13

n-1

5æ5ö

故2a=3a-3=3a´-3=5a-3，故a=1，故.

12111an=ç÷

3è3ø

【小问2详解】

n

éæ5öù

1´1-

êç÷ún

êè3øú3æ5ö3

由等比数列求和公式得S=ëû=-.

n5ç÷

1-2è3ø2

3

16.如图，在以A，B，C，D，E，F为顶点的五面体中，四边形ABCD与四边形ADEF均为等腰梯形，

BC//AD,EF//AD，AD=4,AB=BC=EF=2，ED=10,FB=23，M为AD的中点.

（1）证明：BM//平面CDE；

（2）求点M到ABF的距离.

【答案】（1）证明见详解；

613

（2）

13

【解析】

【分析】（1）结合已知易证四边形BCDM为平行四边形，可证BM//CD，进而得证；

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（2）作FO^AD，连接OB，易证OB,OD,OF三垂直，结合等体积法VM-ABF=VF-ABM即可求解.

【小问1详解】

因为BC//AD,BC=2,AD=4,M为AD的中点，所以BC//MD,BC=MD，

四边形BCDM为平行四边形，所以BM//CD，

又因为BMË平面CDE，CDÌ平面CDE，所以BM//平面CDE；

【小问2详解】

如图所示，作BO^AD交AD于O，连接OF，因为四边形ABCD为等腰梯形，BC//AD,AD=4,

AB=BC=2，所以CD=2，

结合（1）BCDM为平行四边形，可得BM=CD=2，

又AM=2，所以VABM为等边三角形，O为AM中点，所以OB=3，

又因为四边形ADEF为等腰梯形，M为AD中点，所以EF=MD,EF//MD，

四边形EFMD为平行四边形，FM=ED=AF，所以△AFM为等腰三角形，

22

VABM与△AFM底边上中点O重合，OF^AM，OF=AF-AO=3，

因为OB2+OF2=BF2，所以OB^OF，所以OB,OD,OF互相垂直，

1132

由等体积法可得VM-ABF=VF-ABM，V=S×FO=××2×3=3，

F-ABM3△ABM34

22

2

FA2+AB2-FB210+2-23139

cosÐFAB===,sinÐFAB=，

2FA×AB2×10×2210210

113939

S△=FA×AB×sinÐFAB=×10×2×=，

FAB222102

1139

设点M到FAB的距离为d，则V=V=×S×d=××d=3，

M-FABF-ABM3△FAB32

613613

解得d=，即点M到ABF的距离为.

1313

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17.已知函数fx=ax-1-lnx+1．

（1）求fx的单调区间；

（2）若a£2时，证明：当x>1时，fx<ex-1恒成立．

【答案】（1）见解析（2）见解析

【解析】

【分析】（1）求导，含参分类讨论得出导函数的符号，从而得出原函数的单调性；

（2）先根据题设条件将问题可转化成证明当x>1时，ex-1-2x+1+lnx>0即可.

【小问1详解】

1ax-1

f(x)定义域为(0,+¥)，f¢(x)=a-=

xx

ax-1

当a£0时，f¢(x)=<0，故f(x)在(0,+¥)上单调递减；

x

æ1ö

当a>0时，xÎç,+¥÷时，f¢(x)>0，f(x)单调递增，

èaø

æ1ö

当xÎç0,÷时，f¢(x)<0，f(x)单调递减.

èaø

综上所述，当a£0时，f(x)在(0,+¥)上单调递减；

æ1öæ1ö

a>0时，f(x)在ç,+¥÷上单调递增，在ç0,÷上单调递减.

èaøèaø

【小问2详解】

a£2，且x>1时，ex-1-f(x)=ex-1-a(x-1)+lnx-1³ex-1-2x+1+lnx，

令g(x)=ex-1-2x+1+lnx(x>1)，下证g(x)>0即可.

11

g¢(x)=ex-1-2+，再令h(x)=g¢(x)，则h¢(x)=ex-1-，

xx2

显然h¢(x)在(1,+¥)上递增，则h¢(x)>h¢(1)=e0-1=0，

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即g¢(x)=h(x)在(1,+¥)上递增，

故g¢(x)>g¢(1)=e0-2+1=0，即g(x)在(1,+¥)上单调递增，

故g(x)>g(1)=e0-2+1+ln1=0，问题得证

x2y2æ3ö

18.设椭圆C:+=1(a>b>0)的右焦点为F，点Mç1,÷在C上，且MF^x轴．

a2b2è2ø

（1）求C的方程；

（2）过点P4,0的直线与C交于A,B两点，N为线段FP的中点，直线NB交直线MF于点Q，证

明：AQ^y轴．

x2y2

【答案】（1）+=1

43

（2）证明见解析

【解析】

【分析】（1）设Fc,0，根据M的坐标及MF^x轴可求基本量，故可求椭圆方程.

（2）设AB:y=k(x-4)，Ax1,y1，Bx2,y2，联立直线方程和椭圆方程，用A,B的坐标表示

y1-yQ，结合韦达定理化简前者可得y1-yQ=0，故可证AQ^y轴.

【小问1详解】

b23a2-13

设Fc,0，由题设有c=1且=，故=，故a=2，故b=3，

a2a2

x2y2

故椭圆方程为+=1.

43

【小问2详解】

直线AB的斜率必定存在，设AB:y=k(x-4)，Ax1,y1，Bx2,y2，

ì3x2+4y2=12

由í可得3+4k2x2-32k2x+64k2-12=0，

îy=k(x-4)

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11

故Δ=1024k4-43+4k264k2-12>0，故-<k<，

22

32k264k2-12

又x+x=,xx=，

123+4k2123+4k2

3

yæ5ö-y

æ5öBN:y=2x-2-3y

而N,0，故直线5ç÷，故y=2=2，

ç÷è2øQ5

è2øx2-2x2-5

2x2-

2

3y2y1´2x2-5+3y2

所以y1-yQ=y1+=

2x2-52x2-5

kx-4´2x-5+3kx-4

=122

2x2-5

64k2-1232k2

2´-5´+8

2xx-5x+x+822

=k1212=k3+4k3+4k

2x2-52x2-5

128k2-24-160k2+24+32k2

2，

=k3+4k=0

2x2-5

故y1=yQ，即AQ^y轴.

【点睛】方法点睛：利用韦达定理法解决直线与圆锥曲线相交问题的基本步骤如下：

（1）设直线方程，设交点坐标为x1,y1,x2,y2；

（2）联立直线与圆锥曲线的方程，得到关于x（或y）的一元二次方程，注意D的判断；

（3）列出韦达定理；

（4）将所求问题或题中的关系转化为x1+x2、x1x2（或y1+y2、y1y2）的形式；

（5）代入韦达定理求解.

（二）选考题：共10分．请考生在第22、23题中任选一题作答，并用2B铅笔将所选题号

涂黑，多涂、错涂、漏涂均不给分，如果多做，则按所做的第一题计分．

19.在平面直角坐标系xOy中，以坐标原点O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C的极坐

标方程为r=rcosq+1.

（1）写出C的直角坐标方程；

第13页/共15页

ìx=t

（2）设直线l：í（t为参数），若C与l相交于A、B两点，若AB=2，求a的值.

îy=t+a

【答案】（1）y2=2x+1

3

（2）a=

4

【解析】

ïìr=x2+y2

【分析】（1）根据í可得C的直角方程.

îïrcosq=x

（2）将直线的新的参数方程代入C的直角方程，

法1：结合参数s的几何意义可得关于a的方程，从而可求参数a的值；

法2：将直线的直角方程与曲线的直角方程联立，结合弦长公式可求a的值.

【小问1详解】

ïìr=x2+y2

由r=rcosq+