圆-四点共圆8学

第十二讲四点共圆

一、基础知识

1、四点共圆的判定方法

（1）利用圆的定义，即：各点与一定点等距离（R）,则各点在

以定点为圆心，半径为R的圆上；

（2）若一线段（AB）同侧的两个点C和D,对这条线段的两点

（A和B）的张角相等，则这四点A、B、C、D共圆；

A'、一—JB

（3）若一线段（AB）异侧的两个点C和D,对这条线段的两点D

A、B的张角互补，则A、B、C、D四点共圆；

C

（4）两线段AB、CD交于E点，若满足AEEB=CEED,则A、0.

B、C、D四点共圆；A\

C

二、例题

例1通过两个相交圆得公共弦上的任一点P,引第一个圆的弦KM和第二个圆的弦LN,证明：KLMN

可内接于一圆.

例2圆5,。2相交于AB,P是BA延长线上一点，割线PCD交圆5于C、D,害!|线PEF交圆Ch于E、

F,求证：C、D、E、F四点共圆.

例3AB为圆直径，过A在AB同侧作弦AP、AQ,交B处的切线于点R、S,求证：P、Q、S、R四点

共圆；

例4A为。O外一点，AB,AC和。O分别切于B、C两点，APQ为。O的一条割线，过B作BR〃AQ

交。O于点R,连结CR交AQ于点M,试证：A、B、C^O、M五点共圆；

例5/ABC中，AB=AC,ZA=90°,AM为底边BC上的中线，过M、C两点的圆交AC于E,交BE

于F,求证：AF_LBE；

例6过已知。。的中心作OA垂直于圆外的直线MN,自垂足A作圆的割线交圆于B、C,过B、C分别

作圆的切线交MN于D、E,求证：AD=AE；

例7AB、AC切（DO于B、C,任作割线AEF交圆周于E、F,弦BD平分弦EF交EF于M,求证：CD

〃EF；

例8已知，。0与。O,外切于P,过P点作直线交。O与。O5于A、B,AC是。O的弦，过B点作。O,

的切线交AC的延长线于D,求证：APAB=ADAC；

例9圆O”O2相交于A、B,从圆Oi上一点P引直线PA、PB,交圆。2于C、D,过P作PHLCD于H,

求证：PH过圆O］的圆心；

例10如图，AD是圆的直径，直线1是过D的切线，割线AB、AC交I于点B、C,交圆于点E、F；(1)

求证：AEAB=AFAC；(2)如果使直线1向上平行移动成为圆的割线，而AB、AC仍与1交于点B、C,

与圆仍交于点E、F,那么等式AE-AB=AFAC是否仍成立，为什么？

例11PA、PB为。O的切线，A、B为切点，连结AB与PO交于M,QR是过M的任意一条弦，求证:

OP平分NQPR；

例12如图,P为。O上任一点,AB为任意弦,过AB作。O的两条切线相交于Q,PD±QA于D,PE1QB

于E,PCJ_AB于C,求证：PC2=PDPE；

例13如图，。。内接/ABC,AQ_LBC于D点，交。。于Q,AD是。O,的直径，。0,交AB于M,

交AC于N,AQ交MN于P,求证：AD2=APAQ；

例14在/ABC中边AB=AC,有一个圆Oj内切于/ABC的外接圆O并且与AB、AC分别相切于P、

Q,求证：P、Q连线的中点O是/ABC的内切圆的圆心;

三、练习题

1.锐角/ABC的三条高AD、BE、CF交于H,在A、B、C、D、E、F、H七个点中，能组成四点共圆

的组数为（）

A.4组B.5组C.6组D.7组

2.在/ABC中，AB=AC,D为BC边中点，且BE_LAC于E,交AD于P,已知BP=3,PE=1,则

PA的值为（）

A.S'B.2A/3C.72D.A/6

3.直线AB和AC与。O分别相切于B、C两点，P为圆上一点，如图，P到AB、AC的距离分别为6

厘米，4厘米，则P到BC的距离为；

4.正方形ABCD的中心为O,面积为1989cm2,P为正方形内一点，且/OPB=45°,PA：PB=5：14,

贝！1PB=；

AB

5.已知PA是/ABC的外接圆的切线，PD〃AC且与AB、BC分别交于点E、D,求证：EAEB=EDEP；

6.如图，OOi和。Ch相交于A、B两点，过A作一条直线分别交。Oi和。Ch于C、D,过C、D分别

作。Oi和。。2的切线，它们相交于E,连结BC、BD和BE,求证：NBCD=/BED.

7.已知NACE=NCDE=90。，点B在CE上，CA=CB=CD,过A、C、D三点的圆交AB于点F,求

证：F为/CDE的内心；

8.已知：BE>CF是/ABC的两条高，M是